1bac program for morrocan student LA boite le dernier jour d'un condamné 'antigone, Schemes and Mind Maps of French

Download 1bac program for morrocan student LA boite le dernier jour d'un condamné 'antigone and more Schemes and Mind Maps French in PDF only on Docsity! Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l’on a 96842= 256×375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375. Indication H Correction H Vidéo  [000251] Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N : n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120. Correction H Vidéo  [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3. Correction H Vidéo  [000267] Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8. Indication H Correction H Vidéo  [000254] Exercice 5 Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000. Indication H Correction H Vidéo  [000250] Exercice 6 1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1. 2. Montrer de même que tout nombre pair vérifie x2 = 0 (mod 8) ou x2 = 4 (mod 8). 3. Soient a,b,c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a2 +b2 + c2 et celui de 2(ab+bc+ ca). 4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab+bc+ ca non plus. Indication H Correction H Vidéo  [000285] 1 2 pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide Exercice 7 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1. 126, 230. 2. 390, 720, 450. 3. 180, 606, 750. Correction H Vidéo  [000290] Exercice 8 Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480. Correction H Vidéo  [000292] Exercice 9 Calculer par l’algorithme d’Euclide : pgcd(18480,9828). En déduire une écriture de 84 comme combinaison linéaire de 18480 et 9828. Correction H Vidéo  [000296] Exercice 10 Notons a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789. 1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 2. Calculer p = pgcd(a,b). 3. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = p. Correction H Vidéo  [000303] Exercice 11 Résoudre dans Z : 1665x+1035y = 45. Indication H Correction H Vidéo  [000305] 3 Nombres premiers, nombres premiers entre eux Exercice 12 Combien 15! admet-il de diviseurs? Indication H Correction H Vidéo  [000249] Exercice 13 Démontrer que, si a et b sont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers a+b et ab. Indication H Correction H Vidéo  [000337] Exercice 14 Soient a,b des entiers supérieurs ou égaux à 1. Montrer : 1. (2a−1)|(2ab−1) ; 2. 2p−1 premier ⇒ p premier ; 3. pgcd(2a−1,2b−1) = 2pgcd(a,b)−1. Indication H Correction H Vidéo  [000336] Exercice 15 2 et utiliser le lemme de Gauss ou le lemme d’Euclide. 2. Raisonner avec les modulos, c’est-à-dire prouver ap ≡ a (mod p). Indication pour l’exercice 17 N 1. Il faut être très soigneux : n est fixé une fois pour toute, la récurrence se fait sur k > 1. 2. Utiliser la question précédente avec m = n+ k. 3. Par l’absurde, supposer qu’il y a seulement N nombres premiers, considérer N +1 nombres du type Fi. Appliquer le “principe du tiroir” : si vous avez N +1 chaussettes rangées dans N tiroirs alors il existe (au moins) un tiroir contenant (plus de) deux chaussettes. 5 Correction de l’exercice 1 N La seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être plus petit que le quotient. Donc les divisions euclidiennes s’écrivent : 96842 = 256×378+74 et 96842 = 258×375+92. Correction de l’exercice 2 N Il suffit de constater que pour 4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un multiple de 2, un multiple de 3, un multiple de 4 (distinct du mutliple de 2). Donc le produit de 4 nombres consécutifs est divisible par 2×3×4 = 24. Correction de l’exercice 3 N Ecrire n = p2 + q2 et étudier le reste de la division euclidienne de n par 4 en distinguant les différents cas de parité de p et q. Correction de l’exercice 4 N Raisonnons modulo 8 : 7≡−1 (mod 8). Donc 7n +1≡ (−1)n +1 (mod 8). Le reste de la division euclidienne de 7n + 1 par 8 est donc (−1)n + 1 donc Si n est impair alors 7n + 1 est divisible par 8. Et si n est pair 7n +1 n’est pas divisible par 8. Correction de l’exercice 5 N Il sagit de calculer 1001000 modulo 13. Tout d’abord 100 ≡ 9 (mod 13) donc 1001000 ≡ 91000 (mod 13). Or 92 ≡ 81 ≡ 3 (mod 13), 93 ≡ 92.9 ≡ 3.9 ≡ 1 (mod 13), Or 94 ≡ 93.9 ≡ 9 (mod 13), 95 ≡ 94.9 ≡ 9.9 ≡ 3 (mod 13). Donc 1001000 ≡ 91000 ≡ 93.333+1 ≡ (93)333.9≡ 1333.9≡ 9 (mod 13). Correction de l’exercice 6 N 1. Soit n un nombre impair, alors il s’écrit n = 2p+ 1 avec p ∈ N. Maintenant n2 = (2p+ 1)2 = 4p2 + 4p+1 = 4p(p+1)+1. Donc n2 ≡ 1 (mod 8). 2. Si n est pair alors il existe p ∈ N tel que n = 2p. Et n2 = 4p2. Si p est pair alors p2 est pair et donc n2 = 4p2 est divisible par 8, donc n2 ≡ 0 (mod 8). Si p est impair alors p2 est impair et donc n2 = 4p2 est divisible par 4 mais pas par 8, donc n2 ≡ 4 (mod 8). 3. Comme a est impair alors d’après la première question a2 ≡ 1 (mod 8), et de même c2 ≡ 1 (mod 8), c2 ≡ 1 (mod 8). Donc a2 +b2 + c2 ≡ 1+1+1≡ 3 (mod 8). Pour l’autre reste, écrivons a = 2p+1 et b = 2q+ 1, c = 2r+ 1, alors 2ab = 2(2p+ 1)(2q+ 1) = 8pq+ 4(p+ q)+ 2. Alors 2(ab+ bc+ ca) = 8pq+8qr+8pr+8(p+q+ r)+6, donc 2(ab+bc+ ca)≡ 6 (mod 8). 4. Montrons par l’absurde que le nombre a2 + b2 + c2 n’est pas le carré d’un nombre entier. Supposons qu’il existe n ∈ N tel que a2 +b2 + c2 = n2. Nous savons que a2 +b2 + c2 ≡ 3 (mod 8). Si n est impair alors n2 ≡ 1 (mod 8) et si n est pair alors n2 ≡ 0 (mod 8) ou n2 ≡ 4 (mod 8). Dans tous les cas n2 n’est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est que l’hypothèse de départ est fausse donc a2 + b2 + c2 n’est pas un carré. Le même type de raisonnement est valide pour 2(ab+bc+ ca). Pour ab+bc+ca l’argument est similaire : d’une part 2(ab+bc+ca)≡ 6 (mod 8) et d’autre part si, par l’absurde, on suppose ab+bc+ca = n2 alors selon la parité de n nous avons 2(ab+bc+ca)≡ 2n2 ≡ 2 (mod 8) ou à 0 (mod 8). Dans les deux cas cela aboutit à une contradiction. Nous avons montrer que ab+bc+ ca n’est pas un carré. Correction de l’exercice 7 N Il s’agit ici d’utiliser la décomposition des nombres en facteurs premiers. 6 1. 126 = 2.32.7 et 230 = 2.5.23 donc le pgcd de 126 et 230 est 2. 2. 390 = 2.3.5.13, 720 = 24.32.5, 450 = 2.32.52 et donc le pgcd de ces trois nombres est 2.3.5 = 30. 3. pgcd(180,606,750) = 6. Correction de l’exercice 8 N Soient a,b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soit a′,b′ tel que a = 18a′ et b = 18b′. Alors a′ et b′ sont premiers entre eux, et leur somme est 360/18 = 20. Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d’entiers naturels (a′,b′) (a′ 6 b′) qui vérifient cette condi- tion, ce sont les couples : (1,19),(3,17),(7,13),(9,11). Pour obtenir les couples (a,b) recherchés (a6 b), il suffit de multiplier les couples précédents par 18 : (18,342),(54,306),(126,234),(162,198). Correction de l’exercice 9 N 1. pgcd(18480,9828) = 84 ; 2. 25×18480+(−47)×9828 = 84. Correction de l’exercice 10 N 1. a = 9b+10. 2. Calculons le pgcd par l’algorithme d’Euclide. a = 9b+ 10, b = 12345678× 10+ 9, 10 = 1× 9+ 1. Donc le pgcd vaut 1 ; 3. Nous reprenons les équations précédentes en partant de la fin : 1 = 10−9, puis nous remplaçons 9 grâce à la deuxième équation de l’algorithme d’Euclide : 1 = 10− (b− 12345678× 10) = −b+ 1234679× 10. Maintenant nous remplaçons 10 grâce à la première équation : 1 = −b + 12345679(a− 9b) = 12345679a−111111112b. Correction de l’exercice 11 N En divisant par 45 (qui est le pgcd de 1665,1035,45) nous obtenons l’équation équivalente : 37x+23y = 1 (E) Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, alors d’après le théorème de Bézout cette équation (E) a des solutions. L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients de Bézout : 37× 5+ 23× (−8) = 1. Une solution particulière de (E) est donc (x0,y0) = (5,−8). Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équation (E). Soient (x,y) une solution de l’équation 37x+23y = 1. Comme (x0,y0) est aussi solution, nous avons 37x0 +23y0 = 1. Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir 37(x− x0)+23(y− y0) = 0. Autrement dit 37(x− x0) =−23(y− y0) (∗) On en déduit que 37|23(y− y0), or pgcd(23,37) = 1 donc par le lemme de Gauss, 37|(y− y0). (C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par 45 dès le début !) Cela nous permet d’écrire y− y0 = 37k pour un k ∈ Z. Repartant de l’égalité (∗) : nous obtenons 37(x− x0) = −23× 37× k. Ce qui donne x− x0 = −23k. Donc si (x,y) est solution de (E) alors elle est de la forme : (x,y) = (x0−23k,y0 +37k), avec k ∈ Z. Réciproquement pour chaque k ∈ Z, si (x,y) est de cette forme alors c’est une solution de (E) (vérifiez-le !). Conclusion : les solutions sont { (5−23k,−8+37k) | k ∈ Z } . 7