Mathematical Formulas and Examples, Study notes of Mathematics

Download Mathematical Formulas and Examples and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity! 8.0 Voorkennis 1 Willem-Jan van der Zanden Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 ⋅ Aantal 2012 12.500 = 0,93 ⋅ Aantal 2012 Aantal 2012 = Let op: • Als het oude aantal bekend is, kun je met behulp van de gegeven toename (of afname) het nieuwe aantal uitrekenen: NIEUW = (1 + p/100) · OUD • Als het nieuwe aantal bekend is, kun je met behulp van de gegeven toename (of afname) het oude aantal uitrekenen: OUD = 12.500 13.441 0,93  NIEUW p 1 100  8.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld 1: 8, 12, 16, 20, 24, … is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u0) 12 is de tweede term (u1) 24 is de vijfde term (u4) Elke term is 4 groter dan de voorafgaande term. u0 = 8 u1 = u0 + 4 (=12) u2 = u1 + 4 (=16) u3 = u2 + 4 (=20) u4 = u3 + 4 (=24) Algemeen: un = un-1 + 4 met u0 = 8 (recursieve formule) Met de GR: 8 | ENTER | ANS + 4 | ENTER | ENTER | …. 2 Willem-Jan van der Zanden 8.1 Recursieve en directe formules [2] Voorbeeld 1: Bereken de 12de term van deze rij Stap 3: Vul nu het volgende in: Bij nMin 0 Bij u(n) u(n-1) + u(n-2) Bij u(nMin) {1, 1} Op de GR krijg je: u via de toets 2ND | 7 n via de toets die je normaal gebruikt voor de variabele X { via de toets 2ND | ( } via de toets 2ND | ) Je moet bij u(nMin) de eerste twee termen invullen. Vul eerst de tweede term in en dan de eerste. Is maar één term nodig, dan hoef je geen { } te gebruiken. 5 Willem-Jan van der Zanden 8.1 Recursieve en directe formules [2] Voorbeeld 1: Bereken de 12de term van deze rij Stap 4: De uitkomst kun je vinden via 2ND | GRAPH De 12de term (u11) heeft de waarde 144. Voorbeeld 2: Vanaf welke term geldt bij de Rij van Fibonacci: un > 100.000? Uit de tabel volgt: u24 = 75.025 u25 = 121.393 Vanaf de 26ste term zijn er waarden groter dan 100.000. 6 Willem-Jan van der Zanden 8.1 Recursieve en directe formules [3] Voorbeeld: Op 1 maart zit in een opslagtank 20.000 liter water. Elke dag wordt 30% van de in de tank aanwezige hoeveelheid voor zuivering overgeheveld naar een andere tank. Direct daarna wordt de eerste tank bijgevuld met 5.000 liter water. De eerste keer gebeurt dat op 2 maart. Stel bij deze situatie de recursieve formule op van de hoeveelheid water (Wn) en onderzoek beneden welke grenswaarde de hoeveelheid water in de tank niet komt. Wn = 0,7Wn-1 + 5.000 met W0 = 20.000 Voer de formule in op de GR zoals je dat bij de Rij van Fibonnaci hebt geleerd. Uit de tabel volgt nu dat de grenswaarde 16.667 m3 water is. 7 Willem-Jan van der Zanden 8.2 Rekenkundige en meetkundige rijen [1] 8, 12, 16, 20, 24, … is een rekenkundige rij (rr), want het verschil tussen twee opeenvolgende termen (v) is constant. u0 (= 8) u1 = u0 + v = (8 + 4 = 12) u2 = u1 + v = u0 + v + v = u0 + 2v = (8 + 2 · 4 = 16) u3 = u2 + v = u0 + 3v (= 8 + 3 · 4 = 20) u4 = u3 + v = u0 + 4v (= 8 + 4 · 4 = 24) Algemeen: Als de beginterm van een rekenkundige rij u0 is geldt: un = u0 + vn (direct) un = un-1 + v met u0 = getal (recursief) Als de beginterm van een rekenkundige rij u1 is geldt: un = u1 + v(n – 1) (direct) un = un-1 + v met u1 = getal (recursief) 10 Willem-Jan van der Zanden 8.2 Rekenkundige en meetkundige rijen [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, … De hoeveelste term is 388? Directe formule = 8 + 4n Los op: 8 + 4n = 388 4n = 380 n = 95 Dus u95 = 388, dus de 96ste term is 388. Let op: In dit voorbeeld is u0 als eerste term gebruikt. De eerste term is u0 De tweede term is u1 De 96-ste term is u95 11 Willem-Jan van der Zanden 8.2 Rekenkundige en meetkundige rijen [2] Gegeven is de rij getallen: 64, 96, 144, 216, 324, … Elke term is te vinden door de voorgaande term te vermenigvuldingen met 1,5 Deze rij heet een meetkundige rij (mr) , omdat elke term een bepaalde factor [r] groter (of kleiner) is dan de vorige term. u0 (= 64) u1 = u0 ⋅ r (= 64 ⋅ 1,5 = 96) u2 = u1 ⋅ r = u0 ⋅ r ⋅ r = u0 ⋅ r2 (= 64 ⋅ 1,52 = 144) u3 = u2 ⋅ r = u0 ⋅ r3 (= 64 ⋅ 1,53 = 216) De directe formule wordt nu: un = 64 ⋅ 1,5n De recursieve formule wordt nu: un = 1,5 ⋅ un-1 met u0 = 64 Algemeen: (met beginterm u0) un = u0 ⋅ rn (directe formule) un = r ⋅ un-1 met u0 = getal (recursieve formule) Algemeen: (met beginterm u0) un = u1 ⋅ rn-1 (directe formule) un = r ⋅ un-1 met u1 = getal (recursieve formule) 12 Willem-Jan van der Zandn 8.3 Somrijen [1] Voorbeeld: Bereken de som van de eerste zes termen van de rij met de directe formule un = 8 + 4n Er wordt nu dus gevraagd: Bereken u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = = 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 = 108 5 0 k k u   15 Willem-Jan van der Zanden 8.3 Somrijen [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de directe formule un = 8 + 4n met beginterm u0. Geef de recursieve formule van de somrij Sn. De termen van de somrij Sn zijn: S0 = u0 = 5 S1 = u0 + u1 = S0 + u1 = 5 + 8 = 13 S2 = u0 + u1 + u2 = S1 + u2 = 13 + 11 = 24 S3 = u0 + u1 + u2 + u3 = S2 + u3 = 24 + 14 = 38 Algemeen: De recursieve formule van de somrij Sn van de rij un is Sn = Sn-1 + un met S0 = u0. Sn = Sn-1 + 8 + 4n met S0 = u0. 16 Willem-Jan van der Zanden 8.3 Somrijen [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de rij u(n) = 2u(n – 1) – 3n met beginterm u(0) = 10 en de bijbehorende somrij S(n). Bereken S(10) De recursieve formule van S(n) = S(n – 1) + 2u(n – 1) – 3n met S(0) = 10 Vul in de GR de rij en de somrij in. Uit de tabel volgt S(10) = 8419 17 Willem-Jan van der Zanden 8.4 Toenamediagrammen [1] Soorten van stijgen en dalen stijging constant toenemend afnemend daling constant toenemend afnemend Ns CS 7 8.4 Toenamediagrammen [2] In het plaatje is de functie y = x2 – 4x + 3 getekend. Met behulp van onderstaande tabel kan nu een toenamediagram getekend worden 21 Willem-Jan van der Zanden Interval ∆y [0, 1] -3 [1, 2] -1 [2, 3] 1 [3, 4] 3 [4, 5] 5 8.4 Toenamediagrammen [2] 22 Willem-Jan van der Zanden • Er is een stapgrootte (∆x) van 1 gebruikt; • De verticale lijnstukjes staan aan de rechterkant van het interval; • Een lijnstukje boven de x-as is een toename; • Een lijnstukje onder de x-as is een afname. Interval ∆y [0, 1] -3 [1, 2] -1 [2, 3] 1 [3, 4] 3 [4, 5] 5 8.5 Differentiequotiënten [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering/ gemiddelde snelheid per tijdseenheid. Voorbeeld: f(x) = x2 – x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = 25 Willem-Jan van der Zanden y x (3) (0) 6 0 2 3 0 3 0 y f f x          8.5 Differentiequotiënten [1] Algemeen: Het differentiequotiënt van y op [xA, xB] is: • De gemiddelde toename van y op [xA, xB]; • De richtingscoëfficiënt van de lijn AB; • De helling van de lijn AB; • 26 Willem-Jan van der Zanden y x   B A B A y y x x   8.5 Differentiequotiënten [2] 27 Willem-Jan van der Zanden s t De grafiek hiernaast is een tijd-afstandgrafiek. De gemiddelde snelheid Op het interval [0, 3] is: (3) (0) 6 0 2 3 0 3 0 s s s t          Algemeen: • In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t; • Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a, b] de gemiddelde snelheid op [a, b] • De gemiddelde snelheid is: s t  