9 Solved Problems on Codes and Ciphers - Assignment | MATH 350, Assignments of Mathematics

Download 9 Solved Problems on Codes and Ciphers - Assignment | MATH 350 and more Assignments Mathematics in PDF only on Docsity! Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  1      Homework Exercises #4 Solutions  Due 3/10/09    1. Without using Maple, locate the position of any errors, and then correct them, in the following  received words from the Hamming‐(7,4) code:  a) r1= 0101111  error position 2      corrected word = 0001111    b) r2= 0001101  error position 6      corrected word = 0001111  c) r3= 0100011  error position 3      corrected word = 0110011  d) r4= 0110011  no error        corrected word = 0110011    2.  Let C be a binary linear code.  Prove that the code C*obtained by adding an overall parity check  digit to C is linear (closed under the operation of addition).  Proof: Let a and b be codewords in C.  Then   1 2 1 2( , , ), ( , , ).n na a a a b b b b= =… … .a b C+ ∈ *, *a b 1 2 1 1 2 1* ( , , , ), * ( , , , ),n n n na a a a a b b b b b += =… … 1 1 1 1 mod 2, mod 2. n n n i n i i i a a b b+ + = = = =∑ ∑ * * .a b C Since C is linear, we  know that    Let  be codewords in C* obtained by adding overall parity checks to a and  b respectively.  So   where  We need to show that  ′+ ∈ 1 1 2 2 1 1* * ( , , , , )n n n na b a b a b a b a b   But  + ++ = + + + +… ,a b C+ ∈ 1 1n na b+ ++ 1 1  with all addition done mod 2.  Since   we only need to worry about the last digit of the word.  In particular, we need to  show that   is an overall parity check.  But   overall parity check of positions 1 through n in  the word  .  So  and C* is linear.  1 1 ⎥ 1 mod 2 ( )mod 2 n n n n n i i i i i i i a b a b a b+ + = = = + = + = + =∑ ∑ ∑ a b+ * * *,a b C+ ∈ 3. For each of the generator matrices below ‐‐  list all the codewords in the code and find the minimum  distance of the code.    a)      C1 = {00000, 11110, 00111, 11001}    d* = 3 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 G ⎡ ⎤= ⎢ ⎣ ⎦   b)        2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 G ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ C2 = {0000000, 1001101, 0101011, 1100110, 1011010, 0111100, 0111100, 1110001, 0010111}  d* = 4  Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  2      4. Use Maple to help you fill in the table below  Information   Digits  H‐ (7,4)  codeword  H ‐(8,4) parity  check digit  Information  Digits  H‐ (7,4)  codeword  H ‐(8,4) parity  check digit  0000  0000000  0  1001 0011001  1 0001  1101001  0  1010 1011010  0 0010  0101010  1  0101 0100101  1 0100  1001100  1  0111 0001111  0 1000  1110000  1  1011 0110011  0 0011  1000011  1  1101 1010101  0 0110  1100110  0  1110 0010110  1 1100  0111100  0  1111 1111111  1   5. Use Maple and the Hamming‐(15,11) code to encode the following information digits:      a)   1011 0110 101    b)  1101 1011 011    c)  0000 1111 000  101001100110101    011110111011011    000100001111000  6. Add an over‐all parity check digit to your codewords from #5. (You may simply list the parity check  digit.)    0; 1;  1    7. a) How many parity checks will the Hamming‐(31, 26) code have?   5    b) What are the parity checks for this code?      1) C1+C3+C5+C7 +C9+C11+C13+C15+ . . . +C31 =0    2) C2+C3+C6+C7+C10+C11+C14+C15+C18+C19+C22+C23+C26+C27+C30+C31=0    3) C4+C5+C6+C7+C12+C13+C14+C15+C20+C21+C22+C23+C28+C29+C30+C31=0    4) C8+c9+c10+C11+c12+C13+c14+1C5+c24+c25+C26+c27+c28+C29+c30+C31=0    5) C16+C17+C18+C19+C20+C21+C22+C23+C24+C25+C26+C27+C28+C29+C30+C31=0    c) What are the check positions for words in this code?  1, 2, 4, 8, 16  d) How many codewords are there in this code?  226 =67,108,864  e) What is the size (dimension) of the generator matrix G for this code?  26×31  f) Find the generator matrix for this code. (Use graph paper or Excel to write it – it’s not  necessary to use Maple.)