Error Correction with Hamming Codes - Prof. Julie M. Clark, Study notes of Mathematics

Download Error Correction with Hamming Codes - Prof. Julie M. Clark and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity! Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  1      Adding Vectors - mod 2  > restart:  > with(linalg):   We can define row vectors using transpose: > v1:=transpose(<<1,0,1,0,1,0,1>>); v2:=transpose(<<0,1,1,1,0,0,0>>);  := v1 [ ]1 0 1 0 1 0 1 := v2 [ ]0 1 1 1 0 0 0 > v:=map(modp,matadd(v1,v2),2);  := Or, we can define the vectors as matrices:   > v3:=matrix(1,7,[1,0,1,0,1,0,1]); v4:=matrix(1,7,[1,1,1,1,1,0,1]);  > v:=map(modp,matadd(v3,v4),2);  Generator Matrix for the Hamming‐(7,4) code:  1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 HG ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦   v [ ]1 1 0 1 1 0 1 := v3 [ ]1 0 1 0 1 0 1 := v4 [ ]1 1 1 1 1 0 1 := v [ ]0 1 0 1 0 0 0 Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  2      Using Maple to Encode with the Hamming-(7, 4)-Code  > restart:  > with(linalg): with(LinearAlgebra):  >G:=matrix(4,7,[1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,0,1 ,0,1,1,0,1,0,0,1]); := G ⎡   > a:= matrix(1,4,[0,1,1,0]);   > b:= map(modp,multiply(a,G),2); Now ‐ suppose we want to add an 8th parity check digit:    > I7:= IdentityMatrix(7):    > C1:= matrix(7,1,[1,1,1,1,1,1,1]);  > CM:=concat(I7,C1);  > cw:=map(modp,multiply(b,CM),2);   ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 := a [ ]0 1 1 0 := b [ ]1 1 0 0 1 1 0 := C1 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 1 1 1 1 1 1 := CM ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 := cw [ ]1 1 0 0 1 1 0 0 Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  5      > elif chckword[1,1]+chckword[1,2]+chckword[1,3] = 0 then > print("No error"); > u[1]:=rv[1,3]:u[2]:=rv[1,5]:u[3]:=rv[1,6]:u[4]:=rv[1,7]: > print(u[t] $t=1..4); > else print("Double Error Detected") > end if: , , ,1 1 0 1     ,"Single Error Corrected in position" 7 Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  6      Homework Exercises #4:  Due 3/10/09    1. Without using Maple, locate the position of any errors, and then correct them, in the following  received words from the Hamming‐(7,4) code:  a) r1= 0101111        b) r2= 0001101  c) r3= 0100011  d) r4= 0110011  2.  Let C be a binary linear code.  Prove that the code C*obtained by adding an overall parity check  digit to C is linear (closed under the operation of addition).  3. For each of the generator matrices below ‐‐  list all the codewords in the code and find the  minimum distance of the code.    a)       b) 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 G ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 G ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦   4. Use Maple to help you fill in the table below  Information   Digits  H‐ (7,4)  codeword  H ‐(8,4) parity  check digit  Information  Digits  H‐ (7,4)  codeword  H ‐(8,4) parity  check digit  0000        1001      0001        1010      0010        0101      0100        0111      1000        1011      0011        1101      0110        1110      1100        1111          Math 350: Codes & Ciphers  March 3, 2009  7      5. Use Maple and the Hamming‐(15,11) code to encode the following information digits:      a)   1011 0110 101    b)  1101 1011 011    c)  0000 1111 000  6. Add an over‐all parity check digit to your codewords from #5. (You may simply list the parity  check digit.)    7. a) How many parity checks will the Hamming‐(31, 26) code have?    b) What are the parity checks for this code?  c) What are the check positions for words in this code?  d) How many codewords are there in this code?  e) What is the size (dimension) of the generator matrix G for this code?  f) Find the generator matrix for this code. (Use graph paper or Excel to write it – it’s not  necessary to use Maple.)  8.  Use Maple to determine and correct any errors in the following Hamming‐(8,4) received words,  then determine the correct 4 information digits in each word.  Indicate the position of any errors  (if there are any).  If there are double‐errors indicate that you cannot correctly decode.    a)  r1 = [00001000]          b) r2 = [01011011]      c) r3 = [01111001]          d) r4 = [01100110]      e) r5 = [10010000]          f) r6 =01010111]    g) r7 = [01111111]  9. Use Maple to find and correct any errors in the following Hamming‐(15, 11) received words, and  then report the correct 11 information digits in each word.  Indicate the position of any errors (if  there are any).  If there are double‐errors indicate that you cannot correctly decode.    a)  r1 = [0011  0111   0001  1110]  b) r2 = [0111  1111  1000  0001]  c) r3= [1011   0100  1010   1010]  d)  r4 = [1100  1000  1001  0000]  e) r5 = [0111   0010  1111   1111]