Analisi Matematica 1, Study Guides, Projects, Research of Mathematical Analysis

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Analisi Matematica Paolo Maurizio Soardi Indice vii 5.9.4 Permutazione dei termini di una serie . . . . . . . . . . . 141 5.9.5 Rappresentazione dei numeri reali come serie . . . . . . . 143 6 Limiti di funzioni 145 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Limiti in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Limiti infiniti e limiti all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Limiti di funzioni reali di variabile reale . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5 Segno, confronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6 Limiti di successioni e limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.8 Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico . . . . . . . . . . . . . . 167 6.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.9.1 Classe limite di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7 Continuità 175 7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.2 Continuità in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.3 Continuità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.4 Continuità delle funzioni a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.5 Il Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6 Il Teorema di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.7 Uniforme continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.8 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.8.1 Discontinuità di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.8.2 Discontinuità di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.8.3 Discontinuità eliminabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.9 Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.10 Continuità della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.11 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.11.1 Continuità della funzione inversa in spazi metrici . . . . . 197 7.11.2 Uniforme continuità. Funzioni lipschitziane e hölderiane. . 198 8 Calcolo differenziale 201 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2 Derivata e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.3 Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi . . . . . . . . . . . . . 205 8.4 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.5 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.5.1 Potenze e radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.5.2 Esponenziali e funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . 213 8.5.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.5.4 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.5.5 Inverse delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . 215 8.5.6 Derivate di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.6 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 viii Indice 8.7 Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.8 Crescere e decrescere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.9 Teorema di De l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.10 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.11 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.12 Esempi sulla formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 8.13 Convessità, concavità, flessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.14 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.15 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.15.1 Dimostrazione del Teorema di De l’Hospital . . . . . . . . 251 8.15.2 Convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.15.3 Estremanti e punti di flesso . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.15.4 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 9 Primitive 259 9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.2 Regole di integrazione indefinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.3 Primitive delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.3.1 Caso in cui il grado del denominatore è 1 o 2 . . . . . . . 266 9.3.2 Casi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.3.3 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.4 Primitive di funzioni razionali fratte in un argomento . . . . . . . 271 9.5 Primitive di funzioni razionali fratte in più argomenti . . . . . . 272 9.5.1 Primitive di R(cos t, sin t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.5.2 Primitive di R(cos2 t, sin2 t, tan t) . . . . . . . . . . . . . . 273 9.5.3 Primitive di R (x, q1 √ xp1 , . . . , qn √ xpn) . . . . . . . . . . . . 274 9.5.4 Primitive di R ( x, q1 q` ax+b cx+d ´p1 . . . , qn q` ax+b cx+d ´pn ) . . . . . 274 9.5.5 Primitive di R ( x, √ ±x2 + px + q ) . . . . . . . . . . . . . 276 9.6 Integrali binomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.7 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 9.7.1 Decomposizione di una funzione razionale fratta . . . . . 280 10 Integrale di Riemann 283 10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.2 Somme superiori e inferiori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.3 L’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.4 Proprietà dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 10.5 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.6 Integrale esteso a un intervallo orientato . . . . . . . . . . . . . . 296 10.7 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . 298 10.8 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.8.1 Integrali impropri di prima specie . . . . . . . . . . . . . . 302 10.8.2 Integrali impropri di seconda specie . . . . . . . . . . . . 305 10.8.3 Criteri del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.4 Integrali impropri di terza specie . . . . . . . . . . . . . . 309 Indice ix 10.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.9.1 Estensione del Teorema fondamentale del calcolo integrale 313 10.9.2 Formula di Taylor con resto integrale . . . . . . . . . . . . 314 10.9.3 Confronto e esistenza degli integrali impropri . . . . . . . 315 10.9.4 Formula di Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.9.5 Somme e integrali. Formula di Eulero . . . . . . . . . . . 319 10.9.6 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Capitolo 1 Numeri reali 1.1 Introduzione I numeri reali nascono con la scoperta dell’esistenza di grandezze incommensura- bili, quali le lunghezze del lato e della diagonale di un quadrato. I numeri interi e i loro rapporti non sono quindi in grado di descrivere fondamentali relazioni della geometria. Malgrado ciò, lo studio dei numeri reali cominciò ad imporsi solo dopo la scoperta del calcolo infinitesimale, dovuta a Newton e Leibniz. Tra le molte costruzioni equivalenti del campo reale, adotteremo quella forse per noi più intuitiva, cioè la costruzione dei numeri reali mediante allineamenti decimali infiniti. 1.2 Rappresentazione decimale dei numeri razionali Come è noto, ogni numero razionale si può rappresentare come allineamento decimale periodico, nel modo che ora descriveremo rapidamente. Indichiamo con Q l’insieme dei numeri razionali, dotato delle consuete operazioni di somma e prodotto e della relazione naturale di diseguaglianza. Sia r = p/q ∈ Q un numero razionale positivo, con p > 0, q > 0 interi. Si ha, mediante divisioni successive, p q = c0 + p0 q ove 0 ≤ p0 < q e c0 è un intero non negativo, p0 q = c1 10 + p1 10q ove 0 ≤ p1 < q e c1 è un intero tra 0 e 9, p1 q = c2 10 + p2 10q ove 0 ≤ p2 < q e c2 è un intero tra 0 e 9. Si ottiene quindi r = c0 + c1 10 + c2 102 + p2 102q . 1 2 1. Numeri reali In tal modo abbiamo ottenuto le prime tre cifre dell’allineamento decimale di r. Eseguendo poi le divisioni p2/q, p3/q, . . . , pn−1/q, . . ., si ottengono tutte le cifre successive. Al passo n si ha r = c0 + c1 10 + c2 102 + c3 103 + · · ·+ cn 10n + pn 10nq . (1.2.1) L’allineamento, o rappresentazione decimale, di r è dunque dato da r = c0, c1 c2 c3 . . . cn . . . (1.2.2) Si può esprimere il numero r anche mediante la scrittura, per ora puramente formale, r = c0 + c1 10 + c2 102 + c3 103 + · · ·+ cn 10n + · · · Questa scrittura sarà precisata nel capitolo sulle serie numeriche. Poiché i resti possibili p1, p2, p3 . . . sono compresi tra 0 e q − 1, dopo al più q passi nella divisione si ripresenta uno dei resti precedenti. Da qui segue la periodicità dell’allineamento. Ad esempio, 1 3 = 0, 3, 7 44 = 0, 1590. Se il periodo è 0, cioé r = c0, c1 c2 . . . cn000 . . ., si scrive semplicemente r = c0, c1 c2 . . . cn. In tal caso l’allineamento decimale si dice finito, altrimenti si dice infinito. L’algoritmo di divisione descritto sopra non produce mai allineamenti deci- mali con periodo 9. Dimostriamo questa asserzione per i numeri periodici puri, cioé privi di antiperiodo. Si noti che questa non è una restrizione, poiché, se r ha un antiperiodo di k cifre, allora 10kr è periodico puro. Supponiamo per assurdo r = c0, 9. Poiché 0 ≤ pn < q, dalla (1.2.1) si deduce che per ogni n c0 + 9 10 + 9 102 + · · ·+ 9 10n ≤ r < c0 + 910 + 9 102 + · · ·+ 9 10n + 1 10n . Poiché 9/10 + 9/102 + · · · + 9/10n + 1/10n = 1, le diseguaglianze precedenti diventano ∀n 1− 1 10n < r − c0 < 1, o anche ∀n 0 < c0 + 1− r < 110n , il che è assurdo. L’impossibilità di ottenere allineamenti con periodo 9 dipende dall’algoritmo da noi prescelto. Altri algoritmi danno luogo ad allineamenti con periodo 9, ma escludono il periodo 0, cioè gli allineamenti finiti. Ad esempio: 1 = 0, 9. 1.3. Numeri reali e ordinamento 5 2. ∀α, β, γ ∈ R se α < β e β < γ allora α < γ. Dimostrazione. La prima proprietà è ovvia dalla definizione. Per dimostrare la seconda possiamo limitarci al caso in cui α, β, γ siano positivi, poiché gli altri casi seguono immediatamente da questo. Sia dunque α = a0, a1 a2 . . . an . . . β = b0, b1 b2 . . . bn . . . γ = c0, c1 c2 . . . cn . . . . Sia n il primo indice per cui an 6= bn e m il primo indice per cui bm 6= cm. Se n < m si ha a0 = b0 = c0, a1 = b1 = c1, . . . . . . , an−1 = bn−1 = cn−1, an < bn = cn da cui α < γ. Se invece m ≤ n si ha a0 = b0 = c0, a1 = b1 = c1, . . . . . . , am−1 = bm−1 = cm−1, am ≤ bm < cm da cui nuovamente α < γ. Come usuale, la scrittura α > β equivale a β < α e la scrittura α ≤ β significa che non è β < α. Siano α e β numeri reali, α < β. Definiamo gli intervalli di estremi α e β ponendo: [α, β] = {x ∈ R : α ≤ x ≤ β} intervallo chiuso. (α, β) = {x ∈ R : α < x < β} intervallo aperto. (1.3.6) (α, β] = {x ∈ R : α < x ≤ β} intervallo semiaperto a sinistra. [α, β) = {x ∈ R : α ≤ x < β} intervallo semiaperto a destra. Si hanno altres̀ı gli intervalli illimitati di estremo α: [α, +∞) = {x ∈ R : α ≤ x} , (α, +∞) = {x ∈ R : α < x} . (1.3.7) (−∞, α] = {x ∈ R : x ≤ α} , (−∞, α) = {x ∈ R : x < α} . (1.3.8) Anche questi intervalli si diranno chiusi o aperti, a seconda che l’estremo α appartenga o meno all’insieme. I simboli ±∞ che appaiono nelle definizioni precedenti sono puramente formali. Teorema 1.3.9 (di densità) Tra due numeri reali esistono infiniti numeri ra- zionali e infiniti numeri irrazionali. Dimostrazione. Siano α = a0, a1 a2 . . . an . . . e β = b0, b1 b2 . . . bn . . . due qualsiasi numeri positivi, con α < β. Basterà dimostrare che tra α e β esistono un razionale r e un irrazionale i, poiché il procedimento può essere ripetuto negli intervalli (α, r) e (α, i). Sia dunque n il primo indice per cui an < bn. Esiste un indice k > n tale che ak < 9. Definiamo r = a0, a1 . . . an an+1 . . . ak−1 9 6 1. Numeri reali Chiaramente α < r. Si ha anche r < β, poiché a0 = b0, a1 = b1, . . . , an−1 = bn−1, e an < bn. Si ponga ora i = a0, a1 . . . an an+1 . . . ak−1 9101001000100001 . . . Le cifre dopo la k-esima sono definite con la stessa legge che in (1.3.1): ogni 1 è seguito da uno 0 in più del precedente 1. Quindi i è irrazionale e, come prima, α < i < β. Se α e β hanno segno qualsiasi, la costruzione precedente si adatta imme- diatamente. La proprietà enunciata nel Teorema si esprime dicendo che sia l’insieme dei numeri razionali, che l’insieme dei numeri irrazionali, è denso in R. Definizione 1.3.10 Un sottoinsieme non vuoto A ⊆ R si dice limitato supe- riormente se esiste β ∈ R tale che ∀α ∈ A α ≤ β. Un tale β si dice maggiorante di A. Analogamente, un sottoinsieme non vuoto A ⊆ R si dice limitato inferiormente se esiste γ ∈ R tale che ∀α ∈ A γ ≤ α. Un tale γ si dice minorante di A. Infine, A si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente. Esempi 1.3.11 1. L’insieme degli interi negativi è limitato superiormente, ma non inferior- mente. In questo caso l’insieme dei maggioranti è l’intervallo [−1,+∞). Cos̀ı pure, l’insieme degli interi positivi è limitato inferiormente ma non superiormente. 2. Gli intervalli definiti in (1.3.6) sono limitati. Per tutti questi interval- li l’insieme dei maggioranti è [β, +∞), mentre l’insieme dei minoranti è (−∞, α]. 3. Gli intervalli in (1.3.7) sono illimitati superiormente, ma limitati inferior- mente. Gli intervalli in (1.3.8) sono illimitati inferiormente, ma limitati superiormente. L’insieme dei minoranti per i due intervalli in (1.3.7) è (−∞, α], mentre l’insieme dei maggioranti per i due intervalli in (1.3.8) è [α, +∞). Definizione 1.3.12 Un numero reale M si dice massimo di un sottoinsieme A ⊆ R se M ∈ A e α ≤ M per ogni α ∈ A. Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme A ⊆ R se m ∈ A e m ≤ α per ogni α ∈ A. 1.3. Numeri reali e ordinamento 7 Il massimo e il minimo di un insieme, se esistono, sono necessariamente unici. Chiaramente, il massimo di A è un maggiorante, e il minimo è un minorante. Tuttavia, un insieme limitato superiormente non ha necessariamente massimo, e un insieme limitato inferiormente non ha necessariamente minimo. Esempi 1.3.13 1. Un intervallo chiuso e limitato [α, β] ha come minimo α e come massimo β. L’intervallo aperto (α, β) non ha né massimo né minimo. L’intervallo [α, +∞) ha come minimo α, mentre (α, +∞) non ha minimo. 2. L’insieme limitato {1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .} ha come massimo 1, ma non ha minimo (si noti che 0 non appartiene all’insieme). 3. L’insieme A = {r ∈ Q+ : r2 < 2} (1.3.14) è non vuoto (1 ∈ A) ed è limitato superiormente (3 è un maggiorante). L’insieme A non ha massimo. Infatti, per ogni r ∈ A, poniamo: s = r + 2− r2 2 + r = 2 r + 1 r + 2 . (1.3.15) Un semplice calcolo mostra che s2 < 2 e perciò s ∈ A. D’altra parte, r < s, e quindi r non può essere il massimo di A. Analogamente B = {r ∈ Q+ : r2 > 2} (1.3.16) è limitato inferiormente ma non ha minimo. In questo caso infatti, il numero s definito in (1.3.15) soddisfa s2 > 2, e quindi appartiene a B, ma s < r. Il massimo e il minimo di un insieme A vengono indicati rispettivamente con i simboli max A, min A. L’insieme ordinato dei numeri reali è completo, nel senso precisato dal seguente teorema. Teorema 1.3.17 (di completezza) Se A è un insieme limitato superiormen- te, l’insieme dei maggioranti di A ha minimo. Se A è un insieme limitato inferiormente, l’insieme dei minoranti di A ha massimo. Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la prima affermazione, poiché la seconda si dimostra in modo del tutto analogo. Sia A limitato superiormente e denotiamo con B l’insieme dei maggioranti di A. Supponiamo dapprima che nessun elemento di B sia negativo. In tal caso l’insieme delle parti intere degli elementi di B ha minimo non negativo. Denotiamo con c0 questo minimo e poniamo B0 = {β ∈ B : la parte intera di β è c0} . 10 1. Numeri reali I simboli +∞ e −∞, introdotti nella definizione di estremo superiore e inferiore, sono di uso comune in Analisi Matematica. Aggiungendo all’insieme ordinato dei numeri reali questi simboli, si ottiene un insieme a cui è possibile estendere in modo naturale l’ordinamento definito in R. Definizione 1.3.22 Poniamo R = R ∪ {−∞,+∞}. Per ogni α reale poniamo −∞ < α < +∞. (1.3.23) L’insieme R viene chiamato R esteso. È immediato verificare che R, con la relazione < definita in (1.3.23), risulta un insieme totalmente ordinato, ossia valgono in R le proprietà 1 e 2 del Teorema 1.3.5. I concetti di maggiorante, minorante etc. si estendono in modo ovvio a R. 1.4 Partizioni di Q e di R L’insieme ordinato dei numeri razionali non è completo. Infatti, sia A = {r ∈ Q+ : r2 < 2} ∪Q− ∪ {0}, B = {r ∈ Q+ : r2 > 2}. B costituisce l’insieme dei maggioranti razionali di A, e A costituisce l’insieme dei minoranti razionali di B. Poiché B non ha minimo e A non ha massimo, in Q non vale il Teorema di completezza. I due insiemi A e B sono separati, cioè per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B si ha a < b; inoltre, Q = A ∪ B. Si dice che due insiemi non vuoti che godono di queste due proprietà costituiscono una partizione di Q. Sia γ1 ∈ R l’estremo superiore di A, e γ2 ∈ R l’estremo inferiore di B. Si ha necessariamente γ1 = γ2, altrimenti, per il Teorema di densità, esisterebbe un razionale s tale che γ1 < s < γ2. Il numero s non può appartenere ad A, poiché è maggiore di sup A, né a B, poiché è minore di inf B, assurdo. Denotiamo con γ il comune valore di γ1 e γ2. Si ha ∀a ∈ A ∀b ∈ B a < γ < b. (1.4.1) Il numero irrazionale γ si chiama elemento separatore ed è unico. Abbiamo cos̀ı costruito una partizione di Q mediante due insiemi, di cui il primo non ha massimo e il secondo non ha minimo. Questo non può accadere per una partizione di R. Teorema 1.4.2 Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che A ∪B = R. Allora esiste un unico numero reale γ tale che ∀α ∈ A ∀β ∈ B α ≤ γ ≤ β. Inoltre, o γ è il massimo di A, o γ è il minimo di B. 1.5. Operazioni tra numeri reali 11 Dimostrazione. L’insieme A è limitato superiormente, poiché ogni elemento di B è un maggiorante di A, e B è limitato inferiormente, poiché ogni elemento di A è minorante di B. Si ha sup A = inf B. Altrimenti, come nel ragionamento precedente, un numero α tale che sup A < α < inf B non potrebbe appartenere né ad A né a B, il che è assurdo. Posto γ = sup A = inf B, o γ ∈ A, nel qual caso è anche massimo di A, oppure γ ∈ B, nel qual caso è anche minimo di B. Intuitivamente, Q possiede dei ‘buchi’, che invece sono assenti nel campo reale. I numeri irrazionali provvedono a completare le lacune di Q. 1.5 Operazioni tra numeri reali Sia α = a0, a1 a2 . . . an . . . un numero reale non negativo. Poniamo α(n) = a0, a1 a2 . . . an. Il numero razionale α(n) si chiama il troncamento o troncata n-esima di α. Se, ad esempio, α = √ 2 = 1, 41421 . . ., i valori di α(n) sono successivamente 1, 1, 4, 1, 41, 1, 414,. . . Lemma 1.5.1 Sia α ≥ 0. Per ogni n ≥ 0 valgono le diseguaglianze α(n) ≤ α < α(n) + 10−n. (1.5.2) La successione dei numeri α(n) è non decrescente, cioè α(0) ≤ α(1) ≤ α(2) ≤ . . . ≤ α(n) ≤ . . . e la successione dei numeri α(n) + 10−n è non crescente, cioè α(0) + 1 ≥ α(1) + 10−1 ≥ α(2) + 10−2 ≥ . . . ≥ α(n) + 10−n ≥ . . . Si ha inoltre sup n α(n) = α = inf n ( α(n) + 10−n ) . (1.5.3) Omettiamo la dimostrazione di questo Lemma, di per sé intuitivo, poiché esso è un caso particolare del Lemma 1.9.4 dimostrato in Appendice. Basti solo osservare che la non decrescenza di α(n) è ovvia e che la non crescenza di α(n) + 10−n, si verifica immediatamente, poiché α(n) + 10−n − ( α(n+1) + 10−n−1 ) = 10−n − (an+1 + 1) 10−n−1 ≥ 0, Siano α = a0, a1 a2 . . . an . . . e β = b0, b1 b2 . . . bn . . . non negativi. Siano α(n) e β(n) i troncamenti n-esimi di α e β. L’insieme delle somme α(n) + β(n) è limitato superiormente, poiché α(n) + β(n) < (a0 + 1) + (b0 + 1). 12 1. Numeri reali Definizione 1.5.4 Per ogni α ≥ 0 e β ≥ 0 poniamo: α + β = sup n (α(n) + β(n)). (1.5.5) Poniamo inoltre α + (−β) = sup n (α(n) − β(n) − 1/10n). Infine, poniamo (−α) + (−β) = sup n (−α(n) − β(n) − 2/10n). L’eguaglianza (1.5.5) è una eguaglianza definitoria. Il simbolo + a sinistra denota la somma di due numeri reali, che viene definita per mezzo della usuale somma tra due numeri razionali che compare a destra. Siano α e β non negativi. L’insieme dei prodotti α(n)β(n) è limitato supe- riormente, poiché α(n)β(n) ≤ (a0 + 1)(b0 + 1) per ogni n. Definizione 1.5.6 Per ogni α ≥ 0 e β ≥ 0 poniamo αβ = sup n α(n)β(n). (1.5.7) Se uno dei duei numeri è negativo, poniamo αβ = − |α| |β| . Se ambedue i numeri sono negativi poniamo αβ = |α| |β| . Come nel caso della somma, l’eguaglianza in (1.5.7) è definitoria. Il prodotto di numeri reali a sinistra in (1.5.7) viene definito per mezzo del prodotto di numeri razionali che compare a destra. Definizione 1.5.8 Sia α > 0. Definiamo il reciproco di α come: α−1 = 1 α = sup n 1 α(n) + 10−n Per i numeri negativi si pone (−α)−1 = −α−1 In generale, α(n)+β(n) non è la troncata n-esima di α+β. Basta considerare l’esempio dei due numeri razionali α = 1, 91 e β = 0, 29. Questi numeri mostrano anche che in generale α(n)β(n) non è la troncata n-esima di αβ. L’operazione di somma in R gode delle seguenti proprietà: 1.7. Radici, potenze, logaritmi 15 Se n = 2k è pari, l’equazione (1.7.2) ha anche la soluzione −β. Noi riservere- mo la scrittura n √ α all’unica soluzione positiva di (1.7.2). Cos̀ı, non scriveremo√ (−2)2 = −2, bens̀ı √ (−2)2 = 2. Per un generico α ∈ R vale √ α2 = |α| . Esaminamo ora le radici dei numeri reali negativi. Sia −α ∈ R− e n ≥ 1 un intero. Innanzi tutto è chiaro che, se n = 2k è pari, non può esistere alcun β ∈ R tale che β2k = (β2)k = −α. Quindi non esistono in R le radici di indice pari dei numeri negativi. Sia α > 0. Supponiamo n = 2k + 1 dispari e sia β > 0 tale che β2k+1 = α. Allora (−β)2k+1 = −α. Il numero −β viene ancora chiamato radice n-esima di −α e viene indicato con il simbolo n √−α. Per ciò che si è detto, se n è dispari vale n √−α = − n√α. Dopo avere definito le potenze a esponente razionale αm/n, possiamo definire le potenze a esponente reale αβ , per ogni α > 0 e β ∈ R. Anzitutto notiamo che, supposto α ≥ 1, β > 0 e β ≥ m/n, l’insieme del- le potenze αm/n è limitato superiormente al variare di m/n. Infatti dato un qualsiasi intero p > β, si ha p > m/n, da cui αp > αm/n. Definizione 1.7.5 Sia α ≥ 1 e β > 0. Poniamo αβ = sup { αm/n : m n ≤ β } . Se 0 < α < 1 e β > 0 poniamo αβ = 1 (1/α)β . Se α > 0 e β > 0 poniamo α−β = 1 αβ . Infine poniamo α0 = 1. In tal modo la potenza αβ risulta definita per ogni α > 0 e β reale. Anche le potenze a esponente reale godono delle usuali proprietà delle po- tenze (si veda l’Appendice). Definiamo ora i logaritmi. Teorema 1.7.6 Sia γ > 0 e α > 0, α 6= 1. Esiste uno e un solo numero reale x tale che αx = γ. (1.7.7) 16 1. Numeri reali Definizione 1.7.8 Il numero x in 1.7.7 si chiama logaritmo di γ in base α e si scrive x = logα γ. Il Teorema 1.7.6 è dimostrato nell’appendice, dove sono anche presentate le principali proprietà dei logaritmi 1.8 Spazi euclidei Definizione 1.8.1 Sia n un intero positivo. Indichiamo con Rn l’insieme di tutte le n-uple ordinate di numeri reali x = (x1, x2, . . . , xn) , La n-upla x viene chiamata punto o vettore n-dimensionale. Il numero x1 viene chiamato prima coordinata di x, il numero x2 seconda coordinata di x, . . . ,il numero xn viene chiamato n-esima coordinata di x. In altri termini, Rn non è altro che il prodotto cartesiano di R con se stesso n volte. R1, R2 e R3 rappresentano rispettivamente la retta, il piano e lo spazio euclideo, in cui si sia fissato un riferimento cartesiano. Possiamo quindi considerare Rn come la generalizzazione alla dimensione n della retta, del piano e dello spazio cartesiano. X Y x _ x y punto in R2 x _ Z Y X x y z punto in R3 Si noti che nella definizione 1.8.1 le n-uple sono ordinate; cos̀ı, ad esempio, (1, 3,−2) 6= (3, 1,−2). Definiamo ora tre operazioni. Definizione 1.8.2 Siano x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) due vettori in Rn. Si dice somma di x e y il vettore x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) . (1.8.3) 1.8. Spazi euclidei 17 Ad esempio, in R4 (1, 1/2, √ 2, 0) + (−1, 1/2,− √ 2, 1) = (0, 1, 0, 1). Se n = 1, l’operazione definita coincide con la usuale somma di numeri reali. Definizione 1.8.4 Sia α ∈ R e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Chiamiamo prodot- to del vettore x per lo scalare α il vettore αx = (αx1, αx2, . . . , αxn) . Ad esempio, in R3 √ 2 ( 1, √ 2, 3 ) = (√ 2, 2, 3 √ 2 ) Definizione 1.8.5 Siano x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) due vettori in Rn. Si dice prodotto interno dei due vettori il numero reale ( x, y ) = x1y1 + x2y2 + · · ·xnyn = n∑ j=1 xjyj. Ad esempio in R3, se x = (3, 1, 4) e y = (1/3, 10, 2), si ha ( x, y ) = 3 · 1 3 + 1 · 10 + 4 · 2 = 19. La somma è un’operazione interna, cioè associa a due vettori di Rn un ter- zo vettore di Rn. Il prodotto per uno scalare e il prodotto interno non sono operazioni interne a Rn. Il prodotto per uno scalare è definito per una coppia costituita da un numero e un vettore, mentre il prodotto interno ha come risul- tato un numero. Nel caso n = 1, sia il prodotto per uno scalare che il prodotto interno coincidono con il consueto prodotto in R. Definizione 1.8.6 Rn, dotato delle tre operazioni ora definite, si chiama spazio euclideo n-dimensionale. Indichiamo con 0 il vettore (0, 0, . . . , 0), ‘l’origine degli assi’, e con −x il vettore (−x1,−x2, . . . ,−xn). Le operazioni di somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno, hanno le seguenti proprietà. 20 1. Numeri reali Dimostriamo ora la diseguaglianza triangolare. Si ha, ragionando come in (1.8.8) con t = 1, ||x + y||2 = (x + y, x + y) = ‖x‖2 + 2 (x, y) + ||y||2. Per la diseguaglianza di Cauchy ( x, y ) ≤ ‖x‖ ||y||, e quindi ||x + y||2 ≤ (‖x‖+ ||y||)2 . La 6 discende immediatamente dalla 5. Si ha infatti x = ( x + y )−y, e ||−y|| = ||y|| per l’omogeneità della norma. Quindi ‖x‖ ≤ ||x + y|| + ||y||, da cui ‖x‖ − ||y|| ≤ ||x + y||. (1.8.9) Scambiando i ruoli di x e y si ha anche ||y|| − ‖x‖ ≤ ||x + y||. (1.8.10) Uno dei due numeri a sinistra in (1.8.9) o in (1.8.10) coincide con ∣∣‖x‖ − ||y|| ∣∣. Il nome ‘diseguaglianza triangolare’ è dovuto al fatto che, nel piano o nello spazio, dati due punti x e y, i numeri ‖x‖, ||y|| e ||x + y|| rappresentano le lunghezze dei lati del triangolo di vertici 0, x e x+y. La somma delle lunghezze di due lati non è mai minore della lunghezza del terzo. Analoga interpretazione vale per la 6. È possibile dimostrare che in 5 e in 6 vale il segno = se e solo se esiste un numero reale α tale che x = αy. 1.9 Appendice 1.9.1 Proprietà degli estremi superiore e inferiore Elenchiamo alcune notevoli proprietà degli estremi superiore e inferiore. Alcune di esse presuppogono le proprietà di campo che verranno dimostrate nel sottopa- ragrafo successivo. Supporremo A e B limitati superiormente o inferiormente, a seconda dei casi. Indichiamo con α il generico elemento di A e con β il generico elemento di B. Si ha 1. sup(α + β) = sup α + sup β, inf(α + β) = inf α + inf β. 2. sup(αβ) = sup α sup β, inf(αβ) = inf α inf β se α e β sono positivi. 3. sup(−α) = − inf α inf(−α) = − supα. 4. sup (1/α) = 1/ inf α, inf(1/α) = 1/ sup(α) se ogni α > 0 e inf α > 0. 5. Se A ⊆ B inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ sup B. 1.9. Appendice 21 6. Se ∀α ∈ A ∃β ∈ B tale che α ≤ β, allora sup α ≤ supβ. 7. Se ∀α ∈ A ∃β ∈ B tale che α ≥ β, allora inf α ≥ inf β. Queste formule sono valide anche per insiemi illimitati, una volta che vengano aritmetizzati i simboli ±∞. Ad esempio, se sup α = +∞ allora sup(α + β) = +∞. Se α > 0 si ha sup α = +∞ se e solo se inf(1/α) = 0. La dimostrazione delle precedenti relazioni è piuttosto semplice e viene la- sciata come esercizio. Ad esempio, dimostriamo la prima eguaglianza in 1. Si ha α ≤ supα e β ≤ sup β per ogni α ∈ A e β ∈ B. Quindi l’insieme delle somme α + β ammette sup α + sup β come maggiorante, da cui sup(α + β) ≤ supα + sup β. Non può valere il segno <, altrimenti esisterebbero α e β tali che α+β > α +β per ogni α e β, assurdo. 1.9.2 Proprietà delle operazioni in R Se r e s sono due numeri razionali, il risultato della loro somma e prodotto come numeri reali coincide con quello della loro somma e prodotto nel campo razionale. Dimostriamo questa asserzione nel caso in cui ambedue i numeri siano positivi; con ovvie modificazioni, la dimostrazione vale anche negli altri casi. Sia quindi r = r0, r1r2 . . . rn . . . e s = s0, s1s2 . . . sn . . . ove i due allineamenti sono periodici. Siano r(n) e s(n) le loro troncate n-esime. Si ha per la (1.5.2) r(n) ≤ r < r(n) + 10−n e s(n) ≤ s < s(n) + 10−n da cui r + s− 2 · 10−n < r(n) + s(n) ≤ r + s. (1.9.1) Si osservi che tutte le somme precedenti sono nel campo razionale. Da (1.9.1) segue immediatamente che r + s = supn ( r(n) + s(n) ) . Per il prodotto si ragiona nella stessa maniera, osservando che al posto della (1.9.1) vale rs− (r + s)10−n − 10−2n < r(n)s(n) ≤ rs. Per una migliore comprensione delle operazioni in R introduciamo il concetto di successione che si stabilizza. Definizione 1.9.2 Sia γ1,γ2, . . . , γn . . . una successione di numeri reali positivi con allineamenti γ1 = c10, c11c12 . . . c1k . . . γ2 = c20, c21c22 . . . c2k . . . . . . . . . . . . γ2 = cn0, cn1cn2 . . . cnk . . . . . . . . . . . . 22 1. Numeri reali Diciamo che la successione si stabilizza se, per ogni indice k esiste n0 (dipen- dente in generale da k), tale che per ogni n > n0 la k-esima cifra decimale cnk di γn ha sempre lo stesso valore. Ad esempio, la sucessione γ1 = 0, 3311143 . . . γ2 = 0, 3234134 . . . γ3 = 0, 3235215 . . . γ4 = 0, 3235216 . . . . . . . . . . . . si stabilizza. Anche la successione 0, 9, 0, 99, 0, 999, 0, 9999,. . . si stabilizza, benché l’allineamento finale abbia periodo 9. Teorema 1.9.3 Se γ1,γ2, . . . , γn . . .è una successione di numeri reali positi- vi non decrescente e limitata superiormente, oppure non crescente, allora la successione si stabilizza. Dimostrazione. Supponiamo la successione non decrescente e limitata supe- riormente. Allora, la parte intera assumerà per un certo indice n0 il suo massimo valore, sia esso d0. Per i valori di n successivi a n0 si avrà sempre cn0 = d0, poi- ché γn è non decrescente. Esisterà n1, che possiamo supporre maggiore di n0, tale che la prima cifra decimale assumerà il suo valore massimo, sia esso d1. Per i valori di n successivi a n1 si avrà cn0 = d0 e cn1 = d1, poiché la successione γn è non decrescente.Cos̀ı proseguendo, al passo k esisterà nk > nk−1 > . . . > n0 tale che la k-esima cifra decimale assumerà il suo valore massimo, sia esso dk. Per n ≥ nk si avrà cn0 = d0, cn1 = d1, cn2 = d2, . . . , cnk = dk Dunque la successione si stabilizza. Se la successione è non crescente, la dimostrazione è la stessa, sostituendo ai massimi i minimi. Supponiamo che la successione dei γn sia non decrescente. Se l’allineamento d0, d1d2 . . . dn . . . non ha periodo 9, il numero δ = d0, d1d2 . . . dn . . . è l’estremo superiore della successione. Se l’allineamento è del tipo d0, d1d2 . . . dm99999 . . ., con dm < 9, l’estremo superiore è il numero razionale δ = d0, d1d2 . . . (dm + 1). Se la successione è non crescente, la costruzione del teorema mostra che l’allineamento d0, d1d2 . . . dn . . .non può avere periodo 9. Quindi, l’allineamento d0, d1d2 . . . dn . . . rappresenta sempre l’estremo inferiore della successione. Chiaramente il Teorema 1.9.3 si applica alla somma e al prodotto di numeri reali. Nella definizione di somma di due numeri reali positivi α e β, la successione γn = α(n) + β(n) è non decrescente, e quindi le cifre decimali di tale successione si stabilizzano a quelle di α + β, salvo il caso del periodo 9 notato dianzi. Ad esempio, 0, 18 + 0, 81 = 1, ma α(n) + β(n) = 0, 999 . . . 9 per ogni n > 0. 1.9. Appendice 25 Posto xn = (αβ) (n) γ(n) e yn = ( α(n) + 10−n ) ( β(n) + 10−n ) ( γ(n) + 10−n ) , si ha yn < xn + (αβ + αγ + βγ)10−n + (α + β + γ)10−2n + 10−3n. Poiché α(n)β(n) ≤ (αβ)(n), possiamo applicare il Lemma 1.9.4 per concludere che (αβ) γ = inf n ( α(n) + 10−n )( β(n) + 10−n )( γ(n) + 10−n ) . Allo stesso modo si vede che α (βγ) = inf n ( α(n) + 10−n )( β(n) + 10−n )( γ(n) + 10−n ) . Se uno o più numeri sono negativi, si passa ai valori assoluti, tenendo conto che, per due numeri reali positivi ρ e σ, si ha, per definizione di prodotto, −(ρσ) = (−ρ)σ = ρ(−σ). Proprietà 7 e 8. La 7 è evidente. Dimostriamo la 8. Possiamo limitarci al caso α > 0. Per n abbastanza grande si ha α(n) > 0. Poiché ( 1 α )(n) ≤ 1 α ≤ 1 α(n) , si ha 1 α(n) + 10−n < (( 1 α )(n) + 10−n ) ≤ 1 α(n) + 10−n. Quindi 1 < ( α(n) + 10−n ) (( 1 α )(n) + 10−n ) ≤ ( α(n) + 10−n ) ( 1 α(n) + 10−n ) . Passando all’estremo inferiore si ottiene αα−1 = 1. Proprietà 9. Supponiamo α, β, e γ non negativi. Si pone yn = ( α(n) + β(n) + 2 · 10−n )( γ(n) + 10−n ) xn = (α + β) (n) γ(n). Si osserva che yn < xn + (α + β + 2γ) 10−n + 2 · 10−2n e si applica il Lemma 1.9.4. Si ottiene (α + β) γ = inf n ( α(n) + β(n) + 2 · 10−n )( γ(n) + 10−n ) . In modo analogo si valuta αγ + βγ, arrivando cos̀ı alla tesi. Se uno o più numeri sono negativi, a seconda dei casi si passa ai moduli o si sostituisce, ad esempio α(n), con −α(n) − 10−n. 26 1. Numeri reali Proprietà 10. Sia 0 ≤ α < β. Si ha α(n) ≤ α < β < β(n) + 2 · 10−n, da cui α(n) + γ(n) < β(n) + γ(n) + 2 · 10−n. Per il Corollario 1.9.5, α + γ ≤ β + γ. (1.9.6) Se valesse l’eguaglianza in (1.9.6), sommando ad ambo i membri −γ e usando la proprietà 2 otterremmo α = β. Se uno o più i numeri sono negativi, la dimostrazione è la stessa, ad esempio sostituendo α(n) con −α(n) − 10−n. Proprietà 11. Si dimostra in maniera del tutto analoga alla proprietà 10. 1.9.3 Radici e potenze Sia α > 0 e sia n > 1 intero. Dimostriamo che esiste uno e un solo β > 0 tale che βn = α. L’unicità è banale, poiché, se ci fossero due radici distinte, β1 < β2, si avrebbe anche α = βn1 < β n 2 = α, assurdo. Dimostriamo l’esistenza. L’insieme A = {x ∈ R+ : xn < α} non è vuoto, poiché il numero α(1 + α)−1 è minore di 1 e di α, per cui ( α 1 + α )n < α 1 + α < α. Inoltre A è limitato superiormente. Infatti 1 + α è un maggiorante, poiché (1 + α)n > 1 + α > α. Poniamo β = sup A. Sia, per assurdo, βn > α. Possiamo trovare δ tale che 0 < δ < β n ( 1− α βn ) < β. Per il Lemma 1.6.1 e la scelta di δ, si ha (β − δ)n = βn ( 1− δ β )n > βn ( 1− n δ β ) > α. Abbiamo quindi trovato un maggiorante di A minore di β, assurdo. Sia ora, per assurdo, βn < α. Sia δ tale che 0 < δ < 1 nβ ( 1− β n α ) < 1 β . 1.9. Appendice 27 Ragionando come nel caso precedente, si ha ( 1 β − δ )n > 1 α , ossia βn < βn (1− βδ)n < α, Quindi β (1− βδ) è un elemento di A maggiore di β, assurdo. Questo conclude la dimostrazione. Per le potenze a esponente reale valgono le consuete proprietà. αxαy = αx+y, (αx)y = αxy, (αβ)x = αxβx 0 <α< β e x > 0 implica αx < βx 0<x < y e α > 1 implica αx < αy etc. . . . . . . . . Come esempio, dimostriamo brevemente la prima. Siano dapprima x e y razio- nali, x = m/n e y = r/s. Per la definizione di potenza a esponente frazionario si ha ( αm/nαr/s )ns = αms+rn e quindi αm/nαr/s = α(ms+rn)/ns. Passando agli estremi superiori si ha l’asserto per ogni x e y positivi. 1.9.4 Logaritmi Dimostriamo il Teorema 1.7.6. Sia γ > 0 e α > 1 e dimostriamo che l’equazione αx = γ ha una e una sola soluzione nel campo reale. L’unicità è evidente poiché, se ci fossero due soluzioni x1 < x2, si avrebbe γ = αx1 < αx2 < γ, il che è assurdo. Sia A = {y ∈ R : αy ≤ γ} . L’insieme A non è vuoto. Infatti, poniamo α = (1 + ε), ove ε > 0. Sia n ≥ 2 tale che 1 + nε > γ−1. Per il Lemma 1.6.1 si ha allora γ > (1 + ε)−n e quindi −n ∈ A. Inoltre, A è limitato superiormente. Infatti, sia n ≥ 2 tale che 1 + nε > γ. Allora, sempre per il Lemma 1.6.1, si ha γ < (1 + ε)n 30 2. Funzioni X Y y=f(x)x f X Y f f(A)A Immagine di un punto e di un insieme In particolare, f(X) si chiama codominio o coinsieme di f . Sia f : X → Y , e sia y ∈ Y . L’insieme di tutti gli x ∈ X tali che f(x) = y si chiama controimmagine di y mediante f e si indica con f−1(y). La controimmagine di y può contenere più di un punto, o può anche essere l’insieme vuoto. Se B ⊆ Y si dice controimmagine di B mediante f il sottoinsieme di X f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} . Se B non è vuoto, la controimmagine di B è l’unione delle controimmagini di tutti i suoi punti. Esempi 2.2.1 1. Sia X = Y = R, e f(x) = sin x. Allora f(R) =[−1, 1]. Si ha f−1(0) = {kπ : k ∈ Z} . Inoltre f−1(y) = ∅ se |y| > 1. 2. Sia X = Y = R e f(x) = x2. Si ha f(R) = R+ ∪ {0}. La controimmagine di 0 ha il solo elemento 0, mentre per ogni y > 0 si ha f−1(y) = {−√y,√y} . Se y < 0 si ha f−1(y) = ∅. Per ogni intervallo [a, b], si ha f−1([a, b]) =    [ √ a, √ b] ∪ [− √ b,−√a] se a ≥ 0 [− √ b, √ b] se a < 0 e b > 0 {0} se a < 0 e b = 0 ∅ se b < 0 3. Sia X = R2 e Y = R. Poniamo f(x, y) = x. Si ha f(R2) = R. La controimmagine di x ∈ R è la retta verticale passante per il punto (x, 0). Questa funzione si chiama ‘proiezione sulla prima coordinata’. 4. Sia X = Y = N, e f(n) = 2n. Si ha f(N) = 2N (l’insieme dei numeri interi positivi pari). Se m è pari f−1(m) = {m/2}, mentre se m è dispari f−1(m) = ∅. 2.2. Immagini e controimmagini 31 5. Sia X = Y = R e f(x) = x3. In questo caso f(R) = R, e, per ogni y ∈ R si ha f−1(y) = { 3 √ y } . Definizione 2.2.2 Sia f : X → Y . Valgono le seguenti definzioni. 1. La funzione f si dice suriettiva se f(X) = Y . 2. La funzione f si dice iniettiva se ∀x1, x2 ∈ X x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f(x2). 3. La funzione f si dice biunivoca se è suriettiva e iniettiva. Le funzioni degli esempi 2.2.1.1 e 2.2.1.2 non sono né suriettive, né iniettive. La funzione dell’esempio 2.2.1.3 è suriettiva, ma non iniettiva. La funzione dell’esempio 2.2.1.4 è iniettiva, ma non suriettiva. La funzione dell’esempio 2.2.1.5 è sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca. È altres̀ı ovvio che ogni funzione è suriettiva sul suo codominio. Ad esempio, la funzione f(x) = sin x è suriettiva da R a [−1, 1]. Se f : X → Y , il grafico di f si definisce come il sottoinsieme del prodotto cartesiano X×Y costituito da tutti i punti del tipo (x, f(x)). In tal modo viene generalizzato il noto concetto di grafico di una funzione reale di variabile reale. Sia f : X → Y . Indichiamo con X1, X2 e A sottoinsiemi di X e con Y1, Y2 e B sottoinsiemi di Y . Indichiamo il complementare di A in X con Ac, e il complementare di B in Y con Bc. Si hanno le seguenti proprietà di semplice dimostrazione. 1. f−1 (Y1 ∪ Y2) = f−1 (Y1) ∪ f−1 (Y2) 2. f−1 (Y1 ∩ Y2) = f−1 (Y1) ∩ f−1 (Y2) 3. f (X1 ∪X2) = f (X1) ∪ f (X2) 4. f (X1 ∩X2) ⊆ f (X1) ∩ f (X2) 5. A ⊆ f−1 (f (A)) e vale l’eguaglianza se f è iniettiva. 6. B ⊇ f((f−1 (B)) e vale l’eguaglianza se f è suriettiva. 7. f−1(Bc) = ( f−1 (B) )c 8. f (Ac) ⊆ (f (A))c se f è iniettiva; (f (A))c ⊆ f (Ac) se f è suriettiva; f (Ac) = (f (A))c se f è biunivoca. 32 2. Funzioni 2.3 Restrizione, funzione inversa, composta. Data una funzione f : X → Y , definiamo una nuova applicazione ‘restringendo’ la variabile x a un sottoinsieme dell’insieme di definizione. Definizione 2.3.1 Sia f : X → Y e sia A ⊆ X non vuoto. Si chiama restrizione di f ad A la funzione f |A : A → Y tale che ∀x ∈ A f |A(x) = f(x). A sua volta f si chiama estensione a X di f |A. La nozione di restrizione permetterà di considerare una data funzione definita solo su opportuni sottoinsiemi di X. Sia f : X → Y biunivoca. Ogni y ∈ Y è immagine di uno e un solo x ∈ X. Possiamo quindi definire una funzione da Y a X, inversa della precedente. Definizione 2.3.2 Sia f : X → Y biunivoca. La funzione inversa f−1 : Y → X è la funzione che associa a ogni y ∈ Y l’unico elemento x ∈ X tale che f(x) = y. X Y f x y f -1 Funzione inversa In altri termini, f−1 associa ad y l’unico elemento della controimmagine di y. Questo motiva l’uso del simbolo f−1, che ordinariamente è riservato alle controimmagini (ricordiamo che una controimmagine è un insieme). Se f è biunivoca, ovviamente anche f−1 è biunivoca e la sua inversa è la funzione f stessa. Quando esiste una funzione biunivoca f : X → Y , si dice che X e Y sono in corrispondenza biunivoca. π/2 −π/2 La funzione arctan(x) 2.4. Successioni. Indici 35 2.4 Successioni. Indici Denotiamo, come di consueto, con N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} l’insieme dei numeri naturali. Definizione 2.4.1 Sia X un insieme non vuoto. Una successione a valori in X è una funzione f : N→X. L’immagine f (n) dell’intero n viene abitualmente indicata con xn. Il va- lore xn si chiama termine generale o termine n-esimo della successione. La successione viene indicata mediante un allineamento x1, x2, x3, . . . xn, . . . oppure mediante uno dei simboli {xn}∞n=1 {xn}n∈N {xn} . Questi simboli vengono usati sia per denotare la successione che il suo codominio. Consideriamo ad esempio la successione a valori reali 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . , 1 n , . . . (2.4.2) In questo caso si ha xn = 1/n. Nel caso della successione, sempre a valori in R, −1, 1,−1, 1, . . . , (−1)n, . . . il termine generale è xn = (−1)n. Si può presentare il caso di funzioni f : N→ X definite solo a partire da un certo numero in poi. Ad esempio, log(n−1) è definita solo per n ≥ 2. Scrivendo successivamente i valori della funzione per n = 2, 3, 4, . . . abbiamo log 1, log 2, log 3, . . . Otteniamo cos̀ı una successione il cui primo valore è log 1 = x2, il secondo valore è log 2 = x3, il terzo valore è log 3 = x4 etc. Allo stesso modo avremo termini generali definiti a partire da 0 o da un intero negativo. Ad esempio, f(n) = 1 n + 1 è definita per n ≥ 0 e la successione dei suoi valori è data da (2.4.2). In questo caso useremo le notazioni x0, x1, x2, . . . xn, . . . {xn}∞n=0 e notazioni analoghe se il termine generale è definito per n ≥ k. La nozione di successione può essere generalizzata a funzioni definite su insiemi di qualsiasi natura. Iniziamo con tre esempi. 36 2. Funzioni Esempi 2.4.3 1. In R consideriamo la famiglia di tutti gli intervalli del tipo (0, x), ove x > 0. Possiamo indicare ciascuno di questi intervalli con Ax. 2. Nel piano cartesiano consideriamo l’insieme di tutte le semirette s uscenti dall’origine. Sia θ, 0 ≤ θ < 2π, l’angolo di cui deve ruotare (in senso antiorario) il semiasse positivo delle X per sovrapporsi a s. Associamo a ogni θ ∈ [0, 2π) la corrispondente semiretta, che verrà indicata con sθ. 3. Sia α ∈ (0, 1) un numero reale. Le sue cifre decimali possiedono un valore massimo, che denotiamo con mα. Abbiamo quindi associato ad ogni α ∈ (0, 1) un intero mα tra 0 e 9. Definizione 2.4.4 Siano I e X insiemi non vuoti. Una indicizzazione a valori in X è una funzione f : I → X. Gli elementi dell’insieme I vengono chiamati indici. L’immagine f(i) dell’indice i ∈ I si denota con xi e l’indicizzazione a valori in X si denota con il simbolo {xi}i∈I . X Y sθ θ Negli esempi precedenti gli insiemi degli indici sono rispettivamente R+, [0, 2π), (0, 1). Gli insiemi X sono rispettivamente la famiglia degli interval- li aperti con primo estremo 0, la famiglia delle semirette del piano uscenti dall’origine, l’insieme delle cifre {0, 1, 2, . . . , 9}. Possiamo ora definire le operazioni di unione e intersezione per famiglie qua- lunque di insiemi. Sia {Ai}i∈I una famiglia di sottoinsiemi di un insieme A. Poniamo ⋂ i∈I Ai = {x ∈ A : ∀i ∈ I x ∈ Ai} , ⋃ i∈I Ai = {x ∈ A : ∃i ∈ I x ∈ Ai} . 2.5. Potenza di un insieme 37 Per gli insiemi dell’esempio 2.4.3.1 si ha ⋂ x∈R+ Ax = ∅, ⋃ x∈R+ Ax = (0, +∞). Nell’esempio 2.4.3.2 si ha ⋂ θ∈[0,2π) sθ = {(0, 0)} , ⋃ θ∈[0,2π) sθ = R2. Se l’insieme degli indici è N (cioè nel caso di una successione di insiemi), si usano le notazioni +∞⋂ n=1 An, +∞⋃ n=1 An. Se l’insieme degli indici è l’insieme dei primi k naturali {1, 2, . . . , k}, si usano le notazioni k⋂ n=1 An, k⋃ n=1 An. L’unione e l’intersezione di famiglie qualsiasi di sottoinsiemi godono delle con- suete proprietà di queste operazioni. 2.5 Potenza di un insieme Definizione 2.5.1 Sia X un insieme non vuoto. Si dice che X è finito se esiste n ∈ N tale che X sia in corrispondenza biunivoca con l’insieme {1, 2, . . . , n}. Il numero n si dice potenza, o cardinalità, di X. Si noti che la potenza di un insieme finito è unica. Se X è in corrispondenza biunivoca con {1, 2, 3, . . . , n} e con {1, 2, 3, . . . , m}, allora questi due insiemi devono essere in corrispondenza biunivoca tra loro e quindi m = n. Se X = ∅ si assegna convenzionalmente a X la cardinalità 0. Definizione 2.5.2 Un insieme non vuoto si dice infinito se non è finito. Pur senza introdurre il concetto di cardinalità per insiemi infiniti, possiamo tuttavia definire la nozione di insiemi che hanno eguale cardinalità. Definizione 2.5.3 Si dice che due insiemi non vuoti X e Y sono equipo- tenti, o che hanno la stessa potenza, o la stessa cardinalità, se essi sono in corrispondenza biunivoca. In tal caso si scrive X ∼ Y . Si dice che X ha potenza, o cardinalità, maggiore di quella di Y se X non è equivalente a Y ed esiste un sottoinsieme proprio A ⊂ X tale che A ∼ Y . Osserviamo che se X ∼ Y e Y ∼ Z allora X ∼ Z Infatti, se f : X → Y è biunivoca e g : Y → Z è biunivoca, allora la funzione composta g ◦ f : X → Z è pure biunivoca per il Teorema 2.3.6. 40 2. Funzioni Supponiamo ora vera la tesi per n. Poniamo A = A1 × A2 × . . . × An e B = An+1, di modo che A1 ×A2 × . . .×An ×An+1 = A×B. Per l’ipotesi di induzione A è numerabile e quindi, come abbiamo appena visto, anche A×B è numerabile. Corollario 2.6.7 Q è numerabile. Qn è numerabile per ogni intero n ≥ 1. Dimostrazione. Ogni numero razionale si esprime, in forma non unica, come frazione p/q, ove p ∈ Z è un intero relativo e q ∈ N. Associando a p/q la coppia (p, q), l’insieme di tutte le frazioni è in corrispondenza biunivoca con Z× N, che è numerabile per il Corollario precedente. Poiché Q è un sottoinsieme infinito dell’insieme numerabile di tutte le frazioni, per il Teorema 2.6.3 Q è numerabile. Per il Corollario precedente anche Qn è numerabile. 2.7 Potenza del continuo Non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili. Questo paragrafo è dedicato alla dimostrazione del Teorema di Cantor, che asserisce che R ha potenza maggiore di N. Definizione 2.7.1 Diciamo che un insieme ha la potenza del continuo se è equipotente a R. -1 1 y = x 1− |x| 2.7. Potenza del continuo 41 Lemma 2.7.2 L’intervallo (0, 1) ha la potenza del continuo. Dimostrazione. La funzione g(x) = (x + 1)/2 applica biunivocamente (−1, 1) su (0, 1) e quindi (0, 1) ∼ (−1, 1). Basta perciò dimostrare che (−1, 1) è equipotente a R. Sia f : (−1, 1) → R definita da f(x) = x 1− |x| . Evidentemente, f(0) = 0, f(x) > 0 se 0 < x < 1 e f(x) < 0 se −1 < x < 0. Sia y ∈ R fissato. L’equazione y = x 1− |x| ammette in (−1, 1) l’unica soluzione x = y 1 + y se y > 0, x = y 1− y se y < 0. Quindi, per ogni y ∈ R esiste uno e un solo x ∈ (−1, 1) tale che f(x) = y, cioè f è biunivoca. È chiaro che, con ragionamento analogo, si dimostra che ogni intervallo (a, b) ha la potenza del continuo. Teorema 2.7.3 (di Cantor) R ha potenza maggiore di N. Dimostrazione. Basta dimostrare che l’intervallo (0, 1) non è numerabile. Questo implica, per il Lemma 2.7.2, che neppure R è numerabile. Inoltre, poiché N ⊂ R, per la definizione 2.5.3 si ha che la cardinalità di R è maggiore di quella di N. Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i punti di (0, 1) si possano di- sporre in successione, sia essa {xn}∞n=1. Ogni elemento della successione ha una rappresentazione decimale x1 = 0, c11 c12 c13 . . . c1n . . . x2 = 0, c21 c22 c23 . . . c2n . . . x3 = 0, c31 c32 c33 . . . c3n . . . . . . . . . . . . xn = 0, cn1 cn2 cn3 . . . cnn . . . . . . . . . . . . (2.7.4) Costruiamo ora un numero reale x ∈ (0, 1) che non coincide con nessuno degli xn. Definiamo la prima cifra decimale c1 in modo che c1 6= c11, c1 6= 0, c1 6= 9. Definiamo c2 in modo tale che c2 6= c22, c2 6= 9. 42 2. Funzioni Definiamo c3 in modo che c3 6= c33, c3 6= 9. Al passo n definiamo cn in modo che cn 6= cnn, cn 6= 9. Ad esempio, possiamo scegliere cn = 2 se cnn = 1, e cn = 1 se cnn 6= 1. Il numero x = 0, c1 c2 c3 . . . cn . . . è positivo poiché c1 6= 0, ed è minore di 1 perché la sua parte intera è 0. Tuttavia x differisce da tutti i numeri xn in (2.7.4), poiché, per ogni n, si ha cn 6= cnn. Siamo cos̀ı arrivati a un assurdo. Corollario 2.7.5 L’insieme I dei numeri irrazionali non è numerabile. Dimostrazione. Altrimenti R = Q ∪ I sarebbe numerabile. Ulteriori risultati sulla potenza degli insiemi sono contenuti in Appendice. 2.8 Appendice 2.8.1 Le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano Come abbiamo affermato nel primo paragrafo di questo capitolo, la nozione di funzione si può definire tramite quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano. La definizione consiste nell’identificazione di una funzione con il suo grafico. Siano X e Y due insiemi non vuoti, e sia F un sottoinsieme del prodotto cartesiano X × Y con la seguente proprietà: per ogni x ∈ X esiste uno e un solo y ∈ Y tale che (x, y) ∈ F . Diciamo allora che F definisce una funzione f : X → Y . Per ogni x ∈ X l’unico elemento y tale che (x, y) ∈ F viene indicato con il simbolo funzionale f(x). 2.8.2 Proprietà degli insiemi infiniti Lemma 2.8.1 Sia X un insieme infinito. Allora a) X contiene un insieme numerabile N tale che N c è infinito b) Per ogni insieme numerabile N ⊆ X tale che N c è infinito, X è equipotente a N c. Dimostrazione. a) Sia x1 ∈ X qualsiasi. Poiché X non è finito, esiste x2 ∈ X tale che x2 6= x1. Analogamente, esiste x3 ∈ X distinto da x1 e x2. Per ogni n, dati x1,x2, x3, . . . , xn a due a due distinti, esiste xn+1 ∈ X distinto dai precedenti. Quindi X contiene l’insieme numerabile N = {x1x2, x3, . . . , xn, . . .}. Se N c non è infinito, basta sostituire N con la successione x2x4, x6, . . . , x2n, . . . degli elementi di indice pari. 2.8. Appendice 45 Corollario 2.8.7 Se X è finito con cardinalità n, P(X ) ha cardinalità 2n. Dimostrazione. Basta dimostrare che l’insieme delle funzioni da X a {0, 1} ha cardinalità 2n. Al primo elemento di X possono corrispondere due valori, 0 o 1; al secondo elemento due valori, 0 o 1; al terzo elemento ancora due valori etc. Quindi, per i primi due elementi ci sono 4 scelte possibili, per i primi 3 elementi 8 scelte possibili, per i primi n elementi 2n scelte possibili. In base alla proprietà espressa dal Corollario, per l’insieme delle parti di X viene anche usata la notazione 2X . Abbiamo dimostrato che il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è nu- merabile. Una simile affermazione vale anche per la potenza del continuo. Teorema 2.8.8 Rn è equipotente a R. Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema per semplicità nel caso n = 2, ma la dimostrazione si estende in modo ovvio. Sia X l’insieme di tutti gli allineamenti di cifre 0 e 1. Per il Teorema 2.8.4 X ∼ R. Chiaramente X×X ∼ R×R. Basta quindi dimostrare che X×X ∼ X. Siano x e y appartenenti a X. Poniamo x = a1 a2 . . . an . . . y = b1 b2 . . . bn . . . ove an e bn sono 0 o 1. Definiamo f : X × X → X associando alla coppia ordinata (x, y) l’allineamento in cui le cifre dispari sono quelle di x e le cifre pari quelle di y. Poniamo cioè f(x, y) = a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . an bn . . . Dimostriamo che f è biunivoca. La funzione f è iniettiva. Infatti, se f(x, y) = f (x̃,ỹ), si ha a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . = ã1 b̃1 ã2 b̃2 ã3 b̃3 . . . Ne segue an = ãn e bn = b̃n per ogni n, cioè x = x̃ e y = ỹ. La funzione è anche suriettiva. Infatti, assegnato z = c1 c2 c3 c4 . . . c2n−1 c2n . . . , si ha z = f(x, y), con x = c1 c3 c5 . . . c2n−1 . . . y = c2 c4 c6 . . . c2n . . . . Capitolo 3 Spazi Metrici 3.1 Introduzione Gli spazi metrici costituiscono un capitolo della topologia, una delle grandi teorie unificanti della matematica moderna. Molti dei concetti presentati in questo capitolo sono concetti topologici, che noi ci limiteremo a studiare nel contesto metrico. La nozione di distanza appare nella matematica in svariati contesti analitici e geometrici. La teoria degli spazi metrici, nata all’inizio del secolo XX, fornisce un ambito astratto e unitario per la trattazione di questa nozione. 3.2 Definizione ed esempi Definizione 3.2.1 Sia X 6= ∅ e sia d : X ×X → R. Si dice che (X, d) è uno spazio metrico se sono soddisfatte le seguenti condizioni: 1. ∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0 2. ∀x, y ∈ X d(x, y) = 0 se e solo se x = y 3. ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) (proprietà di simmetria) 4. ∀x, y, z ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (diseguaglianza triangolare) La funzione d si chiama metrica o distanza su X. Si dice anche che X è metricizzato tramite d. Gli elementi x ∈ X vengono chiamati punti dello spazio metrico. Esempi 3.2.2 1. Sia X = R e d(x, y) = |x− y|. Le proprietà 1–4 sono immediatamente verificate. 47 50 3. Spazi Metrici p q dC(p,q)=||p-q|| d(p,q) –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 p q Distanza nel cerchio e sulla sfera il concetto di curva di lunghezza minima (chiamata geodetica) che unisce due punti. In tal caso, si definisce distanza di due punti della superficie la lunghezza della geodetica che li unisce. Un altro esempio elementare di questo tipo di superfici è il cilindro infinito. 8. Sia f : R→ R una funzione iniettiva. Poniamo, per ogni coppia di numeri reali x, y, df (x, y) = |f(x)− f(y)|. Si riconosce facilmente che le proprietà 1–4 della definizione 3.2.1 sono verificate. La distanza euclidea in R si può considerare una distanza di questo tipo, qualora si ponga f(x) = x. x y f(x) f(y) La distanza df in R 9. Sia X l’insieme di tutte le funzioni limitate f : [0, 1] → R, cioè tali che supx |f(x)| < +∞. La differenza di due funzioni in X è ancora limitata, poiché sup x |f(x)− g(x)| ≤ sup x |f(x)|+ sup x |g(x)| < +∞. Poniamo d(f, g) = sup x |f(x)− g(x)| . 3.3. Intorni 51 È immediato verificare che le proprietà 1–4 nella definizione di spazio metrico sono soddisfatte. 10. In ogni insieme non vuoto X può essere definita una metrica. Poniamo, per ogni x, y ∈ X, d(x, y) = { 0 se x = y 1 se x 6= y Le proprietà 1–3 della metrica sono immediate. Dimostriamo che vale la diseguaglianza triangolare. Siano x, y, z elementi di X, non necessaria- mente distinti. Se x = y, allora d(x, y) = 0 ≤ d(x, z) + d(y, z). Se x 6= y, allora deve valere almeno una delle due relazioni: x 6= z, oppure y 6= z. Quindi d(x, y) = 1 ≤ d(x, z) + d(y, z). La metrica ora descritta si chiama metrica discreta e (X, d) si chiama spazio metrico discreto. 3.3 Intorni Quando si sia definito il concetto di distanza in un insieme, la nozione più naturale ad essa associata è quella di ‘cerchio’ di centro e raggio assegnato. Definizione 3.3.1 Sia (X, d) uno spazio metrico. Sia p ∈ X e r > 0. Si chiama intorno circolare (o semplicemente intorno) di p di raggio r l’insieme B(p, r) = {x ∈ X : d(p, x) < r} . Il punto p si chiama centro dell’intorno. Esempi 3.3.2 1. Sia X = R con la metrica euclidea. In questo caso B(p, r) = {x ∈ R : |p− x| < r} . Poiché la diseguaglianza |p− x| < r equivale a p− r < x < p + r, l’intorno B(p, r) coincide con l’intervallo aperto (p− r, p + r). 2. Se X = R2 o X = R3 (ambedue con la metrica euclidea) B(p, r) è rispet- tivamente: il cerchio con centro p e raggio r, privato della circonferenza; la sfera con centro p e raggio r, privata della superficie sferica. In Rn l’in- torno B(p, r) è la generalizzazione al caso n-dimensionale di queste figure geometriche. 52 3. Spazi Metrici 3. Consideriamo la metrica d∞ in Rn, limitandoci per semplicità a n = 2. Gli intorni circolari dell’origine 0 nella metrica d∞ sono gli insiemi B(0, r) = { (x, y) ∈ R2 : max (|x| , |y|) < r} . In altri termini, (x, y) ∈ B(0, r) se e solo se −r < x < r e −r < y < r. Quindi B(0, r) coincide con il quadrato, privato dei lati, con centro in (0, 0) e semilato r, con lati paralleli agli assi. Gli intorni B(p, r) del generico punto p del piano sono i quadrati, privati dei lati, con centro in p e lato 2r. In R3 gli intorni in questa metrica sono dei cubi privati delle facce. 4. In R2 con la metrica d1 gli intorni dell’origine sono gli insiemi B(0, r) = { (x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < r} . Quindi, B(0, r) è l’insieme del piano limitato dalle quattro rette y = ±x + r, y = ±x− r. (3.3.3) Tale insieme è un quadrato, privato dei lati, centrato nell’origine e avente gli assi cartesiani come rette diagonali. Poiché le rette (3.3.3) intercetta- no le coordinate ±r sugli assi, la lunghezza del lato è r√2. Gli intorni del generico punto p ∈ R2 si ottengono da quelli dell’origine mediante traslazione. r r -r -r 0 r r -r -r 0 Intorni di (0, 0) nelle metriche d∞ e d1 5. Gli intorni in un sottospazio metrico (Y, dY ) di uno spazio metrico (X, d) sono esattamente le intersezioni degli intorni nello spazio ambiente X con Y . Infatti, per ogni p ∈ Y indichiamo con BY (p, r) l’intorno di p nel sottospazio (Y, dY ). Si ha BY (p, r) = {y ∈ Y : dY (p, y) < r} = {y ∈ Y : d(p, y) < r} = B(p, r) ∩ Y . Ad esempio, sia X = R con la metrica euclidea e Y = [0, +∞). Gli intorni di 0 nel sottospazio Y , con la metrica indotta, sono gli intervalli [0, r) = Y ∩ (−r, r). Se p > 0, gli intorni di p in (Y, dY ) sono gli intervalli (p− r, p + r) se p− r ≥ 0 [0, p + r) se p− r < 0. 3.4. Classificazione dei punti 55 Esempi 3.4.2 1. In ogni spazio metrico (X, d), l’insieme X ha solo punti interni. D’altro lato, ogni punto è esterno all’insieme vuoto ∅. 2. Sia A = (a, b) ⊂ R. Ogni punto p ∈ (a, b) è interno. Infatti, se r < min(p− a, b− p), B(p, r) = (p − r, p + r) ⊂ (a, b). In questo caso Ac = (−∞, a] ∪ [b,+∞), ma i punti esterni sono tutti e soli i punti p tali che p < a oppure p > b. I punti a e b sono di frontiera. Analogamente, se A = [a, b], o A = [a, b), o A = (a, b], si ha Å = (a, b) e ∂A = {a, b}. 3. Sia A = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}. In questo caso Å = A e ∂A = ∂Ac = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} . L’insieme dei punti esterni è { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1} . Analoghe considerazioni si possono applicare ad altre figure geometriche piane o spaziali. Ad esempio, un poligono convesso in R2 ha l’insieme dei lati come frontiera e come interno i punti della figura che non appartengono ai lati. 4. In un qualunque spazio metrico (X, d) i punti di un intorno circolare B(p, s) sono interni. Infatti, sia x ∈ B(p, s). L’intorno di x di raggio r < s− d(p, x) è contenuto in B(p, s), poiché, per ogni y ∈ B(x, r), si ha d(p, y) ≤ d(p, x) + d(x, y) < d(p, x) + s− d(p, x) = s. p x y r s Tutti punti di un intorno sono interni 56 3. Spazi Metrici 5. Sia A = Q ⊂ R e sia p ∈ Q. Ogni intervallo (p− r, p + r) contiene infiniti razionali e infiniti irrazionali. Quindi p ∈ ∂Q. Denotiamo con I = Qc l’insieme degli irrazionali. Se x ∈ I, ogni intervallo (x − r, x + r) contiene infiniti razionali e infiniti irrazionali. Quindi si ha pure x ∈ ∂Q. Poiché la frontiera di un insieme e del suo complementare coincidono, si ha ∂Q = ∂I = R. 6. Sia A = B(p, s). Abbiamo visto nell’esempio 3.4.2.3 che in Rn, dotato della metrica euclidea, si ha ∂A = {y ∈ Rn : d(p, y) = s} e i punti esterni sono quelli che hanno da x distanza maggiore di s. In uno spazio metrico generico ciò non è sempre vero. Se (X, d) è uno spazio metrico discreto B(p, 1) = {p} e l’insieme dei punti {y ∈ X : d(p, y) = 1} è Ac. D’altra parte, ogni punto x ∈ Ac è esterno, poiché B(z, 1) = {z} ⊆ Ac. In questo caso ∂A = ∅ e {y ∈ X : d(x, y) > 1} = ∅. Studiamo ora un altro tipo di classificazione dei punti. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. Se un punto p non è esterno ad A, ogni suo intorno ha intersezione non vuota con A. Ci sono due possibilità: o ogni intorno di p contiene un punto di A diverso da p, oppure esiste un intorno di p in cui l’unico punto di A è p stesso. Definizione 3.4.3 Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X un suo sottoinsieme. Un punto p ∈ X si dice 1. di accumulazione per A se ∀r ∃x 6= p tale che x ∈ B(p, r) ∩A; 2. isolato in A se ∃r B(p, r) ∩A = {p}. Dalla definizione si ha che un punto isolato appartiene necessariamente ad A. Invece un punto di accumulazione può appartenere o ad A o ad Ac, come apparirà chiaro dagli esempi. L’insieme dei punti di accumulazione di A si indica con A′ e si chiama insieme derivato di A. Teorema 3.4.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X. Un punto p è di accumulazione per A se e solo se ogni suo intorno contiene infiniti punti di A. 3.4. Classificazione dei punti 57 Dimostrazione. Sia p di accumulazione per A e supponiamo, per assurdo, che esista un intorno B(p, s) contenente un numero finito di punti di A. Denotia- mo tali punti con x1, x 2, . . . , xn, omettendo il punto p stesso nel caso che esso appartenga ad A. Sia 0 < r < min (d(p, x1), d(p, x2), . . . , d(p, xn)) . Allora, l’intorno B(p, r) non può contenere nessun punto di A diverso da p, assurdo. Corollario 3.4.5 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X un sottoinsieme finito. Allora A′ = ∅. Esempi 3.4.6 1. Sia A = (a, b) ⊂ R. Tutti i punti di (a, b) sono di accumulazione per A. Anche gli estremi a e b sono di accumulazione. Quindi A′ = [a, b]. Non ci sono punti isolati. Se A = [a, b], oppure A è un intervallo semiaperto, si ha ancora A′ = [a, b]. 2. Sempre in R con la metrica euclidea, consideriamo l’insieme A = { 1, 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n , . . . } . Ogni punto di A è isolato. Infatti, per n = 1 l’intorno B(1, s), con s < 1/2, contiene solo il punto 1 di A. Per n = 2, l’intorno B(1/2, s), con s < 1/6, contiene solo il punto 1/2 di A. Per n generico sia 0 < s < 1 n − 1 n + 1 = 1 n(n + 1) . L’intorno B(1/n, s) contiene solo il punto 1/n di A. 10 ) 1_ 3 1_ 2 1_ n ( ) r 1_ 2 1_ 2 +s-s A = {1 , 1/2 , 1/3 , . . . , 1/n, , . . .}, A′ = {0} Il punto 0 è di accumulazione. Infatti, assegnato ad arbitrio r > 0, per ogni n > 1/r i punti 1/n appartengono a B(0, r). È anche chiaro che non ci sono altri punti di accumulazione. Quindi A′ = {0}. 60 3. Spazi Metrici Teorema 3.5.4 Se A ⊆ R è un insieme chiuso e limitato superiormente, allora sup A ∈ A. Se A è chiuso e limitato inferiormente, allora inf A ∈ A. Dimostrazione. Sia p = sup A. Per ogni r > 0, deve esistere x ∈ A tale che p − r < x ≤ p, altrimenti p non sarebbe il minimo dei maggioranti. In altri termini, per ogni r > 0 esiste x ∈ A tale che x ∈ B(p, r). Quindi p non è esterno ad A. Perciò, o p è isolato, nel qual caso appartiene ad A, o p è di accumulazione, nel qual caso, essendo A chiuso, appartiene ancora ad A. Una analoga dimostrazione vale per l’estremo inferiore. Teorema 3.5.5 Sia (X, d) uno spazio metrico e {Ai}i∈I una famiglia qualun- que di sottoinsiemi aperti di X. Allora a) A = ⋃ i∈I Ai è aperto. b) Se la famiglia è finita, sia essa {A1, A2, . . . , An}, allora, A = n⋂ i=1 Ai è aperto. Dimostrazione. a) Dimostriamo che ogni p ∈ A è interno ad A. Esiste un indice i0 ∈ I tale che p ∈ Ai0 . Poiché Ai0 è aperto, p è interno a Ai0 . Quindi esiste r tale che B(p, r) ⊆ Ai0 . Si ha B(p, r) ⊆ Ai0 ⊆ ⋃ i∈I Ai. Quindi p è interno ad A. b) Sia p ∈ ∩ni=1Ai. Poiché ogni Ai è aperto, per ogni i = 1, . . . , n esiste ri > 0 tale che B(p, ri) ⊆ Ai. Sia r = mini ri. Allora, per ogni i = 1, . . . , n, si ha B(p, r) ⊆ B(p, ri) ⊆ Ai. Ne segue B(p, r) ⊆ n⋂ i=1 Ai e quindi p è interno all’intersezione. In generale l’intersezione di infiniti aperti non è un insieme aperto. Ad esempio, sia Ak = (−1/k, 1), k ∈ N. Si ha ∩∞k=1Ak = [0, 1), che non è aperto né chiuso. Teorema 3.5.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e {Ai}i∈I una famiglia qualun- que di sottoinsiemi chiusi di X. Allora 3.5. Insiemi aperti, chiusi, limitati 61 a) A = ⋂ i∈I Ai è chiuso. b) Se la famiglia è finita, sia essa {A1, A2, . . . , An}, allora A = n⋃ i=1 Ai è chiuso. Dimostrazione. a) Passando ai complementari, si ha che ogni Aci è aperto. Si ha inoltre Ac = (⋂ i∈I Ai )c = ⋃ i∈I Aci . Per il Teorema precedente Ac è aperto e quindi A è chiuso. b) Si dimostra nella stessa maniera. L’unione di infiniti chiusi in generale non è un insieme chiuso. Ad esempio, se Ak = [1/k, 1], ove k ∈ N, si ha ∪∞k=1Ak = (0, 1], che non è chiuso né aperto. Definizione 3.5.7 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. Si chiama chiusura di A l’insieme A = A ∪A′. La chiusura di un insieme è il ‘più piccolo’ chiuso che contiene l’insieme, nel senso chiarito dal seguente Teorema. Teorema 3.5.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. a) A è un insieme chiuso. b) Se F è un insieme chiuso tale che F ⊇ A, allora F ⊇ A. c) Se A è chiuso, allora A = A. d Se A ⊇ B, allora A ⊇ B. Dimostrazione. a) Mostriamo che ogni punto di accumulazione di A appar- tiene a A. Se p è un punto di accumulazione per A ∪ A′, allora p deve essere di accu- mulazione per almeno uno dei due sottoinsiemi. Se p è di accumulazione per A, allora p ∈ A′. Se p è di accumulazione per A′, ogni intorno B(p, r) deve contenere un punto x ∈ A′. Poiché B(p, r) è aperto, esiste s > 0 tale che B(x, s) ⊂ B(p, r). Poiché B(x, s) contiene infiniti punti di A, lo stesso vale per B(p, r). Quindi, di nuovo, p ∈ A′. b) I punti di accumulazione di A sono anche punti di accumulazione di F . Poiché F è chiuso, si ha F ⊇ A ∪A′. c) Segue da b). d) Poiché A ⊇ B, la tesi segue da a) e b). 62 3. Spazi Metrici Esempi 3.5.9 1. In R sia A = (a, b)̇, oppure A = [a, b), oppure A = (a, b]. Per tutti questi intervalli si ha A = [a, b]. 2. Sia A = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} ⊂ R. Si ha A = A ∪ {0} . 3. In Rn si ha (si confronti con l’esempio 3.5.3.5) B(p, r) = {x ∈ Rn : ||p− x|| ≤ r} . 4. Se A = Q, si ha Q = R. Nel capitolo I abbiamo definito la nozione di sottoinsieme limitato di R mediante la relazione d’ordine per i numeri reali. Benché uno spazio metrico generico non sia un insieme ordinato, il concetto di insieme limitato si può definire mediante la distanza. In R, dotato della metrica euclidea, la definizione metrica che ora enunciamo è coerente con la definizione basata sull’ordinamento. Definizione 3.5.10 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X, A non vuoto. Si dice diametro di A la quantità diam A = sup x,y∈A d(x, y). Se diam A < +∞, si dice che A è limitato. Esempi 3.5.11 1. Nel caso di figure geometriche elementari, piane o spaziali, il diametro appena definito coincide con la usuale nozione di diametro. 2. Sia A ⊂ R non vuoto e limitato, sia superiormente che inferiormente. Allora diam A = sup A− inf A. Quindi A è limitato anche secondo la nuova definizione. 3. In uno spazio metrico discreto il diametro di qualunque insieme con almeno due punti è 1. Teorema 3.5.12 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X non vuoto. Allora a) diam A = 0 se e solo se A è un singleton. b) Se A ⊆ B allora diam A ≤ diam B. c) diam A = diam A. 3.6. Compattezza 65 Nell’esempio 3.6.2.2 precedente, la famiglia { A0, A1/2, A1 } è una sottoco- pertura finita estratta dalla copertura {Ax}x∈[0,1] di E. Infatti [0, 1] ⊂ (−1/2, 1/2) ∪ (0, 1) ∪ (1/2, 3/2). Definizione 3.6.4 Sia (X, d) uno spazio metrico. Un insieme E ⊆ X si dice compatto se da ogni copertura aperta di E si può estrarre una sottocopertura finita. Esempi 3.6.5 1. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E = {x} un singleton. Si vede fa- cilmente che E è compatto. Infatti, sia {Ai}i∈I una copertura aperta di E. Allora x ∈ ∪i∈IAi. Quindi esiste un insieme Ai1 della famiglia tale che x ∈ Ai1 . In questo caso la sottofamiglia {Ai1} costituita dal singolo aperto Ai1 è una sottocopertura finita di E. Analogamente, se E = {x1, x2} ha due elementi, e se {Ai}i∈I è una co- pertura aperta di E, devono esistere Ai1 e Ai2 tali che x1 ∈ Ai1 , x2 ∈ Ai2 . Quindi {x1, x2} ⊆ Ai1 ∪Ai2 . La famiglia {Ai1 , Ai2} è una sottocopertura finita di E. In modo analogo si dimostra che ogni insieme finito in X è compatto. 2. Sia E = (0, 1) e siano An = (1/n, 1−1/n) gli insiemi della copertura aperta di E dell’esempio 3.6.2.1. Dalla famiglia {An}∞n=3 non si può estrarre nessuna sottocopertura finita. Infatti n⋃ k=3 Ak non contiene i punti degli intervalli (0, 1/n) e (1 − 1/n, 1). Quindi (0, 1) non è compatto. 3. Sia (X, d) metrico discreto e sia E ⊆ X infinito. Allora E non è compatto. Infatti, {B(x, 1/2)}x∈E è una copertura aperta di E. Ogni insieme della copertura è il singleton {x}. Quindi nessuna sottofamiglia finita può essere una sottocopertura di E. Teorema 3.6.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X non vuoto. Se E è compatto, allora: a) E è limitato. b) E è chiuso. 66 3. Spazi Metrici c) Per ogni sottoinsieme infinito A ⊆ E, si ha A′ 6= ∅. Dimostrazione. a) Consideriamo la copertura aperta di E costituita dagli intorni di raggio 1 dei punti di E, cioè. {B(p, 1)}p∈E . Per la compattezza di E si può estrarre una sottocopertura finita. Quindi esi- stono n punti di E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che la famiglia {B(p1, 1), B(p2, 1) . . . , B(pn, 1)} è una sottocopertura finita, cioè E ⊆ n⋃ k=1 B(pk, 1). Poniamo δ = max {d(pi, pj) : 1 ≤ i, j ≤ n} . Siano x, y ∈ E. Esistono due centri pi e pj tali che d(x, pi) < 1, d(y, pj) < 1. Ne segue d(x, y) ≤ d(x, pi) + d(pi, pj) + d(pj , y) < 2 + δ. Quindi diam E ≤ 2 + δ. b) Dimostriamo che Ec è aperto. Sia y ∈ Ec e poniamo, per ogni p ∈ E, r(p) = 1 3 d(y, p) > 0. La famiglia di tutti gli intorni B(p, r(p)) è una copertura aperta di E. Per la compattezza di E, si può estrarre una sottocopertura finita. Quindi esistono n punti di E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che E ⊆ n⋃ k=1 B(pk, r(pk)). Sia r = mink r(pk). Per ogni x ∈ E esiste pk tale che d(pk, x) < r(pk). Quindi d(y, x) ≥ d(y, pk)− d(pk, x) > 3r(pk)− r(pk) = 2r(pk) ≥ 2r. Quindi B(y, r) ∩ E = ∅, cioè y è interno ad Ac. 3.6. Compattezza 67 c) Se, per assurdo, A′ = ∅, nessun p ∈ E è di accumulazione per A. Quindi, per ogni p ∈ E esiste un intorno B(p, r(p)) tale che B (p, r(p)) ∩ A è vuoto o finito. Poiché la famiglia{B (p, r(p))}p∈E è una copertura aperta di E, per la com- pattezza di E si può estrarre una sottocopertura finita. Quindi esistono n punti di E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che A ⊆ E ⊆ n⋃ k=1 B(pk, r(pk)). (3.6.7) L’unione a destra in (3.6.7) può contenere al più un numero finito di elementi di A, contro l’ipotesi che A sia infinito. Si noti che se E è compatto e A ⊆ E, ogni punto di accumulazione di A è anche punto di accumulazione di E. Poiché E è chiuso, A′ ⊆ E. In generale, un sottoinsieme chiuso e limitato non è necessariamente compat- to. Ad esempio, sia (X, d) uno spazio metrico discreto e sia X infinito. Allora, X è chiuso e limitato, ma non compatto. La proprietà c) è non solo necessaria, ma anche sufficiente per la compattezza di E. Vale infatti il seguente Teorema, la cui dimostrazione esula però dagli scopi di questo libro. Teorema 3.6.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Condizione ne- cessaria e sufficiente affinché E sia compatto è che ogni sottoinsieme infinito di E abbia almeno un punto di accumulazione in E. Teorema 3.6.9 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X compatto. Sia F ⊆ E un sottoinsieme chiuso. Allora F è compatto. Dimostrazione. Sia {Ai}i∈I una copertura aperta di F . Denotiamo con F c il complementare di F in X. Poiché F ⊆ ⋃ i∈I Ai, si ha anche E ⊆ X = ⋃ i∈I Ai ∪ F c. Quindi la famiglia {Ai, F c}i∈I è una copertura aperta di E. Esiste perciò una sottocopertura finita di E estratta da questa famiglia. A questa sottocopertura finita possiamo aggiungere F c, qualora già non vi appartenga. Quindi F ⊆ E ⊆ n⋃ k=1 Aik ∪ F c. 70 3. Spazi Metrici Definizione 3.8.3 Sia (X, d) uno spazio metrico, e sia E ⊆ X non vuoto. Si dice che E è connesso se non esistono due insiemi A e B non vuoti e separati tali che E = A ∪B. A B A B A B A B E = A ∪B non connesso E = A ∪B connesso I sottoinsiemi connessi di R hanno una semplice caratterizzazione. Teorema 3.8.4 Sia E ⊆ R, dotato della metrica euclidea. L’insieme E è con- nesso se e solo se E è un singleton oppure un intervallo (di qualsiasi tipo). Dimostrazione. Se E = {p} è un singleton, allora E è connesso. Sia E un intervallo e supponiamo, per assurdo, che esistano A e B non vuoti e separati tali che A ∪ B = E. Siano a ∈ A e b ∈ B, con, ad esempio, a < b. Poiché E è un intervallo, ogni punto di [a, b] appartiene ad A oppure a B. Poniamo p = sup {x : x ∈ A ∩ [a, b]} . Il punto p non può appartenere a B, poiché p appartiene a A, per il Teorema 3.5.4. Quindi p ∈ A. Ne segue p < b e (p, b] ⊆ B. Ma allora p ∈ B, assurdo. Viceversa, supponiamo E connesso. Dimostriamo che se E non è un single- ton, allora E deve essere un intervallo. Ragioniamo per assurdo. Se E non è un intervallo devono esistere tre numeri x < z < y tali che x ∈ E, y ∈ E ma z /∈ E. Poniamo A = (−∞, z) ∩ E, B = E ∩ (z, +∞). A e B non sono vuoti, poiché x ∈ A e y ∈ B. Essi sono separati, poiché lo sono gli intervalli (−∞, z) e (z, +∞). Chiaramente A ∪ B = E. Quindi E non è connesso, assurdo Esempi 3.8.5 1. In ogni spazio metrico (X, d) ogni insieme finito E = {x1, . . . , xn}, con n ≥ 2, non è connesso. Infatti, basta porre A = {x1} e B = {x2, . . . , xn}. Più generalmente, se E ha un punto isolato p, allora non è connesso. Infatti, basta porre A = {p} e denotare con B il complementare di A in E. Il singleton {p} è chiuso, cosicché A ∩ B = ∅. Inoltre, poiché p non può essere di accumulazione per B, si ha A ∩B = ∅. 3.9. R come spazio metrico 71 2. È intuitivo che ogni poligono convesso nel piano e ogni poliedro convesso nello spazio è connesso. Più in generale, in R2 e in R3 ogni figura convessa (cioè tale che, se contiene due punti, allora contiene anche il segmento che li unisce) è connessa. I cerchi e le sfere sono connessi. Analogamente, ogni intorno circolare in Rn è connesso. 3.9 R come spazio metrico Sia, secondo la definizione del capitolo 1, R = R∪{−∞, +∞}. In questo pa- ragrafo ci proponiamo di definire una metrica in R, la cui restrizione a R è equivalente, nel senso precisato nell’Appendice, alla metrica euclidea. A questo scopo consideriamo la funzione g(x) = x 1 + |x| . Essa applica biunivocamente R su (−1, 1). Infatti, per ogni y ∈ (−1, 1) l’equa- zione y = x 1 + |x| ha l’unica soluzione x = y 1− |y| . In particolare, g è la funzione inversa della funzione f introdotta nel paragrafo 2.7 per dimostrare il Teorema di Cantor. 1 -1 La funzione g(x) = x 1 + |x| Estendiamo g a R ponendo g(+∞) = 1, g(−∞) = −1 Questa estensione applica biunivocamente R su [−1, 1]. 72 3. Spazi Metrici Definizione 3.9.1 Per ogni x, y ∈ R poniamo d∗(x, y) = |g(x)− g(y)| . È immediato verificare che d∗ è una metrica su R tale che diamR = diamR = d∗(−∞, +∞) = 2. È interessante notare che se x e p sono due numeri reali non negativi, si ha g(x) = 1− 1 x + 1 , g(p) = 1− 1 p + 1 e quindi d∗(x, p) = ∣∣∣∣ 1 1 + x − 1 1 + p ∣∣∣∣ . (3.9.2) In questo caso distanza d∗ è la distanza euclidea tra i reciproci di x + 1 e p + 1. Se p = +∞ e x ≥ 0, allora d∗(x, +∞) = |1− g(x)| = 1 1 + x . (3.9.3) Quindi, se x è ‘grande’, la sua distanza da +∞ è ‘piccola’. In modo analogo, se x e p sono numeri reali non positivi si ha d∗(x, p) = ∣∣∣∣ 1 1− x − 1 1− p ∣∣∣∣ e d∗(x,−∞) = 1/(1− x). Denotiamo con B∗(p, ε) gli intorni di p ∈ R nello spazio metrico (R, d∗). Esaminiamo dapprima gli intorni di +∞, supponendo per semplicità ε < 1. Tenendo conto di (3.9.3) si ha B∗(+∞, ε) = { x ∈ R+ : 11 + x < ε } ∪ {+∞} = { x ∈ R+ : 1 ε − 1 < x } ∪ {+∞} . Per questo motivo, posto M = 1/ε− 1, gli intervalli reali (M, +∞) (anche con M ≤ 0) vengono chiamati intorni di +∞. Il linguaggio è improprio, visto che si esclude +∞ da questi insiemi, ma è efficace quando si trattano funzioni a valori reali (che non assumono quindi i valori +∞ o −∞). Simmetricamente, gli intervalli reali (−∞, M) vengono chiamati intorni di −∞. Teorema 3.9.4 Se E ⊆ R è illimitato superiormente, allora +∞ è un punto di accumulazione di E nella metrica d∗. Se E ⊆ R è illimitato inferiormente, allora −∞ è un punto di accumulazione di E nella metrica d∗. Dimostrazione. Sia E ⊆ R illimitato superiormente. Poiché nessun numero reale è un maggiorante per E, per ogni M esiste un elemento x ∈ E tale che x > M . Quindi ogni intorno di +∞ contiene un punto di E (ovviamente diverso da +∞). Se E ⊆ R è illimitato inferiormente la dimostrazione è analoga. 3.10. Appendice 75 a) essi formano una successione decrescente, ossia Rm ⊃ Rm+1; b) ogni Rm è tale che dalla copertura aperta {Ai}i∈I non si può estrarre una sottocopertura finita per Rm; c) diam Rm = 2−m ‖a− b‖. L’ultima proprietà discende dal fatto che ad ogni passo il diametro si dimez- za. Per il Lemma 3.10.3, l’intersezione di questa successione di rettangoli non è vuota. Sia z ∈ ∩∞m=1Rm. Poiché {Ai}i∈I è una copertura aperta di R, e poiché z ∈ R, deve esistere un insieme Ai0 della famiglia tale che z ∈ Ai0 . Quindi esiste r tale che B(z, r) ⊂ Ai0 . Sia m cos̀ı grande che diam Rm = 2−m ‖a− b‖ < r. Si ha, per ogni y ∈ Rm, ∥∥z − y ∥∥ ≤ 2−m ‖a− b‖ < r. Quindi Rm ⊂ B(z, r) ⊂ Ai0 . Dunque è possibile estrarre da {Ai}i∈I una sottocopertura finita di Rm, costi- tuita da un solo aperto della famiglia, assurdo. R R1 R 2 Sia ora E ⊂ Rn un qualsiasi insieme chiuso e limitato. Sia δ = diam E e sia z ∈ E. Poniamo a = (z1 − δ, z2 − δ, . . . , zn − δ) b = (z1 + δ, z2 + δ, . . . , zn + δ) . Sia R il rettangolo chiuso di estremi a e b. Per ogni x ∈ E e per ogni j si ha |xj − zj | ≤ ( |x1 − z1|2 + |x2 − z2|2 + . . . + |xn − zn|2 )1/2 = ‖x− z‖ ≤ δ. Quindi x ∈ R, cioè E ⊆ R. Poiché E è chiuso, E è compatto per il Teorema 3.6.9. 76 3. Spazi Metrici 3.10.2 Norme e distanze La norma euclidea in Rn è un caso particolare della nozione di norma in un insie- me dotato di una struttura di spazio vettoriale su un campo che, per semplicità, assumiamo essere il campo reale. Definizione 3.10.4 Sia X uno spazio vettoriale su R. Una funzione, che in- dicheremo con il simbolo ‖·‖, definita in X a valori reali, si chiama norma su X se gode delle seguenti proprietà: 1. ∀x ∈ X ‖x‖ ≥ 0. 2. ∀x ∈ X ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0. 3. ∀x ∈ X ∀α ∈ R ‖αx‖ = |α| ‖x‖. 4. ∀x, y ∈ X ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. Uno spazio vettoriale dotato di norma si chiama spazio normato, e si indica con (X, ‖·‖). Lo spazio Rn, dotato della norma euclidea è uno spazio normato. Come nel caso della distanza, uno spazio vettoriale a priori può essere dotato di varie norme. Ad esempio, in Rn si hanno le norme ‖x‖∞ = max k |xk| , ‖x‖1 = n∑ k=1 |xk| . (3.10.5) Le proprietà 1–4 sono facilmente verificate. Un altro esempio di spazio normato è lo spazio X di tutte le funzioni limitate f : [0, 1] → R con la norma ‖f‖∞ = sup x |f(x)| . (3.10.6) Sia (X, ‖·‖) uno spazio normato. Come nel caso euclideo, a partire dalla norma si può definire una distanza su X ponendo ∀x, y ∈ X d(x, y) = ‖x− y‖ . Le proprietà della distanza discendono immediatamente da quelle della norma. Le distanze d∞ e d1 negli esempi 3.2.2.3 e 3.2.2.4 sono ottenute in questo modo dalle norme (3.10.5). La distanza nell’esempio 3.2.2.8 è ottenuta mediante la norma (3.10.6). Non ogni distanza si può però definire tramite una norma. Infatti, il proce- dimento appena descritto richiede che X sia uno spazio vettoriale. Negli esempi 3.2.2.6 e 3.2.2.7 le distanze non sono ottenute tramite una norma. Anche se X è uno spazio vettoriale, si possono definire distanze tali che d(x, 0) non è una norma. Ad esempio, se X = Rn, la metrica discreta non può essere definita tramite una norma. 3.10. Appendice 77 3.10.3 Proprietà dello spazio metrico ( R, d∗ ) Sia d∗ la metrica in R descritta nel paragrafo 3.9. Confrontiamo gli intorni di un numero reale p nella metrica euclidea e in d∗, mantenendo la notazione B(p, r) per gli intorni euclidei di p e B∗(p, r) per gli intorni nella metrica d∗. Teorema 3.10.7 Per ogni p ∈ R valgono le proprietà a) ∀s > 0∃r > 0 B(p, r) ⊂ B∗(p, s) b) ∀r > 0∃s > 0 B∗(p, s) ⊂ B(p, r). Dimostrazione. a) Innanzi tutto notiamo che la funzione g è strettamente crescente, cioè ∀x, y ∈ R x < y se e solo se g(x) < g(y). Quindi B∗(p, s) = {x : |g(x)− g(p)| < s} = {x : g(p)− s < g(x) < g(p) + s} = { x : g−1 (g(p)− s) < x < g−1 (g(p) + s)} . (3.10.8) Posto a = g−1 (g(p)− s) e b = g−1 (g(p) + s), si ha a < p < b. Sia r tale che a < p− r < p + r < b. Da (3.10.8) si ha B(p, r) = (p− r, p + r) ⊂ (a, b) = B∗(p, s). b) Poiché g è strettamente crescente si ha B(p, r) = {x : p− r < x < p + r} (3.10.9) = {x : g(p− r) < g(x) < g(p + r)} . Posto u = g(p− r) e v = g(p + r), si ha u < g(p) < v. Sia s tale che u < g(p)− s < g(p) + s < v. Quindi B∗(p, s) = {x : g (p)− s < g(x) < g (p) + s} ⊂ {x : u < g(x) < v} = B(p, r). La restrizione della distanza d∗ a R×R non coincide con la metrica euclidea, ma è ad essa equivalente, nel senso che ogni intorno di p ∈ R in una delle due metriche contiene un intorno nell’altra metrica. 80 4. Successioni 4.2 Successioni convergenti Definizione 4.2.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione a valori in X. Si dice che la successione (o, semplicemente, xn) converge a p ∈ X se ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 d(xn, p) < ε. (4.2.2) Nella definizione precedente, il numero ε è arbitrario e può essere scelto ‘piccolo a piacere’, mentre n0 è funzione di ε. In generale, come si vedrà dagli esempi, al decrescere di ε il corrispondente n0 diventa sempre più grande. Il simbolo ε in Analisi Matematica è usato quasi esclusivamente per denotare un numero positivo che si può scegliere arbitrariamente piccolo. La definizione di convergenza può essere espressa in modo equivalente adot- tando la terminologia introdotta nel primo paragrafo: una successione {xn} ⊆ X converge a p ∈ X se, per ogni ε > 0, si ha definitivamente d(xn, p) < ε. Op- pure: una successione {xn} ⊆ X converge a p ∈ X se, per ogni ε > 0, si ha definitivamente xn ∈ B(p, ε). x1 x2 x3 x4xn p La proprietà di separazione di Hausdorff implica che una successione non può convergere a due punti diversi. Teorema 4.2.3 (di unicità del limite) Sia (X, d) uno spazio metrico e {xn} una successione a valori in X. Se la successione converge sia p1 che a p2, allora p1 = p2. Dimostrazione. Sia per assurdo p1 6= p2. Per il Teorema 3.3.4 esiste r > 0 tale che B(p1, r) ∩ B(p2, r) = ∅. Poiché la successione converge a p1, defini- tivamente xn ∈ B(p1, r). Analogamente, poiché la successione converge a p2, definitivamente xn ∈ B(p2, r). Quindi definitivamente deve essere xn ∈ B(p1, r) ∩B(p2, r) = ∅, assurdo. 4.2. Successioni convergenti 81 Definizione 4.2.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione a valori in X. Se la successione converge a p ∈ X, si dice che p è il limite di xn per n che tende a +∞. Si scrive lim n→+∞ xn = p, o anche xn → p per n → +∞. Esempi 4.2.5 1. Sia X = R e xn = 1/n. Allora limn→+∞ 1/n = 0. Infatti, per ogni ε > 0 sia n0 un qualunque intero tale che n0 > 1/ε. Allora si ha, per ogni n ≥ n0, d (xn, 0) = ∣∣∣∣ 1 n − 0 ∣∣∣∣ = 1 n ≤ 1 n0 < ε. In maniera del tutto analoga si dimostra che 1/nα converge a 0 per ogni α > 0. 2. Sia X = R2 e xn = ( 1√ n , 2− 1√ n ) . Allora limn→+∞ xn = (0, 2). Infatti, ∥∥(1/√n, 2− 1/√n)− (0, 2)∥∥ = √ 1 n + 1 n = √ 2 n . Per ogni ε > 0 sia n0 un intero tale che n0 > 2/ε2. Per ogni n ≥ n0 si ha √ 2 n < ε. 3. In un qualsiasi spazio metrico, se una successione è definitivamente eguale a una costante p, allora xn converge a p. Infatti, si ha definitivamente d(xn, p) = 0. Viceversa, in uno spazio metrico discreto le uniche successioni convergenti sono le successioni definitivamente costanti. Basta infatti scegliere ε ≤ 1 nella definizione di convergenza. Se xn appartiene definitivamente B(p, ε), allora definitivamente xn = p. 4. Consideriamo in R la successione {xn} delle troncate n-esime del numero 1/3 = 0, 33333 . . . = 0, 3 0, 3, 0, 33, 0, 333, 0, 3333, . . . , 0, 3333333︸ ︷︷ ︸ n cifre , . . . 82 4. Successioni Si ha xn → 1/3 per → +∞. Infatti ∣∣0, 3− xn ∣∣ = 0, 3− xn = 0, 3− 0, 3333333︸ ︷︷ ︸ n cifre = 0, 00 . . . 00︸ ︷︷ ︸ n zeri 3 = 1/3 · 10−n. Per ogni ε > 0 sia n0 tale che n0 > 1/3ε. Per n ≥ n0 risulta 0, 3− xn = 13 · 10 −n ≤ 1 3 · 10−n0 < 1 3n0 < ε. Allo stesso modo si dimostra che le troncate n-esime della rappresentazione decimale di un qualunque numero reale convergono al numero stesso. 5. La successione di termine generale xn = (−1)n non è convergente. In- fatti, posto ad esempio ε = 1/2, xn non appartiene definitivamente a B(−1, 1/2), poiché tutti gli elementi di indice pari non vi appartengono. Un analogo ragionamento mostra che xn non appartiene definitivamen- te a B(1, 1/2). È pure chiaro che xn non appartiene definitivamente a B(p, 1/2) per nessun p ∈ R. Si noti che in un qualunque spazio metrico (X, d) una successione {xn} converge a p ∈ X se e solo se la successione dei numeri reali non negativi {d(xn, p)} converge a 0. Infatti, la condizione (4.2.2), che esprime la convergenza di xn a p, esprime anche la convergenza di d(xn, p) a 0 in R. Definizione 4.2.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione a valori in X. Si dice che la successione è limitata se la sua immagine {xn} è limitata in X. Ad esempio, la successione (4.1.2) non è limitata, mentre le successioni {1/n} e {(−1)n} sono limitate. Teorema 4.2.7 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione a valori in X. Se la successione è convergente, allora è limitata. Dimostrazione. Sia p il limite della successione e si scelga ε = 1 nella defini- zione di convergenza. Esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 si ha xn ∈ B(p, 1). Ne segue che l’insieme dei valori della successione a partire da n0 ha diametro non superiore a 2. Per il Teorema 3.5.13 del capitolo 3, {xn} è un insieme limitato. Teorema 4.2.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. Se p è un punto di accumulazione di A, allora esiste una successione di punti xn ∈ A, xn 6= p, convergente a p. 4.4. Successioni a valori reali 85 4.4 Successioni a valori reali Sia, qui e nel seguito, {xn} una successione a valori reali. La nozione di con- vergenza in R con la metrica euclidea assume la seguente forma: xn converge a p ∈ R se per ogni ε > 0 esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 |xn − p| < ε. (4.4.1) Le seguenti affermazioni sono quindi equivalenti per n → +∞: xn → p, |xn − p| → 0, xn − p → 0. In particolare, xn → 0 se e solo se |xn| → 0. La diseguaglianza (4.4.1) equivale alle due seguenti diseguaglianze p− ε < xn < p + ε. Può accadere che una successione convergente verifichi definitivamente la più forte diseguaglianza p ≤ xn < p + ε, (4.4.2) oppure p− ε < xn ≤ p. (4.4.3) Ad esempio, xn = 1/n verifica definitivamente (4.4.2) con p = 0, mentre xn = 1 − 1/n verifica definitivamente (4.4.3) con p = 1. Siamo cos̀ı condotti alla seguente definizione. Definizione 4.4.4 Sia {xn} una successione a valori reali convergente a p. Si dice che la successione converge a p per eccesso o dalla destra, se ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 p ≤ xn < p + ε. Analogamente, si dice che la successione converge a p per difetto, o dalla sinistra, se ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 p− ε < xn ≤ p. Se xn converge a p dalla destra si scrive lim n→+∞ xn = p + , o anche xn → p + per n → +∞. Se xn converge a p dalla sinistra si scrive lim n→+∞ xn = p− , o anche xn → p− per n → +∞. Secondo queste definizioni, limn→+∞ 1/n = 0+ e limn→+∞ (1− 1/n) = 1−. Invece, la successione xn = (−1)n/n converge a 0, ma non converge né dalla destra né dalla sinistra. La nozione di successione limitata del precedente paragrafo nel caso reale può essere ulteriormente precisata. 86 4. Successioni Definizione 4.4.5 Diremo che una successione a valori reali è limitata su- periormente (oppure inferiormente) se la sua immagine {xn} è limitata su- periormente (rispettivamente, inferiormente). Chiameremo estremo superiore, inferiore, massimo, minimo della successione l’estremo superiore, inferiore, il massimo (se esiste), il minimo (se esiste) dell’immagine {xn}. Per il Teorema 4.2.7 ogni successione reale convergente è limitata sia inferior- mente che superiormente. Tuttavia, il concetto di limite può essere esteso per caratterizzare il comportamento ‘regolare’ di alcune successioni reali illimitate. Definizione 4.4.6 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che la successione diverge a +∞ se ∀M ∃n0 ∀n ≥ n0 xn > M . (4.4.7) Analogamente, dice che la successione diverge a −∞ ∀M ∃n0 ∀n ≥ n0 xn < M . (4.4.8) Se xn diverge a +∞ si scrive lim n→+∞ xn = +∞, o anche xn → +∞ per n → +∞. Se xn diverge a −∞ si scrive lim n→+∞ xn = −∞, o anche xn → −∞ per n → +∞. Nella definizione di divergenza a +∞, il numero M è arbitrario e può essere scelto positivo ‘grande a piacere’, mentre n0 è funzione di M . In generale, al crescere di M anche n0 cresce. Analoga osservazione per la divergenza a −∞: in questo caso M può essere scelto negativo e di valore assoluto grande a piacere. Dalla definizione risulta chiaro che xn diverge a +∞ se e solo se −xn diverge a −∞. Esempi 4.4.9 1. La successione di termine generale xn = √ n diverge a +∞. Infatti, per ogni M > 0 sia n0 > M2. Per ogni n ≥ n0 si ha √ n ≥ √n0 > M . In modo analogo si dimostra che tutte le successioni {nα}, ove α > 0, divergono a +∞. 2. Sia {xn} la successione −1, 2,−3, 4, . . . , (−1)nn, . . . Questa successione, benché illimitata, non è divergente, né a −∞, né a +∞. Infatti, qualunque sia M > 0, essa non soddisfa definitivamente la diseguaglianza xn > M , né la diseguaglianza xn < −M 4.5. Permanenza del segno. Confronto 87 Una successione divergente a +∞ è illimitata superiormente ed è definiti- vamente positiva. Una successione divergente a −∞ è illimitata inferiormente ed è definitivamente negativa. Ne segue che una successione divergente a +∞ non può divergere a −∞ e non può convergere. Analogamente una successio- ne divergente a −∞ non può divergere a +∞ e non può convergere. Infine, una successione convergente non può divergere. In altri termini, anche con l’in- troduzione dei limiti +∞ e −∞, il limite di una successione reale, se esiste, è unico. Definizione 4.4.10 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che {xn} è regolare se essa ammette limite (finito o infinito). Altrimenti si dice irregolare od oscillante. Vale per il limiti infiniti l’analogo del Teorema 4.3.4 Teorema 4.4.11 Sia {xn} una successione a valori reali. Se xn diverge a +∞, allora ogni sua sottosuccessione diverge a +∞. Se xn diverge a −∞, allora ogni sua sottosuccessione diverge a −∞. Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto analoga a quella del Teorema 4.3.4. Basta sostituire all’intorno B(p, ε) l’intervallo (M, +∞) nel caso della divergenza a −∞, e (−∞,M) nel caso della divergenza a −∞. Nel paragrafo 3.9 è stata introdotta una metrica d∗ in R. Nello spazio metri- co (R, d∗) le successioni divergenti a +∞ o −∞ sono esattamente le successioni che tendono a questi limiti, secondo la definizione del paragrafo 4.1. 4.5 Permanenza del segno. Confronto Sia {xn} una successione reale convergente a p. Per la definizione di limite, assegnato un qualunque intervallo (a, b) tale che p ∈ (a, b), si ha definitivamente xn ∈ (a, b). Questa osservazione permette di mettere in relazione il segno di xn e quello di p. Teorema 4.5.1 (di permanenza del segno) Sia {xn} una successione reale convergente a p. a) Se p > 0, allora definitivamente xn > 0. b) Se p < 0, allora definitivamente xn < 0. c) Se definitivamente xn ≥ 0, allora p ≥ 0. d) Se definitivamente xn ≤ 0, allora p ≤ 0. Dimostrazione. Sia ε > 0 tale che p−ε > 0. Per la definizione di convergenza si ha definitivamente 0 < p− ε < xn < p + ε. Quindi a) è vera. La dimostrazione di b) è analoga.