ARITHMETIC SEQUENCES AND SERIES, Schemes and Mind Maps of Calculus

Download ARITHMETIC SEQUENCES AND SERIES and more Schemes and Mind Maps Calculus in PDF only on Docsity! ARITHMETIC SEQUENCES AND SERIES    A sequence is an ordered list of numbers.  Each number in the list  is called a term of the sequence.    Ex1  a.  4, 7, 10, 13, …  plus 3       fifth term 16      b.  4, 2, 1, , …  times       fifth term       c.  1, 4, 9, 16, …  (squares)      fifth term 25    Sequence Notation    The first term of a sequence is 𝒂𝟏  The second term of a sequence is 𝒂𝟐  The third term of a sequence is 𝒂𝟑  The term in the nth position of a sequence is 𝒂𝒏  The term preceding 𝑎  is 𝒂𝒏 𝟏      Recursive Sequence    A sequence is defined recursively if the first term is given  𝑎   and there is a formula for determining the nth term  𝑎  by using  the preceding term  𝑎 .    Ex2  a.  List the first 5 terms of the sequence.      𝑎 9 and 𝑎 ∗ 𝑎         𝑎 ∗ 𝑎   𝑎 ∗ 𝑎       𝑎 ∗ 𝑎   𝑎 ∗ 𝑎       𝑎 ∗ 9 3  𝑎 ∗ 1         𝑎 ∗ 𝑎   𝑎 ∗ 𝑎       𝑎 ∗ 𝑎   𝑎 ∗ 𝑎       𝑎 ∗ 3 1  𝑎 ∗         9, 3, 1, ,         3𝑘 2   expanded form      Ex4        3 ∗ 3 2 3 ∗ 4 2 3 ∗ 5 2       3 ∗ 6 2 3 ∗ 7 2         11 14 17 20 23      85    Arithmetic Sequence    An arithmetic sequence is a sequence in which there is a  common difference  𝒅  between consecutive terms.     Recursive form of an arithmetic sequence      𝑎  a beginning number, and  𝑎 𝑎 𝑑      (you must know 𝑎 , 𝑎  and 𝑑)     Explicit form of an arithmetic sequence      𝑎 𝑎 𝑛 1 ∗ 𝑑      (you must know 𝑎  and 𝑑)    Ex5  a.  Find the 21st term of this arithmetic sequence      3.7, 3.3, 2.9, …      From this information we know 𝑎 3.7 and 𝑑 .4      𝑎 3.7 21 1 ∗ .4      𝑎 3.7 20 ∗ .4       𝑎 3.7 8       𝑎 4.3    b.  Find the 21st term of this arithmetic sequence      8, 2.75, 2.5, …      From this information we know 𝑎 8 and 𝑑 5.25      𝑎 8 21 1 ∗ 5.25      𝑎 8 20 ∗ 5.25       𝑎 8 105       𝑎 97    Ex6  Given 2 terms of an arithmetic sequence, find another  term.      𝑎 4     and     𝑎 32     find 𝑎       Equation to be used:  𝑎 𝑎 𝑛 1 ∗ 𝑑      Use the system of equations (substitution method) to solve      𝑎 𝑎 1𝑑  𝑎 𝑎 5𝑑      4 𝑎 𝑑  32 𝑎 5𝑑      𝑎 4 𝑑        32 4 𝑑 5𝑑        32 4 4𝑑        28 4𝑑        𝑑 7      𝑎 4 𝑑      𝑎 4 7      𝑎 3      Now we know the two pieces of information (𝑎  and 𝑑)  necessary to solve for 𝑎 .      𝑎 3 20 1 ∗ 7      𝑎 3 19 ∗ 7       𝑎 3 133      𝑎 130  𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎  Arithmetic Series    The sum of an arithmetic sequence is known as an arithmetic  series.   1+2+3+4+...+97+98+99+100    Remember, an arithmetic sequence is infinite, therefore only a  partial sum of an arithmetic sequence (finite series) can be  computed.    If  𝑎  is an arithmetic sequence, and 𝑘 is counting number,  then:          𝑎 𝑎   or 𝑘     Ex7  a.  Find the indicated sum of the arithmetic sequence        if 𝑎 4 and 𝑑         4 𝑎   𝑎 4 10 1 ∗         𝑎 4 9 ∗         𝑎 4         𝑎         5 4         5