Automatique physique, Exercises of Physics

Download Automatique physique and more Exercises Physics in PDF only on Docsity! Correction de la série 1: Exercice 1: a) b) c) d) e) 2 4 7 4 7t TL p p     2 2 2 2 5 10 6 2sin(5 ) 6cos(5 ) 2 6 25 25 25 25 p p t t TL p p p p           3 2 2 2 2 1 8 2 24 2 3 sin(4 ) 2 3 3 ( 16) 3 ( 16) t p pe t t TL P p P p             2 2 2 2 4 3 4 6 4 2 sin(3 ) 2 2 9 ( 2) 2 9 ( 2) t te e t TL p p p p             3 3 4 2 4 2 6 1 5 12 4 5 2 4 5 2 4 ( 3) ( 3) tt te TL p p P p p P            g) f) h) i) 2 2 2 2 2 4 2sin(2 ) 2 4 4 t te e t TL p p        2 2 sin(2 ) 2 t te e t   2 2 1 1 1 1 2 1(1 ) 1 2 2 1 2 1 2 t t te e e TL P p p P p p                2 2 2 2 3 3 12 18 (2 3 ) 1 4 12 9 1 3 12 9t t t t t TL p p p              1 ! ( )n n n TL t p   2 2 1 2 (1 )(1 ) 1 1 2sinh( ) 2 1 1 t t t t t te e e e e e t p p                sinh( ) 2 t te e t   2 2(sinh( ))TL t p      4 6 2 0 4 6 0 ( ) (4 ) 3 (9 )pt pt ptf t t e dt e dt t e dt              2 4 ( ) 3 9 t f t t      0 4 4 6 6 t t t      4 6 2 2 40 6 ( ( 4) 1) 3 ( ( 9) 1)pt ptpte p t e p te p p p                        4 6 6 4 2 2 2 ( 4 ) 1) 3 3 ( 3 1)p pp pe p e pe e p p p p p                           6 4 2 2 2 3 1 4 1pp ee p p p p p          3 3 0 3 0 ( ) 2 (5 )pt ptf t e dt t e dt          3 2 ( ) 5 f t t    0 3 3 t t    3 2 0 3 2 ( ( 5) 1)ptpt e p te p p                3 3 2 2 ( (3 5) 1) ( 1) p p e pe p p                3 2 2 pe p p    2 4 0 20 ( ) 1 sin( )pt ptf t e dt t e dt            4 1 ( ) sin( ) f t t    0 2 2 t t      2 2 0 2 1 ( sin( ) cos( )) 1 pt pt e p t te p p                 2 2 2 1 1 1 p p P e e p p p             2 2 1 1 1 pP e p p p         c) L’application de la transformée de Laplace donne: L’application de la transformée inverse de Laplace donne : 2 2 4 ( ) 0 d y tu t dt   '(0) 2, (0) 1y y  2 ' 2 1 ( ) (0) (0) 4 0p Y p py y p        32( ) ( 1 2 ) ( ) 3 y t t t u t   2 2 4 ( ) 2p Y p p p    2 2 4 ( ) 2p Y p p p    4 2 4 1 2 ( )Y p p p p    d) L’application de la transformée de Laplace donne: 2 2 6 9 sin( ) ( ) d y dy y t u t dt dt    '(0) 0, (0) 0y y   2 ' 2 1 ( ) (0) (0) 6 ( ) (0) 9 ( ) 1 p Y p py y pY p y Y p p          2 2 1 ( ) 6 ( ) 9 ( ) 1 p Y p pY p Y p p     2 2 1 ( 6 9) ( ) 1 p p Y p p     2 2 1 ( ) ( 1)( 6 9) Y p p p p     2 2 1 ( ) ( 1)( 3) Y p p p    Y(p) se décompose en éléments simples de la façon suivante: Ou bien: 2 2 ( ) ( 3) ( 3) ( 1) A B Cp D Y p p p p        2 3 ( 3) ( ) p A p Y p      1 10 A  2 3 ( 3) ( ) p d B p Y p dt      2 2 3 2 ( 1) p p B p        6 3 100 50 B       2 2 2 2 1 lim ( ) lim ( 3) ( 1) ( ) lim ( 3) ( 3) ( 1) p p p pY p p p p Ap Bp p Cp D p p p                     0 B C  B C  2 3 1 ( 1) p A p        ' ' ' 2 f f g f g g g          2 3 1 ( 1) p d B dt p         Exercice 4: a) En appliquant la transformée de Laplace avec des conditions initiales nulles, on trouve: b) En appliquant la transformée de Laplace avec des conditions initiales nulles, on trouve: 2 2 2 ( ) ( ) 5 4 ( ) ( )t d f t df t f t e u t dt dt    2 1( ) 5 ( ) 4 ( ) 2 p F p pF p F p p     2 1 ( ) ( 5 4)( 2) F p p p p     1 ( ) ( 2)( 1)( 4) F p p p p     2 2 ( ) ( ) 3 9 ( ) 9 ( ) d f t df t f t t dt dt    2 ( ) 3 ( ) 9 ( ) 9p F p pF p F p   c) 2 9 ( ) ( 3 9) F p p p    3 2 3 2 0 ( ) ( ) ( ) 3 3 4 ( ) ( ) td f t d f t df t f t u d dt dt dt      3 2 ( )( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) U p p F p p F p pF p F p p     0 ( ) ( ( ) ) t U p L u d p    3 2 2 1 ( 3 3 1) ( )p p p F p p     2 3 2 1 ( ) ( 3 3 1) F p p p p p     Exercice 5: 1 2 10 ( ) ( 23 120) p F p p p p     2(23) 4 120 49     1 2 23 49 8 2 23 49 15 2 p p             1 10 ( ) ( 8)( 15) p F p p p p      1( ) ( 8) ( 15) A B C F p p p p        1 0( ) pA pF p  0 10 ( 8)( 15) p p A p p          10 1 120 12 A    1 8( 8) ( ) pB p F p   8 10 ( 15) p p B p p         2 1 56 28 B       1 15( 15) ( ) pC p F p   15 10 ( 8) p p C p p         5 1 105 21 C   Pas de racines réelles L’application de la transformée inverse de Laplace donne : 3 2 10 ( ) 10 34 F p p p    2(10) 4 34 36 0      3 2 2 10 ( ) ( 5) 3 F p p     2 2 2 210 34 2 5 25 9 ( 5) 3p p p p p          3 2 2 10 3 ( ) 3 ( 5) 3 F p p      2 2 (sin( )) a L at p a   5 3 10 ( ) sin(3 ) ( ) 3 tf t t e u t  4 2 12 ( ) 16 100 p F p p p    Pas de racines réelles L’application de la transformée inverse de Laplace donne : 2(16) 4 100 144 0      3 2 2 12 ( ) ( 8) 6 p F p p     2 2 2 216 100 2 8 64 36 ( 8) 6p p p p p          3 2 2 8 8 ( ) 12 ( 8) 6 p F p p        8 8 4 8 ( ) 12 cos(6 ) sin(6 ) ( ) 6 t tf t t e t e u t        2 2 (cos( ) ) ( ) at p aL t e p a       3 2 2 2 2 8 8 ( ) 12 ( 8) 6 ( 8) 6 p F p p p             3 2 2 2 2 8 8 6 ( ) 12 ( 8) 6 6 (( 8) 6 ) p F p p p               8 4 4 ( ) 12 cos(6 ) sin(6 ) ( ) 3 tf t t t e u t       2 2 (sin( ) ) ( ) atL t e p a        L’application de la transformée inverse de Laplace donne : 5 2 1 ( ) ( 3)( 2) p F p p p     5 2 ( ) ( 3) ( 2) ( 2) A B C F p p p p         5 3( 3) ( ) pA p F p   2 25 A  2 5 2 ( 2) ( ) p d B p F p dt      2 2 2 ( 3) p B p        2 25 B    2 3 1 ( 2) p p A p        2 5 2 ( 2) ( ) p C p F p      3 5 C  2 1 ( 3) p p C p         5 2 2 1 2 1 3 1 ( ) 25 ( 3) 25 ( 2) 5 ( 2) F p p p p           3 2 2 5 2 3 ( ) ( ) ( ) 25 5 t t tf t e e te u t         