Análisis funcional: Derivadas y extremos, Summaries of Mathematics

Download Análisis funcional: Derivadas y extremos and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity! Victor Antonio Aguilar Arteaga Maestria en Ciencias (Ingenieria Matematica) Facultad de Ingenieria Universidad Autonédma de Querétaro Recordemos que se dice que una funcidn f de valores reales tiene un maximo absoluto en un conjunto S si existe por lo menos un punto c en S tal que f(x) < f(c) para todo x en S. Definicién de extremo Un nimero que es o un maximo relativo 0 un mimino relativo de una funcién f se denomina valor extremo o extremo de f. Definicién de extremo Un nimero que es o un maximo relativo 0 un mimino relativo de una funcién f se denomina valor extremo o extremo de f. Teorema de anulacion de la derivada en un extremo interior Sea f definida en un intervalo abierto /, y supongamos que f tiene un maximo relativo o un minimo relativo en un punto c interior a I. Si la derivada f’(c) existe, es f’(c) = Es importante notar que el hecho de ser derivada nula en c no implica extremo en c. Por ejemplo, sea f(x) = x3, puesto que f'(x) = 3x?, f/(0) = 0. Sin embargo, esta funcién es creciente en todo intervalo que contenga el origen por lo cual no existe extremo enc. Teorema del valor medio para derivadas. Si f es una funcién continua en todo un intervalo cerrado [a, b] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto (a, b), existe por lo menos un punto c interior a (a, b) para el que p(e) = =A) tO) B prio tae tele Sea h(x) = F(x)(b— a) — x[F() — F(a]. Entonces h(a) = h(b) = bf(a) — af(b). También, h es continua en [a, b] y tiene derivada en el intervalo abierto (a, b). Aplicando el teorema de Rolle a h, encontramos que h’(c) = 0 para un cierto c de (a, b). Pero hi(x) = '(x)(b — a) — [F(4) — F(a). Cuando x = c se obtiene la igualdad. Sea f(x) = 1 — x?/3. Probar que f(1) = f(—1) = 0, pero que f’(x) no es nunca cero en el intervalo [—1, 1]. Explicar por qué este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle. Demostrar que si entonces ap + ax +--+ anx" =0 para algun x de [0, 1]. Sea Se tiene que f(0) = 0 = f(1). Entonces, por el Teorema de Rolle se cumple f!(x) = ap + ax + +++ + anx" =0 para algun x de [0, 1]. Bee) Sea f una funcién continua en un intervalo cerrado [a, b] y que admite derivada en cada punto de un intervalo abierto (a, b). Se tiene: (a) Si f’(x) > 0 para todo x de (a, b), entonces f es estrictamente creciente en [a, b]. (b) Si f’(x) <0 para todo x de (a,b), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]. (c) Si f(x) = 0 para todo x de (a,b), entonces f es constante en [a, 5]. Demostracién Para probar (a) tenemos que demostrar que f(x) < f(y) siempre que a< x <y <b. Por consiguiente, supongamos x < y y apliquemos el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y]. Obtenemos Fly) —F(x)=F(ely—x), (#) donde x < c < y. Puesto que f'(c) e y — x son positivos, lo mismo le ocurre a f(y) — f(x), y esto significa f(x) < f(y), como se necesitaba demostrar. La demostracién de (b) es parecida. Para demostrar (c), utilizamos la igualdad (*) haciendo x = a. Ya que f’(c) = 0, tenemos f(y) = f(a) para todo y en [a, 5], con lo que f es constante en [a, b]. Oo Dado un numero positivo S$. Demostrar que entre todos los pares de ntimeros positivos x e y tales que x + y = S, el producto xy es el mayor cuando x = y = 38. Dado un numero positivo S$. Demostrar que entre todos los pares de ntimeros positivos x e y tales que x + y = S, el producto xy es el mayor cuando x = y = 38. Pretec eles Six+y=S, y=S-—xy el producto xy es igual a x(S — x) = xS — x*. Pongamos f(x) = xS — x?. Este polinomio cuadratico tiene como primera derivada f!(x) = S — 2x que es positiva para x < 3S y negativa para x>a Por tanto, el maximo de xy se presenta cuando x = 3S, y=S—-x=35. Demostracién 2 Six+y=S, y=S-—xyel producto xy es igual a x(S — x) = x5 — x*. Pongamos f(x) = xS — x?. Este polinomio cuadrdtico tiene como primera derivada f/(x) = S$ — 2x. Los puntos criticos de f son las soluciones de la ecuacién S — 2x =0, es decir, x = 3S es el unico punto critico de f en (0, S). Se tiene f”(3S) = —2. Por tanto, el maximo de xy se presenta cuando x = 3S, a 3S. Ejercicios 3.- Utilizar el teorema del valor medio para deducir las desigualdades siguientes: (a) |senx —seny| < |x — y|. (b) ny" M(x —y) <x" y" < xx) sO <y <x, n=1,2,3,... Ejercicios 4.- Dado S > 0. Probar que entre todos los ntimeros positivos x e y tales que x+y = S, la suma x? + y” es minima cuando x = y. 5.- Para cada una de las siguientes funciones, hallar el maximo y el minimo en los intervalos indicados, hallando los puntos del intervalo en que la derivada es cero y comparando los valores en estos puntos con los valores en los extremos. (a) f(x) = x3 — x? —8x +1 sobre [-2, 2]. (b) 3x4 — 8x3 + 6x? sobre [—5, 5].