Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP, Exams of Mathematics

Download Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP and more Exams Mathematics in PDF only on Docsity! Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP Épreuve de Physique II 1/6 • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. • Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. • Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatibles avec les données fournies. Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points. Partie 1 : Champ magnétique d’une spire circulaire On considère une spire circulaire de rayon R , de centre O et d’axe Oz (figure 1.1). Cette spire est contenue dans le plan Oxy orthogonal à l’axe Oz . Elle est parcourue par un courant électrique d'intensité constante I . Figure 1.1 : spire circulaire 1. Montrer, par un raisonnement rigoureux, que le champ magnétique Bsp ! "!! (M ) créé par la spire au point M de son axe Oz est porté par ez !" . 2. Montrer que Bsp ! "!! (M ) est donné par l’expression Bsp ! "!! (M ) = µ0I 2R sin3αez !" où α est l’angle sous lequel la spire est vue depuis le point M . Exprimer le champ magnétique Bsp(O) au centre O de la spire. 3. Représenter l’allure du champ Bsp(M ) en fonction de z =OM ! "!!! .ez !" . 4. Application numérique : on fixe R = 5cm . Calculer Bsp(O) pour I =1A . Calculer la valeur de I pour avoir Bsp(O) =1T . Commenter. Citer deux systèmes qui permettent d’obtenir un champ magnétique intense. On donne la perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4π.10 −7H.m−1 . Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP Épreuve de Physique II 2/6 Partie 2 : Radioactivité α Naturellement présente dans l'Univers, la radioactivité est un phénomène physique dû à des noyaux atomiques instables qui se désintègrent de manière spontanée pour donner un autre élément, en émettant des particules (électrons, neutrons etc) ou des rayonnements électromagnétiques. Historiquement, la radioactivité a été découverte en 1896 par Becquerel avant le noyau de l’atome dans le cas de l’uranium, et très vite confirmée par les Curie pour le radium. Radioactivité « α » La radioactivité alpha « α » fut d'abord observée comme un rayonnement de type inconnu, dévié par des champs, électrique et magnétique. Ernest Rutherford identifia en 1908 ces particules à des noyaux d'hélium : un noyau lourd X se désintègre en un noyau fils Y plus léger en éjectant une particule α . Données : - Charge d’un électron : qe = −e = −1,60.10 −19C . - Masse d’une particule α : mα = 6,645.10 −27kg . - Masse d’un électron : me = 9,11.10 −31kg . - Masse d’un proton : mp =1,67.10 −27kg . - Constante de Planck réduite : ! = h 2π =1,05.10−34 J.s . - Permittivité électrique du vide : ε0 = 1 36π109 F.m−1 . - 1eV =1,60.10−19 J . - Accélération de la pesanteur : g = 9,8m.s−2 . - Équation de Schrödinger : − !2 2m ∂2Ψ(x, t) ∂x2 +V (x)Ψ(x, t) = i! ∂Ψ(x, t) ∂t . - x2 x −1dx ≈ x1 x2 ∫ x2 π 2 − 2 x1 x2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ . 1. Traversée d’une barrière de potentiel On considère une particule quantique de masse m évoluant dans le potentiel V (x) indépendant du temps (figure 2.1). V (x) est composé de deux zones à potentiel nul séparées par une barrière de hauteur V0 et d’épaisseur a . On s’intéresse aux états stationnaires ψ(x, t) =ϕ(x)exp −i Et ! ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ d’énergie E telle que 0 < E <V0 . Figure 2.1 : barrière de potentiel Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP Épreuve de Physique II 5/6 2.6.1. En admettant localement l’approximation de la barrière épaisse, montrer que dT T = −2k2 (r)dr . Donner l’expression de k2 (r) . 2.6.2. Montrer que le coefficient de transmission pour atteindre r1 est tel que ln T( ) = − K ! 1 r − 1 r1 dr r0 r1 ∫ . On prend T (r0 ) =1 . 2.6.3. En introduisant la variable d’intégration θ telle que r = r1 cos 2θ , montrer que le coefficient de transmission s’écrit sous la forme : ln T( ) = − 2K 2mα ! E θ0 − sin2θ0 2 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2.6.4. Pour une particule α existant à l’intérieur du noyau avec une énergie E comprise entre Vm et 0 , établir la formule de Gamow - Condon - Gurney : lnT = c1 + c2 E , c1 et c2 étant deux constantes que l’on exprimera en fonction de ! , K , mα et r0 . On admettra pour établir cette relation que localement on peut appliquer la formule approchée établie donnant ln T( ) et que r0 r1 est très inférieur à 1. 2.7. Si N0 est le nombre initial de noyaux émetteurs de particules α , N celui à l’instant t et λ leur constante de désintégration (constante de proportionnalité), exprimer le nombre de noyaux dN qui se désintègrent pendant la durée dt . En déduire l'activité a*= − dN(t) dt de l'élément radioactif, nombre de particules α émises par seconde, en fonction de λ , N0 et t . 2.8. On définit la période radioactive Θ de l’élément (encore appelée temps de demi-vie), comme la durée pour laquelle la moitié des noyaux initialement présents s’est désintégrée. Exprimer Θ et calculer sa valeur numérique pour le radium 88 226Ra . On donne : λ( 88 226Ra) = 4,33.10−4 an−1 . 2.9. On suppose que la particule α existe primitivement dans le noyau et qu’elle oscille entre les deux bords du puits avec la vitesse v0 . 2.9.1. Exprimer la vitesse v0 de la particule α dans le noyau en fonction de mα , E et V0 . 2.9.2. Exprimer la fréquence des oscillations de la particule α en fonction de v0 et r0 . 2.9.3. À chaque collision avec la paroi située en r = r0 , la particule α a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel par effet tunnel et donc de sortir du puits. Exprimer le nombre de particules α émises par unité de temps en fonction de N , v0 , r0 et T . En déduire le nombre de noyaux dN qui se désintègrent pendant la durée dt . 2.9.4. En identifiant l’expression de dN établie dans la question 2.7 et celle établie dans la question 2.9.3, montrer que λ = v0T 2r0 . Concours National Commun – Session 2022 – Filière MP Épreuve de Physique II 6/6 2.9.5. Montrer que lnΘ = c3 + c4 E . Exprimer c3 et c4 en fonction des données. 2.9.6. Le résultat du modèle est comparé aux données expérimentales dans le graphe de la figure 2.4 (en échelles logarithmiques). Commenter. Figure 2.4 : Période des émetteurs α en fonction de l’énergie de la particule α émise