Confidence Intervals and Point Estimates in Statistics, Exercises of Business Statistics

Download Confidence Intervals and Point Estimates in Statistics and more Exercises Business Statistics in PDF only on Docsity! Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 1 of 17 09  Confidence  Intervals     9.1  Inference  and  Point  Estimates     Whenever  we  use  a  single  statistic  to  estimate  a  parameter  we  refer  to  the   estimate  as  a  point  estimate  for  that  parameter.  When  we  use  a  statistic  to   estimate  a  parameter,  the  verb  used  is  "to  infer."  We  infer  the  population   parameter  from  the  sample  statistic.         Some  population  parameters  cannot  be  inferred  from  the  statistic.  The   population  size  N  cannot  be  inferred  from  the  sample  size  n.  The  population   minimum,  maximum,  and  range  cannot  be  inferred  from  the  sample   minimum,  maximum,  and  range.  Populations  are  more  likely  to  have  single   outliers  than  a  smaller  random  sample.     The  population  mode  and  median  usually  cannot  be  inferred  from  a  smaller   random  sample.  There  are  special  circumstances  under  which  a  sample   mode  and  median  might  be  a  good  estimate  of  a  population  mode  and   median,  these  circumstances  are  not  covered  in  this  class.     The  statistic  we  will  focus  on  is  the  sample  mean  x.  The  normal  distribution   of  sample  means  for  many  samples  taken  from  a  population  provides  a   mathematical  way  to  calculate  a  range  in  which  we  expect  to  "capture"  the   Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 2 of 17 population  mean  and  to  state  the  level  of  confidence  we  have  in  that   range's  ability  to  capture  the  population  mean  µ.     Point  Estimate  for  the  population  mean  µ  and  Error     The  sample  mean  x  is  a  point  estimate  for  the  population  mean  µ     The  sample  mean  x  for  a  random  sample  will  not  be  the  exact  same  value  as   the  true  population  mean  µ.     The  error  of  a  point  estimate  is  the  magnitude  of  estimate  minus  the  actual   parameter  (where  the  magnitude  is  always  positive).  The  error  in  using  x  for   µ  is  (  x  −  µ  ).  Note  that  to  take  a  positive  value  we  need  to  use  either  the   absolute  value  |(  x  -­‐  µ  )|  or  √(  x  -­‐  µ  )2.     Note  that  the  error  of  an  estimate  is  the  distance  of  the  statistic  from  the   parameter.     Unfortunately,  the  whole  reason  we  were  using  the  sample  mean  x  to   estimate  the  population  mean  µ  is  because  we  did  not  know  the  population   mean  µ.     For  example,  given  the  mean  body  fat  index  (BFI)  of  51  male  students  at  the   national  campus  is  x  =  19.9  with  a  sample  standard  deviation  of  sx  =  7.7,   what  is  the  error  |(  x  -­‐  µ  )|  if  µ  is  the  average  BFI  for  male  COMFSM  students?     We  cannot  calculate  this.  We  do  not  know  µ!  So  we  say  x  is  a  point  estimate   for  µ.  That  would  make  the  error  equal  to  √(x  −  x)2  =  zero.  This  is  a  silly  and   meaningless  answer.     Is  x  really  the  exact  value  of  µ  for  all  the  males  at  the  national  campus?  No,   the  sample  mean  is  not  going  to  be  the  same  as  the  true  population  mean.     Point  estimate  for  the  population  standard  deviation  σ     The  sample  standard  deviation  sx  is  a  reasonable  point  estimate  for  the   population  standard  deviation  σ.  In  more  advanced  statistics  classes   concern  over  bias  in  the  sample  standard  deviation  as  an  estimator  for  the   Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 5 of 17 9.18  Confidence  Intervals  for  n  >  30  where  σ  is  known   The  sampling  distribution  of  the  mean  is  a  normal  distribution  with  the   standard  error  replacing  the  standard  deviation.  The  diagram  above   shows  the  95%  area  under  the  curve.  The  NORMINV  function  can  find  the   left  and  right  values  for  the  range  in  which  we  expect  the  mean  to  be   found  95%  of  the  time.  This  range  is  called  the  95%  confidence  interval.  In   the  diagram  the  ends  of  the  range  are  indicated  by  the  lower  and  upper   limits.     =NORMINV(p;µ;σ/√(n))     The  NORMINV  function  uses  the  area  to  the  left  of  the  lower  limit  to  find   the  lower  limit.  That  area  can  be  determined  by  noting  that  the  whole   area  under  the  curve  is  100%.  This  means  that  5%  is  distributed  in  two   equal  tails.  Each  tail  is  half  of  5%.  Each  tail  is  2.5  or  0.025  in  decimal   notation.  Thus  the  lower  limit  can  be  found  by  using  the  area  0.025.     The  upper  limit  can  be  found  by  using  the  area  to  left  of  the  upper  limit.   The  area  to  the  left  of  the  upper  limit  is  2.5%  +  95%.  This  is  97.5%  or  0.975   in  decimal  notation.     Example     Find  the  95%  confidence  interval  for  the  population  mean  number  of  cups   of  sakau  en  Pohnpei  consumed  by  a  customer.  The  sample  consists  of   227  customers  who  drank  an  average  3.65  cups  of  sakau  with  a  standard   deviation  of  2.52.     While  we  lack  the  population  standard  deviation,  the  sample  is  large   enough  and  the  underlying  data  is  sufficiently  heap-­‐like  that  the  sample   standard  deviation  is  a  good  point  estimate  for  the  population  standard   deviation.  In  this  example  n  =  227,  x  =  3.65;  and  sx  =  2.52.  Note  that  x  and   sx  are  being  used  to  estimate  µ  and  σ     The  lower  ("left")  limit  for  the  population  mean:     Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 6 of 17 =NORMINV(0.025;3.65;2.52/SQRT(227))   The  result  is  3.32  cups.     The  upper  ("right")  limit  for  the  population  mean:     =NORMINV(0.975;3.65;2.52/SQRT(227))     The  result  is  3.98  cups.     Remember:  the  p  in  the  NORMINV  function  is  the  area  to  the  left  of  the   x-­‐axis  value.  For  95%  of  the  area  under  the  curve,  the  amount  of  area  in   the  "tails"  is  5%.  Half  in  the  left,  half  in  the  right.  The  right  tail  is  2.5%  or   0.025.  The  left  tail  is  also  2.5%,  but  the  area  to  the  LEFT  of  this  2.5%  is   97.5%  or  0.975.     Margin  of  Error  E  of  the  mean     The  Margin  of  Error  E  for  the  mean  is  the  distance  from  the  sample   mean  x  to  either  one  of  the  ends  of  the  confidence  interval.  The  margin   of  error  E  is  always  calculated  to  come  out  positive.  For  the  example   above:     =3.65  −  3.32   =3.98  −  3.65     The  margin  of  error  E  is  0.33.  This  represents  an  uncertainty  at  a  95%  level   of  confidence  of  one  third  of  a  cup  of  sakau.     The  confidence  interval  is  often  written  as:     x  -­‐  E  ≤  µ  ≤  x  +  E     For  the  sakau  cup  study  the  95%  confidence  interval  would  be  written   3.32  ≤  µ  ≤  3.98.     Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 7 of 17 Another  common  notation  you  will  sometimes  see  is  to  write  the  sample   mean  x  ±  margin  of  error.  For  the  example  above  we  could  write:  3.65  ±   0.33     A  third  notation  is  related  to  probability  notation:  p(3.32  ≤  µ  ≤  3.98)  =   0.95  This  is  related  to  the  first  format  above  and  is  rarely  seen  in   publications.     Standard  of  Error  of  the  mean,  Margin  of  Error  for  the  mean     Do  not  confuse  these  two  terms.  The  Standard  Error  of  the  mean  is  ±   σ/√(n).  The  Margin  of  Error  for  the  mean  is  the  distance  from  either  end   of  the  condifendence  interval  to  the  middle  of  the  confidence  interval.     Example:     Given  that  n  =  219  CHS  students  took  the  TOEFL  examination  with  a   sample  mean  score  of  x  =  369  and  a  sample  standard  deviation  sx  =  50,   construct  a  90%  confidence  interval  for  the  population  mean  TOEFL  score   for  CHS.     The  point  estimate  for  the  population  mean  µ  is  369.         Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 10 of 17 so  large  that  the  estimate  is  without  useful  meaning.  A  basic  rule  in   statistics  is  "the  bigger  the  sample  size,  the  better."     The  spreadsheet  function  used  to  find  limits  from  the  Student's  t-­‐ distribution  does  not  calculate  the  lower  and  upper  limits  directly.  The   function  calculates  a  value  called  "t-­‐critical"  which  is  written  as  tc.  t-­‐critical   muliplied  by  the  Standard  Error  of  the  mean  SE  will  generate  the  margin  of   error  for  the  mean  E.     Do  not  confuse  the  standard  error  of  the  mean  with  the  margin  of  error  for   the  mean.  The  Standard  Error  of  the  mean  is  sx/√(n).  The  Margin  of  Error  for   the  mean  (E)  is  the  distance  from  either  end  of  the  condifendence  interval   to  the  middle  of  the  confidence  interval.  The  margin  of  error  is  produced   from  the  Standard  Error:     Margin  of  Error  for  the  mean  =  tc*standard  error  of  the  mean     Margin  of  Error  for  the  mean  =  tc*sx/√n     The  confidence  interval  will  be:     x  -­‐  E  ≤  µ  ≤  x  +  E     Calculating  tc     The  t-­‐critical  valus  will  be  calculated  using  the  spreadsheet  function  TINV.   TINV  uses  the  area  in  the  tails  to  calculate  t-­‐critical.  The  area  under  the   whole  curve  is  100%,  so  the  area  in  the  tails  is  100%  −  confidence  level  c.   Remember  that  in  decimal  notation  100%  is  just  1.  If  the  confidence  level  c  is   in  decimal  form  use  the  spreadsheet  function  below  to  calculate  tc:     =TINV(1−c,n−1)     If  the  confidence  level  c  is  entered  as  a  percentage  with  the  percent  sign,   then  make  sure  the  1  is  written  as  100%:     Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 11 of 17 =TINV(100%−c%,n−1)     Degrees  of  Freedom     The  TINV  function  adjusts  t-­‐critical  for  the  sample  size  n.  The  formula  uses  n   −  1.  This  n  −  1  is  termed  the  "degrees  of  freedom."  For  confidence  intervals   of  one  variable  the  degrees  of  freedom  are  n  −  1.     Example  9.2.1     Runners  run  at  a  very  regular  and  consistent  pace.  As  a  result,  over  a  fixed   distance  a  runner  should  be  able  to  repeat  their  time  consistently.  While   individual  times  over  a  given  distance  will  vary  slightly,  the  long  term   average  should  remain  approximately  the  same.  The  average  should  remain   within  the  95%  confidence  interval.     For  a  sample  size  of  n  =  10  runs  from  the  college  in  Palikir  to  Kolonia  town,  a   runner  has  a  sample  mean  x  time  of  61  minutes  with  a  sample  standard   deviation  sx  of  7  minutes.  Construct  a  95%  confidence  interval  for  my   population  mean  run  time.     Step  1:  Determine  the  basic  sample  statistics  sample  size   n  =  10  sample  mean  x  =  61      [61  is  also  the  point  est.  for   the  pop.  mean  µ]  sample  standard  deviation  sx  =  7         Step  2:  Calculate  degrees  of  freedom,  tc,  standard  error   SE  degrees  of  freedom  =  10  -­‐  1  =  9  tc  =TINV(1-­‐0.95,10-­‐1)  =   2.2622  Standard  Error  of  the  mean  sx/√n  =  7/sqrt(10)  =   2.2136     Keeping  four  decimal  places  in  intermediate  calculations  can  help  reduce   rounding  errors  in  calculations.  Alternatively  use  a  spreadsheet  and  cell   references  for  all  calculations.     Step  3:  Determine  margin  of  error  E  Margin  of  error  E  for   the  mean    =  tc*sx/√n  =  2.2622*7/√10  =  5.01     Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 12 of 17 Given  that:  x  -­‐  E  ≤  µ  ≤  x  +  E,  we  can  substitute  the  values  for  x  and  E  to   obtain  the  95%  confidence  interval  for  the  population  mean  µ:     Step  4:  Calcuate  the  confidence  interval  for  the  mean  61  −   5.01  ≤  µ  ≤  61  +  5.01          55.99  ≤  µ  ≤  66.01     I  can  be  95%  confident  that  my  population  mean  µ  run  time  should  be   between  56  and  66  minutes.     Example  9.2.2     Jumps   102 66 42 22 24 107 8 26 111 79 61 45 43 10 17 20 45 105 68 69 79 13 11 34 58 40 213   On  Thursday  08  November  2007  a  jump  rope  contest  was  held  at  a  local   elementary  school  festival.  Contestants  jumped  with  their  feet  together,  a   double-­‐foot  jump.  The  data  seen  in  the  table  is  the  number  of  jumps  for   twenty-­‐seven  female  jumpers.  Calculate  a  95%  confidence  interval  for  the   population  mean  number  of  jumps.     The  sample  mean  x  for  the  data  is  56.22  with  a  sample  standard  deviation  of   44.65.  The  sample  size  n  is  27.  You  should  try  to  make  these  calculations   yourself.  With  those  three  numbers  we  can  proceed  to  calculate  the  95%   confidence  interval  for  the  population  mean  µ:     Step  1:  Determine  the  basic  sample  statistics  sample  size   n  =  27  sample  mean  x  =  56.22    sample  standard  deviation  sx   =  44.65         Step  2:  Calculate  degrees  of  freedom,  tc,  standard  error   SE  The  degrees  of  freedom  are  n  −  1  =  26  Therefore   tcritical  =  TINV(1-­‐0.95,27-­‐1)  =  2.0555  The  Standard  Error   of  the  mean  SE  =  sx/√27  =  8.5924         Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 15 of 17   The  confidence  interval  for  the  population  proportion  P  is:     p  −  E  ≤  P  ≤  p  +  E     0.8  −  0.1137  ≤  P  ≤  0.8  +  0.1137     0.20  −  0.1137  ≤  P  ≤  0.20  +  0.1137     0.0863  ≤  P  ≤  0.3137     The  result  is  that  the  expected  population  mean  for  Marshall  Island  High   School  is  between  8.6%  and  31.2%.  The  95%  confidence  interval  does  not   include  the  7%  rate  of  the  Chuuk  public  high  schools.  While  the  college   entrance  test  is  not  a  measure  of  overall  academic  capability,  there  are  few   common  measures  that  can  be  used  across  the  two  nations.  The  result  does   not  contradict  the  staffer's  assertion  that  MIHS  outperformed  the  Chuuk   public  high  schools.  This  lack  of  contradiction  acts  as  support  for  the   original  statement  that  MIHS  outperformed  the  public  high  schools  of   Chuuk  in  2004.     Homework:  In  twelve  sumo  matches  Hakuho  bested  Tochiazuma  seven   times.  What  is  the  90%  confidence  interval  for  the  population  proportion  of   wins  by  Hakuho  over  Tochiazuma.  Does  the  interval  extend  below  50%?  A   commentator  noted  that  Tochiazuma  is  not  evenly  matched.  If  the  interval   includes  50%,  however,  then  we  cannot  rule  out  the  possibility  that  the  two-­‐ win  margin  is  random  and  that  the  rikishi  (wrestlers)  are  indeed  evenly   matched.     Hakuho  won  that  night,  upping  the  ratio  to  8  wins  to  5  losses  to   Tochiazuma.  Is  Hakuho  now  statistically  more  likely  to  win  or  could  they  still   be  evenly  matched  at  a  confidence  level  of  90%?     9.4  Deciding  on  a  sample  size     Suppose  you  are  designing  a  study  and  you  have  in  mind  a  particular  error  E   you  do  not  want  to  exceed.  You  can  determine  the  sample  size  n  you'll   need  if  you  have  prior  knowledge  of  the  standard  deviation  sx.  How  would   Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 16 of 17 you  know  the  sample  standard  deviation  in  advance  of  the  study?  One  way   is  to  do  a  small  "pre-­‐study"  to  obtain  an  estimate  of  the  standard  deviation.   These  are  often  called  "pilot  studies."     If  we  have  an  estimate  of  the  standard  deviation,  then  we  can  estimate  the   sample  size  needed  to  obtain  the  desired  error  E.     Since  E  =  tc*sx/√n,  then  solving  for  n  yields  =  (tc*sx/E)²     Note  that  this  is  not  a  proper  mathematical  solution  because  tc  is  also   dependent  on  n.  While  many  texts  use  zc  from  the  normal  distribution  in  the   formula,  we  have  not  learned  to  calculate  zc.     In  the  "real  world"  what  often  happens  is  that  a  result  is  found  to  not  be   statistically  significant  as  the  result  of  an  initial  study.  Statistical  significance   will  be  covered  in  more  detail  later.  The  researchers  may  have  gotten   "close"  to  statistical  significance  and  wish  to  shrink  the  confidence  interval   by  increasing  the  sample  size.  A  larger  sample  size  means  a  smaller   standard  error  (n  is  in  the  denominator!)  and  this  in  turn  yields  a  smaller   margin  of  error  E.  The  question  is  how  big  a  sample  would  be  needed  to  get   a  particular  margin  of  error  E.     The  value  for  tc  from  pilot  study  can  be  used  to  estimate  the  new  sample   size  n.  The  resulting  sample  size  n  will  be  slightly  overestimated  versus  the   traditional  calculation  made  with  the  normal  distribution.  This  overestimate,   while  slightly  unorthodox,  provides  some  assurance  that  the  error  E  will   indeed  shrink  as  much  as  needed.     In  a  study  of  body  fat  for  51  males  students  a  sample  mean  x  of  19.9  with  a   standard  deviation  of  7.7  was  measured.  This  led  to  a  margin  of  error  E  of   2.17  and  a  confidence  interval  17.73  ≤  µ  ≤  22.07     Suppose  we  want  a  margin  of  error  E  =  1.0  at  a  confidence  level  of  0.95  in   this  study  of  male  student  body  fat.  We  can  use  the  sx  from  the  sample  of   51  students  to  estimate  my  necessary  sample  size:     Source URL: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/text.html#page-091 Saylor URL: http://saylor.org/courses/bus204 Attributed to: [Dana Lee Ling] Saylor.org Page 17 of 17 n  =  (2.0086*7.7/1)2  =  239.19  or  239  students.  Thus  I  estimate  that  I  will  need   239  male  students  to  reduce  my  margin  of  error  E  to  ±1  in  my  body  fat   study.     Other  texts  which  use  zc  would  obtain  the  result  of  227.77  or  228  students.   The  eleven  additional  students  would  provide  assurance  that  the  margin  of   error  E  does  fall  to  1.0.     That  one  can  calculate  a  sample  size  n  necessary  to  reduce  a  margin  of  error   E  to  a  particular  level  means  that  for  any  hypothesis  test  (chapter  ten)  in   which  the  means  have  a  mathematical  difference,  statistical  significance  can   be  eventually  be  attained  by  sufficiently  increasing  the  sample  size.  This   may  sound  appealing  to  the  researcher  trying  to  prove  a  difference  exists,   but  philosophically  it  leaves  open  the  concept  that  all  things  can  be  proven   true  for  sufficiently  large  samples.