Cours d'algèbre et exercices, Exercises of Material Engineering

Download Cours d'algèbre et exercices and more Exercises Material Engineering in PDF only on Docsity! ae OlUKKOW Nello) comma avec Exercices Dr Imene Medjadj 2018/2019 4s) Ah} asa A___ pit ants A___) pga ot nl gt ae SUL Cilla gy dame Len gl giSiNlg a gall Gy dy Male AN DIET 9 Ghualy Als République Algérienne Démocratique et Populaire Ministére de l’Enseignement Supérieur Et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed BOUDIAF Faculté des Mathématiques et Informatique Cours d’Algébre | et Il Avec Exercices Corrigés Présenté par : Medjadj Imene. -U.S.T.O. 2017- Table des matiéres Chapitre 1. Introduction Chapitre 2. Elément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices Corrigés 1. Régles de logique formelle 2. Méthodes de raisonnement 3. Exercices Corrigés Chapitre 3. Théorie des ensembles avec Exercices Corrigés 1. Notion d’ensemble et propriétés 2. Applications et relations d’équivalences 3. Relations Binaires dans un ensemble 4. Exercices Corrigés Chapitre 4. Structures Algébriques avec Exercices Corrigés 1. Lois De Composition Internes 2. Groupes 3. Anneaux 4. Corps 5. Exercices Corrigés Chapitre 5. Notion de IK— Espaces vectoriels(IK étant un Corps Commutatif) avec Exercices Corrigés Espace vectoriel et sous espace vectoriel Somme de deux sous espaces vectoriels Somme directe de deux sous espaces vectoriels Familles génératrices, familles libres et bases Notion d’Application Linéaire Exercices Corrigés OonkwnNe Chapitre 6. Notion de Matrice Associée 4 une Application Linéaire et Calcul Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés Espace vectoriel des matrices Produit de deux matrices Matrices carrées Les Déterminants Relations entre une application linéaire et sa matrice Associée Matrices et Changements de Bases OonkwnNe on 12 13 19 19 22 26 28 35 35 36 36 36 37 43 43 45 45 45 48 57 57 59 60 61 65 68 4 TABLE DES MATIERES 7. Diagonalisation 8. Systémes d’équations linéaires 9. Exercices Corrigés Bibliographie 70 73 77 83 CHAPITRE 1 Introduction Ce document cours d’Algébre I et II avec exercices corrigés recouvre le programme d’Algébre linéaire de la 1lére année universitaire. Le lecteur trouvera une partie cours qui a été enseigné et a la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés dont la plupart ont été proposé dans le cadre de travaux dirigés ou ont fait l’objet de contréle des connaissances. Tl est destiné principalement aux étudiants de la lére année L.M.D. ainsi que toute personne ayant besoin d’outils de bases d’Algébre linéaire. Nous espérons que ce polycopié réponde aux attentes des étudiants et qu’il les aidera a réussir. 8. ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES P1Q|PAQ 1} 1 1 1\0 0 O|1l 0 0|0 0 EXEMPLE 1.7. (1) 2 est un nombre pair et 3 est un nombre premier, cette proposition est vraie (2) 3<2et4>2, cette proposition est fausse. 2) La disjonction < ou >,« V > DEFINITION 1.8. la disjonction est un connecteur logique < ou >,< V >, on note la disjonction entre P,Q par (PouQ),(P VQ). PV Q est fausse si P et Q sont fausses toutes les deux, sinon (PV Q) est vraie. On résume tout ¢a dans la table de vérité suivante. P|Q|PVQ 1) 1 1 1/0 1 O{1 1 [oO[ 0] 0 EXEMPLE 1.9. (1) 2 est un nombre pair ou 3 est un nombre premier. Vraie. (2) 3<2 ow2>4. Fausse. 3)L’implication DEFINITION 1.10. L’implication de deux propositions P,Q est notée : P > Q on dit P implique Q ou bien si P alors Q. P = Q est fausse si P est vraie et Q est fausse, sinon (P = Q) est vraie dans les autres cas. PIQ|PSQ 1} 1 1 1] 0 0 0| 1 1 0| 0 1 EXEMPLE 1.11. () 0<¢@<9> Ve <3 .Vraie (2) Il pleut, alors je prends mon parapluie. Vraie c’est une conséquence. (3) Omar a gagné au loto = Omar a joué au loto. Vraie c’est une conséquence. 4)La réciproque de l’implication 1. REGLES DE LOGIQUE FORMELLE 9 DEFINITION 1.12. La réciproque d’une implication (P = Q) est une implication Q=P. EXEMPLE 1.13. (1) La réciproque de: 0< 4 <9> Vx <3, est: VE <3 > 0<ar<9. (2) La réciproque de : (Il pleut, alors je prends mon parapluic), est : (je prends mon parapluie, alors il pleut). (3) La réciproque de : (Omar a gagné au loto = Omar a joué au loto), est : (Omar a joué au loto = Omar a gagné au loto). 5)La contraposée de l’implication Soit P,@ deux propositions, la contraposée de (P + Q) est (Q=> P), ona (P + Q) = (Q= P) REMARQUE 1.14. (P > Q) et (Q= P) ont la méme table de vérité, i.e., la méme valeur de vérité. EXEMPLE 1.15. (1) La contraposée de :(Il pleut, alors je prends mon para- pluie), est (je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas). (2) La contraposée de :( Omar a gagné au loto = Omar a joué au loto), est : (Omar n’a pas joué au loto = Omar n’a pas gagné au loto). 6)La négation d’une implication THEOREME 1.16. Soit P,Q deux propositions on a (P= Q) = (PAQ). EXEMPLE 1.17. (1) La négation de : (il pleut, alors je prends mon parapluiec), est : (il pleut et je ne prends pas mon parapluic). (2) La négation de : (Omar a gagné au loto = Omar a joué au loto), est : (Omar a gagné au loto et Omar n’a pas joué au loto). (3) (a € [0,1] + x > 0) sa négation : (x € [0,1] Ax <0). Conclusion (1) La négation de (P > Q) est (PAQ). (2) La contraposée de (P => Q) est (Q > P). (3) La réciproque de (P = Q) est (Q => P). REMARQUE 1.18. (P> Q) & (PVQ). 2 ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES PREUVE. II suffit de montrer que (P = Q) a la méme valeur de vérité que (PV Q), on le voit bien dans la table de vérité suivante : P[Q|P|P=>Q|PVQ 1} 1/0 1 1 i[olo; 0 0 O;} 1) 1 1 1 Ololi| 1 7 7)L’équivalence DEFINITION 1.19. l’€quivalence de deux propositions P,Q est notée P = Q, on peut aussi écrire (P => Q) et (Q = P). On dit que P = Q si P et Q ont la méme valeur de verité, sinon (P = Q) est fausse. PIQ|P SQ 1/1 1 1/0 0 0| 1 0 0| 0 1 REMARQUE 1.20. (1) P#Q c’est a dire P n'est pas équivalente 4 Q lorsque P#Q0uQ#P. (2) P =Q peut étre lue P si et seulement si Q. EXEMPLE 1.21. (1) +2=0e0r=-2. (2) Omar a gagné au loto Omar a joué au loto. THEOREME 1.22. Soit P,Q deux propositions on a: (PS Q)e(P=Q)A(Q=>P). PREUVE. PIQIPSQl/Q=S P| (PSQ)A(QS P)I|(P SQ) 1} 1 1 1 1 1 1|0 0 1 0 0 Oj} 1 1 0 0 0 0) 0 1 1 1 1 8)Propriétés des connecteurs logiques Quelle que soit la valeur de vérité des propositions P,Q, R les propriétés suivantes sont toujours vraies. (1) Py P. (2) B (3) PAP SP. (4) PAQ & QAP. Commutativité de A (5) PVQ QV P. Commutativité de Vv 3. EXERCICES CORRIGES 13 EXEMPLE 2.2. Montrons que n? est impair > n est impair. Par contrapo- sée il suffit de montrer que sin est pair > n? est pair voir l’exemple précédent. (3) Raisonnement par l’absurde Pour montrer que R est une proposition vraie on suppose que R est vrai et on tombe sur une contradiction (quelque chése d’absurde), quand R: P => Q est une implication par l’absurde on suppose que R : R AQ est vraie et on tombe sur une contradicition. EXEMPLE 2.3. (a) Montrer que V2 est un irrationnel. (b) n est pair = n?est pair, par Vabsurde : on suppose que n est pair et que n* est impaire contradiction (4) Contre exemple Pour montrer qu’une proposition est fausse il suffit de donner ce qu’on appelle un contre-exemple c’est a dire un cas particulier pour lequel la proposition est fausse. EXEMPLE 2.4. (n est un nombre pair )=> (n?+1 est pair), fausse car pour n=2,4+1=5 n'est pas pair, c’est un contre-exem, (5) Raisonnement par recurrence Pour montrer que P(n) : Wn € IN, n > no, P, (x) est vraie on suit les étapes suivantes : (a) On montre que P(no) est vraie, (valeur initiale). (b) On suppose que P(n) est vraie a l’ordre n (c) On montre que P(n + 1) est vraie a l’ordre n + 1 Alors P est vrai pour tous n > no. EXEMPLE 2.5. Montrer Wn € IN“: 1+2+...+n = 2&2 _ ie 1 — 2 (a) Pour n = 1, P(1) est vraie 1 = =}. n(n+1) 2 (b) On suppose que 1+2+..4+n= est vraie. (c) On montre que 1424..4n41= Se) 14+24..¢n+1=1424..4n4(nt1) = EY 4 (n+ 1) = SHE) ainsi P est vraie @ Vordren +1 alors Vn € IN* :14+2+..+n= aot) est urate. est vraie, 3. Exercices Corrigés -EXERCICE — 1. Donner la négation des propositions suivantes : (1) V2 € IR, ay € R, 2x +y > 3. (2) Ve > 0, da > 0,|2] <a = |2?| <e. 24 ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES (3) Va € IR,(# = 0V x €]2,4)). (4) Il eviste M € IR*, pour tous n € IN tel que : |U,| <M. ‘SOLUTION . (1) P: Vx € IR, aye R, 2+ y>3 © P:4r eIR,Vy € R,2¢+y <3. (2) P:We>0,4a > 0, |x| <a> |a?|<e @ P:3e>0,Va>0,|2| <a |ax?| > (3) P:Wa € IR, ((@ = 0) V (w €]2,4))) oe P:AreR,xZ0A(x@<2Va>4). (4) P: il eviste M € IR*, pour tous n € IN tel que : |U,| <M <P: pour tous M € IR*, il existe n € IN tel que :|U,| > M. REMARQUE 3.1. (1) a < b veut dire (a < b) A (a # b) sa négation est : (a> b) V (a= 6) c'est a dire a > b. (2) a<b<c veut dire (a <b) A (b<c) sa négation est : (a> b) V (b>c). -EXERCICE — 2. Exprimer les assertions suivantes 4 l’aide des quantificateurs et répondre aux questions : (1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ? (2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ? (3) Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est-il pair ou impair ? (4) 4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair? . (1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ? Soit P = {2k/k € Z} Vensemble des nombres pairs. VnsmeP,nx me P? Soient n,m € P, alors 3k; € Z/n = 2k, Ako € Z/m = 2ky doin x m= 2(2ki ko) = 2k3, ainsi Sky = 2kyko € Z/n xX m = 2kz > n xm € P le produit est pair. Le produit de deux nombres impairs est-il impair ? Soit I = {2k +1/k € Z} Vensemble des nombres impairs. Wn,m € I,n x m € I? Soient n,m € I, alors Aki € Z/n = 2ky + 1, Sky € Z/m = 2k. +1 dow nx m = Akko + ky + ko) +1 = 2kz +1, ainsi ky = B2hyky + ky + ko € Z/n x m = 2k3 +1=>nxm€ I le produit est impair. LX Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est-il pair ou impair ? Wn eP,méel.nxmeP?,nxmel? Soient n € P,m € I, alors Sky € Z/n = 2k, Ako € Z/m = ky +1 d’ow nx m = 22k ky + ky) = 2kz, ainsi Sky = 2kyko + ky € Z/n x m = 2kzy > nxme€T le produit est pair. 2 (4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair ? Vn € Z,n pair = n? est pair. 3. EXERCICES CORRIGES 15 Montrons que n pair > n? est pair. Soitn €P, alors dk, € Z/n = 2ky, d’ou n? = n.n = 2(2k7), ainsi Sky = 2k7 € Z/n? = 2ko il est pair. Montrons que n? pair => n est pair. Par contraposée, on doit montrer que n est impair => n? est impair, c’est vrai cas particulier de la question 2), ainsi la proposition n? pair = n est pair est vérifiée, de plus n pair = n? est pair => Vn € Z,n pair > n? est pair est vraie. -EXERCICE | 3. Indiquer lesquelles des propositions suivantes sont vraies et celles qui sont fausses. ( ( ( ( ( ( ( 1) Ve € Ray € R:2e+y>0. 2) ae E R,Vy € RR: 2a+y>0. 3) Ve E R,Vy € R:2e+y>0. 4) Se € Ray € R: 2e+y>0. 5) dre RW Ee R:y >a. 6) Ve € IR, ay € R: 2a +y>0ou2x +y = 0). 7) Ve € IR, ay € R: Qe +y > 0et2x+y=0). ‘SOLUTION . (1) Ve € R, ay € R: 2a+y > 0, est vraie car Vx € IR, dy = ( ( ( ( ( ( —2n+1¢ER:2+y>0. 2) ae € IR, Vy € IR: 22+ y > 0, est fausse car , sa négation Vx € IR, dy € IR: 2c +y <0, est vraie Vx € IR, dy = —2a € IR; 2a +y <0 3) Ve € IR,Vy € IR: 2x+y > 0, est fausse car sa négation Sx € IR, dy € IR: 2a +y <0 est vraie , en effet Ix = 0, dy = 0;0 < 0. 4) de € IR, Sy € IR: 2a +y > 0, vraie car Jz = 0, dy = 1;1 > 0. 5) dr Ee R,Wy Ee R:y? >a, vraie Ir =—-1LER Ve R:2>y. 6) Ve € IR, ay € R: (Qa+y > Oou2x + y = 0), Vraie car Vr € IR, ay = —2r € IR: 2x — 2x = 0 (méme si 2x + y # 0) ow bien on peut dire que Ve € IR, sy = -2a +1: 2¢ —-20+1=1>0 (méme si 2x +y 40). 7) Ve € IR, ay ER: (Qa+y > Oet2x+y =0) est fausse car on ne peut jamais avoir (2x + y > Oet 2x + y = 0) en méme temps. EXERCICE — 4. Par Vabsurde montrer que : ( ( 1) v2¢Q. 2) Yn € IN, n? pair => n est pair. ‘SOLUTION . (1) Par Vabsurde on suppose que 2 est un rationnel i.e., Ja,b € ; a\b=1,/V2=4> s => 2b? = a? alors 2 divise a, a est pair Sk € IN/n = 2k, ainsi 2b? = dk? & W? = 2k?, on déduit que b est pair aussi or a,b sont premier entre eux contradiction, ce que nous avons supposé au départ est faux c'est a dire V2 ~Q. CHAPITRE 3 Théorie des ensembles avec Exercices Corrigés 1. Notion d’ensemble et propriétés 1.1. Ensemble. DEFINITION 1.1. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques (élé- ) rassemblés d’aprés une ou plusieurs propriétés communes. Ces propriétés sont ntes pour affirmer qu’un objet appartient ou pas & un ensemble. EXEMPLE 1.2. (1) B: (2) On désigne par IN l'ensemble des entiers naturels IN = {0, 1, 2, (3) L’e (4) L’ens nsemble des étudiants de l’université d’USTO. }. , emble des nombre pairs se note : P = {x € IN/2 divise x}. emble vide est noté : ) qui ne contient aucun vent. 1.2. Inclusion. On dit que l'ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tous les éléments de A appartiennent 4 B et on note AC B, ACB#(Vz,(rEeA>xreEB)). La négation : AG Be (ar,(xc€ ANx¢€B)). EXEMPLE 1.3. (1) On désigne IR V'ensemble des nombre réels on a: IN CR. (2) On désigne Z l’ensemble des nombre entiers relatifs, Q l'ensemble des ration- nelsona: NCZCQCR. 1.3. Egalité de deux ensembles : Soient A, B deux ensembles sachant A = B, cela veut dire que : A=Be((AC B)et(AC B)). 1.4. Différence de deux ensembles. La différence de deux ensembles A, B est un l’ensemble des élements de A qui ne sont pas dans B, noté A— B. A-B={a/x Ee Ax ¢ B}. Si A Cc B alors B — A est aussi appelé le complémentaire de A dans B, il est noté CH, AS. Ch = {a/x € BAx ¢ A}. 1.5. Opérations sur les ensembles. 19 20 3. THEORIE DES ENSEMBLES AVEC EXERCICES CORRIGES Vinelusion Le complémentaire ladifférence 8 A 6 G*) <> La différence symétrique Vintersection Uunion A B © C@> Ca) (A-B)UGB-A) 1.5.1. L’union. La réunion ou lunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des élements qui appartiennent 4 A ou B, on écrit AU B. cE AUBS (te AVreEB). La négation : c€EAUB S(t EAALEB). 1.5.2. L’intersection. L’intersection de deux ensembles A, B est l’ensemble des él- séments qui appartiennent 4 A et B on note AN B. crEANBSs (te AArEB). La négation : c€EANBS(t~AVUEB). REMARQUE 1.4. (1) Si A,B n’ont pas d’élements en commun, on dit qu’ils sont disjoints, alors ANB=9. (2) B=C# @AUB=E et ANB=0. (3) A- B= ANB’. 1.5.3. La différence symétrique. Soient E un ensemble non vide et A,B C E, la différence symétrique entre deux ensembles A,B est l'ensemble des éléments qui ap- partiennent 4 A— B ou B— A noté AAB. AAB = (A— B)U(B— A) = (AN CB) U(BN C4) = (AUB) — (ANB). x € AAB & {a/x € (A— B)Vxe(B-A)}. 2. APPLICATIONS ET RELATIONS D’EQUIVALENCES 23 (2) Soit f Vapplication définie par : g: [0,2] —=> [0,4] xr f(a) = (2x - 1)? Calculer f~1({0}), f-1(J0, Lf). F"({O}) = {x € [0,2]/F(x) € {0}} = {x € (0, 2)/ F(x) = 0} = {x € [0, 2]/(2x-1)” = 0} = Gh #-¥0,1) = {0 € (0,21/f(2) €)0,1} = (x € (0,21/0 <r 1? <1}, On a : (2a — 1)? > 0 est verifiée Vx € IR — {3}, x € [0,2]. D’autre part (Qa -1P <1=> |2e-1)<15-1<2r-1<150<2<1, et done x €]0,1[, en regroupant les deux inégalités, on obtient 1 = 0, tut =)o, tpt 1°1(0,1 = (0.31U}5, 20,1610, Sud. a 2.2.3. 1) La surjection. DEFINITION 2.4. L’image f(E) de E par f est une partie de F. Si tout élément de F est lV’image par f d’au moins un élément de E, on dit que f est une application surjective de E dans F ona: f(E) =F. fest surjective (Vy € F), (ax € E)/f(x) =y. EXEMPLE 2.5. Les applications suivantes sont-elles surjective ? Q) fi: Neo IN nt— 4n + 2. fi west pas surjective, en effet si on suppose qu’eli Vy € IN, dn € IN/J4nt+l=y= n=, orn= nest pas surjective. (2) fp: IR-> R cr 5a+3. fo est surjective car : Vy € IR, Ja € IR/ba +3 sy => r= ae eR. 2.2.4. 2) L’injection. est surjective c’est a dire ot ¢ IN contradiction f; DEFINITION 2.6. Quand on a deux éléments dictincts de E correspondent pas f a deux image différentes de F, f est dite application injective, on a alors : (fest injective) <= (Vx1, x2 € E,x, # x > f(x1) F f(x2)), ou (fest injective) <= (Wr1,22 € E, f(a1) = f(x2) > v1 = 22). EXEMPLE 2.7. Les applications suivantes sont-elles injerctive ? Q) fi: Neo IN nr 4n+ 2. fi est injective car Nny, no € IN, f(a1) = f(x2) > 4ny + 2 = 4a +2 > Any = Ang > ny = No. 24 3. THEORIE DES ENSEMBLES AVEC EXERCICES CORRIGES Injection Surjection Bijection x — .Y xX —+¥ xX ——.Y (2) fp: RRR ur 5a43. fz est injective car Nx,, x2 € IR, f(a1) = f(x2) > 5a. +3 = 522435 5a, = 5x2 > © = £2. 2.2.5. 3) La bijection. f est une application bijective si elle injective et surjective, c’est a dire tout élément de F est image d’un unique élément de EL, f est bijective si et seulement si : (vy € F), (lx € E), (f(x) = y). (al signifie unique) EXEMPLE 2.8. (1) fi nest pas bijective car elle n’est pas surjective. (2) fo est bijective. REMARQUE 2.9. Lorsque une application f est bijective cela veut dire que l’appli- cation inverse f~! existe. f~! est aussi bijective de F sur E et (f-!)"!= f. EXEMPLE 2.10. fo est bijective et sa bijection est définie par : SRR 2.2.6. 4) La composition d’application. Soient E, F,G des ensembles et deux appli- cations f,g telles que f:EroF, g:FroG rr f(r)=y yr gly) = 2 On définit application gof:EroG cr>go f(r) =z. PROPOSITION 2.11. (1) Si f et g sont injectives > go f est injective. (2) Si f et g sont surjectives => go f est surjective. 2. APPLICATIONS ET RELATIONS D’EQUIVALENCES 25 PREUVE. (1) Supposons que f et g sont injectives, montrons que go f est injective : Vai, 22 € E,go f(1) = 90 f (x2) puisque g est injective on aura : AF (21)) = 9(F (w2)) => fle) = f(a2) puisque f est injective ainsi : 9° f(x) = 9° f(w2) + v1 = 2, gof est injective. (2) Supposons que f et g sont surjectives c’est 4 dire f(E) = F,g(F) = G, mon- trons que go f est surjective : 9° f(B) = 9 f(Z)) = 9(F) =@ d’aprés la surjectivitée de f,g d’ow le résultat. REMARQUE 2.12. Il s’ensuit que la composée de deux bijection et une bijection. En particulier, la composition de f : E > F et sa réciproque f-! : F => E est Vapplication indentitée Idp, f~'o f = Ide, f o f-') = Ide. 2.2.7. c) Propriétés des applications. Soit f : E+ F ona: (1) AC B= f(A)c f(B). (2) (AUB) = f(A) U SB). (3) (ANB) c f(A) f(B). PREUVE. (1) Soit y € f(A) alors dr € A/f(x) =y, or AC BS x €B done y= f(x) € f(B) dot f(A) c f(B). (2) Soit ye f(AUB) & Are AUB/f(x)=y @ dre A/f(z)=yV ave B/f(x) = & yeMAVye f(B) @ ye f(AUS®), ainsi f(AU B) = f(A)U f(B). Soit yEf(ANB) = Are ANB/f(x)=y => dre A/f(z)=yA ave B/f(x) =y = ye f(A)Aye f(B) = ye fAof®), ainsi f(AN B) c f(A) N f(B). 28 3. THEORIE DES ENSEMBLES AVEC EXERCICES CORRIGES 4. Exercices Corrigés 7. On considére les ensembles suivants : {1,2,5}, B= {{1, 2}, 5},C = {{1,2,5}}, D = {0,1, 2,5}, = {51,2}, P= {{1, 2}, {5h}, = {{1, 2}, {5}, 5}, w= {5, (1h, (2H. (1) Quelles sont les relations d’égalité ou d’inclusion qui existent entre ces en- sembles ? (2) Déterminer AN B,GUH,E-G. (3) Quel e: ‘SOLUTION . (1) On remarque A= E,AC D,ECD,BCG,F CG. (2) An B= {5}. GUH = (5, {1}, 2}, {1.2}. OF BG = {1.2}. (3) Cp = {0}. -EXERCICE — 8. Etant donné A, B et C trois parties d’un ensemble E, a) Montrer que : (1) (ANB)UBS= AUB. (2) (A—B)-C=A-(BUC). (3) A—(BNC) = (A- B)U(A-C). b) Simplifier : (1) @UB)N(CUA). le complémentaire de A dans D. (2) (ANB) U(CNA). ‘SOLUTION. a) Montrons que : (1) (AN B)UBS= AUB’. Soitz € (AN B)UBS eae (ANB)VareE BY, ceé(ANB)UBY & (te ANE B)V(x¢ B) @ (we AVrE B)A(tE BV«EB) @ c€ (AUB) Are (BUB) @ ce (AUB )NE <@ «te AUB. Car E = B°UB et AU BS est un sous ensemble se EB. (2) (A—B)-C=A-(BUC). Soit x €(A-—B)-—C ona: ceé(A-B)-C & (rE AAGEB) A(x EC) @ reEAA(x€BArEC) @ reEAA(xE BNC’) @ te Ada« ¢ (BUC)Lois Morgan @ rE A-(BUC). 4, EXERCICES CORRIGES 29 (3) A—(BNC) = (A- B)U(A-C). cre A-(BNC) & (te AA(tEBALEC) = (TEAALTEB)A(LEAALEC) @ we (A-B)Are(A-C) @ we (A-B)n(A-C). b) Simplifions (1) (AUB)N (CUA). (AUB)N (CUA) = (ANB)N(ENA) = (ANA)N(BNC) = ON(BNC) = 0. (2) (AN B)U(CNA). (ANB)U(CNA) = (AUB)U(CUA) = (AUA)U(BUC) = EU(BUC) = E. 9. Soient E = [0,1], F = [(-1, 1], et G = [0,2] trois intervalles de IR. Considérons Vapplication f de E dans G définie par : fv) =2=2, et V'application g de F dans G définie par : g(x) =a? +1 (1) Determiner f({1/2}), f*({0}), 9([-1, 1), 9-7 [0. 2)). (2) L’application f est-elle bijective ? justifier. (3) L’application g est-elle bijective ? justifier. ‘SOLUTION. () (@) F({1/2}) = {F (x) € (0, 2]/x = 1/2}, f(1/2) = 3/2 € [0,2], alors : F({1/2}) = {3/2}. (b) f-*({0}) = {w € [-1, 1]/f() = 0}. On a f(x) =2-x=052=2¢ [-1,]], alors : f'({0}) = 0. 30 3. THEORIE DES ENSEMBLES AVEC EXERCICES CORRIGES (c) g([-1, 4) = {9(2) € [0,2]/x € [-1, 1}, on a x € [-1, 0]UJO, 1]. -l<a<0 0<a<1 l<a+1<2 g(x) € [1,2] C [0, 2] x € [1,0] uu d’ow g({-1,0]) = [1,2] xéj0,l] > 0<a<l => 0<2<1 => 1<a41<2 => g(x) €]1,2] c [0,2] dow (]0, 1) =]1, 2], g({-1, 1]) = [1,2]. (d) g-1({0, 2]) = {x € [-1,1]/g(x) € [0,2]}, on a g(x) € [0,2] + O<a?+1<2 = -l<r'<1 = (-l<2’?<0)V(0<2?<1) Vingalité (—1 < x? < 0) n’a pas de solutions. 0<2<1Ss0<|al<le-l<e<l. Ainsi g *((0,2)) =9U[-1,1) =[-1,1. (2) Comme f~'({0}) =@ c’est & dire l’élément 0 € [0,2] n’admet pas d’an par f dans [—1,1] donc f n’est pas surjetive et par suite n’est pas bije (3) L’application g est paire done g(—1) = g(1) or -1 # 1 donc g nest pas injective d’ou g ne peut étre bijective, aussi on remarque que g([-1,1]) = [1,2] 4 [0,2] donc g n’est pas surjecive, alors n'est pas aussi bijective. -EXERCICE — 10. On définit sur IR? la relation R par : (x, y)R(a',y) eatyaa ty (1) Montrer que R une relation d’équivalence. (2) Trouver la classe d’é ‘SOLUTION . R est une classe d’équivalence si et seulement si elle est réfléxive et symetrique et transitive. (1) a) R est réflévive si et seulement si V(a,y) € IR, (a,y)R(a,y) uivalence du couple (0,0). (x, y)R(e,y) @uty=rty. 4, EXERCICES CORRIGES Dy, : le demi-plan fermé d’équations (x+y —a—b) > 0. Dot (a,b) = {2,y) €R°/(w, y)T(a,)} = (Dp OW Dye) U (Dp, 9D, pa) 33, CHAPITRE 4 Structures Algébriques avec Exercices Corrigés 1. Lois De Composition Internes DEFINITION 1.1. Soit G un ensemble, on appelle loi interne sur G toute application de G x G dans G, on note souvent une loi interne par x ou 6. EXEMPLE 1.2. (1) L’addition est une loi interne sur IR +:IRx R+-hR (a,b) a+b. (2) L’application 1 1 x R- {5} R-{5} (a,b) + a+b —2ab est une loi interne dans IR — {5}, en effet : Va,b € IR— {3}, montrons que a+b—2ab € IR- {3} plus précisement il faut prouver que a+b—2ab 4 3 car il est Evident que a+b— 2ab € R, on va raisonner par l’absurde on suppose que a+b—2ab= 3, sachant que a # 3, et bF 3 : 1 1 1 1 1 1+b—2ab= = (1 — 2b b-=)= = —b)(2a-1)= b= =Vb== a+ a 5 ) + ( 3) 0G )(2a-1)=0Sa 3 3 contradiction, alors ce qu’on a supposé est faux c’est & dire a+b— 2ab 4 3, d’ot. ax b € IR — {4},% est une loi interne. DEFINITION 1.3. Soit G un ensemble et * une loi interne. (1) « est dite commutative si et seulement si : Ve,y€Gaxy=yre. (2) x est dite associative si et seulement si : Va,y,z € G,ux (yx 2) = (xxy)*z. (3) * admet un élement neutre si et seulement si : dee GVreG,rxe=exrv= Q (4) Soit x € G on dit qu’un vent x’! € G est l’élement symétrique ou inverse de x si et seulement si xxa' = 2' xx =e, oe € G est l’élément neutre. 35 38 4, STRUCTURES ALGEBRIQUES AVEC EXERCICES CORRIGES (5) exe =1l>avt(e?-1P?=052=0,r=41. -EXERCICE — 13. On définit sur G = IR* x IR loi interne * comme suit : V(a.y), (2',y') € G, (x,y) * (2, y') = (wa, ay’ + 9) Montrons que (G,*) est un groupe non commutatif. ‘SOLUTION . (G,*) est un groupe si et seulement si xest associative xadmet un élément neutre Tout élément de E admet un inverse dansE (1) * est associative si et seulement si V(x,y), (#',y'), (@" 9") € G,/[(x,y) * @y)] * (2,9) = (wy) * (ey) * (ew)? (x,y) * (2, y)]*(@",y") = (wa! wy! + y) *(2",y”) = (x2'x”,vx'y” + xy! +y)....(1), (x,y) *(a!2” aly” +y) = (x2'x”,vx'y” + vy! +y).....(2). (x,y) *[(e',y) * (2, y")] (1) = (2) dow le résultat. (2) (e,e') € G est un élément neutre de G si et seulement si W(x,y) € G, (ay) * (e€) = (ee) * (ey) = (0.9) (x,y) * (e,e') = (a, y) (xe, ve’ + y) = (x,y) { le )= ~ { e,e') * (x,y) = (x,y) (ex, ey + e') = (x,y) rwe=2xr > ze’ +y=y exr=zr eyte=y e=leR*, «#0 > {on ock élément neutre. ainsi (e, e’) 5. EXERCICES CORRIGES 39 (3) Vay) € GAa',y') € G/(x,y) * 1¥) * (ay) = (ee') = (1,0). { (wy) *(e',y')=(1,0) _, f (wx', xy’ +y) = (1,0) : (1,0) (a'r, a'y +y’) = (1,0) ax’ =1 zy’ +y=0 vx=1 vy+y' =0 av =1/eeIR*, «#0 {j =-y/xeEIR, «#0 ainsi le symétrique de (x,y) € G est (a',y') = (1/2, —y/x) € G, alors (G,*) est un groupe. => (4) * est non commutatif si et seulement si Alor») = (2,0) € G,Ale!,y') = (1.1) € G/o.y) * (ey) # (esa!) * (0,9). { (2,0) * (1,1) = (2,2) ...(1) (1, 1) * (2,0) = (2,1) ...(2) on remarque que (1) # (2), alors (G,*) est un groupe non commutatif. -EXERCICE — 14. On définit sur Z? les deux lois 6,® comme suit : (x,y), (2,y') IR? (ey) Bey) = (e+e y ty’), V(a,y), (2',y') € IR?, (x,y) © (a',y!) = (aa', ay! + yr’). Montrer que (Z?,®,@) est anneau commutatif. ‘SOLUTION. (Z?,6, ©) est anneau commutatif si et seulement si : (Z?,@) est un groupe a oO est associative et distributive par rapport 4 loi ®. oO est une loi commutatif (1) (Z?,@) est un groupe abélien : a: © est commutative : V(a,y). (ey) € IR’, (2,9) (x,y) = (e@t+ey ty!) = (2 +2,y'+y) = (ey) © (x,y). b: ® est associative : V(a,y), (ay), (a ,y”) € IR?, (.y Sy) @ (2, y") = (etayty) (ey) = (eta +a" y ty +y").(1) (ey Sle yY)O@ VW) =(@ye@'t+a,y +y")=(ete' te" yty +y")..2) (1) = (2) d’ou le résultat. 40 4, STRUCTURES ALGEBRIQUES AVEC EXERCICES CORRIGES c: Il existe e = (e1,e2) € Z? tel que : (e1, €2) ® (wy) = (wy) ® (e1, €2) = (w,y) Puisque Best commutative on traite une seul équation : (a, y) ® (e1,€2) = (@, y) => (@ + ery + 2) = (ey) c+e= Alor: ors { yter= neutre de ®. 8 = { a= 0 e = (0,0) € Z est l’élément e= 0 S d: Chaque élément de Z? posséde un élément symétrique dans Z?, W(x, y) € 2? A(2',y) EZ: (x,y) 6 (w',y') = (0,0), (2, y') & (@,y) = (0,0), il suffit de prendre a’ = —x,y' = —y ainsi (—ax,—y) € Z? est V’élément symétrique de (x,y) € Z?. Sachant a,b,c,d (Z?,®) est un groupe commutatif. (2) ~ © est associative : V(x, y),(x',y’), (x, y”) € IR’, ((z, oa’, yJO(2”,y”) = (wa', xy’+ye")O(2” y”) = (wa'x”, xa'y” +ay'x” +yx'x”)...(1) (2 ,y”)] = (a, yO(a'a”, 2'y? +y'2”) = (xa'ax” ,va'y? +a” y'+y2" ) = (2) d’ow le résultat. — © distributive par rapport @ ® : V(x, y),(2’,y'), (2, y”) € IR’, (x,y) © (vy!) ® (@”,y")] = [(e,y) © (2, y’)] © [(e,y) © (2, 9", ((v,y) (2, y)] © @,y") = [(e,9) 0 (2, 9") S[(e,y) © (@”,y")]- Montrons que : (x,y) © [(e',y) 6 (2 ¥")] = [(a,y) © (2 y')] © [(@,y) © (2 sy"), Ona: (x,y) © [(e,y') 8 (@,y")] = (ay) © [a +2" ,y +97] Ainsi (@,y) © [(a!,y!) ® (0 ,y")] = (wa! + 22” ay! +.2y” + yo! + yo”)...(3) ® ® (zy) © (a, y)] & [(, 9) 0 (2",y"] = (wa, wy! + yo!) & (ax” ay” + ya”). De plus (x,y) © (2',y)] ® (ay) O(a" "| = (wa! + 00", ay' + ya! + xy” + yoo”)...(A) d’ot (3) = (4). Montrons que : (v,y) ®(e',y)] 0 (@,¥") = [ayo WO [(e'.y) © (@,¥")]. CHAPITRE 5 Notion de IK— Espaces vectoriels(IK étant un Corps Commutatif) avec Exercices Corrigés 1. Espace vectoriel et sous espace vectoriel Soit IK un corps commutatif (généralement c’est IR ou C) et soit E un ensemble non vide muni d’une opération interne notée (+) : (4):Bx EE (uy) >at+y et d’une opération externe notée (-) : ():IKx EOE QA, 2) > A+a DEFINITION 1.1. Un espace vectoriel sur le corps IK ou un IK— espace vectoriel est un triplet (E,+,-) tel que : (1) (E,+) est un groupe commutatif. (2) VA €1K,Va,y€ B,A-(c+y)=dA-t+A-y (3) VA, we KV € BE (A+p)-c=A-c+p-r (4) VA, € IK, Va € BE, (A+) + @ = A(x) (5) Va € Bly v=o Les éléments de l’espace vectoriel sont appelés des vecteurs et ceux de IK des sca- laires. PROPOSITION 1.2. Si E est IK— espace vectoriel, alors on a les propriétés sui- vantes : (1) Va € E,0q, -@ = 0g 2) Va € E,-lyj a= x 3) VA € IK, A+ 0g = 0g 4) VA € IK, Va,y€ E,X-(x@-—y)=A-a-—dA-y 5) VA € IK, Va € E,t-A\=0g Se =O VA=0K ( ( ( ( EXEMPLE 1.3. (1) (IR, +, .) est un IR— espace vectoriel, (C,+,.) est un C—-e.v. 43, a4 NOTION DE IK— ESPACES VECTORIELS(IK ETANT UN CORPS COMMUTATIF) AVEC EXERCICES CORRIGES. i on considére muni des deux opérations suivante 2) Si idere IR? i des d erat . (+): IR? x IR? > R’, (.): IRx IR’? > R? (a,y), (ey) > (wta.y ty’), O(a) > (A-@,A-y) on peut facilement montrer que (IR’, +,-) est un IR-e.v. DEFINITION 1.4. Soit (E,+,-) un IK— espace vectoriel et soit F un sous ensemble non vide de E, on dit que F est sous espace vectoriel si (F,+,-) est aussi un IK— espace vectoriel. REMARQUE 1.5. Lorsque (F,+,-) est IX— sous espace vectoriel de (E,+,-), alors Op EF. Si On ¢ F alors (F,+,-) ne peut pas étre un IK— sous espace vectoriel de (E,+,:). THEOREME 1.6. Soit (E,+,-) un IK— espace vectoriel et F C E,F non vide on a les équivalences suivantes : (1) F est un sous espace vectoriel de E. (2) F est stable par l’addition et par la multiplication c’est @ dire : Va,ye PVA € K,r+ye BAe F. (3) Va,y € F,VA, pe KK, A.c+ py € F, dou: F#O, F est 8.c.u@ { Ve,ye BVA we IK, \ct+p.y€ F (4) Va,y € F,VA, pe KK, A.c+ wy € F, dou: On € F, F est 8.c.u@ { Ve,ye kVA Welk, \ct+p.ye€ F EXEMPLE 1.7. (1) {0g}, E sont des sous espace vectoriel de E. (2) F = {(v,y) € IR?/x + y = 0} est un sous espace vectoriel car ; ~ 0g = 0p? = (0.0) CF + FAO. -V(a,y), (x,y) © FA, u € IR montrons que x,y) + pla’, yJeF ; c’est a dire (Na + pa’, \y + py JCF Av + pr! + Ay + py! = Ma+y) + ula! +y') = r.0 + p.0 = 0, car (x,y) €F > x+y=0,et(a',y')€ Fs a'+y'=0. Ainsi (x,y) + u(2',y’) € F, F est sous espace vectoriel de IR”. (3) F={(e@+y+z2,2-y,2)/z,y,2 € IR} est un s.e.v de R’, en effet, ~ Oty = (0,0,0) € F car (0,0,0) = (0+0+0,0-0,0) > F 40. ~WX,Y € F,\,p €IR montrons que AX + pYE'F; ona: X €F & A(x,y,2z) € IR?9/X =(@+y4+2,0-y,2), ¥ €F 6 3ay,2) € R/V = (0! ty +2,2' -y,2)), AX + pY = (Av + Ay t+ Az, Av — Ay, Az) + (pr! + py! + pe’, wx" — py’, 12") 4, FAMILLES GENERATRICES, FAMILLES LIBRES ET BASES 45, AX + pY = ((Av + pa’) + (Ay + py’) + (Az + pz’), (Aw + pr’) — (Ay + py’), Az + fz) dot Sa” = Ax + pa’ € IR, Sy” = Ay + py’ € IR, S32” = Az+ pz’ € R, ainsi AX + pY = (2" + y" 4 2! ,0" -y" EF. THEOREME 1.8. L’intersection d’une famille non vide de s.e.v est un sous espace vectoriel. REMARQUE 1.9. La réunion de deux s.e.v nest pas forcément un s.e.v. EXEMPLE 1.10. E; = {(x,0) € IR?}, By = {(0,y) € IR’}, EU Bon’est un s.e.v car = (1,0), U2 = (0,1) € By etUi+U2 = (1,1) € BLUR, car (1,1) € A A(1,1) ¢ Be. 2. Somme de deux sous espaces vectoriels Soit E,, Ey deux sous espaces vectoriels d’un IK—e.v E, on appelle somme de deux espaces vectoriels, E, et Ey et on note E, + E, l'ensemble suivant : BE, + By = {U € E/aY, € Ey, 3U, € Ey/U =U, + Ud}. PROPOSITION 2.1. La somme de deux s.e.v de E, et Ey (d’un méme IK-e.v) est un s.e.v de E contenant FE, U Eo, i.e., Ey U Ey C E, + Eo. 3. Somme directe de deux sous espaces vectoriels On dira que la somme EF, + Ey est directe si VU = U; + Up, il existe un unique vecteur U; € E;, un unique vecteur Uz € Ea, U = U; + U2, on note E; @ £2. THEOREME 3.1. Soit E,, By deur s.e.v d’un méme K-e.v E la somme E, + BE, est directe si EM Ey = {Op}. 3.1. Sous espace supplémentaires. Soient E, et Ey deux s.e.v d’un méme Ik-e.v E, on dit que E, et Ey sont supplémentaires si E, Ey = E EXEMPLE 3.2. Ey = {(a,0) € IR*}, Fy = {(0,y) € IR?}, 2, @ & = IR’, Ey et Ey sont supplémentaires. 4, Familles génératrices, familles libres et bases Dans la suite, on désignera l’espace vectoriel (E,+,-) par E. DEFINITIONS 4.1. Soit E un e.v et €1,€9...,€n des éléments de E, (1) On dit que {e1, e..., en} sont libres ou linéairement independents, siVA1, A», .--, An € Aie1 + Ageg +... FAnEn = 0 => Ay = Ag =... = An = 0, solution unique. Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont liés. (2) On dit que {e1, e2...,en} est une famille génératrice de E, ou que E est engen- dré par {e1, €9...,€n} si Va € BE, Ay, Xo, ..., An € IK/ w= dye) + Ax€Q +... + AnEn- 48 NOTION DE IK— ESPACES VECTORIELS(IK ETANT UN CORPS COMMUTATIF) AVEC EXERCICES CORRIGES 5. Notion d’Application Linéaire 5.1. Généralités. DEFINITION 5.1. (1) Soit (E,+,-) et (F,+,-) deux IK— espaces vectoriels et soit f une application de E dans F, on dit que f est une application linéaire si et seulement si : Vo,y © E,W € IK, flr + y) = fa) + f(yetf(A-2) = d- flo), ou d’une maniére équivalente : Ve,y € E,W, € IK, f(A + py) = Af (x) + uf (y)- (2) Si de plus f est bijective, on dit alors que f est un isomorphisme de E dans F. (3) Une application linéaire de (E,+,+) dans (E,+,-) est dite un endomorphisme. (4) Un isomorphisme de (E,+,-) dans (E,+,-) est aussi appelé un automorphisme de E dans E. EXEMPLE 5.2. (1) L’application fi: IR? R (xy) 2-y est une application linéaire, car : V(x,y), (x,y) € IR, VA, uw € IR, filA(a, y) + w(a',y')) = fara + pa’, Ay + py!) = Aw + pa! — (Ay + py’) = fi(Mw.y) + ula'y’)) = Maw — 9) + ule! = y') = Afi(@.y) + HAla'sy). (2) L’application fp TR? R® (2.4.2) > (-2 + y,2— 52,9) est une application linéaire, car : V(x,y,2),(2',y’,2’) € R3,VA,u € R, Jol A(x, y, 2) + (2's y', 2')) = falda + pea’, Ay + py’, AZ + p12’) © fo(A(a,y, 2) +u(a',y', 2’) = (—Aw— pa! + Ay + py, pa! + pa! — 5.y — Spy’, Ay + py’) = fo(A(a,y, z) +2’, y’, 2) = (—Aw+ Ay, Av —5Az, Ay) + (—par" + poy’, pr! — Buz’, Ay’). & fol(A(a,y, 2)+u(a',y/, 2’)) = A(—at+y, 7-52, y)+u(—a' +y',2'—52',y') = Afo(a,y, z)+ufe(2',y’', 2’). (3) L’application fp: RoR Lr —30 est isomorphisme, en effet, fz est linéaire car : Ver,y IR, VA, € IR, fav + py) = —3Ax — 3pry = Afs(x) + Hfs(y), REMARQUE 5.3. On peut montrer facilement la somme de deux a néaires est une application linéaire, aussi le produit d’une appli scali ée de deux applications | lications li- tion lin, es est une application linéai rire et la compos 5. NOTION D’APPLICATION LINEAIRE 49 PROPOSITION 5.4. Soit f une application linéaire de E dans F. L)f(Or) = Or, 2)¥e € B, f(—2) = — f(x). PREUVE. On a, 1) f(z) = f(Oz + Ox) = f(z) + f(On) = f(On) = Or. 2)f(-2) + f(@) = f(-«+ ©) = f(z) = Or = f(-2) = -f (2). DEFINITION 5.5. Soit f une application linéaire de E dans F. (1) On appelle image de f et on note Imf UVensemble défini comme suit Imf = {y € F/Av€ E: f(x) = yf = {f(x)/2 € E}. , (2) On appelle noyau de f et on note ker f | ker f = {x € E/f (x) On note parfois ker f, par f~!({O}). PROPOSITION 5.6. Si f est une application linéaire de E dans F alors sidimImf = n < +00, alors n est appelé rang de f et on note rg(f). Imf et ker f sont des sous espaces vectoriels de E. ensemble défini comme suit : Or}. EXEMPLE 5.7. (1) Déterminons le noyau de Uapplication fi, ker f = {(w,y) €1R?/f(0,y) = 0} = {(c,y) € IR2/v42y = 0} = {(0,y) € IR2/e = -2y} ainsi ker f = {(—2y, y)/y € IR} = {y(-2, 1)/y € IR} donc le ker f est un sous espace vectoriel engendré par u = (—2,1) donc il est de dimension 1, et sa base est {u}. (2) Cherchons Vimage de fo TR? > IR? (0,452) (-o+y,0— 2,9) Imfx= {f(a,y,2)/(a,y, 2) € RY} = {(-2 + y,0 — z,y)/(w,y, 2) € IR} Imfs = {x(-1,1,0) + y(1,0, 1) + 2(0, -1,0)/(z,y, z) € IR?} donc Imfy est un s.e.v de IR® engendré par {(—1,1,0), (1,0, 1), (0,-1,0)} a est faci montrer que cette famille est libre et donc il forment une base de IR? donc dimImf. = 3,rg(f2) = 3, Imf = IR’. PROPOSITION 5.8. Soit f une application linéaire de E dans F on a les équiva- lences suivantes : (1) f est surjective = Imf = F. (2) f est injective = ker f = {Op}. 50 NOTION DE IK— ESPACES VECTORIELS(IK ETANT UN CORPS COMMUTATIF) AVEC EXERCICES CORRIGES EXEMPLE 5.9. Dans Veremple Imf, = IR* donc fy est surjective, montrons que fo est injective ker fa = {(@,y, 2) € IR*/falx,y, 2) = (0,0, 0)}, = ker fo = {(x,y,2) € R?/(-x+y,0 —z,y) = (0,0,0)} +x =y=2=0 donc ker fz = {(0,0,0)}, ainsi fo est bijective. 5.2. Application Linéaire sur des espace de dimension finies. PROPOSITION 5.10. Soit E et F deux IK espace vectoriels et f,g deux applications linéaires de E dans F. Si E est de dimension finie n et {e1,€2,...,en} une base de E, alors Vk € {1,2,..,n}, f(ex) = g(x) @ Vx € E, f(x) = g(x). PREUVE. L’implication (<=) est evidente. Pour (=) ona E est engendré par {¢1,€2,...,€n}, done Vx € BE, AX, Ao, ., An € IK, x = Ayer + ApeQ +... + An€n, comme f et g sont linéaires, alors f(x) = frei + Aves +... + Ann) = Arf(er) + Avf(e2) +... + Anf (en); g(x) = g(Aier + Aze2 + «.. + An€n) = Angler) + A2g(E2) +... + Anglen), donc si on suppose que Vk € {1,2,..,n}, flex) = glex) done on déduit que Va € E, f(x) = g(x). REMARQUE 5.11. Pour que deux applications linéaires f et g de E dans F soient Gales il suffit qu’elles coincident sur la base du IK— espace vectoriel E. EXEMPLE 5.12. Soit g une application de IR’ dans IR? telle que g(1,0) = (2,1),9(0,1) = (-1,-1) alors déterminons la valeur de g en tous points de IR”, en effet ona: V(a,y) € IR?, (x,y) = 2(1,0) + y(0, 1) g(x,y) = g((1,0)+y(0,1)) = xg(1,0) +4900, 1) = 2(2,1)+y(-1,-1) = Qe-y,2-y) ainsi g(x,y) = (2a — y,x— y). THEOREME 5.13. Soit f une application linéaire de E dans F avec dimension de E est finie, ona: dimE = dim ker f + dimIm(f) EXEMPLE 5.14. On a montré que dimker f; = 1 avec f, définie fi: IR? R (x,y) > w+ 2y comme dimIR? = 2 = dimIm(f) = dimIR? — dimker fy = 2—1=1. 6. EXERCICES CORRIGES 53, (3) F =IR® car dim F = 3 = dim R’. [EXERCIGE | 17. On consi F={(x,y,2,t) € R4/(e@+z=0)A(ytt=D0)} (1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de IR?. re dans IR*, le sous ensemble F défini par : (2) Donner une base de F,, déduire sa dimension. ‘SOLUTION . (1) (0,0,0,0)¢ F> FF 9, car (0+0 =0) A\(0+0=0). ~VWX = (x,y, 2,t),Y = (a, y,2',v) € FA, € R montrons que : Me,y. zt) + wla'y 20) F, c’est @ dire (Ax + px’, Ay + py’, AZ + 2! At + pte’ F XeF=> («+z=0)A(yt+t=0) YeF= (a) +27=0)A(y'+t =0) Matz) =OA pa! +27) =0> Att pa'+Az+p2' =0 > A My tt) =OA ply +t!) =O Ayt py! +At + wt! =0 ainsi Ax + pa! + Az + poz’ = OA Ay t+ py! + At + wt! = 0 c'est dire Na,y,2,t) + uw(2',y’,2,U) € F d’ou le résultat. (2) Base de F : soit X € Fe x=-zAy=-t, X = (x,y, 2,t) = (a,y, -2, -y) = #(1,0, -1,0) + y(0,1,0, -1), ainsi F = {x(1,0,-1,0) + y(0,1,0,—1)/#,y € RR}. D’ou F est engendré par {v, = (1,0,—-1,0), v2 = (0,1,0,-1)}, montrons que cette famille est libre si et seulement si VA1, Ag € IR, Ary + Agv2 = (0,0,0,0) = Ar = Ag = 0. Ai (1,0, -1,0) + Az(0, 1,0, -1) = (0,0, 0,0) = (A1,A2, Ar, —Az) = (0,0, 0,0) d’ou le résultat. Alors la dimension de F est égale 4 2, car {v,,v2} est une base (libre et génératrice) de IR‘. REMARQUE 06.1. C’est un exemple de l’intersection de deux s.e.v est un s.e.v on pouvait l’écrire sous cette forme F = FO Fo ot Fy = {(2,y,2,t) € IR4/(x + z= 0)}, Fo={(esy.z.t) € R'/(y +t =0)}. est montrer que F\, F2 sont des s.e.v de R. -EXERCICE 18. (1) Montrer que la famille {(1,2),(—1,1)} est génératrice de IR’. (2) quelle sont les famille libre parmis les familles suivantes : F, = {(1, 1,0), (1,0, 0), (0,1, 1)}, Fy = {(0, 1, 1,0), (1, 1, 1,0), (2,1, 1,0)}. (3) Montrer que la famille {(1,2),(—1,1)} est une base de IR’, et que la famille F; = {(1,1,0), (1,0, 0), (0,1, 1)} est une base de IR®. 54 NOTION DE IK— ESPACES VECTORIELS(IK ETANT UN CORPS COMMUTATIF) AVEC EXERCICES CORRIGES. ‘SOLUTION . (1) La famille {(1,2),(—1,1)} est génératrice de IR? si et seule- ment si VX = (a,y) € IR’, 5), € IR/X = \(1,2) + w(-1, 1). Soit (x,y) € IR, cherchons X, 1 € IR tel que : (ey) = N12) +a(-1,1) = (A=, 2A+n) ainsi c=\-p, ....(1) _aty _ -2e+y {ya w.-.(2) Q+Q)+r= tH = (2) qu es familles suivantes : F, = {(1,1,0), (1,0,0), (0,1, 1)}, Fy = {(0, 1, 1,0), (1, 1, 1,0), (2,1, 1,0)}. i) F, = {(1,1,0), (1,0, 0), (0,1, 1)} est libre si et seulement si Wr, Aa Ag © IR, Ai (1, 1,0) + A2(1, 0,0) + A3(0, 1, 1) = (0,0,0) + Ar = Ap = Az = 0. Ar(1, 1,0) + Aa(1, 0,0) + As(0, 1, 1) = (0,0, 0) Ai t+ A2 = 0 M1 =0 &4 AtA3=0 &¢ A2=0 A3 = 0 3 = 0 F, est libre. ii) Fy = {(0,1,1,0), (1,1, 1,0), (2,1, 1,0)} est n’est pas libre car BA, = 1,A2 = —2, 3 = 1 € BR, Ai (0, 1, 1,0) + Ao(1, 1, 1,0) + Ag(2, 1, 1,0) = (0, 0,0, 0). (3) La famille {(1,2), (—1,1)} est une base de IR?, car quand le nombre de vecteurs=2=dim IR? il suffit de montrer qu'elle est soit génératrice ou bien libre pour qu'elle puisse étre une base or d’aprés la question (1) elle est génératrice d’ow le résultat. La famille Fy = {(1,1,0), (1,0,0), (0,1, 1)} est une base de IR*, car le cardi- nale de F, est égale 4 3 = dimIR? est F, étant libre, alors c’est une base de IR’. -EXERCICE — 19. Soit V’application f définie de IR? dans IR? par : f(v,y) = («@+y,0—y). (1) Monter que f est linéaire. (2) Déterminer ker f, et Imf et donner leurs dimensions, f est-elle bijectives ? (3) Déterminer fo f. ‘SOLUTION . (1) f est linéaire si et seulement si Va, 8 €IR,V(a,y), (',y') €IR®s f(a(x,y) + B(a'y')) = af (ey) + AF (ay). 6. EXERCICES CORRIGES 55 f(a(x,y) + B(2’,y')) flax + Ba’, ay + By’) (ax + Ba! + ay + By’, ax + Ba! — ay — By’) (ax + ay, ax — ay) + (Bx! + By’, Ba’ — By’) a(e+y,e—y) + B(a' + y/,a'—y') = af(x,y) + Bf(e'.y) d’ou f est linéaire. (2) Déterminons ker f, et Imf et donner leurs dimensions, f est-elle bijectives ? kerf = {(a,y) € IR*/f(x,y) = (0,0)} {(a,y) € IR?/e+y=0 A c—y=0} = {(0,0)} ainsi dim ker f = 0. Imf = {(e@+y,e-y)/(w,y) € R*} {e(1,1) +y(1,-1)/(@,y) € IR*}. Ainsi Imf est engendré par deux vecteur qui sont libre, alors dim Imf = 2. Sachant que la dimension de l’ensemble de départ est égale a la dimension de Vensemble d’arrivée f est bijective si elle est soit injective ou bien surjective or f est injective car ker f = {(0,0)} et aussi surjective car dim IR? = dim Imf = 2 c’est a dire Imf = R?. (3) Soit (w,y) € IR?) on a fofly) = ff@,y) =fat+y,e-y) (ey) + (@—)sle+y)—(e—») = (2x, 2y) = 2(2,y) = 2Idype -EXERCICE — 20. Soit Vapplication f définie de IR? dans IR? par : f(x,y) = (20 — dy, x — 2y). (1) Monter que f est linéaire. (2) Déterminer ker f, et Imf et donner leurs dimensions, f est-elle bijectives ? ‘SOLUTION. (1) f est linéaire si et seulement si Va, 6 € IR, V(x,y), (x,y) € IR*; f(a(e,y) + B(2',y')) = af (vy) + BF (2',y). fla(x,y) + B(x", y')) f(ax + Ba', ay + By’) (Qax + 26x! — day — 4By',ax + Bx' — 2ay — 2By') (Qax — day, ax — 2ay) + (282' — 4By', Bx! — 287’) a(2x — 4y, © — 2y) + B(2a" — dy’, a’ — 2y’) = af oy) + 6f'.y) 68 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC On note aj; l’élément qui se trouve a la ligne numéro i et la colonne j et on note la matrice A par A = (aij)1<i<n,i<j<p- L’ensemble des matrices de type (n,p) est noté Min, p)(IK). (1) Pour n= 1, on dit que A est une matrice ligne, A = (a11, @19, ..., @ip)- au (2) Pour p = 1 on dit que A est une matrice ligne, A = me Qip (3) Pour n = p, on dit que A est une matrice carrée d’ordre n et on note A € M,, (IK). 140 2 3.0 . : EXEMPLE 1.2. (1) Ay = 320) A, est une matrice de type (4,3). 413 2) Ag = 1017 ; Ay est une matrice de type (2, 4). 5 210 9 (3) A3 = ( 6 0 ), Az est une matrice carrée d’ordre 2. DEFINITION 1.3. Soit A = (aij)i<icni<j<p et B= (bij)1<i<ni<j<p deux matrices de types (n,p), (1) On dit que A= B siVi=1,...,n, Vj =1,..., pp aij = bij. (2) La transposée de la matrice A est une matrice notée A’ définie par Al = (aji)icicpasicn autrement dit A‘ c’est la matrice de type (p,n) obtenue en remplagant les lignes par les colonnes et les colonnes par les lignes et ona: (A‘)' = A. se 1234 EXEMPLE 1.4. (GQ) A =|: SAi={ 4321 320 0003 413 11 -100 -5 0 2 0) = (5 21 3) ea 01 —5 8 ; 1 0 15 @)&=(5 2)s4=(4 3): THEOREME 1.5. En munissant V’ensemble M n,)(IK) par les opération suivantes : 2. PRODUIT DE DEUX MATRICES 59 (+): Map) (IK) x Map (Ik) > Min (IS) Gy AQ «Ap bu big. Dap Qit+by aet+by .. dp +bip @q1 A920 ss Ap bo bap bop 5 Qa, + bz, dz2 + boo G2 + bap Ant GnQ «+ Onp Oni Ona ss Onp Ani + dnt Gn2 + bn2 Gnp + Onp et ():IKx Map(IK) > Map) (IX) ay, Ay Ap Nay, Ady «. Adip dV 421 422, + Aap Aa, Ady. dar» d . . see . > . . . Gn Gn2 ++ Anp Nant AGnQ «- Aanp Alors (M(n,p)(IK), +, -) est IK— espace vectoriel de dimension n x p, sachant que l’élé- 00. 0 bags . 00. 0 ment neutre de l’addition est la matrice nulle 00. 0 2. Produit de deux matrices DEFINITION 2.1. Soit A€ M(np)(IK) et BE Mipm(IK), on définit le produit de la matrice A par B comme étant une matrice C = (¢ij)1<i<a<j<m € Minm)(IK), avec Cj = Abi; + Aiba; + @31b3; + ... + Aipbp;- REMARQUE 2.2. (1) L’élément C;; de la matrice C se calcule en additionnant le produit des éléments de la ligne i de la matrice A par la les éléments de la colonne j de la matrice B. (2) Le produit de deux matrice ne peut se faire que si le nombre de colonnes de la matrice A correspond au nombre de lignes dela matrice B. EXEMPLE 2.3. 1201 A=(33 9) B= 20114, 110 A est de type (2, 3) et B de type (3,4) ainsi C sera de type (2,4). C=AB= 1.141.24+01 1.2+4+1.04+01 104+11+0.0 11+4+1.1+0.0 TN 2142.240.1 2.24+204+01 20421400 2.14214 0.0 3 2 ec=(§ 4 60 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC REMARQUE 2.4. Le produit deux matrice nest pas commutatif voigi un exemple : ap=(75)-(9 7)-(t t) 484-3) 3. Matrices carrées DEFINITION 3.1. Soit A une matrice carrée d’ordre n, A = (dij)1<i<n<j<ns (1) La suite des éléments {a11, a2, .-., nn} est appelée la diagonale principle de A. (2) La trace de A est le nombre Tr(A) = ay, + ay +... + Ann. (3) A est dite matrice diagonale si aj =0,Vi 4 j c’est & dire que les éléments de A sont tous nuls sauf la diagonale principale. (4) A est dite matice triangulaire supérieure (resp inférieure) si aij = 0,Vi > j, (resp i < j), c’est @ dire les éléments qui sont au dessous(resp au dessus) de la diagonale sont nuls). (5) A st dite symétrique si A = A’. 1 0 0 EXEMPLE 3.2. (1) A;= {| 0 —2 0 J, A; est une matrice diagonale. 0 0 1 -100 (2) Ag = 5 4 0 }, Ao est une matrice triangulaire inférieure. 6 39 7 40 2 (3) Az= | 0 2 3. |, Ag est une matrice triangulaire supérieure . 0 0 -1 1 2 -2 1 2 -2 (4) Ay= 2 12 1 =Ab= 2 12 1 , Ay est une matrice symé- —2 1 «10 —2 1 10 trique. PROPOSITION 3.3. Le produit des matrices est une opération interne dans M (n,n) (Ik) et il admet un élément neutre la matrice nommée matrice identitée notée I,, définie par : 1000.0 0100. 0 1} 00 10. 0 "=1a00 1. 0 oe 0 000.01 DEFINITION 3.4. Soit A € Mon)(IK) on dit que A est invesible s’il existe une matrice BE M(nny(IX) telle que A.B = B.A=In. 4, LES DETERMINANTS 63 (5) det(A) ne change pas si on ajoute a une ligne une combinaison linéaires d’autres lignes (méme chése pour les colonnes). (6) Si Be M,,(IK), alors det(A.B) = det(A).det(B). 3.0 -5 EXEMPLE 4.10. (1) |AJ=| 2 2 1 | =0, car la ligne 1 est égale & la ligne 3.0 -5 3, L, = Ls. 9 0 -15 3 2 2 1 (2) |B] = 10 -1 4 =0, car Ly = 3% Ly. 30 -5 1 11-1 2 , 11 2 20 (3) |C| = 00 -1 4 =0, car Cy = Cy. 1 1-10 2 DEFINITION 4.11. Soit Vi, Vo,...,Vn, n vecteurs de IR” on appelle déterminant des vecteurs (Vi, Vo, ...,Vpn) et on le note det(V;, Vo, ..., Vn) le déterminant dont les colonnes sont les vecteurs V;, Vo, ...,Vn- EXEMPLE 4.12. Soit V; = (1,1,0), Vo = (0, -1, 1), V3 = (0,0, 1), alors 1 0 0 aet(¥i,¥n¥)=| 1 —1 0] =] 0 11 PROPOSITION 4.13. Soit Vi, Va, ...,Vn, n vecteurs de IR” on (Vi, V2,..., Vn) est une base de IR” <= det(V, V2, ..., Vn) #0 EXEMPLE 4.14. Soit Vj = (1, 2,0), V2 = (0, —1, 1), V3 = (0,0, 1), forment une base de IR3, car det(Vj, V2, V3) = -1 40. 4.1. Le rang d’un matrice. DEFINITION 4.15. Soit A € Min,)(IK), on appelle rang de A et on note rgA Vordre de la plus grande matrice carrée B prise (extraite) dans A telle que detB # 0. EXEMPLE 4.16. A= ( 5 o ) ,detA =240,rgA=2. 11 B=(1 | ) det = 0 O.rg= 1. 0 1 -1 0 C={ -1 1 -1 1 J ,rgA<4(rgA < 3) la plus grande matrice carrée contenue 0 -1 1 0 64NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC dans A est d’ordre 3, dans cet exmple on a : 4 possibilité : 1 -1 0 0 1 -1 GQ={ 1 -11),q={-1 1 -1 4), -1 1 0 0 -1 1 0 10 0 -1 0 C3={ -1 1 1),q,={ -1 -11 0 -10 0 1.0 detC, = detCz = 0 et detC3 = detC, = 0 donc le rgA < 3 et ona: -1 0 “11 =-140SrgA=2. THEOREME 4.17. le rang d’une matrice est égale au nombre maximale de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants. DEFINITION 4.18. Soit A = (aij) 1<i<na<j<n € Mn(IK), on appelle cofacteur d’in- dice i et j de A le scalaire Cy = (—1)'Mdet Aj;. Avec Aj; est la matrice déduite de A par suppression de la ligne i t la colonne j. La matrice C = (cij)i<i<ni<j<n est appelée la matrice des cofacteurs et la matrice Ct est appellée la comatrice de A. 1 0 3 +> + EXEMPLE 4.19. Soit la matrice A= {| 1 -1 1 ],] -— + — J. Calculons 0 2 2 + -— + les coffacteurs de A en = (-1)det(An) = (-1)?| 5 5 | =-4. cu = (-1)*"det( Ars) = (-1) 4 5 | =-2. cu = (-1)*¥det(Ais) = (-1)" 4 3 | =2. eu = (-1)?**det(Aa1) = (-1) ; 3 | = 6. C22 = (-1)?"det( Azz) = (-1)" 4 3 | =2. O23 = (-1)*¥det( Aas) = (-1)° 4 ; | =-2 oS (-1)**"det(As1) = (-1)" ’ ; | =3. 5. RELATIONS ENTRE UNE APPLICATION LINEAIRE ET SA MATRICE ASSOCIEE 65, €32 = (—1)?*?det( Ago) = (-1)° 33 = (—1)?**det(Agz) = (-1)° donc la matrice des cofacteurs est donnée par : -4 -2 2 6 2 -2 3 2 -1 et la comatrice et 4 6 3 c={-2 2 2 2 -2 -1 THEOREME 4.20. Soit Ac M,,(IK), ona: Aest inversible <> det(A) 4 0, et dans ce cas la matrice inverse de A est donnée par : -1 = 1 rt det(A) Ou Ct est la comatrice de A. 1 0 3 EXEMPLE 4.21. La matrice A= { 1 —1 1 } ,det(A) = 2 40 done elle est 0 2 2 inversible, de plus -4 6 3 At= Loe =t{-2 2 2 2 2\ 9 -2 -1 -2 3 3 At= -1 1 1 1 -1 -+ On peut vérifier que A~'A = Iz = AAM!. 5. Relations entre une application linéaire et sa matrice Associée DEFINITION 5.1. La matrice A = (aij )i<i<m<j<n est appelée la matrice de f suivant les bases B et B’ et elle est parfois notée M(p.py(f).Si E = F et B= B', on dit que A est la matrice de f swivant la base B et on la note Mis) (f). 68 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC EXEMPLE 5.10. fi R25 RR? (x,y) > (w©-y,e+y) Montrons que f est bijective et calculer son inverse M,(f) = ( I 7 ) = A,det(A) = 2404 f est bijective. ca=( 7!) ei iol (Momin'=(4 i 2 2 f'(«,y) = My ( : ) =(542,-244). y PROPOSITION 5.11. Si A € M(nm)(IK) associée @ une application linéaire f de E dans F la matrice suivant les bases, B de E et B' de F, alors rg(A) = r9(f), rg(A) = rg(4’). 6. Matrices et Changements de Bases DEFINITION 6.1. Soit E une.v et soit B = (e1,€2,...,en) et BY = (e'1, 2, ..., en) deux bases pour E, la matrice de passage de la base B’ 4 la base B est par définition la matrice M(g,py(Idg) ot. Idg est Vapplication identité Idg: EE cD. Les vecteurs de base de B peuvent s’exprimer dans B’ selon les relations _ , 1 ! €1 = a1€1+ aye€2 +... + Ainen ! 1 ! €2 = an1€1 + Ay€2 +... + Aan€n : , 1 , (S):4 e G31€ 1 + A32€2 +... + AgnE n ! ! ! Gn1€1 + An2€ 2+ «+ Ann€ n n appelle matrice de passage de a B la matrice carrée léfinie par oO LI ti di de Ba Bl t Pd 41 4120 + An Pp- 421 4220 + A2n Ant An2 ++ Ann 6. MATRICES ET CHANGEMENTS DE BASES 69 EXEMPLE 6.2. B! = {e'1,e'2,e’3},e¢1 = (1,1, 1),e’2 = (1,1,0),e’3 = (1,0,0) et B= {ey,€9,€3} la base canonique de IR’, Idyps : Ry > Roy (x,y, 2) > (#4, 2), Ma.ey (Idpps) Id(e1) = (1,0,0) = Arey + Ave’a + Age's = (Ar + Az + Az, Ar + Av, An) => dy =0.5,A2 = —0.5, 3 = 0.5 Td(e2) = (0,1,0) = Are’ + Ave’s + Aze’s = Ar = 0.5, 2 = 0.5, Ag = —0.5, Id(e3) = (0,0, 1) = Aye’; + Ave’a + Age’s => Ay = —0.5, Ap = 0.5, Az = 0.5, 1 1 -l done Mip.py(Idyp2) = 3 -1 1 1 R 1 -1 1 PROPOSITION 6.3. La matrice de passage d’une base B & une base B’ est la matrice inverse de la matrice de passage de B’ vers B : Mup.2)(Idyps) = (Mis. (Tdy))* REMARQUE 0.4. Soit E une.v et soit B = (1, €9,...,€n) et B’ = (e1, 9, ...,'n) deur bases pour E. Les vecteurs de base de B’ peuvent s’exprimer dans B selon les relations ey = bier + dives +... + binen é 2 = = bo1€1 + bageg +... + don€n bsie1 + bg2e2 +... + D3n€n (S): En = Onis + byez +. + dan€n On appelle matrice de passage de B & B’ la matrice carrée P~' définie par bi big Bin Pos bor boo ote bon baa dng + Onn EXEMPLE 6.5. 34 nt 05 0.5 -0.5\ 110 Moen (ldps)= | -3 5 3 Morn (dps) = { -0.5 05 05 =|o11 yoo. fF 05 05 0.5 101 matrice de passage de la base B 4@ la base B'. THEOREME 6.6. Soit f : EB > F,B,, B, deux bases pour E, Bz, B’2 bases de F. Si P désigne la matrice de passage de By, 4 B',, et Q désigne la matrice de passage de Bo & B's, alors Meer,p'e)(f) = Q May ,pa) (FP. G0 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC EXEMPLE 6.7. f IR’ = IR? (x,y,z) > (wty+z,0-y) On munit IR® de la base canonique Bz = (e1, 2,3) On munit IR? de la base onique By = (v4, v2), M(p,,p2)(f) = ( I j 4 ) On munit IR? de la base canonique B's = (e's, €'2,€'3), avec ey = (1,0,1),e2 = (1, 1,0), e's = (0,1,1) On munit IR? de la base canonique B's = (v'1,v'2), avec v') = (1,1), v'2 = (1,1), IR}, 7” Ry, f IR? > IR}, 32" Ry, P = Mop'g,ps)(Idyps), P= (M(e5,2')(Idqps)) = ROR Orr RPRO -1 1 _ Q=Morson(ldge) = (Gh) Ot = Mosanalldpe) ainsi : i sa ™~ | wv! Nie wisi NE Mor,5'3)(f) = QM, p2)P. lid 110 1-10 o1lt1 101 1 0 0 -1 -0.5 & Monoytt= (4 0 u) O91 101 i & Moon,p)(f) = ( P oleae 1 1 0 & Morsowit= (49? 4) Gs): 7. Diagonalisation DEFINITION 7.1. Soit A € Minn)(IK) et soit \ € IK, on dit que X est une valeur propre de A s’il existe un vecteur colonne v # 0 tel que Av = Xv. Le vecteur v est appelé vecteur propre associé 4 la valeur X. (39) EXEMPLE 7.2. 8. SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES 73 Alors la matrice A est diagonalisable et la matrice diagonale D associée & A est donnée par: : dM 0 0 0. 0 0d 0 0. 0 0 0» 0. 0 D=|.. . . 0 00 0 0 0 0 0 0 .0 A, chaque A,;se répete m; fois, la matrice P est formé des vecteurs propres. REMARQUE 7.9. Si la matrice A € M,,(IX) admet n valeurs propres distincts alors A est diagonalisable et la matrice diagonale D associée & A est : 1 0 0 0. 0 0 AX» 0 0. 0 — | 0 0 Ax 0. 0 D- soe ee 0 : 0 0 0 0 .0 An 1 01 EXEMPLE 7.10. On considére la matrice A = -121 admet les valeur 0 02 propres \, = 2 double et \y = 1 simple la matrice diagonale D est donnée par; D = 100 110 0 20 et la matrice de passage est donnée par: P= | 1 0 1 0 0 2 0 10 8. Systémes d’équations linéaires Soit Ik = R ou C. On appelle systéme de n équations linéaires 4 p inconnus 4A coefficients dans IK, tout systéme de la forme : A171 + Ayta +... + Apt, = by (3): Ay 21 + A272 +... + A2p%p = by Gy 1X1 + AngL2 +... + AnpLp = bn ott les (xj) ;-1,..p sont les inconnues, les (a;;),b; € IK. 1)Forme matricielle du systéme : by ry Posons A = (aij)i<i<nacj<p,B = SX = : Le systéme (S$) devient ; bn In G4 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC AX =B. Si f est une application linéaire de IK? dans IK” telle que que A soit la matrice associée a f suivant les bases canoniques et si on note par X = (21,...,Zp) et b = (bi, ...,0n), le systéme (9) devient f(X) = B. 2)Solution du systéme : DEFINITION 8.1. On appelle solution du systéme (S) tout élément X = (a1, ...,p) vérifiant les n ci revient & trouver un vecteur X tel que AX = B ou encore un élément X € IK? tel que f(X) = B. EXEMPLE 8.2. u+2y=1 1 2 t 3e-y=4 Sf] 3 -1 (j)-G 4) u-y=-2 1-1 y 3)Rang d’un systéme linéaire : Le rang d’un systéme linéaire est le rang de la matrice (ajj)1<i<n,1<j<p: Sir est le rang du systéme linéaire (S$), alors r <n et r <p. 8.1. Systéme de Cramer. DEFINITION 8.3. Le systéme (S) est dit de Cramer sin =p=r c’est & dire, (S) est un systéme de n équations @n inconnus et telle que detA #0. THEOREME 8.4. Tout Le systéme de Cramer admet une solution donnée par : X=A'B. EXEMPLE 8.5. c—y=0 _f 1/2 1/2 _fa\_ {aged wax=( 1, 12 )*X=\y)= detA=1#0,rgA = 2, Gi) G) = (4a te): (5 )- (4a eC) = G)= Ge) THEOREME 8.6. Dans un systéme de Cramer, la solution est donnée par les for- mules : 0 1)-8 ainsi detA; . x= t= detA Ou les A; est la matrice réduite de A, en remplagant la colonne i par le vecteur B. Ly. n. 8. SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES 75 EXEMPLE 8.7. Qa+2y+z=1 22 1 1 (S):¢ 2e+y-z=2 @{ 21-1 J=] 2 Be+y+z2=3 3.1 1 3 detA=440,rgA=n=p=3 ((S) est un systéme de cramer). 3)Cas ob Nn=petr<n: Si on considére maintenant un systéme de n équations a n inconus, mais rgA <n c’est a dire detA =0, dans ce cas on extrait une matrice M de A sachant que c’est la plus grande matrice carrée inversible c’est A dire detM # 0 contenue dans A et d’ordre r c’est ce qu’on appelle une sous-matrice, les inconnus associés 4 MM deviennent des inconnus principales et les (n—r) autres inconnus deviennent des paramétres ot bien ce qu’on appelle valeurs arbitraires et on considére le systéme suivant : , Ay 21 + Ayoh. + + Ap, = Oy = (Gp pi hyp $+ AinEn) = 64 i Ay 21 + Ay9%2 +. + Aap ky, = 02 (Ay p1Tpr yp $e + AonTn) = 05 Op By + Ay ®Q + ee + Apr Lp = bp (Aprp 1 Fryer + os + Opn Fn) = Vi bt By + Mpg Ly + oe + App Ly (Grr Erpt +o + Opn Tn \, ce dernier est un systéme de cramer, donc il admet une seule solution (2, ...,2,) qui dépend de (2,41, ...,2,). Si cette solution vérifie les (n — r) équations restantes, alors le systéme globale admet une infinité de solutions. Si par contre (xj,...,2,) ne vérifie pas une seule équation parmis les (n — r) équations restantes alors le systéme globale n’admet de solution. EXEMPLE 8.8. 30 —yt2z=3 3-1 2 x 3 (S):¢ 2e@+24+z2=2 @[2 2 1 y J= | 2 v—3ytz=1 1-3 1 z 1 G8 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC (2) Calculons A? — A—2I3 = 0, 7 6 -3 200 A=AA={ -18 -17 9 },427-A=| 0 2 0 | =2h. —30 30 16 002 D’ow le résultat, on peut remarque que A(A — Ip) = 21g => AB = In, avec B=1/2(A-hh)=A™l. -EXERCICE — 22. Soit A une matrice définie par : 011 A={101 110 (1) Trouver a,b € RR tels que A? = a.I, + b.A. (2) En déduire que A est inverible et donner son inverse. O11 A={101 110 Trouvons a,b € IR tels que A? = a.I, + b.A. 211 100 O11 A=] 121)=a} 010)4+b) 101 112 001 110 ainsi a = 2,b= 1. (2) 11 10 acta =—| 1 oft] i 1 |-240 dot A est inversible. A? — A= 2Iy => A(A— I) = fy > A(1/2(A — )) = ainsi A~! = 1/2(A — Is) -l 11 At=1/2{ 1 -1 1 1 ‘EXERCICE 23. Sovit la matrice associ¢e 4 UVapplication f définie sur IR? suivant la base canoniquede IR°. (1) Déterminer Vapplication f. 9. EXERCICES CORRIGES 79 (2) Déterminer ker f et Imf et leur dimension, f est-elle bijective ? (3) Soit S = {v, = (1,1, 1), = (1,0, 1), v3 = (2, -1,0)} a) Monter que S est une base de IR®. b) Donner la matrice associée @ f suivante la base S. ‘SOLUTION . (1) Determinons Vapplication f. 1 5 f(xy2={ 3 0 2 y |) =(e-yt5z, 30422, rtyt4z). 114 (2) ker f = {(e,y,2) € IR°/f(a,y,2) = (0,0,0)} ker f = {(0,0.0)}. alors dimker f = 0,(f est injective). Imf = {f(«.y,2)/(@.y.2) € R°} Imf = {x(1,3,1) + y(-1,0, 1) + 265, 2,4)/2,y, 2 € IR} la famille {(1, 3,1), (—1,0, 1), (5,2, 4)} est libre car det((1,3, 1), (—1,0, 1), (5,2, 4)) = 23 £0, alors dimImf = 3, (f est surjective), d’ou f est bijective. (3) Soit S = {v, = (1,1, 1), w = (1,0, 1), vg = (2,-1,0)} a) S est une base de Rs det(v1, v2, 03) #0, 11 113 det(v1, 02,03) =| 1 0 10 0/=240. 11 111 b) On note A’ la matrice associée a f suivante la base S. A! = P~'AP, avec 113 1/2 1 -1/2 P={ 1 0 0 | et faisons un changement de base P~! = | —1/2 -1 3/2 rid 1/2 0 -1/2 113 1-15 1/2 1 -1/2 12 5 10 A=| 100 3.0 2 -1/2 -1 3/2 }=| 7/2 2 -9/2 111 114 1/2 0 -1/2 8 5 -8 ‘EXERCICE 24. Soit la matrice A deéfinie par : 0 2 -1 A= 3-2 0 -2 2 #1 (1) Déterminer les valeurs propres de A. (2) Montrer que A est diagonalisable. (3) Déterminer P, calculer A*. 60 NOTION DE MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE ET CALCUL ALGEBRIQUE SUR LES MATRIC 0 2 -1 A= 30-2 ~«0 -2 2 1 déterminons les valeurs propres de A, soit \ € IR, —r 2 -1 P4(A) = |A- AL] = 3-rA -—2 0 = (1—A)(A+4)(A - 2) -2-r 2 1 les valeurs propres sont 1,2 et —4. (2) A est diagonalisable car elle admet trois valeurs propres dictinctes. (3) Cherchons les vecteurs propres. PourX\=1: Q-z=a2 —a+2y-—z=0 _ EB, = {v=(a,y,2) € RB’/Av =v} > 4 3a -2y=y => 3x-3y=0 ={t —2e+Qt+z=z —2¢ + 2y=0 * EB, = {x(1,1,1)/x € R,v = (1,1,1) est vecteur propre associé a 1. Pour\=2: Qy— z= we —24 +2y—z=0 Ey = {v = (a, y,2) € R8/Av = Qu} > 4 3x — 2y = 2y => 3c-—4y=0 —2x + 2y +2 = 2z —24 +2y—z=0 v= 4/3y ={ z= (-2/8)y Ey = {y(4/3, 1, -2/3)/x € IR, v2 = (4,3, —2) est vecteur propre associé a 2. PourX\=1: 2y-—2= 4a _ yyy E_4 = {v= (a,y,2) € R°/Av = —4v} > ¢ 3a — 2y+ = —4y ={ o (2/3)y —2 + 2y+2=—4 pee E_4 = {a(1,-2/3,1)/x € IR, v; = (2, —3, 2) est vecteur propre associé & —4. Ainsi 1 4 2 1 3 -3 1-2 2 10 0 A=PDP-',avecD=| 0 2 0 |, alors 0 0 -4 [14 2 rr 0 0 0 -12 -18 Ak =PD'P-*=—.] 1 3 -3 0 2 0 5 0 5 30-1 -2 2 0 0 (-4)F 5 6 -1