cours détaillé et exercices du mécanique du point, Exercises of Physics

Download cours détaillé et exercices du mécanique du point and more Exercises Physics in PDF only on Docsity! Résumé de Mécanique du point 1. Cinématique 1.1. Notion de point matériel et de référentiel On appelle point matériel ou corps ponctuel un système mécanique dont les dimensions sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d’une orbite...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique M auquel est associée sa masse m. Un référentiel est un repère muni d’une base de temps. Un référentiel est dit galiléen si la première loi de Newton est y applicable. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est aussi galiléen. 1.2. Repérage du point Un point matériel M est repéré, dans un référentielR, par son vecteur −−→ OM qui peut s’écrire, selon le système de coordonnées utilisé, sous la forme : • Dans un système de coordonnées cartésiennes M(x, y, z) : −−→ OM = x−→e x + y −→e y + z −→e z • Dans un système de coordonnées cylindriques M(r, θ, z) : −−→ OM = r−→e r + z −→e z • Dans un système de coordonnées sphériques M(r, θ, ϕ) : −−→ OM = r−→e r 1.3. Vitesse et accélération 1.3.1. Vitesse −→v (M/R) = ( d −−→ OM dt ) /R • En coordonnées cartésiennes : −→v (M/R) = ẋ−→e x + ẏ −→e y + ż −→e z • En coordonnées cylindriques : −→v (M/R) = ṙ−→e r + rθ̇ −→e θ + ż −→e z • En coordonnées sphériques : −→v (M/R) = ṙ−→e r + rθ̇ −→e θ + rϕ̇ sin θ −→e ϕ Dans la base de projection de Frenet −→v = v−→u T = ds dt −→u T avec : s : l’abscisse curviligne −→u T = d −−→ OM ds : vecteur tangent à la trajectoire orienté selon un sens choisi en général le sens du mouvement. −→u N = Rc d−→u T ds : le vecteur normal à −→u T orienté vers le centre de la courbure. Rc : le rayon de courbure de la trajectoire au point considéré 3 Résumé de cours Mécanique du point 1.3.2. Accélération −→a (M/R) = ( d−→v dt ) /R = ( d2 −−→ OM dt2 ) /R Dans le repère de projection de Frenet : −→a = dv dt −→u T + v2 Rc −→u N 1.3.3. Composition des vitesses et des accélérations Soient deux référentiels R et R′ tel que −→ Ω = −→ Ω(R′/R) est le vecteur rotation de R′ par rapport à R. −→v (M/R) ︸ ︷︷ ︸ vitesse absolue = −→v (M/R′) ︸ ︷︷ ︸ vitesse relative +−→v (O′/R) + −→ Ω(R′/R) ∧ −−−→ O′M ︸ ︷︷ ︸ vitesse d’entrâınement −→a (M/R) ︸ ︷︷ ︸ accélération absolue = −→a (M/R′) ︸ ︷︷ ︸ accélération relative +−→a (O′/R) + d −→ Ω dt ∧ −−−→ O′M + −→ Ω ∧ (−→ Ω ∧ −−−→ O′M ) ︸ ︷︷ ︸ accélération d’entrâınement=−→a e + 2 −→ Ω ∧ −→v (M/R′) ︸ ︷︷ ︸ accélération de Coriolis=−→a c 2. Dynamique 2.1. Quantité de mouvement −→p (M/R) = m−→v (M/R) 2.2. Lois de Newton 2.2.1. 1ère loi de Newton ou Principe d’inertie Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé ou pseudo isolé est animé d’un mouvement rectiligne uniforme ou au repos. 2.2.2. 2ème loi de Newton ou Principe Fondamentale de la Dynamique (P.F.D) Dans un référentiel galiléen : ( d−→p dt ) /R = m−→a (M/R) = ∑−→ F ∑−→ F : la somme de toutes les forces appliquées sur le point M . Dans un référentiel non galiléen R′: ( d−→p (M/R′) dt ) /R′ = m−→a (M/R′) = ∑−→ F + −→ F ie + −→ F ic avec −→ F ie = −m −→a e : Force d’inertie d’entrâınement. −→ F ic = −m −→a c : Force d’inertie de Coriolis 2.2.3. 3ème loi de Newton ou principe de l’action et la réaction Considérons deux points matériels A et B; la force appliquée par A sur B et la force appliquée par B sur A sont reliées par la relation : −→ F A/B = − −→ F B/A M.Lotfi 4 Mécanique du point Résumé de cours 3. Oscillateurs 3.1. Oscillateur harmonique Un oscillateur harmonique est un système régit par une équation différentielle du type : ẍ + ω20x = 0 avec ω0 la pulsation propre de l’oscillateur. L’oscillateur effectue donc des oscillations sinusöıdales d’équation : x(t) = x0 sin(ω0t + ϕ) et de période T = 2πω0 3.2. Oscillations libres amorties L’oscillateur subit une force de frottement fluide −→ f fr = −h −→v L’équation différentielle s’écrit sous la forme : ẍ + h m ẋ + k m x = 0 Qu’on écrit sous la forme : ẍ + 2λẋ + ω20x = 0 avec h m = 2λ = 1 τ = ω0 Q λ : constante d’amortissement; τ : temps de relaxation; Q : facteur de qualité. Selon la valeur de Q on distingue différents régimes : • Régime apériodique : ∆′ > 0 c’est à dire Q < 12 ou encore λ > ω0 La solution de l’équation différentielle s’écrit x(t) = e−λt ( A1e √ ∆′t + B1e − √ ∆′t ) • Régime critique : ∆′ = 0 c’est à dire Q = 12 ou encore λ = ω0 La solution de l’équation différentielle s’écrit x(t) = e−λt (A2 + B2t) • Régime pseudo périodique : ∆′ < 0 c’est à dire Q > 12 ou encore λ < ω0 La solution de l’équation différentielle s’écrit x(t) = e−λt (A3 cosωt + B3 sinωt) = Ce −λt sin(ωt + ϕ) ω = √ ω20 − λ 2 : la pseudo pulsation T = 2πω : est la pseudo période. le décrément logarithmique est défini par : δ = 1n ln x(t) x(t+nT ) = λT . 7 M.Lotfi Résumé de cours Mécanique du point x t Q > 12 Q < 12 Q = 12 Figure 1: 3.3. Oscillations forcées Dans ce cas l’équation différentielle s’écrit : ẍ + 2λẋ + ω20x = F0 m cosωt sa solution s’écrit comme la somme de la solution de l’équation homogène xh(t) et d’une solution particulière xp(t). x(t) = xh(t) + xp(t) La solution homogène tend vers zéro lorsque t→∞ : c’est le régime transitoire. Le régime permanent a pour équation : x(t) = xp(t) = Xm cos(ωt + ϕ) et en utilisant la notation complexe on détermine Xm et ϕ. 3.4. Portrait de phase La trajectoire de phase est l’ensemble des positions occupées par le point P (x, ẋ) dans le plan où on trace ẋ en fonction de x. le portrait de phase est l’ensemble des trajectoires de phase pour des conditions initiales données. Pour l’oscillateur harmonique non amorti la trajectoire de phase est une ellipse. Une trajectoire de phase fermée veut dire que le mouvement est périodique. M.Lotfi 8 Mécanique du point Résumé de cours 4. Système isolé de deux points – Forces centrales Le système étudié ici est un système isolé formé de deux points matériels M1 et M2 en interaction de masses respectives m1 et m2. Soit R un référentiel galiléen. 4.1. Référentiel barycentrique R⋆ Le centre de masse G du système {M1, M2} est défini par : (m1 + m2) −−→ OG = m1 −−→ OM1 + m2 −−→ OM2 ou encore m1 −−→ GM1 + m2 −−→ GM2 = −→ 0 On définit le référentiel barycentrique R⋆ comme étant le référentiel d’origine G en translation par rapport à R ( −→ Ω(R⋆/R) = −→ 0 ). Le référentiel barycentrique n’est pas en général galiléen, il est galiléen si le système est isolé. On notera les grandeurs par rapport au référentiel barycentrique avec des (⋆). 4.2. Réduction au mouvement d’une particule Soient : −−−−→ M1M2 = −→r −−→ GM1 = −→r ⋆1 −−→ GM2 = −→r ⋆2 −→v = −→v 2 − −→v 1 = −→v ⋆2 − −→v ⋆1 En utilisant la définition du centre de masse on montre que : −→r ⋆2 = m1 m1 + m2 −→r ; −→r ⋆1 = − m2 m1 + m2 −→r −→v ⋆2 = m1 m1 + m2 −→v ; −→v ⋆1 = − m2 m1 + m2 −→v Puisque le système {M1, M2} est isolé alors d’après le principe d’inertie −→v G = −→ cte; donc le référentiel barycentrique R⋆ est galiléen. 4.2.1. Résultante cinétique C’est la quantité de mouvement du système. dans R : −→ P = m1 −→v 1 + m2 −→v 2 dans R⋆ : −→ P ⋆ = m1 −→v ⋆1 + m2 −→v ⋆2 = −→ 0 4.2.2. Moment cinétique Le moment cinétique du système dans R⋆ est : −→ L ⋆ = −→ L G/R⋆ = −−→ GM1 ∧ −→ P ⋆1 + −−→ GM2 ∧ −→ P ⋆2 Or −→ P ⋆1 = − −→ P ⋆2 alors le moment cinétique du système se réduit à : −→ L ⋆ = −→r ∧ µ−→v avec µ = m1m2m1+m2 est la masse réduite du système. 1er théorème de Kœnig : −→ L O/R = −→ L ⋆ + −−→ OG ∧ (m1 + m2) −→v (G/R) 9 M.Lotfi Résumé de cours Mécanique du point 4.3.5.b. Lois de Kepler : • 1ère loi : Les planètes décrivent autour du Soleil des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers. • 2ème loi : Le mouvement d’une planète obéit à la loi des aires. • 3ème loi : T 2 a3 = 4π2 Gms avec T : période de révolution de la planète autour du Soleil. a : demi grand axe de l’ellipse. ms : la masse du Soleil. G : Constante de gravitation universelle. M.Lotfi 12 Mécanique du point Résumé de cours 5. Dynamique terrestre 5.1. Référentiels • Référentiel de Copernic RC : c’est le référentiel d’origine le centre de masse du système solaire et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines. C’est le meilleur référentiel galiléen. • Référentiel héliocentrique R ⊙ : c’est le référentiel barycentrique du Soleil. En bonne approximation on confond R ⊙ avec celui de Copernic. • Référentiel géocentrique RG : c’est le référentiel barycentrique de la Terre dont les axes sont parallèles aux axes de RC . • Référentiel terrestre RT : c’est un référentiel lié à la Terre. 5.2. Équation fondamentale de la dynamique terrestre Soit un point matériel M de masse m au voisinage de la Terre, M subit des forces gravitationnelles de résultante −→ F gr et des forces non gravitationnelles de résultante −→ F n.gr. Le P.F.D appliqué à M dans RT s’écrit : m−→a (M/RT ) = −→ F −m−→a e −m −→a c avec : −→ F = −→ F gr + −→ F n.gr −→a e = −→a (T/RC) + d −→ Ω dt ∧ −−→ OM + −→ Ω ∧ (−→ Ω ∧ −−→ OM ) −→a c = 2 −→ Ω ∧ −→v (M/RT ) La Terre subit des autres astres la force MT −→ GA(T ) donc en appliquant le P.F.D à la Terre dans RC MT −→a (T/RC) = MT −→ GA(T ) avec −→ GA(T ) : le champ gravitationnel au centre de la Terre T créé par les autre astres. −→ GA(T ) = − GMA D2 −→u D : la distance entre le centre A de l’astre et celui T de la Terre. −→u = −→ AT AT MA : la masse de l’astre. La résultante −→ F gr peut s’écrire : −→ F gr = m −→ GT (M) + m −→ GA(M) −→ GT (M) : le champ gravitationnel au point M créé par la Terre. −→ GA(M) : le champ gravitationnel au point M créé par les autres astres autres que la Terre. Donc on peut écrire : m−→a (M/RT ) = −→ F n.gr + m−→g (M)− 2m −→ Ω ∧ −→v (M/RT ) avec −→g (M/RT ) = −→ GT (M) + −→ GA(M)− −→ GA(T )− d −→ Ω dt ∧ −−→ OM − −→ Ω ∧ (−→ Ω ∧ −−→ OM ) Le terme −→ GA(M)− −→ GA(T ) est appelé terme de marée. Le terme de marée est négligeable sauf si on s’interesse à des masses importantes comme celles des océans. En tenant compte des ordres de grandeurs on peut écrire : −→g (M) ≈ −→ GT (M)− −→ Ω ∧ (−→ Ω ∧ −−→ OM ) 13 M.Lotfi