Cours et exercices des ensembles, Exercises of Mathematics

Download Cours et exercices des ensembles and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! École Normale Supérieure des Travaux Publics Année universitaire 2020/2021 Cours d’Algèbre 1 Ahmed AIT MOKHTAR Chapitre 1 : Logique - Ensembles - Applications 1- Logique 1.1- Définition On appelle proposition, toute relation qui est soit vraie soit fausse. Exemples - Les relations " x+ 1 = 0 admet une solution dans N ” et " −1 < 0 " sont des propositions. - Les relations " x+ 1 = 0 " et " Quelle heure est-il " ne sont pas des propositions. 1.2- Définition On appelle axiome, toute proposition prise vraie à partir d’une théorie. Exemple - Par deux points passe une et une seule droite. - Par un point exterieur à une droite donnée on ne peut tracer qu’une et une seule parallèle à cette droite. 1.3- Définition On appelle théorème, toute proposition que l’on démontre vraie. 1.4- Définition On appelle corollaire, tout théorème que l’on déduit d’un autre théorème énoncé précédemment. 1.5- Définition On appelle lemme, tout théorème préparatoire pour l’établissement d’un autre théorème de plus grande importance. 1.6- Symboles de logique Soit R une proposition. Si R est vraie on l’a désigne par la lettre V ou par le chiffre 1 et si elle est fausse on l’a désigne par la lettre F ou par le chiffre 0. 1.6.1- Définition On appelle négation d’une propositon R, la proposition désignée par R (ou qR ou nonR), définie par : si R est vraie ( resp. fausse) alors R est fausse (resp. vraie). Le tableau de vérité de R est : 1 R R V F F V 1.6.2- Définition On appelle disjonction logique de deux propositions R, S, la proposition désignée par R ∨ S qui n’est fausse que lorsque R, S sont fausses simultanément et se lit R ou S. 1.6.3- Définition On appelle conjonction logique de deux propositions R, S, la proposition désignée par R ∧ S qui n’est vraie que lorsque R, S sont vraies simultanément et se lit R et S. Les tableaux de vérité de R∨S et de R ∧ S sont : R S R ∨ S V V V V F V F V V F F F R S R ∧ S V V V V F F F V F F F F 1.6.4- Définition On appelle implication logique de deux propositions R, S, la proposition R ∨ S, désignée par R⇒ S et qui se lit R implique S. Le tableau de vérité de R⇒ S est : R S R R ⇒ S V V F V V F F F F V V V F F V V Remarques - L’implication R⇒ S est fausse uniquement dans le cas où R est vraie et S est fausse. - L’implication R⇒ S se lit aussi : si R alors S ou encore il suffit que R pour que S ou encore il est nécessaire que S pour que R. Exemples Considérons les propositions suivantes : 2 On a alors : √ 2 = a b , a, b ∈ N, b 6= 0 avec pgcd(a, b) = 1. D’où : a = b √ 2 ⇒ a2 = 2b2 ⇒ a2 est pair ⇒ a est pair ( d’après l’exemple précédent ) ⇒ a = 2k, k ∈ N ⇒ (2k)2 = 2b2 ( car a=2k et a2 = 2b2 ) ⇒ 4k2 = 2b2 ⇒ 2k2 = b2 ⇒ b2 est pair ⇒ b est pair ⇒ b = 2h, h ∈ N Par suite a = 2h et b = 2k avec h, k ∈ N. Donc 2 divise a et divise b et par conséquent pgcd(a, b) 6= 1 et comme pgcd(a, b) = 1 alors on a une contradiction. Et donc √ 2 /∈ Q. On peut utiliser une autre méthode en appliquant le théorème de Gauss. 1.8.3 - Raisonnement par récurrence. Soit Pn une propriété dépendant de l’entier naturel n. On veut montrer que Pn est vraie pour tout n supérieur ou égal à un certain entier naturel n0. Le principe de récurrence consiste à : - Vérifier que la propriété est vraie pour n = n0 c’est-à-dire que Pn0 est vraie. - Supposer qu’elle est vraie jusqu’à l’ordre n c’est-à-dire que Pi, i = n0, ...., n est vraie et donc à l’ordre n on a: Pn est vraie. Cette supposition est appelée hypothèse de récurrence. - Montrer qu’elle est vraie à l’ordre (n+ 1) c’est-à-dire que que Pn+1 est vraie. Ceci revient à montrer que (Pn vraie) ⇒ (Pn+1 vraie). On dira alors que Pn est vraie pour tout n ≥ n0. Exemple Montrons que : ∀n ≥ 1, 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1) 2 - Pour n = n0 = 1, on a : 1 = 1(1 + 1) 2 = 1. Donc la propriété est vraie pour n = 1 . - Supposons qu’elle est vraie jusqu’à l’ordre n. On a donc : 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1) 2 ( hypothèse de récurrence ) - On montre qu’elle est vraie à l’ordre (n+ 1) c’est-à-dire qu’on montre que : 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) = (n+ 1)(n+ 2) 2 5 On a alors : 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) = n(n+ 1) 2 + (n+ 1) ( en utilisant l’hypothèse de récurrence) = n(n+ 1) 2 + 2(n+ 1) 2 = (n+ 1)(n+ 2) 2 Par suite, on a : ∀n ≥ 1, 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1) 2 1.8.4 - Raisonnement par contre-exemple. Le raisonnement par contre-exemple consiste, généralement, à montrer qu’une proposition est fausse, en donnant un contre-exemple. Exemples La proposition " ∀x ∈ R, ∃y ∈ R / y = √ x " est une proposition fausse car, par exemple, pour x = −1 il n’existe pas de y dans R tel que y = √ x. 2- Ensembles 2.1- Définition Un ensemble est une collection d’objets rassemblés d’après une propriété commune. Ces objets sont appelés éléments de l’ensemble. N = {0, 1, 2, . . .} est l’ensemble des entiers naturels. Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} est l’ensemble des entiers relatifs. Q = {a b , a ∈ Z, b ∈ Z∗ } est l’ensemble des nombres rationnels. R est l’ensemble des nombres réels. C = {a+ ib, a, b ∈ R} est l’ensemble des nombres complexes. 2.2- Définition Un ensemble est dit fini ( resp. infini ) s’il posséde un nombre fini ( resp. infini ) d’éléments. Remarques - Un ensemble qui ne contient aucun élément est applé ensemble vide , noté ∅ ou bien {.}. Exemple : {x ∈ R / x2 + 1 = 0} = ∅ - Un ensemble qui ne possède qu’un seul élément x est appelé singleton, noe {x}. 6