Cours PID automatique, Study notes of Physics

Download Cours PID automatique and more Study notes Physics in PDF only on Docsity! Cours Régulation Industrielle 1 Chapitre 2 Méthodes de synthèse des correcteurs PID analogiques 1- Introduction Un système asservi doit être suffisamment robuste pour garantir trois niveaux de performance:  Sa stabilité  Une bonne précision statique  Une rapidité suffisante Cours Régulation Industrielle 2 Le gros problème est que ces trois critères sont contradictoires: la précision comme la rapidité sont liées au gain, mais trop de gain peut avoir un effet déstabilisant. Corriger un système asservi, c'est assurer une compatibilité entre ces critères contradictoires et le correcteur sera l’élément " intelligent" qu'on ajoute au système initial pour assurer cette compatibilité. Dans ce chapitre, nous étudions le réglage des paramètres d'un correcteur dont la structure est préalablement fixée, c'est le cas du correcteur standard PID, très utilisé dans le milieu industriel. Cours Régulation Industrielle 5 distorsions (dépassement) tout en diminuant le temps de réponse du processus. 2.1- Régulateur à action proportionnelle L'action proportionnelle correspond à un gain constant positif C(s) = kp. En effet, il permet seulement une translation verticale du lieu de Black du système en BO représentée dans l'abaque de Black. Un gain k <1 (atténuation) permet d'accroître la stabilité en abaissant la courbe mais cette action se fait au détriment de la précision. Un gain >1 (amplification) permet d'accroître la précision mais l'action se fait cette fois au détriment de la stabilité puisque 'on a m et mg qui décroissent. 0dB o° Action proportionnelle. Cours Régulation Industrielle 6 Cours Régulation Industrielle 7 Le gain k =1 correspond à une recopie de signal d’entrée du correcteur, mais avec une éventuelle amplification de puissance. (adaptation du signal de commande à l’actionneur) 2.2- Régulateur à action proportionnelle et intégrale ( PI) Le correcteur de transmettante C(s) = kp ( 1 + sT 1 i ) Introduit un pôle à l'origine et il est caractérisé par les lieux de Bode : CI wun. Nas ‘Op F90° 0°” wi @ Fue) 4 Q) FH(G@), 1 <p Weo Effet du correcteur a action proportionnelle et intégrale. Cours Régulation Industrielle 10  Effet d'un correcteur PI mal réglé — Cours Régulation Industrielle 11 Cours Régulation Industrielle 12 Il est important d'avoir iT 1 < R , de façon à éviter un effet déstabilisant ainsi qu'il apparaît sur le schéma de la figure où le déphasage intervient trop en haute fréquence. C'est pourquoi on préfère souvent un réseau PI à un simple réseau intégrateur qui déphaserait de façon identique toute la gamme de fréquences Cours Régulation Industrielle 15 L'introduction de ce réseau correcteur (kp =1) produit les modifications du lieu de Black suivantes : Cours Régulation Industrielle 16 On constate que pour être efficace ce réseau correcteur doit vérifier 1/Td < R , c'est- à - dire que l'effet doit se produire suffisamment tôt. Dans ce cas, il y a augmentation de la marge de phase, de la marge de gain, de la pulsation de résonance et de la bande passante. Globalement, il y a donc, en augmentant kp, augmentation de la stabilité et de la précision du système en statique et en dynamique. Cours Régulation Industrielle 17 2.6- Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée Ce type de correcteur essentiellement théorique, combine les avantages des correcteurs PI et PD La fonction de transfert du régulateur PID s'écrit : C(s) = kp( 1 + siT 1 + Tds) = kp sT sTTsT i dii 21  On cherche les racines du numérateur. Celles-ci sont réelles si :  = 2 iT - 4Ti Td = 2 iT ( 1 - i d T T4 )0. : 1 1 F — et — (2) CU) T, T < Wr Effet d’un régulateur PID. Cours Régulation Industrielle 20 Cours Régulation Industrielle 21  L'action intégrale modifie les basses fréquences ( gain infini en BO) et assure un gain statique égal 0dB. L'écart de position est nul;  L’action dérivée agit sur les hautes fréquences en les amplifiants (gain)et en leur amenant une avance de phase. Il y a donc accroissement de la bande passante et de la stabilité Cours Régulation Industrielle 22 2.7 Conclusion Le correcteur qu'on essaie de synthétiser doit déformer le lieu de transfert en boucle ouverte de manière telle que le lieu de transfert en boucle fermée soit proche de celui d'un second ordre équivalent de gain statique si possible égal à 1, d'amortissement proche de 0,7 et de pulsation propre n élevée. Le nombre d'intégrations en BO fixe la capacité du système régulé à suivre sans erreur une consigne variable. Si le système non corrigé comporte un intégrateur, il n'est peut-être pas nécessaire d'en mettre un dans le correcteur. Cours Régulation Industrielle 25 3- Méthodes simplifiées de synthèse des correcteurs PID analogiques En boucle ouverte Approximation de Ziegler et Nichols Cours Régulation Industrielle 26 Pratique de la méthode : S'il est possible d'ouvrir la boucle, on règle Kp = 1, Ti à l' et Td à 0, sans débrancher le correcteur. On envoie un échelon d'amplitude E0 en entrée, On dispose de la réponse Y(t) (variation de la sortie) suite a un échelon d’entrée U(t)=Au. Avec point d’inflexion. Y(t) Ay = K Au Point d’inflexion Cours Régulation Industrielle 27 Cette approche est aussi valable pour un processus Re fy Oe intégrateur. Le modéle recherché est de la forme : H(s) = Réponse systéme Y(t) “~~ Modéle intégrateur + retard Ay a = ay at\k = At -(s7) At Ay 0 Tt t Courbes réelle approchée par un intégrateur retardé Cours Régulation Industrielle 30 Cette approche est intéressante et facile a mettre en ceuvre : une simple réponse indicielle suffit, le calcul des paramétres est aisé et ne nécessite pas de tatonnements. TL kK. .-7.2s K c¢ — -1 H(s) = 0.8 ———_ =_ oS (s ) _- H&)= ~ 14+54.3s T 5 3 Le réglage sera : T Type de Gain K, T; T, régulateur Proportionnel P i 343 0.8 7.2 PI 09543 =85 3.3.(7.2)=24s 0872 — PID 12543 mT 2.(7.2)=14s 0.5(7.2)=3.6s 0872 — Cours Régulation Industrielle 31 Cours Régulation Industrielle 32 Méthode de Chien – Hrones - Reswick Cours Régulation Industrielle 35 Réglage Asservissement Réglage Régulation ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE a 1.26239 1.13031 0.98384 1.3466 1.31509 1.3176 b -0.83880 -0.81314 -0.49851 -0.9304 -0.8826 -0.7937 c 6.03560 5.7527 2.71348 1.6585 1.2587 1.12499 d -6.0191 -5.7241 -2.29778 -1.25738 -1.3756 -1.42603 e 0.47617 0.32175 0.21443 0.79715 0.5655 0.49547 f 0.24572 0.17707 0.16768 0.41941 0.4576 0.41932 Cours Régulation Industrielle 36 Les coefficients du régulateur PI peuvent être calculés par les mêmes relations que pour le PID avec les coefficients de la table ci-dessous, en prenant Td=0. Réglage Asservissement Réglage Régulation ISE IAE TAE ISE IAE ITAE a - 0.758 0.586 1.305 0.984 0.859 b - 0.861 -0.916 - 0.960 -0. 986 -0.977 c - 1.02 1.030 0.492 0.608 0.674 d - -0.323 -0.165 - 0.739 -0.707 -0.680 Cours Régulation Industrielle 37 Réglage en boucle fermée Dans un certain nombre de cas, il est impossible de laisser le procédé évoluer en BO. Pour ces systèmes, il est impossible de déterminer le modèle en BO du système. On est amené à régler le régulateur en BF. 3.2.1 Réglage par essai - erreur Le réglage en ligne peut se faire de façon empirique en utilisant une procédure qu’on peut résumer ainsi 1- Mettre le régulateur en mode manuel. 2- Enlever l’action intégrale et dérivée (mettre Ti au maximum Td au minimum). 3- Mettre le gain à une faible valeur. 4- Mettre le contrôleur en mode automatique. Ziegler et Nichols proposent alors les valeurs de réglage du tableau suivant : P Pl Pl PID PID PID paralléle | série parallele mixte Keo Krce Krc Kre Kec Kec Kre 2 2.2 2.2 3.3 17 1.7 Tj | T,maxi Tose 2.Tose Tose 0.85 To¢ aee ou 12 Krc 4 K 2 annulée Re Ty 0 0 0 Tose Kec Tose Tose 4 13.3 8 Cours Régulation Industrielle 40 : Pour le méme procédé que précédemment c’est-a- dire l'@changeur de chaleur, nous avons trouvé Kp, =23.8 et Tosc =28.78. D’ou le réglage pour un régulateur Type de régulateur Gain K, T, T, Proportionnel P 23.8 —=12 2 Pl 23.8 _ , 0.83.(28.7)=24s 2.2 PID (mixte) 23.8 _ 28.7 <A 28.7 _ —=14 a = 3.6 Cours Régulation Industrielle 41 Ziegler et Nichols proposent alors les valeurs de réglage du tableau suivant : Cours Régulation Industrielle 42 Choix de l’algorithme de contrdéle ou loi de commande On considére un régulateur PID de structure série et les deux modéles de Broida (systéme stable) et intégrateur ( systeme instable) , modéles les plus utilisés industriellement : —TS k e bs H>(s) = ——— 1+Ts 2(s) S H,(s)=K— En fonction des constantes de la fonction de transfert du procédé , l’échelle de choix de type de régulation a mettre en place est présente ci-joint : Cours Régulation Industrielle 45 Stable a réponse proportionnelle : , A & 2 5 10 20 T —_ } i | J ANS +t] ala il T 1 T PI P * PID + t of 0,5 0,2 Instable 4 réponse intégrale : KK. Cours Régulation Industrielle 46 Détermination algébrique du réglage On définit une marge de gain ou une marge de phase, et par conséquent un coefficient d’amortissement ¢ pour la chaine fermée si on l’assimile a celle d’un second ordre ( Pédles dominants). Si on fixe une marge de gain Mg , on écrit deux équations : |FTBO(jo,)lap = Mg ou |FTBO(jo,)[= 106920) et Arg( FTBO(jm=a,,)) = -180° Si on fixe une marge de phase Mg , on écrit deux équations : JFTBO(j@,)|dB = 0 ou |FTBO(ja,)|= 1 et Arg( FTBO(jw,)) = Me -180°. Vv Cours Régulation Industrielle 47 Meéthodes analytiques / Les méthodes directes (théoriques) sont trés nombreuses et reposent sur la connaissance d’un modéle-précis dw systéme W commander. Les performances réelles obtenues dépendent de la qualité du modéle et de son aptitude a représenterle mieux possible le procédé. Pour obtenir ce modéle, on peut partir des lois régissant les phénoménes physico-chimiques, notamment les lois de la chimie, de la thermique, (ERIE M NEL TR MS CUL ETM ER eMC CRCpIT IMC W EDT MICHELS CUeaNTOR aca Ue ANID forme d’un ensemble d’équations mathématiques. Connaissant ce modéle, il est possible de définir les caractéristiques du régulateur qui permettra de contrdler au plus prés le processus par une WESTIE Ian CNN Lats NNTP GNM UOM NAD AO OR UBE INCU CRUB NTI ACN CAR Da ORL com MTR TCS emo untae FLUC Cours Régulation Industrielle 50 Isai eno me eos eee oe Perturbations Commande + Consigne + lLa fonction de transfert en boucle ouverte est Tp) = R®)G® R®)S@) F®)- TRG La fonction de transfert en boucle fermée est (S®) Cours Régulation Industrielle 5 1 Si la fonction de transfert en boucle fermée F(p) est donnée, c’est-i-dire qu’elle a été élaborée de maniére a répondre au cahier des charges, le ea Gna (Raia eCR COIN GHGS EOP B EUDICT Ge UO ETT NOTRE MOCHA M URN URD MDC Che Aca mee LUCIE age: OTM ene TMU OCU RCD RIE LICL CE LWC LG USO RUMEN NOU MSR UMS EL CMM ou MON COM UB CUE Lom DB EME QUT CRURI COICO réorganise ensuite cette expression de maniére a faire apparaitre la structure d’un régulateur connu (PID par exemple). Il peut arriver que ce calcul conduit 4 une fonction de transfert non réalisable, c’est-a-dire le degré.de son numérateur est supérieur a celui du dénominateur. CMa RENCE MERCIER aM ERICA Ap TOIT TRO CR CR LT ta eal! ERSTE) Cours Régulation Industrielle 52 CO MOCO Re om Bee EB MoC eee Oe RB eCc Hea (Rennie BUCKS Eo toe eS US Eis fooAC } Kt Gene Qty V+t p 1 + 1hP Ytt, 1+t9p (Cahier des charges : on souhaite obtenir un Sn @ordre Ven boucle fermée avec un temps de réponse a 5% égal ay ani: Peco CUE rte ELCs 4 De ce cahier des charges on déduit que la fonction de transfert en boucle fermée doit étre d’ordre un de constante de temps 0.2 s Pua if: temps de réponse 4 5% d’un systéme d’ordre 1 est égal a trois fois sa constante de temps. Le Jot statique doit étre unitaire puisqu’on souhaite une précision statique parfaite. Cours Régulation Industrielle 5 5 Wem RY ERO RICO EORTC amo MU Oem OLN CC RL EL LCmt CR Coy RUPLI L Com LON CR KE ARMs meee ORE MOREL Cat Com Cau Wee gain statique doit étre unitaire puisqu’on souhaite une précision statique parfaite. Soit donc : PPG Ea pasate aU CRY anton Cee 1 ae () = 2.5 (opt Dips Du CRE RS OEE RM UNCUT UM UBT Ce Ca oes we UUs Cours Régulation Industrielle 56 lb- Modéle d’ordre 2 en boucle fermée. UC BIN Ree CERO Me Ouo Me Oe MN hee COR ee RELL CSO RUC Die a Dépassement indiciel inférieur 45% \_ Bory eco o har Ce MOC Ct Ve PROM CREO emi Aye ee MU ee ecm ae ee OM Ree CDC CS M4 eee POMOC ECS ERD eeOC NEL BCU Deo ilee ee REC DCM (es Coen cata7) ee a8 Gd 1 AS=EA COE GRC REL OE Cao B Deo ELLs Z 0.7, puisque d’aprés les caractéristiques des systemes Pets deux (Sannexe 2), on sai que pour z= 0.7, le dépassement est 4.6% et le La par ose égal 43. De cette relation on déduit @, par : ~ 0, = 3/ Trsy, = 5 rd/s. Cours Régulation Industrielle 57 VE eRe (RM s eR B UCL CRUR cre CMC RCAC eMC M( OM m esata hata CLC i Lae Ri) = Fi) DF) Gp) (1 - Fp) N@C - Fp) ‘On constate que les péles et les zéros de G(p) deviennent respectivement les zéros et les péles de R(p). (Cette méthode ne convient pas par conséquent pour les systémes pour lesquels la fonction de transfert G(p) posséde un zéro instable c’est-A UGE CRC ASE a Ue OED BCE ee Te Come RAI SURE) Ramee Soe eerie AC earo eat MU el ae ele. ie Cours Régulation Industrielle 60 ‘Soit a > 0 est un zéro de la fonction de transfert G(p). Celle-ci peut s’écrire alors sous la forme : Le régulateur R(p) s’obtient par : POU REL U RE CRIC U MTR ints ane OCR Le (om Ceci améne 4 la notion de la stabilité interne des systémes bouclés qui sort du cadre ce livre. On précise cependant qu’il existe des techniques} CORON E OME ece Te oe CR ect Cle men gy rete) (aim NO ccs EBC CU CCG) ea eM oe ROPER (aay DD CEL eo Bact nae a Ea représente l’opérateur avance, ce qui est irréalisable matériellement avec des composants électroniques discrets. Cours Régulation Industrielle Cours Régulation Industrielle 62 Réglage par la méthode graphique dans le plan de Black (travaux dirigés). 1.3 Objectifs de la correction Oey PMN Re Roe oe ENE Ml ame oa EUR Pe OR one mello Ea ane) oe oe eee LR oE ae SERIE) sash) et la rapidité, etc...) De facon qualitative : i Ee poles de ce cercle en les rapprochant de l’origine. , Eom Eco Dee ere BEN ECL) MOE oe) URACIL eres ce om BELLE Oratom aU RR TIS Ce Pour rendre le systéme plus précis, il faut augmenter le gain statique, voire ajouter des intégrateurs pour augmenter la classe du systéme Pod ae ed Pour améliorer la rapidité du systéme, il faut augmenter la bande passante de celui-ci, en augmentant la valeur de la fréquence de CD hia +) ee a Cours Régulation Industrielle 65 Il existe différentes structures de commande numérique. Ce chapitre est consacré 4 la correction numérique série ot deux approches sont Peer a WET a ==> la correction par la méthode de transposition des correcteurs analogiques Seca RCD eRce OMI Cue Meat BHCC LA NC CS Ee ae PERM PENS MaMa eCrH eRe D TIC Les techniques de correction des systémes analogiques sont bien connues. Une possibilité de faire la synthése d’un correcteur numérique est de CEL aCe OUTRO ECE OECD LiL My eC EL mM eta mis H(caus CMC eT Ne EMO MCR REEL e RoC lel) em (Cette transformation se fera nécessairement a l’aide des approximations car la relation reliant pa A ete Cot ESE mC ° A nel ber EO Quy PY aati fo ELMO OE WAS DeLee COB OAC TIE) ko bi OOO CCE TCE) DOOLEY EOE AEM a amie TLE NORE MC bm DCH) mM Oma icra) Ca Cae VCC CUCM MRD eS LDCR TTT TS oom EMME NCCC aD ELSIE Coun MMIC: performance. Voici quelques techniques d’appoximation Cours Régulation Industrielle oici quelques techniques d’appoximation i f(od x Soit Péquation d’intégration : ee a ae i Je x)-x¢ua) = [* (04: Peake L’idée de approximation repose sur la relation suivante : te , qui peut s’écrire aussi de la maniére simplifiée suivante: x)= xk = [fdr , ou T représente la période d’échantillonnage. (Cette intégrale peut étre approchée de plusieurs maniéres : Ma POUCH MBN a ae erty ye x8)-38 =) = 7R-D pe Cours Régulation Industrielle 67 PETC Le mC Ite LC OREN eee ERENCE Me MELO CUCM ENA One mCe EOI CR be ny (aa IRE m Re CeO Me ee E LU era Oy MM CRC PO MECH) RICKS Namo Cece Lm IE} a 3s. 7 nae Vv (l 7 Un régulateur PI peut satisfaire ce cahier des charges : Tip BME ON Cue Cm Rou a moms Tit: NEN CO COLOR Ce ete EM aR RRC Oo ey UEC LO Rea Uae mE OCH LO: METS Quem NS RCRD TELL Cours Régulation Industrielle 70 iLa fonction de transfert en boucle fermée s’écrit : —_—— ta. Il s’ensuit que pour avoir ce temps de réponse égal 4 3 s, il convient alors DDR EB Ot mime em Bese tc ERT me ecto ee Cee Ceuta (eo ee égulateur numérique. Pour ce faire, on choisit correctement une période] \d’échantillonnage qui dans le présent, elle sera fixée a PR Meese (mec E i hme me Cae mC iméthodes d’approximation pour passer de paz. __ Soit par exemple la deuxiéme méthode d’Euler : Cours Régulation Industrielle 71 MCE om aM oe UIEN EMO D ON REN mes COM EAPO REO UT LAROe) OCR EM OCU MICR NETS Cuma ODIs Ce uti: Passervissement numérique : (a aN ans @ “the. ws Vy gota 098V0039 \ OL cs naiity- rela @auypass I> | Ot ur AQ - pete " Fonction de transfert en boucle ouverte : LR Ua MIRED uma MU e oer (aas Sur la figure suivante, on a représenté les réponses en boucle fermée de l’asservissement analogique et numérique 4 un échelon unité. Le rrésultat peut étre jugé dans ce cas satisfaisant. Cours Régulation Industrielle 72 JER U meee meee ee Coe | | Perturbations Commande + Consigne + asey Régulateur ¥ROCEDA R@) Ge) - ERO Mie ammeter as a - Principe Si la fonction de transfert en boucle fermée F(z) est donnée, c’est-a-dire qu’elle a été élaborée de maniére 4 répondre au cahier des charges, le régulateur R(z) est déterminé tout simplement par la relation suivante : a Cours Régulation Industrielle 7 5 LTO OUR Oe ee CC Oa he ee ELD CRI TEL Cama: qui permet d’assurer une précision statique parfaite. Les modéles suivants sont souvent proposés : Modéle d’ordre 1 : NY OT Ta) coy Fi)=4 2 +4, 92 Modéle d’ordre n permettant d’annuler l’erreur statique au bout de n périodes d’échantillonnages : Fy + By 7 \Une fois que la fonction de transfert en boucle fermée désirée est établie, on détermine l’expression du régulateur R(z) par la formule ci-dessu: fa partir de laquelle on déduit la loi de commande a programmer. On note que l’expression de R(z) repose sur la connaissance de G(z) et on conclue dés a présent que le succés de cette méthode est conditionné par la précision avec le modéle G(z) a été obtenue. Cours Régulation Industrielle 716 b - Exemple Soit F(z) la fonction de transfert en boucle fermée désirée: ae - 0.1032+0.506 76555 a ran . Elle assure un dépassement indiciel n’excédant pag ‘ Echantillons 8 10 Cours Régulation Industrielle 77