Département de Génie Civil et d’Hydraulique Hydraulique à surface libre Cours & Exercices, Exercises of Physical education

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Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 0 République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique Université 08 Mai 1945 de Guelma Faculté des sciences et de la technologie Département de Génie Civil et d’Hydraulique Hydraulique à surface libre Cours & Exercices Fait par : Dr. TOUMI Abdelouaheb Sens d’écoulement Fond du canal Parois du canal Surface libre P0=Atmosphérique h=1,22 m b = 3 ,6 6 m η0 η0 η0 3 2 2 cr gb αQ h  h b θ        2 cr cr cr 0,105σ 3 σ 1kh 2mhbhω  212 mhb  Octobre 2016 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 1 SOMMAIRE Titres N° page Chapitre I : Généralités sur les écoulements à surface libre 7 1-1 Introduction 8 1-2 Quelques définitions 8 1-2-1 Définition de l’écoulement à surface libre 8 1-2-2 Définition de l’écoulement stationnaire « permanent » 8 1-2-3 Définition de l’écoulement non stationnaire «non permanent » 8 1-2-4 Définition de l’écoulement uniforme 8 1-2-5 Définition de l’écoulement non uniforme 8 1-2-6 Définition de l’écoulement laminaire 8 1-2-7 Définition de l’écoulement turbulent 8 1-3 Les canaux 9 1-3-1 Définition d’un canal 9 1-3-2 Les différents types de canaux 9 1-3-2-1 Les canaux naturels 9 1-3-2-2 Les canaux artificiels 9 1-3-3 Définition d’un canal prismatique 10 1-3-4 Propriétés géométriques et hydrauliques des canaux 10 1-3-4-1 La section 10 1-3-4-2 Les pentes 11 1-4 Les écoulements dans les canaux 12 1-4-1 Les différents types d’écoulements dans un canal 13 1-4-1-1 Variabilité dans le temps 13 1-4-1-2 Variabilité dans l’espace 14 1-5 Régimes d’écoulements 15 1-5-1 Le nombre de Froude 15 1-5-2 Le nombre de Reynolds 15 1-6 Conclusion 16 Questions de compréhension 17 Chapitre II : L’écoulement uniforme dans les canaux prismatiques 18 2-1 Introduction 19 2-2 Définition de l’écoulement uniforme 19 2-3 Conditions de l’écoulement uniforme 19 2-4 Equation générale de l’écoulement uniforme 20 2-4 Formule de Chezy 21 2-5-1 Détermination du coefficient de Chezy 21 2-5-2 Détermination du coefficient de rugosité 24 2-6 Distribution des vitesses 26 2-6-1 Cas de l’écoulement laminaire 26 2-6-2 Cas de l’écoulement turbulent 27 2-7 L’écoulement uniforme dans les canaux artificiels 28 2-7-1 Canal à section transversale triangulaire 28 2-7-2 Canal à section transversale rectangulaire 28 2-7-3 Canal à section transversale trapézoïdale 29 2-7-4 Canal à section transversale parabolique 29 2-7-5 Canal à section transversale demi circulaire 29 2-7-6 Canal à section transversale circulaire 30 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 4 NOTATIONS vx : vitesse d’écoulement selon la direction x t : le temps h : la profondeur d’eau L : longueur du canal Re : nombre de Reynolds Patm : pression atmosphérique ω: section mouillée χ : périmètre mouillé RH : rayon hydraulique B : Largeur superficielle à la surface libre hm : profondeur moyenne d’eau Ir : pente géométrique du fond du radier du canal Ip : pente piézométrique I : pente hydraulique (gradient hydraulique) α: coefficient de Coriolis V1 : vitesse moyenne d’écoulement à la section numéro 1 g : accélération de la pesanteur z1 : cote du fond de la section numéro 1 par rapport au plan horizontal de référence (P.H.R) h1 : profondeur d’eau dans la section numéro 1 θ : angle d’inclinaison du canal par rapport au plan horizontal de référence (P.H.R) z2 : cote du fond de la section numéro 2 par rapport au plan horizontal de référence (P.H.R) h2 : profondeur d’eau dans la section numéro 2 V2 : vitesse moyenne d’écoulement de la section numéro 2 ΔHL : perte de charge linéaire sur une distance L dz : différence de niveau entre les deux cotes géométriques des sections 1 et 2 dh : différence de la profondeur d’eau entre la section 1 et 2 dL : différence de longueur entre les sections 1 et 2 H1 : Energie totale au niveau de la section 1 rapportée à l’unité de poids H2 : Energie totale au niveau de la section 2 rapportée à l’unité de poids H1-H2 : différence d’énergie totale rapportée à l’unité de poids x : l’espace selon la direction x dx du : Variation de la vitesse par rapport à l’espace x Δt : variation du temps entre ti+1et ti Fr : nombre de Froude ρ: la masse volumique de l’eau Uc : vitesse caractéristique Lc : longueur caractéristique µ : viscosité dynamique de l’eau ν : viscosité cinématique ε : hauteur de rugosité G : le poids de l’eau η0 : la contrainte tangentielle visqueuse moyenne sinα : sinus de l’angle α tgα : tangente α ξ : une grandeur variable d : diamètre d’une conduite de forme circulaire λ : coefficient de frottement C : coefficient de Chézy Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 5 n : coefficient de rugosité y : exposant pour déterminer le coefficient de Chézy k : paramètre de Poli nmin : rugosité minimale nmoy : rugosité moyenne nmax : rugosité maximale neq : rugosité équivalente η : contrainte tangentielle m : l’écartement du talus p : paramètre de la parabole θ : l’angle d’inclinaison b : largeur du canal à la base R : rayon du cercle χmin : périmètre minimum RHmax : rayon hydraulique maximal C : la cohésion ve : vitesse d’érosion N FPC : Résistance de fatigue à l’arrachement ρs : poids spécifique vaff : vitesse d’affouillement hn : profondeur normale dans un canal Es : énergie spécifique par unité de poids « J/N=m » L’ : distance horizontale du canal Ecin : énergie cinétique Epot : énergie potentielle Emin : énergie minimale hcr : la profondeur critique q : le débit par unité de largeur (m 3 /s/m) Q : le débit total (m 3 /s) vc : vitesse critique (m/s) Ec : énergie critique k : paramètre utilisé pour le calcul de hcr ζcr : paramètre utilisé pour le calcul de hcr h0 : profondeur d’eau en régime uniforme i0 :la pente en régime uniforme icr : la pente critique ωcr : section critique χcr : périmètre critique Rcr : rayon hydraulique critique Bcr : largeur hydraulique critique Ccr : coefficient de Chézy critique Pcin : paramètre cinétique K : la débitance en régime non uniforme dh : variation de la profondeur dx : variation de la longueur du canal K0 : débitance en régime uniforme M1 : courbe de remous en régime fluvial M2 : courbe de décrue en régime fluvial M3 : courbe de remous en régime fluvial S1 : courbe de remous en régime torrentiel Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 6 S2 : courbe de décrue en régime torrentiel S3 : courbe de remous en régime torrentiel C1 : courbe de remous en régime critique C2 : courbe de remous en régime critique H2 : courbe de décrue pour une pente nulle i=0 H2 : courbe de remous pour une pente i=0 A2 : courbe de décrue pour i<0 A3 : courbe de remous pour i<0 a : hauteur du ressaut h' : première profondeur conjuguée dans le ressaut h'' : La deuxième profondeur conjuguée dans le ressaut F(h) : La fonction du ressaut Rhχ : Coefficient empirique de Rajaratnam : Coefficient de la quantité de mouvement ou coefficient Boussinesq hp.c : pertes de charge dans le ressaut η : rendement du ressaut Lres : longueur du ressaut Lav.r : longueur de la zone aval du ressaut H : charge au-dessus de la crête du seuil S : épaisseur du seuil V0 : La vitesse d’approche de l’eau b: La largeur du déversoir H0 : la charge totale au-dessus du déversoir m: Le coefficient de débit du déversoir Pjet : La pression à la sortie du jet Vjet : La vitesse du jet Zjet : la cote du jet par rapport au plan horizontal de référence ΣΔH : La somme des pertes de charge m0 : le coefficient de débit du déversoir sans tenir compte de la vitesse d’approche V0 P1, P : la hauteur du seuil en amont et en aval de l’ouvrage a: l’écartement du seuil par rapport à l’horizontal Δ : la différence entre le niveau d’eau dans le bief aval et la hauteur du seuil aval hav : la hauteur d’eau en val du seuil z :la différence entre le niveau d’eau entre l’amont et l’aval du seuil (z/P) : La chute relative (z/P)cr : la valeur critique de la chute relative ζn : Coefficient qui tient compte des conditions d’aval de l’écoulement B : La largeur du canal d’amené mc: coefficient de débit d’un déversoir contacté mtr : coefficient de débit d’un déversoir triangulaire mtrpz : coefficient de débit d’un déversoir trapézoïdal mparab : coefficient de débit d’un déversoir parabolique mrep : coefficient représentatif du débit du déversoir ζf : coefficient de forme qui tient compte de la forme de la crête du déversoir ζH : coefficient de rendement de la charge ε : coefficient de contraction latérale a : coefficient qui est en fonction de la forme de la pile. 'α Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 9 1-3 Les canaux 1-3-1 Définition d’un canal : On appelle canal un système de transport dans lequel l’eau s’écoule et dont la surface libre est soumise à la pression atmosphérique. Fig. 1.1 : Schéma représentatif d’un canal 1-3-2 Les différents types de canaux On distingue deux catégories de canaux : a) Les canaux naturels b) Les canaux artificiels 1-3-2-1 Les canaux naturels : On peut ajouter aux canaux naturels les cours d’eau qui existent naturellement sur ou sous la surface de la terre tels que : les ruisselets, ruisseaux, torrents, ravins, rivières, fleuves et estuaires. Fig. 1.2: Canal naturel 1-3-2-2 Les canaux artificiels : Ce sont les cours d’eau réalisés par l’homme sur ou sous la surface de la terre tels que : les canaux découverts construits au ras du sol (canaux de navigation, d’adduction, d’évacuation, d’irrigation et de drainage ou les canaux couverts dans lesquels l’eau ne remplit pas toute la section du canal tels que : tunnels hydrauliques, aqueducs, drains et égouts. Fig. 1. 3 : Types de canaux artificiels Patm Canal découvert Canal couvert Patm Patm Sens d’écoulement Fond du canal Parois du canal Surface libre P0=Patmosphérique Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 10 1-3-3 Définition d’un canal prismatique : Un canal prismatique est un canal dont la section transversale, la pente longitudinale et la rugosité sont constantes, alors que la hauteur pourrait être variable. Ultérieurement, nous allons utiliser la notion d’un canal prismatique artificiel ou tout court canal prismatique. On peut mettre dans cette catégorie les canaux ouverts ceux dont les paramètres (sauf la profondeur) caractérisant la forme de la section transversale restent constants le long du canal. En général, les canaux naturels ne sont pas prismatiques. 1-3-4 Propriétés géométriques et hydrauliques des canaux Les propriétés géométriques et hydrauliques des canaux naturels sont irrégulières et l’application des théories hydrauliques donne des résultats approximatifs. Par ailleurs, les propriétés hydrauliques des canaux artificiels sont généralement assez régulières. L’application des théories hydrauliques sur ces derniers donne souvent des résultats réalistes. 1-3-4-1 La section Les éléments géométriques d’une section liquide en hydraulique à surface libre sont les suivants : a) La section mouillée (ω) : c’est une section plane, normale à la direction de l’écoulement, dans le système international (S.I) son unité est le mètre carré (m 2 ). Exemple : Prenons le cas le plus simple des canaux artificiels, le canal à section transversale rectangulaire. Fig.1.4 : Canal rectangulaire Pour le canal rectangulaire représenté sur la figure 1.4,la section géométrique S=b.H alors que la section mouillée ω=b.h La section mouillée b) Le périmètre mouillé (χ) : c’est la partie du canal en contact avec l’eau, il a comme unité le mètre (m). Exemple : Prenons l’exemple précédent. Fig .1.5 : Le périmètre mouillé d’un canal à section transversale rectangulaire Le périmètre géométrique P=b+2 .H alors que le périmètre mouillé χ=b+h+h soit χ=b+2.h c) Le rayon hydraulique (RH) : c’est le rapport entre la section mouillée et le périmètre mouillé RH= ω/χ h b h H h H b Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 11 d) La profondeur d’eau (h) : c’est la profondeur du point le plus bas de la section transversale. Fig .1.6 : La profondeur d’eau dans un canal e) La largeur superficielle de la surface libre (B) : c’est la distance qui sépare la rive droite de la rive gauche normalement à la direction de l’écoulement. Fig .1.7: La largeur superficielle d’un canal f) La profondeur moyenne (hm) : Elle est définie comme étant le rapport entre la section mouillée (ω) et la largeur au miroir (largeur superficielle de la surface libre « B ») 1-3-4-2 Les pentes On distingue trois (3) types de pentes :  Pente géométrique (pente longitudinale du radier « Ir ») ;  Pente piézométrique (IP) ;  Pente hydraulique ou gradient hydraulique (I). La Fig.1.2, illustre les différentes pentes entre deux sections (1-1) et (2-2). Fig.1.8 : Présentation graphique des différentes pentes en hydraulique Plan horizontal de référence h2 Z2 h1 Z1 g V 2 2 1 g V 2 2 2 LH Ir IP L Plan de charge Ligne d’énergie I α 1 1 2 2 Patm h B La rive gauche La rive droite Sens d’écoulement Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 14 1-4-3-2 Variabilité de l’écoulement dans l’espace a- Définition de l’écoulement uniforme : L’écoulement est uniforme si la profondeur d’eau h ainsi que les autres paramètres (V et U) restent invariants le long de l’écoulement (d’une section à une autre) et I=IP. b- Définition de l’écoulement non uniforme : L’écoulement est non uniforme (variant) si la profondeur d’eau h ainsi que les autres paramètres varient le long de l’écoulement (d’une section à une autre) c'est-à-direI≠IP. L’écoulement non uniforme peut être permanent ou non permanent ; il est peut être accéléré ( 0 dx du ) ou décéléré ( 0 dx du ). Sur la figure 1.11, nous représentons un schéma qui permet de visualiser les écoulements précités. Fig. 1.11 : Variabilité des écoulements dans l’espace Lors de l’écoulement graduellement varie la profondeur h(x) ou Dh est presque constante ainsi que les autres paramètres ne changent que très lentement d’une section à l’autre, on peut admettre que l’écoulement est quasi uniforme le long d’un petit tronçon et la vitesse reste quasiment constante. Lors de l’écoulement rapidement varie la profondeur h(x) ou Dh et les autres paramètres changent brusquement parfois sur des discontinuités (au voisinage de singularité, déversoir, rétrécissement, élargissement, ressaut, chute brusque etc.). Ir Δh uniforme non uniforme uniforme non uniforme uniforme Rapidement accéléré rapide graduel décéléré graduellement décéléré rap décéléré déversoir ressaut chute h(x) IH IF x IH IF Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 15 1-5 Régimes d’écoulement L’écoulement d’un fluide réel dans un canal à surface libre est soumis aux forces suivantes :  Forces d’inertie,  Forces de gravité,  Forces de frottement (viscosité et rugosité). Les équations réduites du mouvement font intervenir les coefficients ou nombres adimensionnels suivants : Le nombre de Froude, qui est le rapport entre les forces d’inertie et celles de gravité ou : c c 2 c c c 2 c 2 gL U Fret U gL LρU ρg Fr  Le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre les forces d’inertie et celles de frottement ou : ν LU Reet LU ν LUρ )LUμ( Re cc ccc 2 c 2 cc1  Uc et Lc représentant une vitesse et une longueur caractéristiques ; on prend souvent Uc=U et Lc=RH ou Lc=Dh Pour l’étude hydraulique des canaux, on définit habituellement les nombre adimensionnels suivants : gh U Fr  ; ν UR eROu ν U4R Re HH  ;r= hD ε . Le rôle du nombre de Froude est de permettre le classement des écoulements comme suit : Ecoulement fluvial Fr <1 Ecoulement torrentiel Fr>1 Ecoulement critique Fr≡Frc=1 Dans la pratique, on rencontre ces trois types d’écoulement. Le rôle du nombre de Reynolds est de permettre la distinction entre les écoulements comme suit : Ecoulement laminaire Re’<580 Ecoulement turbulent Re’>2320 Transition 580<Re’<2000 Les expériences avec différents canaux artificiels montrent que l’écoulement est turbulent dès que le nombre de Reynolds, Re’, atteint des valeurs 2000. Dans la pratique, les écoulements sont souvent turbulents, généralement rugueux. Par conséquent, les effets du nombre de Reynolds, Re’, et du nombre de Froude, Fr, donnent quatre régimes d’écoulement : Fluvial - Laminaire Fr<1 et Re’<580 Fluvial - Turbulent Fr<1 et Re’>2320 Torrentiel - Laminaire Fr>1 et Re’<580 Torrentiel - Turbulent Fr>1 et Re’>2320. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 16 1-6 Conclusion Les différents types d’écoulement qu’on peut rencontrer en hydraulique fluvial à surface libre peuvent être résumés comme suit : Les différents régimes d’écoulement qu’on peut rencontrer en hydraulique à surface libre sont : Fluvial - Laminaire Fr<1 et Re’<580 Fluvial - Turbulent Fr<1 et Re’>2320 Torrentiel - Laminaire Fr>1 et Re’<580 Torrentiel - Turbulent Fr>1 et Re’>2320. Dans le chapitre qui suit, on traitera l’écoulement uniforme dans les canaux prismatiques. Ecoulement rapidement varié Ecoulement permanent Ecoulement uniforme Ecoulement non uniforme Ecoulement graduellement varie Ecoulement non permanent Ecoulement uniforme (très rare) Ecoulement non uniforme Ecoulement graduellement varié Ecoulement rapidement varié Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 19 2-1 Introduction Nous allons entamer ce chapitre par une définition de l’écoulement uniforme, ses conditions et son équation générale. Les distributions verticales de la vitesse enrégimes laminaire et turbulent seront également présentées. Nous allons aussi mettre en évidence cet écoulement dans les canaux artificiels et enfin nous allons examiner les différents problèmes à rencontrer lors de dimensionnement des canaux. 2-2 Définition de l’écoulement uniforme L’écoulement est dit uniforme lorsque la profondeur h(x) et les autres paramètres comme la vitesse moyenne (V), les vitesses ponctuelles (u,v,w) et la pente demeurent constantes d’une section à une autre. 2-3 Conditions de l’écoulement uniforme dans les canaux prismatiques Sur la surface libre des courants sans charge il s’établit une pression constante, en général, atmosphérique. C’est pourquoi, pour ces courants la pente piézométrique correspond à la pente de la surface libre IP=Ilib. Fig.2-1: Ecoulement uniforme dans un canal prismatique Sin (α)=a/L ; tg(α)=a/L’ Pour les petites angles sin (α)=tg(α) Autrement dit, un écoulement uniforme à surface libre peut exister si l’égalité suivante est vérifiée : I=IP=ILib Mais pour cela, il est nécessaire que la grandeur g V 2 2 reste constante en longueur du courant. Ceci n’est possible qu’à des conditions suivantes : a- Le débit de l’eau dans le canal est constant (Q=constant.) ; b- Le canal est prismatique ; c- La profondeur d’eau dans le canal est constante en sa longueur ; d- La ligne du fond ne se casse pas c'est-à-dire le canal a une pente constante (Ir=Sin(α)=constante) ; e- La rugosité du fond et des parois est constante en longueur (n=constante) ; f-Les résistances locales sont absentes. Plan horizontal de référence ρg p2 Z2 g p1  Z1 g V 2 2 1 g V 2 2 2 LH IF=Ir IP L Plan de charge Ligne d’énergie I α 1 1 2 2 a L’ h const Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 20 2-4 Equation générale de l’écoulement uniforme dans un canal prismatique Considérons un volume de liquide ABCD de section constante ω et de longueur L. Le volume du liquide est considéré comme étant en équilibre puisque l’écoulement est permanent et uniforme (accélération nulle). Ajoutant les forces agissant dans la direction de l’écoulement x. Fig.2-2: Schéma représentatif d’un volume de liquide en écoulement uniforme Force sur la surface AD - Force sur la surface BC + G Sinα – Forces résistantes = 0 ρghω – ρghω + ρgωL sinα – η0χL=0 où η0 est une contrainte tangentielle visqueuse moyenne à la paroi (Pa) agissant sur une surface ayant L mètres de long et le périmètre mouillé χ mètres de large. Alors ρgωL sinα = η0χL et IρgR χ ρgωsinα τ H0  IρgRτ H0  (2-1) puisque RH=ω/χ et sinα=tgα pour de petits angles α. Pavlowsky a appelé l’équation (1), l’équation fondamentale de l’écoulement uniforme. Par analyse dimensionnelle, on suppose que : 2g V ρgξτ 2g V ρg τ 2 0 2 0  (2-2) en considérant que ξ comme une grandeur variable alors des équations (1) et (2) nous pouvons tirer le gradient hydraulique 2g V R ξ I 2 H  2g V R L ξΔΗ 2g V R ξ L ΔΗ I 2 H 2 H  (2-3) Cette dernière relation, c’est la formule de Weisbach. Pour une conduite circulaire 4 πd ω 2  et πdχ  donc 4 d χ ω R H  d’où 2g V d L 4ξΔΗ 2  on pose  4 2g V d L λΔΗ 2  (2-4) c’est la formule de Darcy Weisbach de l’équation (4) nous pouvons écrire que : 8g λV IR 2g V 4R λ 2g V d λ I 2g V d ξ 4 L ΔΗ 2 H 2 H 22  alors IR λ 8g V H on pose λ 8g C  d’où G.Sin α x A B D C L η0 G α Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 21 IRCV H (2-5) cette dernière relation s’appelle la formule de Chézy utilisée pour l’écoulement uniforme. avec : C : est le coefficient de Chézy, il a la dimension de la racine carrée de celle de l’accélération de la pesanteur: /sm . Pour l’écoulement laminaire eR 64  eR g C ) 64 8 ( avec Re : nombre de Reynolds. 2-5 Formule de Chézy Pour l’écoulement à surface libre et dans le cas du régime uniforme la vitesse moyenne d’écoulement est donnée par la formule (2-5) ou bien de Chézy. IRCV H où C : Le coefficient de Chézy, il a comme unité le (m 0,5 /s) ; RH : Le rayon hydraulique (m) : I : Le gradient hydraulique ou la perte de charge par unité de longueur ; dans le cas de l’écoulement uniforme I=la pente du radier (du fond) du canal. 2-5-1 Détermination du coefficient de Chézy Pour le calcul du coefficient de Chézy il existe une panoplie de formules, parmi ces formules nous mentionnerons dans ce qui suit celles les plus souvent utilisées. a) Formule de Manning (1891) Manning donne la formule suivante : 6 1 1 HR n C  (2-6) où n est le coefficient de rugosité et RH est le rayon hydraulique. Blench (1939) considère le coefficient C comme une variable qui dépend non seulement de n mais aussi de RHet dont l'exposant dépend à son tour de n et de RH. C'est la formule dite de Pavlovski b) Formule de Pavlovski (1940) y HR n 1 C  , (m 0,5 /s) (2-7) où n est le coefficient de rugosité et RH est le rayon hydraulique. y est un exposant déterminé soit d’après la relation complète : )10,0(75,013,05,2  nRny H (2-7-1) soit d’après les égalités simplifiées : ny 5,1 à RH<1 m ; (2-7-1’) ny 3,1 à RH>1 m. (2-7-1’’) La relation (2.7) est applicable pour un rayon hydraulique variant entre 0,10 m et 3 m et pour n compris entre 0,011 et 0,04. c) Formule d’Agroskine La formule d’Agroskine qui calcule le coefficient de Chézy est la suivante : )lgR(k2g4C H (2-8) où k est le paramètre de Poli choisi conformément aux données du tableau n°2-1 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 24 La formule de Bazin a été développée à l'origine pour de petits canaux, si bien que sa généralisation ne donne pas d'aussi bons résultats que ceux obtenus par la formule de Ganguillet – Kutter. f) Formule de Hager (1989) : Hager a pu montrer que la rugosité absolue ε et le coefficient k de Strickler sont liés par la relation : √ g) Formule de Powell (1950) Powell propose une relation de type logarithmique au calcul du coefficient C de Chézy, mais elle se présente sous une forme implicite : ( ) A l'origine, la formule de Powell a été présentée en unité anglaise et les constantes figurant dans sa relation sont alors différentes et beaucoup plus simples : ( ) Pour le cas des canaux rugueux, l'écoulement est en général turbulent correspondant aux valeurs élevées du nombre de Reynolds. Le terme C/(4R) → 0 et la relation précédente devient : ( ) Par contre, pour les canaux lisses, l'effet de la rugosité est tellement faible que la relation de Powell peut s'écrire : ( ) 2-5-2 Détermination du coefficient de rugosité a) Coefficient de rugosité Le coefficient de rugosité n, des canaux naturels, est déterminé selon les propriétés du canal. On peut obtenir le coefficient de rugosité n à partir des tableaux spéciaux, comme celui de M. Srybny (tableau n°2-3). b) Coefficient de rugosité équivalente Dans le cas où le canal a une rugosité hétérogène du périmètre mouillé, on peut introduire dans ce cas la notion du coefficient de rugosité équivalente, ce dernier est donné par la formule suivante : 2/1 2/1 1 2(           N ii éq n n (2-10) où N est le nombre de parties du périmètre mouillé à rugosités différentes ; χi, la longueur de la partie mouillée à rugosité constante ni ; χ, la longueur totale du périmètre mouillé. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 25 Tableau n°2-3 : Coefficient de rugosité n Calasse Type de paroi n 1/n I Surfaces très lisse ; surfaces ouvertes d’émail et de glaçure 0,009 111 II Planches très bien usinées et ajutées. Meilleur enduit en ciment pur 0,010 100 III Meilleur enduit de ciment (1/3 de sable). Tuyaux propres (neufs) en céramique, en fonte et fer, bien posés et raccordés, planches bien usinées. 0,011 90,9 IV Planches non usinées bien ajutées. Conduites d’adduction dans des conditions normales, sans incrustation visible, tuyaux d’égout assez propres, un assez bon bétonnage 0,012 83,3 V Maçonnerie en pierres de taille dans les meilleures conditions, maçonnerie en briques assez bonne, tuyaux d’égout dans les conditions normales, conduites d’eau peu encrassées 0,013 76,9 VI Tuyaux encrassés (d’adduction et d’égout), bétonnage des canaux dans les conditions moyennes 0,014 71,4 VII Maçonnerie en briques médiocre, revêtement en pierres de taille dans les conditions moyennes. Tuyaux d’égout fortement encrassés. Bâche sur lattes de bois 0,015 66,7 VIII Maçonnerie en moellons bonne, vieille maçonnerie en briques (non consolidée) ; bétonnage relativement brut. Roche très lisse, bien rodée 0,017 58,8 IX Canaux à couche de vase épaisse stable, canaux dans un loess compact et dans un petit gravier dense recouvert d’un film de vase continu 0,018 55,6 X Maçonnerie en pierres de taille médiocre (satisfaisante) ; pavé de pierres. Canaux réalisés assez proprement dans la roche. Canaux dans le loess, le gravier compact, la terre compacte recouverte d’un film de vase (en état normal) 0,020 50 XI Canaux dans l’argile compacte. Canaux dans le loess, le gravier, la terre recouverte d’un film de vase discontinu. Grands canaux de terre dans les conditions d’entretien et de réparation au-dessus de celles moyennes 0,0225 44,4 XII Bonne maçonnerie sèche. Grands canaux de terre dans les moyennes conditions d’entretien et de réparation et petits canaux de terre dans les bonnes conditions. Rivières dans les conditions favorables (lit droit propre à courant libre sans chutes de terre ni fosses d’affouillement profondes) 0,025 40 XIII Canaux de terre (canaux grands dans les conditions d’entretien inférieures à celles à celles moyennes, petits canaux dans les conditions moyennes) 0,0275 36,4 XIV Canaux de terre dans les mauvaises conditions (par exemple, par endroits avec algues, pierres ou gravier sur le fond) ; à herbes assez denses ; avec chutes de talus locales, etc. Rivières dans des conditions favorables du courant 0,030 33,3 XV Canaux dans des mauvaises conditions (à profil incorrect ; encrassés de pierres et d’algues). Rivières dans des conditions relativement favorables, mais avec une certaine quantité de pierres et d’algues 0,035 28,6 28,6 28,6 XVI Canaux dans de très mauvaises conditions (grandes fosses d’affouillement et chutes de terre, grande quantité de jonc, racines denses, grandes pierres dans le lit). Rivières à conditions du courant plus mauvaises que dans les classements précédents, augmentation de la quantité de pierres et d’algues, lit sinueux avec une faible quantité de fosses d’affouillement et des hauts- fonds 0,040 et plus 25 et moins Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 26 2-6 Distribution verticale des vitesses Pour connaitre la distribution verticale des vitesses dans un canal ouvert, on doit tout d’abord élucider le régime d’écoulement dans ce canal à savoir laminaire ou turbulent. 2-6-1 Cas de l’écoulement laminaire Lorsque l’écoulement est laminaire Re<2320, la viscosité devient le facteur dominant dans l’écoulement et la contrainte tangentielle est donnée par : dy dv μτ  (2-11) avec μ est la viscosité dynamique. Fig.2-3: Répartition verticale de la vitesse dans un canal (cas du régime laminaire) Pour un système en équilibre, on applique le premier principe de Newton :   0Fx 0τdLdzy)dLdzsinαρg(hFF m21  Puisque F2=F2  y)sinαρg(hτ m  (2-12) De (11) et (12) y)dy(h μ ρgI dy)y)sin((h μ ρg dv mm   (2-13) Etant donné que pour les faibles valeurs de α, sinα =tgα=I. En intégrant (2-13), on obtient : C)y 2 1 (yh μ ρgI v 2 m  (14) Pour y=0 v=0 d’après la courbe, la valeur de la constante C=0 L’équation (14) est une équation de second degré représentant une parabole. )y 2 1 (yh μ ρgI v 2 m  (2-15) Il ressort que pour un écoulement laminaire, la distribution verticale de la vitesse dans un canal découvert est parabolique. La vitesse moyenne V est donnée par :         dydz )dydzy 2 1 (yh μ ρgI dω vdω dω dQ ω Q V 2 m Où dz est une constante (dimension perpendiculaire au plan de la Fig.2-3) 3μ ρgh dyy 2 1 yh dzμh dz ρgI V 2 m h 0 2 m m m         (2-16) v dy x y hm α F2 F1 y dL 1 2 G ηω Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 29 2-7-3 Canal à section transversale trapézoïdale La section mouillée (ω) : bhxh) 2 1 2(ω  hcotgθx h x cotgθ  Posons bh 2mhmhxcotgθm  Le périmètre mouillé (χ) :   2222 hmh2hx2χ  bb  212 mhb  Le rayon hydraulique (RH) : 2 2 12 mhb mhbh RH      2-7-4 Canal à section transversale parabolique La section mouillée (ω) : h2ph 3 4 Bh 3 2 ω  Comme h2p2B  avec p le paramètre de la parabole. Le périmètre mouillé (χ) :      212ln212pχ  ph / : La profondeur relative et 2/1m la pente du talus à la surface de l’eau pNχ  avec      212ln212N  Le rayon hydraulique (RH) : pN Bh RH 3 2    Pour les canaux paraboliques larges B>>h, on peut prendre en première Approximation Bh 3 2  et Bχ  h 3 2 R H  Dans le tableau n°4, nous donnons la valeur de N pour différentes valeurs de η. Tableau n°2-4 : les valeurs de N pour différentes valeurs de la profondeur relative η N η N η N η N 0,001 0,09 0,15 1,15 0,55 2,44 0,95 3,48 0,005 0,20 0,20 1,34 0,60 2,58 1,00 3,61 0,01 0,28 0,25 1,54 0,65 2,71 1,05 3,72 0,02 0,40 0,30 1,71 0,70 2,83 1,10 3,84 0,04 0,57 0,35 1,85 0,75 2,97 1,15 3,97 0,06 0,71 0,40 2,02 0,80 3,10 1,20 4,08 0,08 0,82 0,45 2,16 0,85 3,23 1,25 4,19 0,10 0,93 0,50 2,30 0,90 3,34 - - 2-7-5 Canal à section transversale demi-circulaire La section mouillée (ω) : 2 2 1 ω R Le périmètre mouillé (χ) : R  Le rayon hydraulique (RH) : R R R RH 2 12 1 2      Fig. 2-7 : canal trapézoïdal B h θ x b h θ Fig. 2-8: canal parabolique B m y H p/2 H=R h Fig.2-9: canal demi-circulaire Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 30 Quand θ=π (demi-circulaire) 2 2 1 ω R et R  Alors RRH 2 1    2-7-6 Canal à section transversale circulaire (égout circulaire) La section mouillée (ω) : 2 2 1 ω R Le périmètre mouillé (χ) : R  Le rayon hydraulique (RH) : R R R RH 2 12 1 2      Quand θ=2π (forme circulaire) 2ω R et R 2 Alors RRH 2 1    2-8 Section liquide la plus avantageuse Elle est définie comme étant la surface mouillée (ω) qui assure la valeur minimale du périmètre mouillé (χ). On peut dire que la section hydrauliquement la plus avantageuse possède le débit maximal, c'est-à-dire pour avoir un débit maximum pour (ω, I et n) constantes, il faut que le périmètre mouillé (χ) devient minimum donc un rayon hydraulique (RH) maximum. Les questions qui se posent sont : quelle est la section la plus avantageuse de toutes les sections et quelle est la plus avantageuse (efficace) pour chaque forme (triangulaire, rectangulaire, parabolique et demi-circulaire). a) cas d’un canal triangulaire Le périmètre mouillé est égal 212 mh  pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que 0 dh dχ  2mhω  mh  d’où 212 mm   Calcul de l’écartement du talus m : 0 mω m ω m ωωm 0 dm dχ 2 2     1m1m0ωωm 22  m=cotgθ=1 4    =45° Le périmètre minimum (χmin) : h22(1)12hχ 2 min  La section mouillée (ω) : 222 1 hhmh  Le rayon hydraulique maximal (RH) : 2222 2 min h h h RH    θ π -θ /2 R x y Fig.2-10: canal circulaire Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 31 La section triangulaire hydrauliquement la plus avantageuse est celle qui a un coefficient d’écartement de talus m=1 ou bien un angle d’inclinaison par rapport à l’horizontal est égal à 45° b) cas d’un canal rectangulaire Le périmètre mouillé est égal hb 2 , pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que 0 dh dχ  ; 2h hh bbh      2 2 2020)2 h (0 dh dχ h h h dh d      Le périmètre minimum (χmin) : 4h2h h 2h χ 2 min  La section mouillée (ω) : 22h Le rayon hydraulique maximal (RH) : 24 2 2 min h h h RH    hbhbh 22 2  La section rectangulaire hydrauliquement la plus avantageuse (efficace) est celle qui a une largeur (b) égale à deux (2) fois la profondeur d’eau (h). c) cas d’un canal trapézoïdal Dans ce cas, le périmètre mouillé est donné par la relation suivante : 212 mhb  pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que 0 dh dχ  212 mhb  mh h bbh    2mh , En remplaçant cette dernière expression dans la relation qui donne le périmètre mouillé nous obtiendrons : 212 mhmh h    Calcul de l’écartement du talus (m) : Pour ce faire, on met 0 12 )2(2 -h0 12( 0 dm dχ 2 2      m hm dm mhmh h d  3 1 3 1 1341210 12 412 22222 2 2    mmmmmmm m mhmh  60331cot gm Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 34 Calcul de la surface ω1 :  2 1 2 1 R Calcul de la surface totale )sin( 2 1 sin 2 1 2 1 222 1   RRRt )sin( 2 1 2   R    dRdR d d )cos1( 2 1 )cos1( 2 1 22   dRd )cos1( 2 1 2  Calcul du périmètre mouillé  R  RddR   Rdd  En remplaçant chaque membre dans l’équation 0  dd on obtient :   0)sin( 2 1 cos1 2 1 22   RdRdRR Divisons par dR3 2 1 on aura : 0cossin0)sin()cos1(   0cossin   Pour la résolution de cette équation on peut utiliser la méthode de Newton Raphson. l’angle θ pour lequel la vitesse dans le canal circulaire est maximale est égal à θ≈257°. 2-10-2 Cas du débit maximum : Par une démarche similaire à celle effectuée pour la vitesse maximale, on remplace dans l’équation qui donne le débit maximum : 0ωdχd3    0)sin( 2 1 cos1 2 1 3 22   RdRRR Divisons par dR3 2 1 on aura : 0sincos320)sin()cos1(3   L’équation finale est donnée par l’expression suivante : 0sincos32   Ici aussi on peut résoudre cette équation par la méthode de Newton Raphson, on obtient la valeur de θ qui donne le débit maximum dans un canal circulaire. θ≈308° Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 35 2-11 Conception des canaux Le canal doit assurer l’approvisionnement planifié en eau et répondre aux conditions de stabilité, en d’autres termes on ne doit pas observer l’effondrement, l’envasement et l’affouillement. Les valeurs limites et recommandées des paramètres, qui déterminent la stabilité des canaux, sont présentées dans les cahiers de charges respectifs et dans les normes de conception conformément à la destination du canal projeté. 2-11-1 Eléments des sections transversales des canaux Les canaux d’irrigation sont conçus en général en forme trapézoïdale ; les canaux d’assèchement peuvent être trapézoïdaux que paraboliques. Il est recommandé de choisir les valeurs des coefficients d’écartement des talus (m) pour les canaux d’irrigation trapézoïdaux conformément aux données du tableau n°5 et 6 et dans les conditions suivantes si la profondeur de remplissage du canal (h) ne dépasse pas 3m. Si la profondeur (h) est supérieure à 3m, les talus du canal sont calculés conformément aux normes établies pour les digues de terre. Tableau n°2-5 : coefficients d’écartement des talus (m) des canaux en excavation Sols Canaux d’irrigation au remplissage, m canaux de collection et de rejet 1 1 à 2 2 à 3 Galets faiblement cimentés 1,0 1,0 1,0 - Galets et gravier avec sable 1,25 1,50 1,50 1,00 Argile, limon lourd et moyen 1,00 1,0 1,25 1,00 Limon léger 1,25 1,25 1,50 1,25 Limon sableux 1,50 1,50 1,75 1,50 Sable 1,75 2,00 1,25 1,75 Tableau n°2-6 : coefficients d’écartement des talus (m) des canaux en remblai Sols Débits de l’eau dans le canal Q m 3 /s >10 10 à 2 2 à 0,5 <0,5 intérieur extérieur int ext int ext int ext Argile, limon lourd et moyen 1,25 1,00 1,00 1,00 1,00 0,75 1,00 0,75 Limon léger 1,50 1,25 1,25 1,00 1,25 1,00 1,00 1,00 Limon sableux 1,75 1,50 1,50 1,25 1,50 1,25 1,25 1,00 sable 2,25 2,00 2,00 1,75 1,75 1,50 1,50 1,25 2-11-2 Vitesses maximales admissibles ne provoquant pas l’affouillement Afin d’éviter la destruction du fond et des parois du canal par une action dynamique du courant d’eau, la vitesse de ce dernier ne doit pas dépasser une certaine limite maximale qui dépend : a) du sol dans lequel passe le canal ou du type de revêtement ; b) des dimensions de section liquide du canal ; c) de la teneur des particules d’argile en suspension. D’après Mirtsukualava la vitesse admissible à l’érosion est donnée par : a) sol homogène pulvérulent (C=0)   KCdg n m h d N FPsE .2 44,0 8,8 logv     Avec N FPC : résistance de fatigue à l’arrachement des sols pulvérulents Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 36 m : coefficient de condition de travail, il prend en considération l’influence des sédiments à l’état colloïdale sur la capacité érosive du courant. n : coefficient de pénétration qui tient compte de la variation de la capacité érosive du courant sous l’influence de caractère de fluctuation et d’autre cas de dépassement probable des charges admissible sur la particule K : coefficient caractérisant la possibilité de l’écart des forces de cohésion et la valeur moyenne k=0,5 m[d]et [Pa]d1,72.10C 14N FP   2 max        D D U U n Pour d<0,001m 0,3d0,00005 d 1n   Pour d>0,001m n=4 h : la profondeur d’eau. b) sol argileux et limoneux (C≠0)   KCdg n m h d N Fs .25,1 5,2 28,8 logvE      KCdg n m N FsE .25,1 6,2 2 25,1v    K : coefficient d’homogénéité des sols cohérent caractérisant la probabilité de l’écoulement des forces de cohésion K=0,5 N FC : Résistance de fatigue à l’arrachement des sols cohérents N FC =0,35 C N Coefficient normatif 0,3d0,00005 d 1n   s : masse volumique du sol. 2-11-3 Vitesse de sédimentation (vD) Elle correspond à l’état où la turbidité du courant (la concentration des sédiments dans une unité de volume) Ts   T : Quantité maximale de sédiments contenant dans une unité de volume d’eau. D’après ZAMAZINE   3/65 mkgS  ω: vitesse de chute des particules de sédiments a) 4.10 -4 <ω<20.10 -4 → RIT   v v11 b) 20.10 -4 < ω<80.10 -4 → RIT 2/3 v 22,0          Ts   Dvv Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 39 m)m12h(2m12hmh h mm12h m12hmh h ω χ 22 22 2 min                 mm122hχ 2 min Calcul de la largeur du canal (b) : )mm12h(bmhmm12 h h bmh h ω bbhmhω 22 2 2        m)m12h(b 2  Calcul du rayon hydraulique maximal (RHmax) : 2 h mm122h m)m1(2h χ ω R 2 22 min Hmax           2 h R Hmax  La section trapézoïdale hydrauliquement la plus avantageuse (efficace) est celle qui a un coefficient d’écartement du talus (m) par rapport à l’horizontal égal à 31 (  603πθ31cotgθm ), une largeur du fond (b) )1(2 2 mmhb  =1,154h, une section mouillée 2h732,1ω  , un périmètre mouillé h464,3χmin  et par conséquent un rayon hydraulique 2 h R Hmax  . b) cas d’un canal triangulaire en forme de V Le périmètre mouillé est égal 2m12hχ  pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que : 0 dh dχ  2mhω  mωh  d’où m ωmω 2ωm m ω 2m1mω2χ 2 2   Calcul de l’écartement du talus m : 0 mω m ω 2 ) m ωωm (2 0 dm dχ 2 2     1m1m0ωωm 22  m=cotgθ=1 4 π θ  =45° Le périmètre minimum (χmin) : h22(1)12hχ 2 min  La section mouillée (ω) : 222 h1hmhω  h θ x x Fig. 2 : canal triangulaire B Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 40 Le rayon hydraulique maximal (RH) : 22 h h22 h χ ω R 2 min H  La section triangulaire hydrauliquement la plus avantageuse est celle qui a un coefficient d’écartement de talus m=1, ou bien un angle d’inclinaison par rapport à l’horizontal égal à 45° c) Cas d’un canal rectangulaire Le périmètre mouillé est égal h2bχ  , pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que 0 dh dχ  ; 2h h ω χ h ω bbhω  2 2 2020)2 h (0 dh dχ h h h dh d      Le périmètre minimum (χmin) : 4h2h h 2h χ 2 min  La section mouillée (ω) : 22hω  Le rayon hydraulique maximal (RH) : 2 h 4h 2h χ ω R 2 min H  2hb2hbhω 2  La section rectangulaire hydrauliquement la plus avantageuse (efficace) est celle qui a une largeur (b) égale à deux (2) fois la profondeur d’eau (h). Exercice n°2 Trouver la section la plus avantageuse (la plus économique) parmi les formes des sections suivantes pour le cas où S1=1m 2 , S2=2m 2 et S3=3m 2 . a- canal demi-circulaire b- canal trapézoïdal c- canal triangulaire en forme de V d- canal rectangulaire 1/ Si on prend une section mouillée de 1m 2 a) canal demi - circulaire La section mouillée est donnée par : m 1,60 π 8 π 8ω d 8 πd ω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 2,50 2 πx1,60 2 πd χ  Le rayon hydraulique est donné par : m 0,4 4 1,60 4 d 8ππ 2ππ χ ω R 2  h b Fig. 3 : canal rectangulaire Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 41 b) Canal trapézoïdal La section mouillée est donnée par : m 0,76 m)m1(2 1 m)m1(2 ω hm)m1(2hω 22 22      Le périmètre mouillé est donné par : m 2,63m)m12x0,76(2mm122hχ 22 min        Le rayon hydraulique est donné par : m 0,38 2 0,76 2 h RHmax  c) Canal triangulaire La section mouillée est donnée par : 1mωhhω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 2,83x122h22χmin  Le rayon hydraulique est donné par : m 0,35 22 1 22 h χ ω R min H  d) Canal rectangulaire La section mouillée (ω): m 0,707 2 ω h2hω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 2,834x0,7074hχmin  Le rayon hydraulique est donné par : 0,35m 2 0,707 2 h χ ω R min H  2/ Si on prend une section mouillée de 2m 2 a) Canal demi - circulaire La section mouillée est donnée par : m 2,26 π 16 π 8ω d 8 πd ω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 3,54 2 πx2,26 2 πd χ  Le rayon hydraulique est donné par : m 0,565 4 2,26 4 d 8ππ 2ππ χ ω R 2  b) canal trapézoïdal La section mouillée est donnée par : m 1,07 m)m1(2 2 m)m1(2 ω hm)m1(2hω 22 22      Le périmètre mouillé est donné par : m 3,71m)m12x1,07(2mm122hχ 22 min        Le rayon hydraulique est donné par : 0,535m 2 1,07 2 h RHmax  c) Canal triangulaire La section mouillée est donnée par : m 1,412ωhhω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 42x22h22χmin  Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 44 Calcul de la largeur du canal (b) : )1mm1h(bmh 2 1 m1m 2 1 1 h h bmh 2 1 h ω bbhmh 2 1 ω 22 2 2        1)mm1h(b 2  Calcul du rayon hydraulique maximal (RHmax) : 2 h 1m 2 1 m12h 1)m 2 1 m1(h χ ω R 2 22 min Hmax           2 h R Hmax  La section représentée ci-dessus hydrauliquement la plus avantageuse (efficace) est celle qui a un coefficient d’écartement du talus (m) par rapport à l’horizontal  60331cot gm , une largeur du fond (b) 1,577h1)mm1h(b 2  , une section mouillée 2h866,1ω  , un périmètre mouillé h732,3χmin  et par conséquent un rayon hydraulique 2 h R Hmax  . Exercice n° :4 Trouver les caractéristiques de la section la plus avantageuse d’un canal triangulaire ayant une paroi verticale, une section mouillée ω, et un périmètre mouillé χ. « Les caractéristiques à déterminer sont : l’écartement du talus m=cotgθ, le périmètre mouillé minimal et le rayon hydraulique ». Le périmètre mouillé est donné par la relation suivante : 21 mhh  pour avoir un périmètre mouillé minimum, il faut que 0 dh dχ  )m1h(1m1hhχ 22  m 2ω hmh 2 1 ω 2  , En remplaçant cette dernière expression dans la relation qui donne le périmètre mouillé nous obtiendrons : ) m m1 m 1 (2ω)m1(1 m 2ω )m1h(1χ 2 22   mh h m=cotgθ Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 45 Calcul de l’écartement du talus : Pour ce faire, on met 0) )m( ) m2 m11 m12 m2m ( )m( m2 1 (2ω0 dm )] m m1 m 1 (2ωd[ 0 dm dχ 2 2 2 2 2           0 m1mm4 )m2(1-m4 m2m 1 (2ω0) )m( ) m2 m11 m12 m2m ( )m( m2 1 (2ω0 dm dχ 2 22 2 2 2 2           0) m1mm4 2-m2 m2m 1 (2ω0 m1mm4 )m2(1-m4 m2m 1 (2ω0 dm dχ 2 2 2 22       0) m12 2-m2 1( m2m 2ω 0) m1mm4 2-m2 m2m 1 (2ω0 dm dχ 2 2 2 2      0) m1 1-mm1 ( m2m 2ω 0) m1 1-m 1( m2m 2ω 0 dm dχ 2 22 2 2       2222222 1)-m()m(11-mm101-mm10 dm dχ  0)3m(m0m3m12m-mm10 dm dχ 2224242  3mou 0m0)3m(m0 dm dχ 22  . Pour notre cas la valeur de m est toujours supérieure à zéro donc, on opte pour 3m   036/θ3cotgθm  Calcul de la section mouillée et du périmètre minimal (χmin) en fonction de m et h: La section mouillée devient : 22 h 2 3 mh 2 1 ω  En remplaçant la relation de ω obtenue, dans la relation du périmètre, on obtient la relation du périmètre minimal. 3h)m1h(1χ 2 min  Calcul du rayon hydraulique maximal (RHmax) : 32 h 3h h 2 3 χ ω R 2 min Hmax  32 h RHmax  La section hydrauliquement la plus avantageuse (efficace) représentée dans l’exercice n°4 est celle qui a un coefficient d’écartement du talus (m) par rapport à l’horizontal. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 46  3063cot gm , une section mouillée 2h 2 3 ω  , un périmètre mouillé h3χmin  et par conséquent un rayon hydraulique 32 h RHmax  . Exercice n° :5 Quelle est la section la plus avantageuse entre la section triangulaire et la section rectangulaire. Prendre la section mouillée 2m 3ω  a) Pour le canal triangulaire : La section mouillée est donnée par : m 1,86 3 2x3 3 2ω hh 2 3 mh 2 1 ω 22  Le périmètre mouillé est donné par : m 5,583x1,863h)m1h(1χ 2 min  Le rayon hydraulique est donné par : m 0,54 32 h RHmax  b) Pour le canal rectangulaire : La section mouillée (ω): m 1,22 2 3 2 ω h2hω 2  Le périmètre mouillé est donné par : m 4,884x1,224hχmin  Le rayon hydraulique est donné par : 0,61m 2 1,22 2 h χ ω R min H  Note : le canal de section mouillée de forme rectangulaire est plus avantageux que celui de section mouillée triangulaire, parce que le périmètre mouillé du canal rectangulaire est inférieur à celui du canal triangulaire (χ « rectangulaire »< χ « triangulaire »). Exercice n° : 6 Déterminer la section la plus avantageuse de toutes les sections qui ont la forme représentée sur la figure ci-dessous ? 2 11 2 111 2 121 mh 2 1 hmhmh 2 1 )h(hmhmh 2 1 hmhω  2 11 mh 2 1 hmhω  (1) )h(hm1hhhm1hhχ 1 2 12 2 1  )1m1(hh2χ 2 1  (2) de l’équation (1) nous aurons 2 h mh ω h 1 1  (3) on substitue l’expression (3) dans l’équation (2) nous aurons : m= cotgθ h2 h1 2 mh1 h h H b mh h m=cotgθ Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 49 Exercice n° :10 Le canal de ciment de la figure suivante doit débiter 30 m 3 d’eau à la seconde. Trouver la dénivellation du fond du canal par kilomètre de longueur ? On prend n=0,013. Solution 2 2/3 1/22/31/22/3 ) ωR nQ (iiR n 1 ωQiR n 1 ω Q v  Calcul de la section : 2m 12,40) 2 3,61,6 (2,0)((3,6)(2,0)ω    Calcul du périmètre mouillé : m 10,03221,623,6χ 22  D’où le rayon hydraulique : m 1,236 10,03 12,40 χ ω R  Calcul de la pente du fond du canal 0,0007457) 236)(12,40)(1, )(0,013)(30 () ωR nQ (i 2 2/3 2 2/3  0,746m/km0,0007457i  . Exercice n° : 11 dans un laboratoire d’hydraulique, le débit mesuré dans un canal rectangulaire est de 0,412 m 3 /s. Les dimensions du canal sont : la largeur du canal est égale à 1,22 m et la profondeur est de 0,610 m. Si la pente du canal était de 0,00040, quel est le coefficient de rugosité pour le revêtement du canal ? b = 1 , 2 2 m h=0,610 m i=0,0004 Q= 0 ,412 m 3 /s 1.6 m 4.0 m 2.0 m 3.6 m Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 50 Solution ) Q iωR (niR n 1 ωQiR n 1 ω Q v 1/22/3 1/22/31/22/3  0163,0 412,0 )00040,0()305,0( 7442,0 0,412 )00040,0(2(0,61))20,61)/(1,2(1,22 0,61)(1,22n 2/13/22/12/3    x x 0163,0n  on prend =0,016. Exercice n° :12 Avec quelle pente doit-on concevoir un tuyau d’égout vitrifié de 600 mm pour que le débit soit de 0,17 m 3 /s. on prend n=0,013. Quand il est à moitié plein ? Quand il est plein ? Solution On prend n=0,013 a) le tuyau est à moitie plein : Le rayon hydraulique : m 0,15 4 d d)( 2 1 /4)d( 2 1 χ ω R 2    00306,0) (0,15)(0,6) ,17)8(0,013)(0 () Rd 8nQ (iiR n 1 ) 4 d ( 2 1 iR n 1 ωQ 2 2/32 2 2/32 1/22/3 2 1/22/3    00306,0) (0,15)(0,6) ,17)8(0,013)(0 (i 2 2/32   b) le tuyau est plein : 000766,0) (0,15)(0,6) ,17)4(0,013)(0 () Rd 4nQ (iiR n 1 ) 4 d (iR n 1 ωQ 2 2/32 2 2/32 1/22/3 2 1/22/3    000766,0) (0,15)(0,6) ,17)4(0,013)(0 (i 2 2/32   Exercice n° :13 Deux tuyaux de béton (le coefficient de Chezy C=55) transportent le débit provenant d’un canal ouvert ayant pour section un demi carré de 1830mm de large et de 915mm de profondeur (le coefficient de Chezy C=66). La pente des deux structures est de 0,00090. a) Calculer le diamètre des tuyaux ? b) Trouver quelle est la profondeur de l’eau dans le canal rectangulaire, après avoir établi le régime, si la pente est 0,00160, en utilisant le coefficient de Chezy C=66. d i=0,0009 i=0,0009 i=0,0009 h=915 mm C=55 C=66 C=55 b=1830 mm Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 51 Solution tuyauxcanal QQ  RiC2ωRiCω tuyauxcanal     1,245md1,296d2,243(0,0009) 4 d )(55)πd 4 1 2((0,0009) 3,66 1,83x0,915 661,83x0915 5/22  Pour une profondeur h, aire ω=1,83h et le rayon hydraulique 2h1,83 1,8h R   pour le même Q. 0,2160,236hh0,85 2h1,83 1,83h 1,83h(0,0016) 2h1,83 1,83h )(1,83h)(662,243 3      En résolvant par la méthode d’approximation successive, de Newton ou celle de Dichotomie nous obtenons h=0,73m. Exercice n° :14 On pose un tuyau d’égout vitrifié ordinaire avec une pente de 0,00020 pour transporter 2,30 m 3 /s quand il est rempli à 90%. On prend n=0,015. Quelle devra être le diamètre du tuyau ? Solution Le canal est rempli à 90% donc y=0,4d. 036,869θ0,8 0,5 0,4 0,5d 0,4d d/2 y cosθ  0 2222 36,869θ0,6 0,5d 0,3d 0,5d d(0,4)(0,5) 0,5d (0,4d)(0,5d) d/2 x sinθ      On calcul le rayon hydraulique : χ ω R  La section mouillée AOCD triangleAOCEsecteur cercleω  La section d’un cercle θd 8 1 θ) 2 d ( 2 1 θR 2 1 ω 222  avec θ en radian. 22 0,785dπd 4 1 cercle  ; 22 2 0,161dd 4 π 360 2x36,869 ) 4 πd ( 360 2θ AOCEsecteur  ; 20,12dd)(0,3d)(0,4xyxy) 2 1 2(AOC triangle  2222 0,744d0,164d0,12d0,785dω  Le périmètre mouillé : 2,498dπd 360 2θ πdχ  donc, 0,298d 2,498d 0,744d χ ω R 2  1/22/321/22/3 (0,00020)(0,298d) 0,015 1 0,744d2,30iR n 1 ωQ  2,11m) 0,3129 2,30 (d0,3129d2,30 3/88/3  Le diamètre du tuyau est 2,11md  . 0 ,9 0 d E D A C O θ B x y Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 54 Exercice n° :18 Un canal rectangulaire de largeur b=5 m, de coefficient de rugosité n=0,020 et de pente i=0,04 évacue un débit Q=14 m 3 /s. Calculer la profondeur d’eau dans le canal ? Solution Calculer la profondeur d’eau dans le canal : 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est rectangulaire 5xhbhω  Le périmètre mouillé 2xh5χ  Le rayon hydraulique 2h5 5h χ ω R min H   2/3 5/3 1/22/31/22/3 2h)(5 h 0958,0(0,04)) 2h5 5h ( 0,020 1,0 5h14iR n 1 ωQ     00958,0 2h)(5 h 2/3 5/3   En résolvant cette dernière équation par la méthode itérative de Newton Raphson, nous aurons : m 0,5h  On peut aussi résoudre cet exercice comme suit : h (m) ω (m 2 ) χ (m) R (m) C (m 0,5 /s) Q (m 3 /s) 1,000 5,000 7,000 0,714 47,273 39,953 0,500 2,500 6,000 0,417 43,212 13,947 0,501 2,505 6,002 0,417 43,224 13,990 On obtient h=0,501≈0,50 m. Exercice n° :19 Un canal de section transversale trapézoïdale doit transporter 24,3 m 3 /s. si la pente i=0,000144, le coefficient de rugosité n=0,015, la largeur de la base b=6 m et la pente des côtés su canal est 2/3 (tgα=2/3) ou bien m=3/2. Calculer la profondeur d’eau dans le canal ? Solution 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est trapézoïdal 22 1,5h6hmhbhω  Le périmètre mouillé xh61,36m12hbχ 2  Le rayon hydraulique xh61,36 1,5h6h χ ω R 2 min H    1/22/3 2 21/22/3 (0,000144)) xh61,36 1,5h6h ( 0,015 1,0 1,5h6h3,24iR n 1 ωQ    b=6 m h= ? m m=1,5 n=0,015 i=0,0001144 Q=24,3 m 3 /s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 55 375,30 xh)61,36( )1,5h(6h ) xh61,36 1,5h6h ()1,5h6h(8,03,24 2/3 3/52 2/3 2 2        0375,30 xh)61,36( )1,5h(6h 2/3 3/52    En résolvant cette dernière équation par l’une des méthodes itératives « la méthode de Newton Raphson ou par la méthode de Dichotomie », nous aurons : m 2,4h  . Exercice n° :20 Un canal trapézoïdal de largeur b=20 m, de coefficient d’écartement du talus m=1,25, de coefficient de rugosité n=0,020 et de pente i=0,001 évacue un débit Q=60 m 3 /s. Calculer la profondeur d’eau dans le canal ? Solution 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est trapézoïdal 22 1,25h20hmhbhω  Le périmètre mouillé xh20,320m12hbχ 2  Le rayon hydraulique xh20,320 1,25h20h χ ω R 2 min H    1/22/3 2 21/22/3 (0,001)) xh20,320 1,25h20h ( 0,020 1,0 1,25h20h60iR n 1 ωQ    95,37 xh)20,320( )1,25h(20h ) xh20,320 1,25h20h ()1,25hh20(58,160 2/3 3/52 2/3 2 2        095,37 xh)20,320( )1,25h(20h 2/3 3/52    En résolvant cette dernière équation par l’une des méthodes itératives « la méthode de Newton Raphson ou par la méthode de Dichotomie » ou bien par approximation successives « on fait varier le h jusqu’à où la fonction sera égale à zéro », on obtient la valeur de la profondeur h=1,46 m. On peut aussi résoudre cet exercice comme suit : h (m) ω (m 2 ) χ (m) R (m) C (m 0,5 /s) Q (m 3 /s) 0,500 10,313 21,601 0,477 44,203 9,960 1,000 21,250 23,202 0,916 49,273 31,688 1,500 32,813 24,802 1,323 52,388 62,523 1,450 31,628 24,642 1,283 52,124 59,062 1,464 31,959 24,687 1,295 52,198 60,023 On obtient h=1,464≈1,46 m. b=20 m h= ? m m=1,25 n=0,020 i=0,001 Q=60 m 3 /s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 56 Exercice n° :21 Un canal trapézoïdal de hauteur h=1,4m, coefficient d’écartement du talus m=1,5, de coefficient de rugosité n=0,025 et de pente i=0,006 évacue un débit Q=9,8m 3 /s. Calculer la largeur de fond (b) du canal ? Solution 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est trapézoïdal ,9421,4xb1,5(1,4)bx1,4mhbhω 22  Le périmètre mouillé 048,5m12hbχ 2  b Le rayon hydraulique 048,5 2,941,4b χ ω R min H    b 1/22/31/22/3 (0,006)) 048,5 94,21,4b ( 0,025 1,0 )94,21,4b(8,9iR n 1 ωQ    b 1629,3 )048,5( )94,2(1,4b (0,006)) 048,5 94,21,4b ( 0,025 1,0 )94,21,4b(8,9 3/2 3/5 1/22/3        bb 01629,3 )048,5( )94,2(1,4b 3/2 3/5    b En résolvant cette dernière équation par l’une des méthodes itératives « la méthode de Newton Raphson ou la méthode de Dichotomie », ou bien par approximation successives, on obtient la valeur de la largeur m ,80b  . Exercice n° :22 Un canal parabolique de p=5 m, de coefficient de rugosité n=0,025 et de pente i=0,0009 évacue un débit Q=16 m 3 /s. Calculer la profondeur d’eau dans le canal ? Solution Calcul de la profondeur d’eau dans le canal parabolique : Les données de l’exercice sont : Le débit Q=16 m 3 /s, p=5 m, de coefficient de rugosité n=0,025 et de pente i=0,0009 La section mouillée (ω) : h2ph 3 4 Bh 3 2 ω  Le périmètre mouillé (χ) :      212ln212pχ  ph / : La profondeur relative Le rayon hydraulique (RH) : χ ω RH  b= ? m h= 1,4 m m=1,5 n=0,025 i=0,006 Q=9,8 m 3 /s h= ? n= 0,025 i= 0,0009 Q= 16 m 3 /s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 59 Pour obtenir la valeur du paramètre de la parabole p, on fait varier p jusqu’à l’obtention de la valeur du débit donné. p (m) ω (m 2 ) η χ (m) R (m) C (m 0,5 /s) Q (m 3 /s) 1,000 7,143 2,430 6,868 1,040 44,736 5,644 2,000 10,101 1,215 8,228 1,228 45,990 8,916 2,500 11,294 0,972 8,817 1,281 46,316 10,254 2,400 11,065 1,013 8,703 1,271 46,259 9,997 La valeur du paramètre de la parabole p=2,4m. Exercice n°26 Déterminer Q et V dans un canal trapézoïdal, si n=0,025, i=0,0002, m=1,25, b=10 m, h=3,5 m. Solution 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est trapézoïdal 222 m 50,311,25(3,5)10x3,5mhbhω  Le périmètre mouillé m 21,211,2512x3,510m12hbχ 22  Le rayon hydraulique m 2,37 21,21 50,31 χ ω R min H  /sm 50,59(0,0002)(2,37) 0,025 1,0 (50,31)QiR n 1 ωQ 31/22/31/22/3  m/s 1,01 50,31 50,59 ω Q vωvQ  Exercice n°27 Déterminer la pente « i « et la vitesse moyenne « v » dans un canal parabolique, si h=2,1 m, p=4 m, n=0,0225, Q=11,7 m 3 /s. Solution Déterminer la pente « i « et la vitesse moyenne « v » dans le canal parabolique, si h=2,1 m, p=4 m, n=0,0225, Q=11,7 m 3 /s. La section mouillée (ω) : 2m 11,482,12x4 x2,1 3 4 h2ph 3 4 Bh 3 2 ω  La profondeur relative: 525,04/1,2/  ph b= 10 m h= 3,5 m m=1,25 n=0,025 i=0,0002 Q= ? m 3 /s V= ? m/s h= 2,1 m n= 0,0225 i= ? Q= 11,7 m 3 /s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 60 Le périmètre mouillé (χ) :          x0,52521x0,5252ln2x0,5251525,02x4212ln212pχ   m 9,46χ  Le rayon hydraulique (RH) : m 1,21 9,46 11,48 χ ω RH  Calcul de la pente du canal i: 00040,0) 11,48x1,21 70,0225x11, () ωR nQ (iiR n 1 ωQ 2 2/3 2 2/3 1/22/3  Calcul de la vitesse moyenne v : m/s 1,02 11,48 11,7 ω Q vωvQ  Exercice n° :28 Déterminer le débit et la vitesse moyenne dans un canal trapézoïdal ayant les caractéristiques suivantes : la largeur du fond b=0,7m, la profondeur d’eau h=1,0m, l’écartement du talus m=1,25, le coefficient de rugosité n=0,030 et la pente i=0,0004. Solution 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est trapézoïdal 222 m 1,951,25(1,0)0,7x1,0mhbhω  Le périmètre mouillé m 90,31,2512x1,00,7m12hbχ 22  Le rayon hydraulique m 0,50 3,90 1,95 χ ω R min H  1) calcul du débit : /sm 82,0(0,0004)(0,50) 0,030 1,0 (1,95)QiR n 1 ωQ 31/22/31/22/3  /sm 82,0Q 3 2) calcul de la vitesse moyenne d’écoulement : m/s 0,42 1,95 0,82 ω Q VωvQ  m/s 0,42V  Exercice n° :29 Déterminer le débit et la vitesse moyenne dans une galerie circulaire ayant les caractéristiques suivantes : le diamètre d=3m, la profondeur d’eau h=2,10m, le coefficient de rugosité n=0,017 et la pente du fond i=0,014. b= 0,7 m h= 1 m m=1,25 n=0,030 i=0,0004 Q= ? m 3 /s V= ? m/s d=3 m h=2,10 m i=0,014 n=0,017 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 61 Solution a) calcul du débit Q : La relation du débit est donnée par : 1/22/3iR n 1 ωQ  Le canal est rempli à 2,1m donc y =(2,1-d/2) =(2,1-1,5)=0,6=0,2d. 066,42θ0,4 0,5 0,2 0,5d 0,2d d/2 y cosθ  0 2222 66,42θ0,916 0,5d 0,458d 0,5d (0,2)(0,5)d 0,5d (0,2d)(0,5d) d/2 x sinθ      On calcul le rayon hydraulique : χ ω R  La section mouillée AOCD triangleAOCEsecteur cercleω  La section d’un cercle θd 8 1 θ) 2 d ( 2 1 θR 2 1 ω 222  avec θ en radian. 22 0,785dπd 4 1 cercle  ; 22 2 0,2898dd 4 π 360 2x66,42 ) 4 πd ( 360 2θ AOCEsecteur  ; 20,0916d,2d)(0,458d)(0xyxy) 2 1 2(AOC triangle  22222 m 5,280,5862d0,2898d0,0916d0,785dω  Le périmètre mouillé : m 5,95,9823d1πd 360 2θ πdχ  donc, m 0,890,2957d 1,9823d 0,5862d χ ω R 2 H  /sm 9,44(0,0014)(0,89) 0,017 1 5,28QiR n 1 ωQ 31/22/31/22/3  Le débit Q=9,44 m 3 /s. b) Calcul de la vitesse moyenne d’écoulement : m/s 1,79 5,28 9,44 ω Q vωvQ  m/s 1,63v  Exercice n° :30 Calculer un canal rectangulaire en bois (l’écartement du talus m=0 et le coefficient de rugosité n=0,014) a la section hydrauliquement le plus avantageuse, si le débit transité par ce canal est 1,41 m 3 /s et sa pente i=0,0009. 0 ,7 0 d E D A C O θ B x y h= ?m i=0,0009 n=0,014 b= ?m Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 64 Pour le canal à section trapézoïdale : La section mouillée est donnée par la relation 2mhbhω  Le périmètre mouillé est donné par 2m1h2b  08,15mhbh 2  ….. (1) 09,11m1h2b 2  ……. (2) de (2) 2m12h11,09b  (3) on substitue dans l’équation (1) on obtient : 0,0815h09,11m)hm1(2mh)hm12h(11,0915,08 222  On remplace par m=1 dans la dernière équation, nous aurons : 0,0815,09h11h)111(2 22  0,0815,09h11h83,1 2  c’est une équation de second ordre qui admet comme solution : 55,360,12)08,15()83,1(409,114 22  xxACB m 4,00 1,83)2x( 3,5511,09 2A ΔB h1       m ,062 1,83)2x( 3,55,0911 2A ΔB h2       Le choix de l’un des deux (2) dépend grandement du calcul de la largeur au fond b : Pour h1=4,00 m m ,220112x4,0011,09m12h11,09b 22 11  Pour h2=2,06 m m 5,26112x2,0611,09m12h,0911b 22 22  Donc, on adopte h2=2,06 m et b2=5,26 m. Exercice n° :33 Déterminer a) Quelle doit être la section optimale d’un canal trapézoïdal, le coefficient de rugosité n=0.025, devant transporter 12,7m 3 /s. pour éviter l’érosion, la vitesse ne doit pas dépasser 0,91 m/s et les côtés doivent avoir une pente de ½ ? b) Quelle doit être la pente i du canal ? Solution La vitesse moyenne de l’écoulement uniforme est donnée par la relation de Chezy RiCv  qui permet d’écrire la relation du débit RiωCQ  La relation du débit est donnée aussi par : ωvQ  donc nous pouvons calculer la section du canal 2m ,95613 91,0 70,12 v Q ω  Pour avoir la section le plus avantageuse, dans les canaux trapézoïdal, il faut que : rayon hydraulique 2 h R  la relation de la vitesse devient : 22 2 m12hb 956,13 m12hb mhbh χ ω R      (1) b= ? m m=2,0 n=0,025 i= ? Q= 12,7 m 3 /s h= ? m Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 65 2 h R  (2) de (1)=(2) 2 h 4,47hb 13,956 2 h 212hb 13,956 2 h m12hb 13,956 22       2 h 4,47hb 13,956   (3) h h213,956 h mh13,956 bmhbh13,956mhbhω 22 22     h h213,956 b 2  (4) a) Calcul de la profondeur d’eau h: On substitue la valeur de b de l’équation (4) dans l’équation (3), on obtient : 956,132),47h4 h h213,956 h( 2 h ,47h4 h h213,956 13,956 2 2 x     013,9562,47h27,912-13,9562,47h27,9124,47h2h13,956 2222  m 2,38h5,65h2  b) calcul de la largeur au fond b: m 1,10 2,38 2x2,3813,956 b 2    c) calcul de la pente du canal m19,1 2 38,2 2 h R  De la formule de la vitesse en écoulement uniforme donnée la relation de Chézy 2 2/3 2 1/21/6 2 1/6 2 ) R n 1 v () RR n 1 v () RR n 1 v () RC v (i RC v iRiCv  00041,0) 1,19 0,025 1 0,91 () R n 1 v (i 2 2/3 2 2/3  Donc la pente du canal i=0,00041 Exercice n° :34 Un canal ouvert doit supporter un débit Q de 2,1m 3 /s à la vitesse de 1,3m/s. déterminer les dimensions de la section droite du canal ainsi que la pente sachant que la section droite : a) rectangulaire (profondeur égale à la moitié de la largeur b). b) semi-circulaire. c) trapézoïdal (profondeur égale à la largeur de fond et la pente du talus =1/1). On utilisera n=0,020. h= ?m i= ? n=0,020 b= ?m Q=2,1 m 3 /s V=1,3 m/s b= ? m m=1,0 n=0,020 i= ? Q= 2,1 m 3 /s h= ? m V=1,3 m/s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 66 Solution La vitesse moyenne de l’écoulement uniforme est donnée par la relation de Chézy RiCv  qui permet d’écrire la relation du débit RiωCQ  La relation du débit est donnée aussi par : ωvQ  donc nous pouvons calculer la section du canal 2m 615,1 30,1 10,2 v Q ω  a) Canal à section rectangulaire : Le canal a la section hydrauliquement le plus avantageuse donc b=2h Le canal est rectangulaire mh 90,0 2 615,1 615,12hbhω 2  Le périmètre mouillé mxhhh 6,390,044222xhbχ  Le rayon hydraulique m45,0 2 90,0 2 h 4h 2h χ ω R 2 min H  b=2xh=2x 0,90 =1,80 m. 2 2/3 2 1/21/6 2 1/6 2 ) R n 1 v () RR n 1 v () RR n 1 v () RC v (i RC v iRiCv  00196,0) 0,45 0,020 1 1,30 () R n 1 v (i 2 2/3 2 2/3  Donc la pente du canal i=0,00196. b) Canal à section semi circulaire : m 1,014Rm 2,0279 π 8x1,615 π 8ω d)πd 4 1 ( 2 1 ω 2  m 3,19π2,03 2 1 d)( 2 1 χ   m 0,507 4 2,03 4 d πd 2 1 πd 8 1 χ ω R 2 min H  00168,0) 0,507 0,020 1 1,30 () R n 1 v (i 2 2/3 2 2/3  Donc la pente du canal circulaire i=0,00168. c) canal à section trapézoïdal : Pour avoir la section le plus avantageuse, dans les canaux trapézoïdal, il faut que : rayon hydraulique 2 h R  la relation de la vitesse devient : Les données de l’exercice nous permettons d’écrire : h=b d’où m 0,90 2 1,615 2 ω h2hm)h(1mhbhω 222  h=b=0,90m m 3,4463,828x0,903,828h)m12h(1m12hbχ 22  Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 69 m 1,96) 0,37 2,22 () 0,37 Q (b 0,37bQ 3/83/8canal8/3 canal  h=b/2= 1,96/2 =0,98 m. Exercice n° :38 De l’eau coule sur une profondeur de 1,90m dans un canal rectangulaire de 2,44m de large. La vitesse moyenne est de 0,579 m/s. Quelle est la pente probable du canal si C=55 ? Solution La vitesse moyenne de l’écoulement uniforme est donnée par la relation de Chezy RiCv  Le canal est rectangulaire 2m 4,6362,44x1,90bhω  Le périmètre mouillé m 6,242x1,902,442xhbχ  Le rayon hydraulique m 0,74 6,24 4,636 χ ω R min H  0001497,0) 55x0,74 0,579 () C.R v (i 2 1/2 2 1/2  , La pente probable du canal i=0,0001497. Exercice n° :39 Un canal découpé dans le roc (n=0,030) a une section trapézoïdale ayant une largeur de fond de 6,10m et une pente de cotés de 1 (tgα=1). La vitesse moyenne permise est de 0,76m/s. quelle pente donnera un débit de 5,66m 3 /s ? Solution La vitesse moyenne de l’écoulement uniforme est donnée par la relation de Chezy RiCv  qui permet d’écrire la relation du débit RiωCQ  La relation du débit est donnée aussi par : ωvQ  donc nous pouvons calculer la section du canal 2m 45,7 76,0 66,5 v Q ω  Calcul des paramètres de la section : 045,710,610,6hbh7,45 222  hhhhm c’est une équation de second ordre qui admet comme solution : 186,801,67)45,7()1(410,64 22  xxACB m ,1437 2x1 186,86,10 2A ΔB h1      m ,0431 2x(1) 8,186,106 2A ΔB h2      on opte pour h=1,043m h=1,90m C =55 b=2,44m V=0,579 m 3 /s b= 6 ,10 m m=1,0 n=0,030 i= ? Q= 5,66 m 3 /s h= ? m V=0,76 m/s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 70 m 9,05112x1,0436,10m12hbχ 22  m 0,82 9,05 7,45 χ ω R min H  Calcul de la pente qui donne le débit de 5,66 m 3 /s 0,000677.) 7,45x0,82 0,030x5,66 () ωR nxQ (iiR n 1 ωQ 2 2/3 2 2/3 1/22/3  la pente du canal i=0,000677. Exercice n° :40 Quel est le débit d’eau d’un tuyau d’égout vitrifié neuf de 610mm rempli à moitié et ayant une pente de 0,0025 ? on prend n=0,013. Solution Le tuyau d’égout est vitrifié n=0,013. 2222 m 146,0 88 1 )πd 4 1 ( 2 1 ω  dd   m ,9580π(0,610) 2 1 d)( 2 1 χ   m 0,1525 4 0,610 4 d πd 2 1 πd 8 1 χ ω R 2 min H  /sm ,1600(0,0025)(0,1525) 0,013 1 0,146QiR n 1 ωQ 31/22/31/22/3  Exercice n°:41 Un canal (n=0,017) a une pente de 0,00040 et a 3048m de long. En admettant que le rayon hydraulique est de 1,463m, quelle correction de la pente doit-on effectuer pour avoir le même débit si le facteur de rugosité passe à 0,020 ? Solution La rugosité n1=0,017, i1 0,00040, L=3048 m , R=1,463 m, n2=0,020. ,00055360)x0,00040 0,017 0,020 ()i n n (iiR n 1 ωiR n 1 ωQ 21/221/2 1 1 2 2 1/2 2 2/3 2 1/2 1 2/3 1  d= 610 mm i=0,0025 n= 0,013 h=d/2 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 71 Exercice n° :42 Quelle sera la profondeur de l’eau dans un canal en V à 90°, n=0,013, réalisé avec une pente de 0,00040 si le débit doit être de 2,55m 3 /s ? Solution La section mouillée (ω) : 222 h1hmhω  Le périmètre minimum (χmin) : h22(1)12hχ 2 min  Le rayon hydraulique maximal (RH) : 22 h h22 h χ ω R 2 min H  8/3 2/1 3/2 1/2 3/2 8/3 1/22/321/22/3 ) )(i Q)2n(2 (hi )2n(2 h i) 22 h ( n 1 hiR n 1 ωQ  m 1,57) (0,00040) 2,55)20,013(2 (h 3/8 1/2 2/3  Exercice n° :43 De l’eau coule dans un caniveau, en acier (n=0,014), en forme de V à 60°, à la vitesse de 1,2m/s. si la pente vaut 0,0020, déterminer la profondeur de l’écoulement ? Solution La section mouillée (ω) : 22 h577,0mhω  Le périmètre minimum (χmin) : 2,31h(0,577)12hχ 2 min  Le rayon hydraulique maximal (RH) : h25,0 2,31h 0,577h χ ω R 2 min H  2/3 2/12/3 1/2 2/32/3 1/22/31/22/3 ) )(i(0,25) nv (hi n h(0,25) i)(0,25h n 1 iR n 1 v  m 0,9213/2) 1/2(0,0020)2/3(0,25) 0,014x1,2 (h  45° 45° h= ? n=0,013 i=0,0004 Q=2,55m 3 /s 30° 30° h= ? n=0,014 i=0,002 V=1,2m/s Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 74 3,15m4x0,7894hχmin  c) cas d’une section triangulaire Pour avoir la section la plus avantageuse, il faut que : 222 1 hhmh  ; 2222 2 h h h RH    ; h22(1)12hχ 2  La vitesse moyenne d’écoulement est donnée par la relation de Chezy RiCV  qui permet d’écrire la relation du débit RiωCQ  Le coefficient de Chezy est donné par la relation de Manning : 6/1 6/1 11          n R n C car le rayon hydraulique χ ω R  la relation qui donne le débit devient : 2/3 5/3 2/3 5/3 1/21/6 1/21/61/21/61/6 χ ω i Qn χ ω n i χχ ωωω n i χ ω χ ω ω n i i χ ω χ ω n 1 ωQ                    2/3 5/3 χ ω i Qn  on substitue les relations de 2h et de h22χ  dans cette dernière relation, nous obtenons :           3/8 2/3 8/3 2/3 2/32/3 10/3 2/3 5/32 i Qn22 hh i Qn22 h22 h h22 h i Qn              m 1,115 0,00085 1,5x0,01322 i Qn22 h 3/8 2/3 3/8 2/3                    m 1,115h  Les deux côtés du canal sont égaux et chacune des deux égale à : m 1,577x1,1152h2  d) cas d’une section trapézoïdale La vitesse moyenne d’écoulement est donnée par la relation de Chezy RiCV  qui permet d’écrire la relation du débit RiωCQ  Le coefficient de Chezy est donné par la relation de Manning : 6/1 6/1 11          n R n C car le rayon hydraulique χ ω R  la relation qui donne le débit devient : 2/3 5/3 2/3 5/3 1/21/6 1/21/61/21/61/6 χ ω i Qn χ ω n i χχ ωωω n i χ ω χ ω ω n i i χ ω χ ω n 1 ωQ                    2/3 5/3 χ ω i Qn  Pour avoir la section la plus avantageuse dans un canal à section trapézoïdale il faut que : m)m1(2hω 22  ;        mm122hχ 2 min ; )1(2 2 mmhb  ; 2 h R Hmax  ;  603πθ31cotgθm Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 75 3/2 3/10 2/3 2 5/32 3/2 2 5/3 22 2/3 5/3 m)m1(22 m)m1(2 m)m12h(2 m)m1(2h χ ω i Qn h h                         3/8 1-22/31-22/3 5/32 2/3 2 8/3 i Qn m)m1(22h i Qn m)m1(22 i Qn m)m1(2 m)m12(2 h                 m 0,83230,61298h0,61298) 0,00085 1,5x0,013 (0,577)0,5771(22h 3/81-22/38/3  m 0,8323h  Nous avons la relation de la largeur au fond m)m12h(b 2  m 0,9610,577)0,57712x0,8323(b 2  m 0,961b  Les deux (2) côtés du canal sont égaux et chacune des deux est égale à m 0,9610,57710,8323m1h 22  qui vaut la largeur au fond b. Exercice n° :47 De l’eau doit couler dans un caniveau rectangulaire à la cadence de 1,42 m 3 /s sur une pente égale à 0,0028. Déterminer les dimensions de la section droite du canal si la largeur vaut deux fois la profondeur. On prendra n=0,017 ? Calculer les dimensions du canal si la largeur est égale à la profondeur ? Solution a) calcul des dimensions du canal quand b=2h : b=2h ; R=h/2 , 22h , 4hχ  Calcul de la vitesse moyenne d’écoulement RiCV  0,017 0,0028 1,42 h2(h/2) 0,0028(h/2) 0,017 1 1,42 (h/2)i(h/2) n 1 Q RiC Q 2hω 22/3 2/31/6 2  m 0,68h0,362h0,362h 3/88/3  Si n=0,017 on trouve h=0,68 m donc b=2 x h=2 x 0,68=1,36 m b) calcul des dimensions quand b=h : b=h ; R=h/3 , 2h , 3hχ  Calcul de la vitesse moyenne d’écoulement RiCV  0,017 0,0028 1,42 h(h/3) 0,0028(h/3) 0,017 1 1,42 (h/3)i(h/3) n 1 Q RiC Q hω 22/3 2/31/6 2  m 0,98h0,9489h0,9489h 3/88/3  Si n=0,017 on trouve h=0,98 m donc b= h= 0,98 m. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 76 Exercice n° :48 Calculer la profondeur H dans le canal trapézoïdal pour les conditions suivantes : Q=508,65 m 3 /s et i=0,04%. Solution Canal trapézoïdal composé Pour résoudre ce genre de problème, on doit construire un tableau pour faciliter les calculs : Z ω1=25*z+z^2 χ1=25+z*5^0,5 R1=w1/x1 C1=(1/0,04)*(r1^1/6) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0,5 0,000 0,000 25,000 0,000 0,000 0,000 1,000 26,000 27,236 0,955 24,807 25,207 1,500 39,750 28,354 1,402 26,448 49,791 2,000 54,000 29,472 1,832 27,655 80,857 Suite du tableau de l’exercice n° :48 ω2=6*z+143,75 χ2=65,81 R2=w2/x2 C2=(1/0,025)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 143,750 65,810 2,184 45,563 193,601 193,601 208,750 65,810 3,172 48,486 360,528 385,736 241,250 65,810 3,666 49,669 458,854 508,645 273,750 65,810 4,160 50,727 566,438 647,294 La profondeur d’eau obtenue est H=2,5+Z=2,5+1,50=4,00 m. Exercice n° :49 Calculer le débit qui traverse la conduite à ciel ouvert pour les données suivantes : m=cotg α B=50m b=25m m1=3.0 m2=2.0 h=2,50m H=4,00m i=0, 04% n1=0,025 n2=0,040 Solution Pour plus de commodité lors du calcul du débit dans le cas des canaux composés, on construit un tableau comme le suivant : Z=H-h Z ω1=25*z+z^2 χ1=25+z*5^0,5 R1=w1/x1 C1=(1/0,04)*(r1^1/6) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0,5 1,500 39,750 28,354 1,402 26,448 49,791 Suite du tableau de l’exercice n° :49 ω2=65*z+143,75 χ2=65,81 R2=w2/x2 C2=(1/0,025)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 241,250 65,810 3,666 49,669 458,854 508,645 Le canal donne un débit Q=508,65 m 3 /s. B=50 m n1=0,025 1/2 h=2,5m H 1/3 b=25 m n2=0,04 n2=0,04 50 m n1=0,025 1/2 z 2,5 m H 1/3 25 m n2=0,04 n2=0,04 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 79 Exercice n° : 54 Calculer la profondeur H dans le canal composé pour les conditions suivantes : Q=628,96m 3 /s et i=0,08%. Solution Canal rectangulaire trapézoïdal Z ω1=25*z+z^2 χ1=25+z*(5)^0,5 R1=w1/x1 C1=(1/0,03)*(r1^1/6) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0,5 0,000 0,000 25,000 0,000 0,000 0,000 1,000 26,000 27,236 0,955 33,076 47,531 1,500 39,750 28,354 1,402 35,264 93,887 2,000 54,000 29,472 1,832 36,873 152,465 2,500 68,750 30,590 2,247 38,150 222,427 3,000 84,000 31,708 2,649 39,210 303,253 Suite du tableau de l’exercice n° :54 ω2=50*(z+2,5) χ2=55 R2=w2/x2 C2=(1/0,025)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 125,000 55,000 2,273 45,865 244,463 244,463 175,000 55,000 3,182 48,511 428,312 475,843 200,000 55,000 3,636 49,603 535,073 628,960 225,000 55,000 4,091 50,586 651,130 803,594 250,000 55,000 4,545 51,482 776,122 998,549 275,000 55,000 5,000 52,306 909,741 1212,994 La profondeur d’eau obtenue est H=2,5+Z=2,5+1,50=4,00 m. Exercice n° :55 Calculer le débit qui traverse la conduite à ciel ouvert pour les données suivantes : m=cotg α B=50m b=25m m2=2.0 h=2,50m H=4,00m i=0, 08% n1=0,025 n2=0,030 Solution Pour plus de commodité lors du calcul du débit dans le cas des canaux composés, on construit un tableau comme le suivant : Z=H-h Z ω1=25*z+z^ 2 χ1=25+z*(5)^0, 5 R1=w1/x 1 C1=(1/0,03)*(r1^1/6 ) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0, 5 1,50 0 39,750 28,354 1,402 35,264 93,887 Suite du tableau de l’exercice n° :55 ω2=50*(z+2,5) χ2=55 R2=w2/x2 C2=(1/0,025)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 200,000 55,000 3,636 49,603 535,073 628,960 Le canal donne un débit Q=628,960 m 3 /s. 25 m n2=0,03 1/2 50 m n1=0,025 2,5 m H n2=0,03 25 m n2=0,030 1/2 50 m n1=0,025 2,5 m H n2=0,030 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 80 Exercice n°: 56 Calculer la profondeur H dans le canal composé pour les conditions suivantes : Q=481,34m 3 /s et i=0,05%. Solution Canal triangulaire rectangulaire Z ω1=25*z χ1=25+z R1=w1/x1 C1=(1/0,025)*(r1^1/6) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0,5 0,000 0,000 25,000 0,000 0,000 0,000 1,000 25,000 26,000 0,962 39,739 43,567 1,500 37,500 26,500 1,415 42,383 84,553 2,000 50,000 27,000 1,852 44,326 134,880 2,500 62,500 27,500 2,273 45,865 193,265 3,200 80,000 28,200 2,837 47,592 286,787 Suite du tableau de l’exercice n° :56 ω2=15*z+18,75 χ2=15,811 R2=w2/x2 C2=(1/0,020)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 18,750 15,811 1,186 51,441 23,486 23,486 33,750 15,811 2,135 56,736 62,556 106,124 41,250 15,811 2,609 58,665 87,402 171,955 48,750 15,811 3,083 60,322 115,462 250,343 56,250 15,811 3,558 61,778 146,561 339,826 66,750 15,811 4,222 63,565 194,940 481,727 La profondeur d’eau obtenue est H=2,5+Z=2,5+3,20=5,70 m. Exercice n°: 57 Calculer la profondeur H dans le canal composé pour les conditions suivantes : Q=499,087m 3 /s et i=0,05%. Solution Canal triangulaire trapézoïdal Z ω1=25*z+z^2 χ1=25+z*(5)^0,5 R1=w1/x1 C1=(1/0,025)*(r1^1/6) 2Q1=2*w1*c1*(r1*i)^0,5 0,000 0,000 25,000 0,000 0,000 0,000 1,000 26,000 27,236 0,955 39,692 45,092 1,500 39,750 28,354 1,402 42,317 89,069 2,000 54,000 29,472 1,832 44,248 144,641 2,500 68,750 30,590 2,247 45,780 211,013 3,130 88,047 31,999 2,752 47,350 309,273 n1=0,020 2,5 m H 25 m n2=0,025 n2=0,025 1/3 n1=0,02 2,5 m H 25 m n2=0,025 n2=0,025 1/2 1/3 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 81 Suite du tableau de l’exercice n° :57 ω2=15*z+18,75 χ2=15,811 R2=w2/x2 C2=(1/0,020)(r2^1/6) Q2=w2*c2*(r2*i)^0,5 Q=2Q1+Q2 18,750 15,811 1,186 51,441 23,486 23,486 33,750 15,811 2,135 56,736 62,556 107,649 41,250 15,811 2,609 58,665 87,402 176,471 48,750 15,811 3,083 60,322 115,462 260,103 56,250 15,811 3,558 61,778 146,561 357,574 65,700 15,811 4,155 63,397 189,856 499,129 La profondeur d’eau obtenue est H=2,5+Z=2,5+3,13=5,63 m. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 84 3-2-1 Dans le cas d’un régime uniforme Fig.3-2 : Cas d’un écoulement uniforme Ir ou IF : pente du radier (fond) du canal I : pente hydraulique E1=E2 (v1=v2, h1=h2, I=IF) En régime uniforme, l’énergie spécifique est constante, la ligne du plan d’eau en parallèle au fond et la hauteur d’eau correspondante s’appelle profondeur normale (hn=h1=h2). 3-2-2 Dans le cas d’un écoulement non uniforme Dans le cas d’un remous d’abaissement E1>E2 (v1>v2 et h1>h2) la ligne du plan d’eau n’est plus parallèle au radier (fond du canal). Fig.3-3 :Cas d’un écoulement non uniforme 3-2-3 Variation de l’énergie spécifique On distingue deux cas : 1 er cas : le débit est constant (Q= constant) et la profondeur d’eau variable (h= variable) 2 2 s 2gω αQ hE  Z2 1 2 Plan horizontal de référence ρg p2 ρg p1 2g αV 2 1 2g αV2 2 LΔH IP Plan de charge Ligne d’énergie I 1 2 Z1 IF=Ir α L’ h const E2 E1 Plan horizontal de référence h1 v1 v2 ir h2 z1 z2 Ligne d’eau Ligne d’énergie Plan de charge E1 E2 ΔHL 2g v2 1 2g v2 2 Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 85 Fig. 3-4: Variation de l’énergie spécifique cas d’un canal à débit constant  sE donc 0ω0h  sE donc ωh oblique asymptoteh EE donc h s  L’énergie spécifique possède une valeur minimale, donc 0 dh dEs    dh dω . 2gω 2ω-αQ 1 dh dE 4 2 s  avec B dh dω  1 gω αBQ 0 gω αBQ -1 dh dE 3 2 3 2 s  Cette dernière équation 1 gω αBQ 3 2  est l’équation du régime critique B ω g αQ 32  (3.1) 2 ème cas : Energie constant (E=constante) et le débit est variable (Q= variable) L’énergie spécifique est donnée par la relation : 2 2 s 2gω αQ hE  pour le coefficient de Coriolis (α=1) nous aurons :  hEgωQ s  Fig.3-5 : cas d’une énergie constante Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 86 0Q0ω0h 0QEh s      hE2g2 2gω hE2g dh dω dh dQ s s   avec B dh dω      B ω hE20gωhE2Bg ss  avec moyh B ω  donc   moys hhE2  d’où  moymax 2ghωQ 1 gω BQ B ω gωQ 3 2 22  1 gω BQ 3 2  3-3 Formules de la profondeur critique (hcr) : la profondeur critique dans un canal est atteinte quand l’énergie spécifique est minimale. 3-3-1 Formules de la profondeur critique, de l’énergie spécifique critique et de la vitesse critique pour un canal quelconque. Pour une valeur de Q constante, et puisque la surface varie avec la profondeur h,   gdhω dωQ 1 dh dω . 2gω 2-αQ 1 dh dE 3 2 3 2 s  L’aire dωest définie comme étant le produit de la largeur de la surface d’eau B par dh. En reportant dans l’équation ci-dessus, nous obtenons : B ω g Q ou 1 gω BQ 3 c 2 3 c 2  (3.2) Cette équation doit être vérifiée pour les conditions de l’écoulement critique. Le membre de droite est fonction de la profondeur h, et, en général il faut faire des approximations successives pour déterminer la valeur de h, qui vérifie l’équation (3.2). En divisant Q 2 par 2 cω , ou en fonction de la vitesse moyenne, l’équation (3.2) peut s’écrire /Bgωou v B ω g v cc c 2 c  /Bgω v cc  (3.3) En utilisant la profondeur moyenne hm égale au quotient de ω par la largeur de la surface B, on peut écrire l’équation (3-2) : mghω) B ω g(ωQ  (3.4) De plus, mcc gh/Bgω v  ou 1/gh v m 2 c  (3.5) L’énergie spécifique minimale est, en utilisant (3.5), /2h/2g v m 2 c  mc 2 ccmin h 2 1 h/2gvhE  (3.6) 3-3-2 Formules de la profondeur critique, de l’énergie spécifique critique et de la vitesse critique pour un canal à section transversale rectangulaire. le débit par unité de largeur est donnée par : B Q q  l’énergie spécifique est : h q B Fig.3-6 : Canal rectangulaire Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 89 Chapitre III: L’écoulement critique dans les canaux prismatiques à surface libre Exercice n° :1 Un canal rectangulaire de largeur de b=0,5 m, de pente du fond i=0,01 et de coefficient de rugosité n=0,017. Déterminer : a) la profondeur normale h0, si le débit Q=0,46 m 3 /s ; b) le débit fictif Q’, si h=1,0 m. Réponse : a) h0=0,513 m ;b) Q’=1,04 m 3 /s Solution a) Calcul de la profondeur normale dans le canal rectangulaire : h ω χ R= ω/ χ C=1/n R 1/6 Q= ωC (Ri) 1/2 0,500 0,250 1,500 0,167 43,637 0,445 0,550 0,275 1,600 0,172 43,862 0,500 0,520 0,260 1,540 0,169 43,731 0,467 0,513 0,257 1,526 0,168 43,699 0,460 La profondeur recherchée est h=0,513 m. b) calcul du débit fictif Q’: Q’= ωC (Ri) 1/2 ω= bh=0,5 x 1=0,5 m 2 ; χ=b+2h=0,5+2 x 1=2,5 m ; R=ω/χ=0,5/2,5=0,2 m ; 117,20RC m/s. Q’= ωC (Ri) 1/2 = 0,5 x 20,117 x 0,1 = 1,00585 m 3 /s. Exercice n ° : 2 Un canal trapézoïdal de largeur b=5 m, de coefficient d’écartement du talus m=1,5, de débit Q=6,6 m 3 /s et de coefficient de Coriolis α=1,1. a) Déterminer la profondeur critique hcr b) Déterminer hcr en utilisant le procédé d’Agroskine ? c) Déterminer Icr si n=0,030 ? Réponse : a) hcr=0,55 m ; b) hcr=0,547 m ; c) icr=0,0109. Solution a) Calcul de la profondeur critique, hcr, pour le canal trapézoïdal par la méthode itérative : avant d’arriver au calcul itératif, on calcule : 4,9 9,81 6,6 x 1,1 g αQ 22  . Notre objectif par ce calcul itératif est de trouver la valeur de la profondeur h qui donne /Bω3 égale à la valeur 4,9. 2mhbhω  ; 2mhbB  ; 3ω ; /Bω3 . h (m) ω (m2) B (m) ω3 ω3/B 0,100 0,515 5,300 0,137 0,026 0,200 1,060 5,600 1,191 0,213 0,400 2,240 6,200 11,239 1,813 0,500 2,875 6,500 23,764 3,656 0,550 3,204 6,650 32,883 4,945 La profondeur critique, hcr=0,55 m. b) calcul de la profondeur critique par la méthode d’Agroskine : Tout d’abord, on trouve les valeurs auxiliaires : m 0,58 5 x 9,81 6,6 x 1,1 gb αQ k 3 2 2 3 2 2  ; 0,174 5 0,58 x 1,5 b mk σcr  Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 90 en suite, on détermine hcr comme : m 0,547)0,174 x 0,105 3 0,174 (1 0,58)0,105σ 3 σ (1k h 22 cr cr cr  . c) détermine icr, si n=0,030 : on trouve : 222 crcrcr m 3,200,55 x 1,50,55 x 5mhbhω  ; m 6,981,510,55 x 25m12hbχ 22 crcr  ; m 0,46 6,98 3,20 χ ω R cr cr cr  ; m 6,650,55 x 1,5 x 252mhbB crcr  ; /sm 29,290,46 0,030 1 R n 1 C 0,51/61/6 cr  ; .0109,0 29,29 x 6,651,1x 6,98 x 9,81 CαB gχ i 22 crcr cr cr  Exercice n° : 3 De l’eau doit couler dans un caniveau rectangulaire à la cadence de 1,42 m 3 /s sur une pente égale à 0,0028. Déterminer les dimensions de la section droite du canal si la largeur vaut deux fois la profondeur. On prendra n=0,017 ? Préciser la nature de l’écoulement : fluvial, critique ou torrentiel ? Réponse : a) h=0,68 m ; b=1,36 m ; b) l’écoulement dans le canal est fluvial. Solution a) calcul des dimensions du canal quand b=2h : b=2h ; R=h/2 , 22hω  ; 4hχ  . Calcul de la vitesse moyenne d’écoulement RiCV  0,017 0,0028 1,42 h2(h/2) 0,0028(h/2) 0,017 1 1,42 (h/2)i(h/2) n 1 Q RiC Q 2hω 22/3 2/31/6 2  m 0,68h0,362h0,362h 3/88/3  Si n=0,017 on trouve h=0,68 m donc b=2 x h=2 x 0,68=1,36 m. b) détermination de la nature de l’écoulement dans le canal : - Calcul de la profondeur critique : m 0,48 1,36 x 9,81 x1,421.0 gb αQ h 3 2 2 3 2 2 cr  Nous avons h0= 0,68 m>hcr = 0,48 m donc l’écoulement dans le canal est fluvial (sous - critique). Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 91 Exercice n° : 4 Calculer l’énergie spécifique que possède l’eau d’un canal rectangulaire de 3,05 m de large qui s’écoule sur 0,914 m de profondeur avec un débit de 6,23 m 3 /s. Solution Calcul de l’énergie spécifique, ES, dans le canal rectangulaire: L’énergie spécifique, Es, est donnée par la relation suivante : 22 2 2 2 22 s ) h q ( 2g 1 h) h Q/b ( 2g 1 h 2gh (Q/b) h 2gω Q h 2g v hE  calcul du débit spécifique q : /s.mm 2,04 3,05 6,23 B Q q 3 donc l’énergie spécifique sera : m 1,171,167) 0,914 2,04 ( 9,81 x 2 1 0,914) h q ( 2g 1 hE 22 s  Exercice n° : 5 Calculer l’énergie spécifique que possède l’eau d’un canal trapézoïdal de largeur de base 2,44 m et de pente des cotés égales à 1, si elle s’écoule sur 1,19 m de profondeur au rythme de 8,78 m 3 /s. Solution : Calcul de la section mouillée du canal : La pente des cotés tgθ=1→ m=cotgθ=1 m 4,31971,19 x 11,19 x 2,44mhbhω 22  L’énergie spécifique est donnée par la relation : m 1,40 4,3197 x 9,81 x 2 8,78 1,19 2gω Q h 2g v hE 2 2 2 22 s  Exercice n° :6 Un tuyau d’égout de 1,83 m de diamètre transporte 2,28 m 3 /s quand h a une profondeur de 1,22 m. Quelle est l’énergie spécifique ? Solution L’énergie spécifique est donnée par la relation : 2 22 s 2gω Q h 2g v hE  a) calcul de la section mouillée ω : Le canal est rempli à 1,22m donc y =(1,22-d/2) =(1,22-0,915)=0,305=0,167d. 049,70θ0,334 0,5 0,167 0,5d 0,167d d/2 y cosθ  0 2222 ,4970θ0,943 0,5d 0,471d 0,5d (0,167)(0,5)d 0,5d (0,167d)(0,5d) d/2 x sinθ      La section mouillée AOCD triangleAOCEsecteur cercleω  Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 94 Exercice n° :10 Pour une profondeur critique de 0,981 dans un canal rectangulaire de 3,048 m de large, calculer le débit ? Solution : s.m/ m 3,0430,981 x 9,81ghq 333 c  /sm 9,289,27583,048 x 3,043qBQ B Q q 3 . Exercice n° :11 Déterminer la pente critique d’un canal rectangulaire de 6,096 m de large, (n=0,012) quand le débit est de 28,0 m 3 /s. Réponse : icr=0,00207. Solution On détermine icr, si n=0,012 : /s.mm 4,59 6,096 28,00 b Q q 3 m ,291 9,81 4,59 g q h 3 2 3 2 c  2 crcr m 86,71,29 x 6,096bhω  ; m 8,6761,29 x 2,09662hbχ crcr  ; m 0,91 8,676 7,86 χ ω R cr cr cr  ; m 6,096bBcr  ; /sm 81,970,91 0,012 1 R n 1 C 0,51/61/6 cr  ; .00207,0 81,97 x 6,0961,1x 8,676 x 9,81 CαB gχ i 22 crcr cr cr  Exercice n° :12 Un canal trapézoïdal avec côtés de pente tgθ=1 a un débit de 20,4 m 3 /s. Pour une largeur de fond de 4,88 m, calculer la vitesse critique ? Solution m 1,21 4,88 x 9,81 20,41x gb αQ k 3 2 2 3 2 2  ; 0,248 4,88 1,21 x 1 b mk σcr  en suite, on détermine hcr comme : m 1,12)0,248 x 0,105 3 0,248 (1 1,21)0,105σ 3 σ (1k h 22 cr cr cr  . 222 crcrcr m 6,72 x1,1211,12 x 4,88mhbhω  ; m/s 3,04 6,72 20,4 ω Q v cr c  . Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 95 Exercice n° :13 Un canal rectangulaire, n=0,016, est construit sur une pente de 0,0064 et transporte 17 m 3 /s. Pour que les conditions soient celles de l’écoulement critique, quelle doit être la largeur ? Réponse : b=2,57 m Solution Calcul des paramètres géométriques du canal en fonction de la profondeur critique : 3 2 c g (Q/b) h  ; 1/3 2/31/3 1/32/3 2/3 1/3 2/3 1/3 2 3 2 crcr g Qb gb Q x b g (Q/b) x b) g (Q/b) ( x b g (Q/b) x bbhω  ; 1/3 1/3 2/31/3 1/3 2/31/3 cr b09,3 9,81 17b g Qb ω  1/32/3 2/3 1/3 2/3 3 2 crcr gb 2Q b g (Q/b) x 2b g (Q/b) x 2b2hbχ  ; 2/3 5/3 2/31/32/3 2/3 1/32/3 2/3 1/32/3 2/3 cr b 6,177b b 6,177 b 9,81b 17 x 2 b 9,81b 17 x 2 b gb 2Q bχ   6,177b b09,3 6,177b bb09,3 b 6,177b b09,3 b 6,177 b b09,3 gb 2Q b g Qb χ ω R 5/35/3 2/31/3 2/3 5/3 1/3 2/3 1/3 1/32/3 2/3 1/3 2/31/3 cr cr cr           ; bBcr  ; 1/6 5/3 1/6 cr ) 6,177b b09,3 ( 0,016 1 R n 1 C   ; 2/62/3 2/65/35/3 21/6 5/3 2/3 5/3 2 crcr cr cr b)09,3(b x b x 3906,25 6,177)6,177)(b(b x 9,81 )) 6,177b b09,3 ( 0,016 1 (bx ) b 6,177b ( x 9,81 CαB gχ i      36/18 8/65/3 2/65/3 2/65/35/3 2 crcr cr cr b x 5689,571 6,177)(b x 9,81 b)09,3(b x 3906,25 6,177)6,177)(b(b x 9,81 CαB gχ i     2 4/35/3 2 4/35/3 cr b 6,177)(b x 0,0017242 0064,0 b 6,177)(b x 0,0017242 i     4/35/32 6,177)(b b71185,3  La résolution de cette dernière équation nous permet d’obtenir b=2,57 m. Hydraulique à surface libre (cours & exercices) 96 Autre méthode On peut aussi obtenir la solution de la manière suivante : On construit un tableau qui nous permet de calculer hcr par approximations successives, tout en variant la largeur b, puis nous calculons le débit Q afin de comparer le débit calculé au débit donné (Q=17 m 3 /s) pour obtenir la valeur de la largeur, b, correspondante au régime critique. Les différentes formules utilisées dans ce calcul sont les suivantes : 3 2 c g (Q/b) h  ; crcr bhω  ; crcr 2hbχ  ; cr cr cr χ ω R  ; 1/6 crcr R n 1 C  ; iRCv crcrcr  ; crcrvωQ  . b (m) hcr (m) ωcr (m2) χcr (m) RHC (m) Ccr (m0,5/s) v (m/s) Q (m3/s) 1,000 3,088 3,088 7,177 0,430 54,306 2,850 8,802 2,570 1,646 4,230 5,862 0,722 59,193 4,023 17,018 2,600 1,633 4,247 5,867 0,724 59,223 4,031 17,119 Nous avons obtenu une largeur b=2,57 m. Exercice n° : 14 Un canal rectangulaire (n=0,014) de 3,0 m de largeur transporte de l’eau à la cadence de 13,4 m 3 /s. Déterminer la profondeur critique, la vitesse et la pente du canal ? Reponses: hcr=1,267 m; vcr=3, 52 m/s; i=0, 0040. Solution a) calcul de la profondeur critique hcr : /s.mm 4,47 3,00 13,40 b Q q 3 m ,2671 9,81 4,47 g q h 3 2 3 2 c  m ,2671hc  b) calcul de la vitesse critique : 2 crcr m 80,31,267 x 3,00bhω  m/s 3,525 3,80 13,40 ω Q v cr c  on peut aussi obtenir la vitesse critique à partir de la formule de la profondeur critique. m/s 3,521,267 x 9,81ghv g hv g q h cc 2 c 2 c 2 3 c  m/s 3,52vc  c) calcul de la pente critique : m 534,51,267 x 2,0032hbχ crcr  ; m 0,687 5,534 3,80 χ ω R cr cr cr  ; m 3,00bBcr  ; 22 cr 0,51/61/6 cr m/s 4501,90C/sm 67,0960,687 0,014 1 R n 1 C  ; .0040,0 67,096 x 3,001x 5,534 x 9,81 CαB gχ i 22 crcr cr cr  .0040,0icr 