Determine whether each conclusion is based on inductive or ..., Summaries of Reasoning

Download Determine whether each conclusion is based on inductive or ... and more Summaries Reasoning in PDF only on Docsity! Determine whether each conclusion is based on inductive or deductive reasoning. 1. Students at Olivia’s high school must have a B average in order to participate in sports. Olivia has a B average, so she concludes that she can participate in sports at school. SOLUTION:   The conclusion is based on a fact. So, it is deductive reasoning. ANSWER:   deductive reasoning 2. Holly notices that every Saturday, her neighbor mows his lawn. Today is Saturday. Holly concludes her neighbor will mow his lawn. SOLUTION:   Holly is basing her conclusion on a pattern of observations, so she is using inductive reasoning. ANSWER:   inductive reasoning Determine whether the stated conclusion is valid based on the given information. If not, write invalid. Explain your reasoning. 3. Given: If a number is divisible by 4, then the number is divisible by 2. 12 is divisible by four. Conclusion: 12 is divisible by 2. SOLUTION:   If p → q is a true statement and p is true, then q. Here, a number divisible 4 is divisible by 2 also and 12 is divisible by 4. So, 12 is divisible by 2 is a valid statement by the Law of Detachment. ANSWER:   valid; Law of Detachment 4. Given: If Elan stays up late, he will be tired the next day. Elan is tired. Conclusion: Elan stayed up late. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true. Elan could be tired because he worked out. So, the statement is invalid. ANSWER:   Invalid; Elan could be tired because he worked out. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 1 2-3 Deductive Reasoning Determine whether the stated conclusion is valid based on the given information. If not, write invalid. Explain your reasoning using a Venn diagram. 5. Given: If a beach is public, then it does not have a lifeguard. Bayview does not have a lifeguard. Conclusion: Bayview is a public beach. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true. Bayview could be inside or outside the public beach’s circle. So, the statement is invalid. ANSWER:   Invalid: Bayview could be inside or outside the public beach’s circle. 6. Given: If students pass an entrance exam, they will be accepted into college. Latisha passed the entrance exam. Conclusion: Latisha will be accepted into college. SOLUTION:   Latisha is inside the students who pass the entrance exam circle which puts her inside the students who are accepted into college circle,so Latisha will be accepted into college. So, it is a valid statement. ANSWER:   Valid; Latisha is inside the students who pass the entrance exam circle which puts her inside the students who are accepted into college circle, so Latisha will be accepted into college. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 2 2-3 Deductive Reasoning 13. A dental assistant notices a patient has never been on time for an appointment. She concludes the patient will be late for her next appointment. SOLUTION:   The dental assistant is basing her conclusion on a pattern of observations, so she is using inductive reasoning. ANSWER:   inductive reasoning 14. A person must have a membership to work out at a gym. Jesse is working out at a gym. Jesse has a membership to the gym. SOLUTION:   The conclusion is based on a fact. So, it is deductive reasoning. ANSWER:   deductive reasoning 15. If Eduardo decides to go to a concert tonight, he will miss football practice. Tonight, Eduardo went to a concert. Eduardo missed football practice. SOLUTION:   The conclusion is based on a fact. So, it is deductive reasoning. ANSWER:   deductive reasoning 16. Every Wednesday Lucy’s mother calls. Today is Wednesday, so Lucy concludes her mother will call. SOLUTION:   Lucy is basing her conclusion on a pattern of observations, so she is using inductive reasoning. ANSWER:   inductive reasoning 17. Whenever Juanita has attended a tutoring session she notices that her grades have improved. Juanita attends a tutoring session and she concludes her grades will improve. SOLUTION:   Juanita is basing her conclusion on a pattern of observations, so she is using inductive reasoning. ANSWER:   inductive reasoning CRITIQUE ARGUMENTS  Determine whether the stated conclusion is valid based on the given information. If not, write invalid. Explain your reasoning. 18. Given: Right angles are congruent.  are right angles. Conclusion:  SOLUTION:   If p → q is a true statement and p is true, then q. Here, the statement “right angles are congruent” is a true statement and  are right angles. So,   is a valid statement by the Law of Detachment. ANSWER:   valid; Law of Detachment 19. Given: If a figure is a square, it has four right angles. Figure ABCD has four right angles. Conclusion: Figure ABCD is a square. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true.  A figure with 4 right angles could be a rectangle. So, the statement is invalid. ANSWER:   Invalid; the figure could be a rectangle. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 5 2-3 Deductive Reasoning 20. Given: An angle bisector divides an angle into two congruent angles. is an angle bisector of  . Conclusion:  SOLUTION:   If p → q is a true statement and p is true, then q. Here, the statement “an angle bisector divides an angle into two congruent angles” is a true statement and  is an angle bisector of  . So,   is a valid statement by the Law of Detachment. ANSWER:   valid; Law of Detachment 21. Given: If you leave your lights on while your car is off, your battery will die. Your battery is dead. Conclusion: You left your lights on while the car was off. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true.  The reason for the battery for being dead could be something else also, say it is too old. So, it is an invalid statement. ANSWER:   Invalid; your battery could be dead because it was old. 22. Given: If Dante obtains a part-time job, he can afford a car payment. Dante can afford a car payment. Conclusion: Dante obtained a part-time job. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true.  The reason that he could afford the car payment could be something else also, say he paid off his other bills. So, it is an invalid statement. ANSWER:   Invalid; Dante could afford a car payment because he paid off his other bills. 23. Given: If 75% of the prom tickets are sold, the prom will be conducted at the country club. 75% of the prom tickets were sold. Conclusion: The prom will be held at the country club. SOLUTION:   If p → q is a true statement and p is true, then q. Here, the statement “if 75% of the prom tickets are sold, the prom will be conducted at the country club” is a true statement and 75% of the prom tickets were sold. So, the prom will be held at the country club is a valid statement by the Law of Detachment. ANSWER:   valid; Law of Detachment eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 6 2-3 Deductive Reasoning 24.  COMPUTER GAMES Refer to the game ratings. Determine whether the stated conclusion is valid based on the given information. If not, write invalid. Explain your reasoning. Given: If a title is rated E, then it has content that may be suitable for ages 6 and older. Cesar buys a computer game that he believes is suitable for his little sister, who is 7. Conclusion: The game Cesar purchased has a rating of E. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but q being true does not necessarily mean that p is true.  The game Cesar purchased could be rated EC (Early Childhood), which is suitable for ages 3 and up. So, the conclusion is an invalid statement. ANSWER:   Invalid; the game could be rated EC (Early Childhood), which is suitable for ages 3 and up. Determine whether the stated conclusion is valid based on the given information. If not, write invalid. Explain your reasoning using a Venn diagram. 25. Given: If the temperature drops below –15°F then school will be cancelled. The temperature did not drop below –15°F on Monday. Conclusion: School was not cancelled on Monday. SOLUTION:   If p is true, then q is true, but if p is false, then q is not necessarily false. Monday is outside the circle for the days when the temperature drops below –15°F and it could be inside or outside the circle for the days when school is cancelled. So, the conclusion is invalid.   ANSWER:   Invalid; Monday is outside the circle for the days when the temperature drops below –15°F and it could be inside or outside the circle for the days when school is cancelled. So, the conclusion is invalid. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 7 2-3 Deductive Reasoning 30. GOLF Sergio Garcia won the Masters Tournament in 2017. Use the Law of Syllogism to draw a valid conclusion from each set of statements, if possible. If no valid conclusion can be drawn, write no valid conclusion and explain your reasoning. (1) If Sergio Garcia’s score is lower than the other golfers at the end of the tournament, then he wins the tournament. (2) If a golfer wins the Masters Tournament, then he gets a green jacket. SOLUTION:   The Law of Syllogism states that if p → q and p → r are true statements, then p → r is a true statement.  Let p =  "Sergio Garcia’s score is lower than the other golfers at the end of the tournament." Let q = "He wins the tournament." Let r = "He gets a green jacket."  Then by the law of Syllogism "If Sergio Garcia’s score is lower than the other golfers at the end of the tournament, then he gets a green jacket." ANSWER:   If Sergio Garcia’s score is lower than the other golfers at the end of the tournament, then he gets a green jacket. CONSTRUCT ARGUMENTS  Use the Law of Syllogism to draw a valid conclusion from each set of statements, if possible. If no valid conclusion can be drawn, write no valid conclusion and explain you’re reasoning. 31. If you interview for a job, then you wear a suit. If you interview for a job, then you will update your resume. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is not the conclusion of the other statement, so no valid conclusion can be made from the statements. ANSWER:   no valid conclusion 32. If Tina has a grade point average of 3.0 or greater, she will be on the honor roll. If Tina is on the honor roll, then she will have her name in the school paper. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is the conclusion of the other statement, so a valid conclusion can be made from the statements. If Tina has a grade point average of 3.0 or greater, then she will have her name in the school paper. ANSWER:   If Tina has a grade point average of 3.0 or greater, then she will have her name in the school paper. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 10 2-3 Deductive Reasoning 33. If two lines are perpendicular, then they intersect to form right angles. Lines r and s form right angles. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is not the conclusion of the other statement, so no valid conclusion can be made from the statements.  ANSWER:   no valid conclusion 34. If the measure of an angle is between 90 and 180, then it is obtuse. If an angle is obtuse, then it is not acute. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is the conclusion of the other statement, so a valid conclusion can be made from the statements. If the measure of an angle is between 90 and 180, then it is not acute. ANSWER:   If the measure of an angle is between 90 and 180, then it is not acute. 35. If two lines in a plane are not parallel, then they intersect. If two lines intersect, then they intersect in a point. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is the conclusion of the other statement, so a valid conclusion can be made from the statements. If two lines are not parallel, then they intersect in a point. ANSWER:   If two lines in a plane are not parallel, then they intersect in a point. 36. If a number ends in 0, then it is divisible by 2. If a number ends in 4, then it is divisible by 2. SOLUTION:   The Law of Syllogism allows you to draw conclusions from two true conditional statements when the conclusion of one statement is the hypothesis of the other. The hypothesis of one statement is not the conclusion of the other statement, so no valid conclusion can be made from the statements. ANSWER:   no valid conclusion eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 11 2-3 Deductive Reasoning Draw a valid conclusion from the given statements, if possible. Then state whether your conclusion was drawn using the Law of Detachment or the Law of Syllogism. If no valid conclusion can be drawn, write no valid conclusion and explain your reasoning. 37. Given: If a figure is a square, then all the sides are congruent. Figure ABCD is a square. SOLUTION:   By the Law of Detachment if p → q is a true statement and p is true, then q. Here, the statement “if a figure is a square, then all the sides are congruent” is a true statement and figure ABCD is a square. So, the figure ABCD has all sides congruent. ANSWER:   Figure ABCD has all sides congruent; Law of Detachment. 38. Given: If two angles are complementary, the sum of the measures of the angles is 90. are complements of each other. SOLUTION:   By the Law of Detachment, if p → q is a true statement and p is true, then q. Here, the statement “if two angles are complementary, the sum of the measures of the angles is 90” is a true statement and  are complements of each other. So, the sum of the measures of   is 90. ANSWER:   The sum of the measures of  is 90; Law of Detachment. 39. Given: Ballet dancers like classical music. If you like classical music, then you enjoy the opera. SOLUTION:   By the Law of Syllogism, If p → q and q → r are true statements, then p → r is a true statement. So, if you are a ballet dancer, then you enjoy the opera. ANSWER:   If you are a ballet dancer, then you enjoy the opera; Law of Syllogism. 40. Given: If you are athletic, then you enjoy sports. If you are competitive, then you enjoy sports. SOLUTION:   Both of the given statements are true conditionals with the same conclusion so the Law of Detachment does not apply. Since the conclusion of statement (1) is not the hypothesis of statement (2) the Law of Syllogism does not apply. There is no valid conclusion. ANSWER:   No valid conclusion; the conclusion of statement (1) is not the hypothesis of statement (2) so the Law of Syllogism does not apply. 41. Given: If a polygon is regular, then all of its sides are congruent. All sides of polygon WXYZ are congruent. SOLUTION:   The Law of Detachment states that if p → q is a true statement and p is true , then q is true.  From the first statement, p is a polygon is regular and q is all of its sides are congruent. The second statement gives q is true. To apply the Law of Detachment, we need to have p is true to show q is true. Thus, knowing a conclusion is true does not imply the hypothesis will be true. So, no valid conclusion can be made. ANSWER:   No valid conclusion; knowing a conclusion is true does not imply the hypothesis will be true. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 12 2-3 Deductive Reasoning 46. OPEN ENDED Write a pair of statements in which the Law of Syllogism can be used to reach a valid conclusion. Specify the conclusion that can be reached. SOLUTION:   The Law of Syllogism states that if p → q and  q → r are true statements, then p → r is a true statement.    For statement (1) let  p is "a student earns 40 credits" and q is "he/she will graduate from high school." For statement (2) let  q is "a student graduates from high school" and r is "he or she will receive a diploma."   (1) If a student earns 40 credits, then he/she will graduate from high school.  (2) If a student graduates from high school, then he or she will receive a diploma.  Conclusion: If a student earns 40 credits, he or she will receive a diploma. ANSWER:   Sample answer: (1) If a student earns 40 credits, then he/she will graduate from high school. (2) If a student graduates from high school, then he or she will receive a diploma. Conclusion: If a student earns 40 credits, he or she will receive a diploma. 47. REASONING Students in Mr. Kendrick’s class are divided into two groups for an activity. Students in group A must always tell the truth. Students in group B must always lie. Jonah and Janeka are in Mr. Kendrick’s class. When asked if he and Janeka are in group A or B, Jonah says, “We are both in Group B.” To which group does each student belong? Explain your reasoning. SOLUTION:   Jonah statement can be restated as, “Jonah is in group B and Janeka is in group B.” In order for this compound statement to be true, both parts of the statement must be true. If Jonah was in group A, he would not be able to say that he is in group B, since students in group A must always tell the truth. Therefore the statement that Jonah is in group B is true.  Since students in Group B must always lie, the compound statement must be false.For the compound statement to be false, the statement that Janeka is in group B must be false. Therefore, Jonah is in group B and Janeka is in group A. ANSWER:   Jonah statement can be restated as, “Jonah is in group B and Janeka is in group B.” In order for this compound statement to be true, both parts of the statement must be true. If Jonah was in group A, he would not be able to say that he is in group B, since students in group A must always tell the truth. Therefore the statement that Jonah is in group B is true. For the compound statement to be false, the statement that Janeka is in group B must be false. Therefore, Jonah is in group B and Janeka is in group A. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 15 2-3 Deductive Reasoning 48. WRITING IN MATH Compare and contrast inductive and deductive reasoning when making conclusions and proving conjectures. SOLUTION:   Sample answer: Inductive reasoning uses several specific examples to reach a conclusion, while deductive reasoning relies on established facts, rules, definitions, and/or properties to reach a conclusion. One counterexample is enough to disprove a conjecture reached using inductive or deductive reasoning. Deductive reasoning, however, is the only valid method of proving a conjecture. Inductive reasoning cannot be used to prove a conjecture. ANSWER:   Sample answer: Inductive reasoning uses several specific examples to reach a conclusion, while deductive reasoning relies on established facts, rules, definitions, and/or properties to reach a conclusion. One counterexample is enough to disprove a conjecture reached using inductive or deductive reasoning. Deductive reasoning, however, is the only valid method of proving a conjecture. Inductive reasoning cannot be used to prove a conjecture. 49. Consider the given statements below. I. If the coordinates of a point are (5, 3), then its distance from the origin is   units. II. The distance of point P from the origin is  units.   Natalie concluded that the coordinates of point P are (5, 3). Which of the following best describes Natalie’s conclusion?  A It is false because Natalie used invalid reasoning. B It is false because statement I is false. C It is valid by the Law of Detachment. D It is valid by the Law of Syllogism. SOLUTION:   Determine if Natalie's conclusion is true. Analyze the form of the given statements. Let p be "The coordinates of a point are (5, 3)." Let q be "The  points distance from the origin is   units." Let r be "The distance of point P from the origin is  units."     Natalie's conclusion is of the form r → p. A valid conclusion under the Law of Detachment is of the form p → q. A valid conclusion under the Law of Syllogism is of the form p → r. Since neither of these forms corresponds to the form of Natalie's conclusion, her conclusion is false.   Choice A and Choice B both correspond to a false conclusion. As statement I is true, and Natalie's conclusion was based on false logic, Choice A is the correct answer.   ANSWER:   A eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 16 2-3 Deductive Reasoning 50. Consider the given statements below. I. If a sphere has a radius of 3 inches, then its surface area is 36π square inches. II. If a sphere has a surface area of 36π square inches, then its volume is 36π cubic inches.   Javier concluded that if a sphere has a radius of 3 inches, then its volume is 36π cubic inches. Which of the following best describes Javier’s conclusion? F It is false because statement I is false. G It is false because statement II is false. H It is false because Javier used invalid reasoning. J It is valid by the Law of Detachment. K It is valid by the Law of Syllogism. SOLUTION:   Determine if each of the given statements is true. Statement I: The formula for the surface area of a sphere is  . If the sphere has a radius of 3 inches, then its surface area is  square inches. So Statement I is true. Statement II: The formula for the volume of a sphere is  . If the sphere has a surface area of 36π square inches, then its radius is 3 inches. If a sphere has a radius of 3 inches, then its volume is   cubic inches. So Statement II is true.    Since Statement I and Statement II are both true, answer choices F and G are eliminated.    Determine if Javier's conclusion is valid. Analyze the form of the given statements. Let p be "a sphere has a radius of 3 inches." Let q be "its surface area is 36π square inches." Let r be "its volume is 36π cubic inches." Javier's statement is of the form p → r, which is the form of a valid conclusion under the Law of Syllogism. Therefore, Choice K is correct. ANSWER:   K 51. MULTI-STEP The two statements below are true. Answer each question about the conlusions based on these statements.    Given Statements I. If three points lie on the same line, then they are collinear.  II. If points are collinear, then they are coplanar.    Conclusion If three points lie on the same line, then they are coplanar. a. Which law was used to write the conclusion? b. Which of the following best describes the conclusion?       A The conclusion is false, because it follows invalid reasoning.       B The contrapositive of the conclusion is true.       C The converse of the conclusion is true.        D The inverse of the conclusion is true.     c. If three points are not coplanar, then they do not lie on the same line.       A The statement is always true.      B The statement is sometimes true.      C The statement is always false.        D It is the contrapositive of the conclusion statement above.       E It is the converse of the conclusion statement above.        F It is the inverse of the conclusion statement above.     d. If three points do not lie on the same line, then they are not coplanar.       A The statement is always true.      B The statement is sometimes true.      C The statement is always false.        D It is the contrapositive of the conclusion statement in part c.       E It is the converse of the conclusion statement in part c.        F It is the inverse of the conclusion statement in part c.   SOLUTION:   a. The Law of Syllogism was used, because the conclusion of one conditional is the same as the hypothesis of the other conditional.  b. B; The contrapositive of the conclusion is true, because the conclusion itself is also true.  eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 17 2-3 Deductive Reasoning