Determine whether the events are independent or dependent ..., Study Guides, Projects, Research of French Literature

Download Determine whether the events are independent or dependent ... and more Study Guides, Projects, Research French Literature in PDF only on Docsity! Determine whether the events are independent or dependent. Explain. 1. A number cube is rolled twice, and an odd number is rolled each time. SOLUTION:   • Events A and B are independent events if the probability that A occurs does not affect the probability that B occurs. • Events A and B are dependent events if the probability that A occurs in some way changes the probability that B occurs.   The outcome of the first roll does not affect the probabilities of the outcomes for the second roll. Therefore, these events are independent. ANSWER:   The outcome of the first roll does not affect the probabilities of the outcomes for the second roll. Therefore, these events are independent. 2. A bag contains several marbles. Alita selects a black marble, does not replace it, and then selects a yellow marble. SOLUTION:   • Events A and B are independent events if the probability that A occurs does not affect the probability that B occurs. • Events A and B are dependent events if the probability that A occurs in some way changes the probability that B occurs.   Because the first marble is not replaced, the outcome of the first selection affects the probabilities of the outcomes for the second selection. Therefore, these events are dependent. ANSWER:   Because the first marble is not replaced, the outcome of the first selection affects the probabilities of the outcomes for the second selection. Therefore, these events are dependent. Tell whether the events are independent. Explain using probability. 3. José, Pippa, and Raymond are scheduled to give speeches. The order of the speeches is assigned at random. José is assigned to go first, and Raymond is assigned to go second. SOLUTION:   The events are not independent. The sample space has 6 equally likely outcomes: {JPR, JRP, PJR, PRJ, RJP, RPJ}. So P(J 1st and R 2nd) =  , P(J 2st) =  , and P(R 2nd) =  , but  . ANSWER:   The events are not independent. The sample space has 6 equally likely outcomes: {JPR, JRP, PJR, PRJ, RJP, RPJ}. So P(J 1st and R 2nd) =  , P(J 2st) =  , and P(R 2nd) =  , but  . 4. Sara spins a spinner twice. The spinner has 5 equally sized sections numbered 1 to 5. The spinner lands on an odd number first and an even number second. SOLUTION:   The events are independent. The sample space has 25 equally likely outcomes: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. So P(odd and even) =  , P(odd) =  , P(even) =  , and  . ANSWER:   The events are independent. The sample space has 25 equally likely outcomes: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. So P(odd and even) =  , P(odd) =  , P(even) =  , and  . eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 1 12-5 Probability and the Multiplication Rule 5. CARDS A card is randomly chosen from a deck of 52 cards, replaced, and a second card is chosen. What is the probability of choosing both of the cards shown in the order shown? SOLUTION:   These events are independent since a first card is replaced before choosing a second card. First we consider the outcome of 4 and then 5. Let F represent a first card and S a second card.   The probability of choosing both cards is  or 3.7 × 10-4. ANSWER:   or 3.7 × 10-4 6. TRANSPORTATION Isaiah is getting on the bus after work. It costs $0.50 to ride the bus to his house. If he has 3 quarters, 5 dimes, and 2 nickels in his pocket, find the probability that he will randomly pull out two quarters in a row. Assume that the events are equally likely to occur. SOLUTION:   The probability of drawing first quarter of 3 quarters out of 10 coins is  .   The chosen quarter is not replaced before the second draw. Therefore, the total number of coins becomes 9 and the number of quarters is 2. The probability of drawing an another quarter of 2 quarters out of 9 coins is  .    ANSWER:   or 0.07 eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 2 12-5 Probability and the Multiplication Rule 13. A box contains a blueberry muffin, a pumpkin muffin, and a cinnamon muffin. Without looking, Andy takes 2 muffins from the box at the same time. One of Andy's muffins is pumpkin, and the other is cinnamon. SOLUTION:   The events are not independent. The sample space has 3 equally likely outcomes: {BP, BC, PC}. So P(PC) =  , P(P) =  , and P(C) =  , but  . ANSWER:   The events are not independent. The sample space has 3 equally likely outcomes: {BP, BC, PC}. So P(PC) =  , P(P) =  , and P(C) =  , but  . 14. In a large city, 70% of the residents are adults, 84% of the residents have traveled out of state, and 9% are adults who have not traveled out of state. What is the probability that a randomly selected resident has not traveled out of state, given that the resident is an adult? SOLUTION:   It is given that 70% or the residents are adults, so this represents the possible outcomes in the sample space.   P(not traveled out of state|adult) =  ANSWER:   15. WEATHER  Tomorrow’s weather forecast calls for a 25% chance of rain, an 80% chance that the temperature will exceed 80°F, and a 15% chance of both. What is the probability of rain, given that the temperature exceeds 80°F? SOLUTION:   P(rain|temperature exceeds 80°F) =  ANSWER:   16. PROM  In Armando’s senior class of 100 students, 91 went to the senior prom. If two people are chosen at random from the entire class, what is the probability that at least one of them did not go to prom? SOLUTION:   These are two independent events, because the outcome of the first event does not affect the probability of the outcome of the second event.   P(A and B) = P(A) · P(B) = 0.91 · 0.91 = 0.8281   P[not(A and B)] = 1 – P(A and B) = 1 – 0.8281 = 0.1719   So, the probability is about 17.2%.   ANSWER:   17.2% eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 5 12-5 Probability and the Multiplication Rule 17. CAMPAIGNS The table shows the number of each color of Student Council campaign buttons Clemente has to give away. If given away at random, what is the probability that the first and second buttons given away are both red? SOLUTION:   Since the probability of the fist event affects the probability of the second event, these are dependent events. If two events A and B are dependent, then P(A and B) = P(A) · P(B|A). ANSWER:   or about 12% For Exercises 18 and 19, justify your answer using probability. 18. CARNIVAL GAMES A carnival game involves a spinner with 12 equally sized sections. Two of the sections are labeled "Penguin." The player spins the spinner twice. If the spinner lands on a "Penguin" section both times, the player wins a stuffed penguin. Steph decides to play the game only if she has at least a 10% chance of winning a stuffed penguin. Should she play the game? SOLUTION:   No; P(P and P) = P(P) · P(P) =  ; Steph's chance of winning a stuffed penguin is  or about 3%, which is less than 10%. ANSWER:   No; P(P and P) = P(P) · P(P) =  ; Steph's chance of winning a stuffed penguin is  or about 3%, which is less than 10%. 19. FESTIVALS An outdoor music festival is planned for Friday and Saturday. The probability of rain on Friday is 50%. If it rains on Friday, the probability of rain on Saturday is 70%, and if it does not rain on Friday, the probability of rain on Saturday is 40%. The organizer will postpone the festival if the probability of rain on both days is at least 50%. Should the organizer postpone the festival? SOLUTION:   No; P(F and S) = P(F) · P(S after F) =   or 35%; this is less than 50%. ANSWER:   No; P(F and S) = P(F) · P(S after F) =   or 35%; this is less than 50%. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 6 12-5 Probability and the Multiplication Rule 20. CLASSES The probability that a student takes geometry and French at Satomi’s school is 0.064. The probability that a student takes French is 0.45. What is the probability that a student takes geometry if the student takes French? SOLUTION:   Add the probability that a student takes both geometry and French (0.064) and the probability that a student takes French (0.45). That sum is 0.514. This is the denominator.   P(G | F) =   or 0.12     ANSWER:   0.12 CANDY A box of chocolates contains 10 milk chocolates, 8 dark chocolates, and 12 white chocolates. Sophie randomly chooses a chocolate and eats it and then randomly chooses another chocolate. Find each probability. 21. P(milk and dark) SOLUTION:   P(milk and dark) =   or about 9% ANSWER:    or about 9% 22. P(dark and white) SOLUTION:   P(dark and white) =   or about 11% ANSWER:    or about 11% 23. P(white and dark) SOLUTION:   P(white and dark) =   or about 11% ANSWER:    or about 11% 24. P(milk and milk) SOLUTION:   P(milk and milk) =   or about 10% ANSWER:    or about 10% 25. SOCKS Damon has 14 white socks, 6 black socks, and 4 blue socks in his drawer. He chooses two socks at random. What is the probability that both socks are white? SOLUTION:   P(W and W) =   or about 33% ANSWER:    or about 33% eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 7 12-5 Probability and the Multiplication Rule 30. REASONING Consider whether the multiplication rule for dependent events can be used to find the probability of independent events.   a. Choose three different pairs of independent events. Find the probability of each pair of events using both multiplication rules. What do you notice? b. Use mathematical reasoning to explain your observation, and make a conjecture about whether the multiplication rule for dependent events can be used to find the probability of independent events. SOLUTION:   a. Independent events will vary. Students should notice that both rules give the same result. b. The multiplication rule for dependent events can be used for independent events. When two events A and B are independent, P(B following A) = P(B) because A has no effect on the probability of B. Substituting P(B) for P(B following A) in the rule for dependent events results in the rule for independent events, P(A and B)= P(A) · P(B). ANSWER:   a. Independent events will vary. Students should notice that both rules give the same result. b. The multiplication rule for dependent events can be used for independent events. Sample explanation: When two events A and B are independent, P(B following A) = P(B) because A has no effect on the probability of B. Substituting P(B) for P(B following A) in the rule for dependent events results in the rule for independent events, P(A and B)= P(A) · P(B). 31. REASONING Consider whether the rule for finding the probability of two dependent events A and B, P(A and B) = P(A) · P(B following A), can also be written as P(A and B) = P(B) · P(B following A).   a. Suppose that a card is randomly selected from a standard deck and that a second card is selected without replacing the first card. Use both rules given above to find the probability that the first card is a 3 and the second card is an 8. How do the results from the two rules compare? b. Choose two other pairs of dependent events that do not involve cards. Find the probability of each pair of events using both rules. What do you notice? c. Make a conjecture about whether the rules are equivalent. SOLUTION:   a. Both rules show that P(3 and 8) =   or about 0.6%   b. Sample answer: A jar contains 5 pennies and 6 dimes. One coin is chosen at random, and then a second coin is chosen without replacing the first. Find the probability that the first coin is a penny and the second coin is a dime.  P(P and D) = P(P) ·P(D following P) =  .   P(P and D) = P(D) · P(P following D) =    c. P(A and B) = P(A) · P(B following A) and P(A and B) = P(B) · P(A following B) are equivalent.   ANSWER:   a. Both rules show that P(3 and 8) =   or about 0.6%   b. Sample answer: A jar contains 5 pennies and 6 dimes. One coin is chosen at random, and then a second coin is chosen without replacing the first. Find the probability that the first coin is a penny and the second coin is a dime.  P(P and D) = P(P) ·P(D following P) =  .   P(P and D) = P(D) · P(P following D) =    c. P(A and B) = P(A) · P(B following A) and P(A and B) = P(B) · P(A following B) are equivalent.   eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 10 12-5 Probability and the Multiplication Rule 32. SENSE-MAKING In some cases, if one bulb in a string of holiday lights fails to work, the whole string will not light. If each bulb in a set has a 99.5% chance of working, what is the maximum number of lights that can be strung together with at least a 90% chance that the whole string will light? SOLUTION:     21 lights can be strung together. ANSWER:   21 33. CONSTRUCT ARGUMENTS  There are n different objects in a bag. The probability of drawing object A and then object B without replacement is about 1.4%. What is the value of n? Explain. SOLUTION:   9; The probability of drawing object A is  , and the probability of drawing object B when object A is not replaced is  .    Since we know that the probability is about 1.4%,  .         Solve this equation using the quadratic formula to determine n is 9.   ANSWER:   9; Sample answer: The probability of drawing object A is  , and the probability of drawing object B when object A is not replaced is  . Since we know that the probability is 1.4%,  . Solve this equation to determine that n is 9. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 11 12-5 Probability and the Multiplication Rule 34. REASONING If P(A|B) is the same as P(A), and P(B|A) is the same as P(B), what can be said about the relationship between events A and B? Explain. SOLUTION:   If P(A|B) is the same as P(A) and P(B|A) is the same as P(B), then the outcome of either event occurring does not depend on the other event occurring beforehand. The events are independent.  ANSWER:   A and B are independent events.  35. OPEN-ENDED Describe a pair of independent events and a pair of dependent events. Explain your reasoning. SOLUTION:   Think about the difference between dependent and independent events. What sets them apart?   Sample answer: The results of two coin flips represent a pair of independent events. Regardless of the outcome of the first flip, the probability of getting heads or tails on the second flip does not change. Drawing two colored marbles out of a bag without replacing the first marble represents a pair of dependent event. Based on the color of the first marble, the probability that the second marble will be a specific color will change. ANSWER:   Sample answer: The results of two coin flips represent a pair of independent events. Regardless of the outcome of the first flip, the probability of getting heads or tails on the second flip does not change. Drawing two colored marbles out of a bag without replacing the first marble represents a pair of dependent event. Based on the color of the first marble, the probability that the second marble will be a specific color will change. 36. WRITING IN MATH Explain how you could determine whether smoking and having a parent who smokes are independent events. SOLUTION:   Let A be the event that a persons parents smoke, and B be the event that a person smokes.    If the two events are independent then     If two events are dependent then   So, if the two events are independent, we require that . That is, the probability that a person smokes given that their parents smoke should be equal to the probability that the person smokes without any previous information.   The same must apply if we switch the order of the variables  . That is, the probability that a persons parents smoke given that they smoke is the same as the probability that a persons parents smoke without any previous information. ANSWER:   In order for the events to be independent, the probability that a person smokes and has a parent who smokes must be equal to the product of the probability that a person smokes and the probability that a person has a parent who smokes. eSolutions Manual - Powered by Cognero Page 12 12-5 Probability and the Multiplication Rule