économitrie regrission Linéaire simple et regrission Linéaire multiple ., Lecture notes of Economic Analysis

Download économitrie regrission Linéaire simple et regrission Linéaire multiple . and more Lecture notes Economic Analysis in PDF only on Docsity! Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 1 COURS D’INTRODUCTION A L’ECONOMETRIE (Support de cours pour étudiants) Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 2 Introduction L’économétrie permet d’estimer les paramètres des modèles économiques, prévoir l’évolution des grandeurs (variables) économiques afin de faciliter la prise de décision notamment en matière de politique économique. En effet, l’apport de la statistique et des mathématiques à la science économique est la prise en compte de l’ensemble des interdépendances des phénomènes économiques sous la forme d’un système d’équations simultanées. Le recours à un modèle formalisé permet de rapprocher la théorie à l’empirisme. Pour étudier un phénomène économique, on essai de représenter celui-ci par le biais d’une variable, cette variable dépend elle-même d’autres variables que l’on relie entre elles par une relation mathématique. Exemple : La construction du modèle Keynésien simplifié Keynes considère que l'économie est composée de deux types d'agents, les entreprises et les ménages. Les entreprises sont les seules à produire et à investir, les ménages sont les seuls à consommer. Cette spécialisation implique que les entreprises doivent distribuer aux ménages une part du revenu qu'elles tirent de la production. Nous supposerons que les entreprises redistribuent tout leur revenu aux ménages sous forme de salaires et de revenus de la propriété. Le revenu des ménages est ainsi égal au revenu global et le revenu des entreprises est nul. Nous supposerons pour simplifier l'exposé que la consommation intermédiaire est nulle. Etape 1 : La théorie D’après la théorie keynésienne quatre propositions sont fondamentales : 1. La consommation « C » et le revenu « R » sont liés ; 2. Le niveau de l’investissement privé et le taux d’intérêt sont liés ; 3. Il existe un investissement autonome ; 4. 𝑅 = 𝐶 + 𝐼𝑃𝑢𝑏 + 𝐼𝑃𝑟𝑖𝑣 Etape 2 : Modélisation de la théorie 1. La consommation est dépendante du revenu. Donc 𝐶 = 𝑎0 + 𝑎1𝑅, avec, 𝑎0 > 0 et 0 < 𝑎1 < 1 Où : 𝑎0 est la consommation autonome (incompressible) 𝑎1 est la propension marginale à consommer Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 5 Chapitre 1- Régression simple et corrélations linéaires I- Notion de tableau de contingence (rappel) I.1. Définition I.1.1. Série statistique double Il s’agit d’un tableau à double entrée. Il fait croiser au moins deux variables. On l’appel aussi tableau de contingence. Exemple : la répartition des logements selon le nombre de pièces et la superficie. Le nombre de pièce représente le premier caractère de la variable X et la superficie représentera le deuxième caractère que l’on désigne par la variable Y. Superficie (Y) 40 à 60 m2 60 à 80 m2 80 à 100 m2 100 à 120 m2 Total Nb de pièces (X) 1 3 1 0 0 4 2 1 14 3 0 18 3 0 1 7 4 12 4 0 0 10 7 17 5 0 0 0 6 6 Total 4 16 20 17 57 I.1.2. Les distributions marginales A partir du tableau précédent, nous avons tiré plusieurs informations telle que : a- La répartition des logements selon Nb de pièces (xi) Effectifs (ni) 1 4 2 18 3 12 4 17 5 6 Total 57 Cette répartition est appelée « distribution marginale » de X, dont on peut calculer la moyenne (c à d le nombre moyen de pièces par logement), cette moyenne est appelée « moyenne marginale que l’ont note : x . Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 6 b- La répartition des logements selon leurs superficies Superficies (yi) Effectifs (ni) 40 à 60 m2 4 60 à 80 m2 16 80 à 100 m2 20 100 à 120 m2 17 Total 57 Cette répartition est appelée « distribution marginale » de Y. C’est une distribution dont on peut calculer la moyenne qui sera appelée « moyenne marginale de Y » et qui sera notée : y . Elle représente la surface moyenne des logements. I.1.3. Les distributions conditionnelles A partir du tableau de contingence précédent, on peut, par exemple, s’intéresser uniquement à : a- La répartition des logements ayant une superficie de 60 à 80 m2 Cette distribution est appelée distribution conditionnelle, parce que les logements doivent répondre à la condition « 60 à 80 m2 ». on peut calculer la moyenne de cette distribution, c-à-d le nombre moyen de pièces des logements ayant une superficie de 60 à 80 m2. Cette moyenne sera appelée moyenne conditionnelle, que l’on note : jx . b- La répartition des logements ayant 3 pièces : Aussi, cette distribution est appelée distribution conditionnelle, car les logements doivent satisfaire la condition « 3 pièces ». On peut calculer la moyenne de cette distribution, c'est-à-dire, la surface moyenne des logements de 3 pièces. Cette moyenne est appelée moyenne conditionnelle, que l’on note : iy Nb de pièces (xi) Effectifs (ni) 1 1 2 14 3 1 4 0 5 0 Total 16 Superficies (yi) Effectifs (ni) 40 à 60 m2 0 60 à 80 m2 1 80 à 100 m2 7 100 à 120 m2 4 Total 12 Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 7 I.2. Généralisation du tableau de contingence Y y1 y2 ..... yj ..... ym ∑ ni . X x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1m n1. x2 n21 n22 ..... n2j ..... n2m n2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. xi ni1 ni2 ..... nij ..... nim ni. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. xk nk1 nk2 ..... nkj ..... nkm nk. ∑ n. j n.1 n.2 ..... n.j ..... n.m n.. • Les xi représentent les k modalités de la variable X. • Les yj représentent les m modalités de la variable Y. • Les ni. représentent l’effectif pour la modalité i de X pour toutes les modalités de Y. • Les n.j représentent l’effectif pour la modalité j de Y pour toutes les modalités de X. • Les distributions ni. et n.j sont appelées distributions marginales. • Les distributions des nij sont appelées distributions conditionnelles. Les moyennes marginales s’écrivent :   = • = •  = k i i k i ii n xn x 1 1 = •• = •  n xn k i ii 1   = • = •  = m j j m j jj n yn y 1 1 = •• = •  n yn m j jj 1 Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 10 Représentons graphiquement les données du tableau ci-dessus. Nous obtenons un ensemble de points (nuage statistique) que l’on cherche à résumer par une fonction simple : une fonction linéaire telle que l’on puisse écrire : y = ax + b avec a et b des paramètres inconnus. Cette droite est appelée droite de régression de y en x que l’on note Dy(x). a est appelé coefficient de régression. Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 11 II.2. Détermination des paramètres a et b : Méthode des moindres carrés ordinaires II.2.1. Notion des moindres carrés ordinaires Soit un nuage statistique simple : Soit y = ax + b, la droite qui résume le mieux ce nuage statistique (on dit qu’elle ajuste le mieux ce nuage de points). Pout tout xi correspond une valeur yi qui est une valeur réellement observée et pour tout xi correspond une valeur ?̂?i qui est une valeur estimée sur la droite de régression. ?̂?i = ?̂?xi + ?̂?. Pour tout xi il existe une différence entre la valeur observée et la valeur estimée. C o n so m Revenu Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 12 La droite d’ajustement idéale est celle pour laquelle les écarts entre yi et iŷ soient les plus faibles possibles. II. 2.2. Valeurs estimées (ajustées) et résidus Les valeurs ajustées sont obtenues au moyen de la droite de régression : bxay ii ˆˆˆ += Les valeurs ajustées sont les « prédictions » des yi réalisées au moyen de la variable x et de la droite de régression de y en x. Les résidus sont les différences entre les valeurs observées et les valeurs ajustées de la variable dépendante : iii yyu ˆ−= Les résidus représentent la partie inexpliquée des yi par la droite de régression. Leur moyenne est nulle : 0 1 = = n i iu . En d’autres termes, la somme des erreurs d’estimation doit être minime ( )minˆ =− ii yy . Pour ne tenir compte des valeurs absolues, nous elevons au carré et cette condition des moindres carrés s’écrit alors : ( ) minˆ 2 →− ii yy . Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 15 Avec, yyY xxX ii ii −= −= Démonstration algébrique : 𝜕𝑧 𝜕?̂? = 0 ⇔ −2 ∑ 𝑥𝑖(𝑦𝑖 − ?̂?𝑥𝑖 − ?̂?) = 0 ⇔ ∑(𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̂?𝑥𝑖 2 − ?̂?𝑥𝑖) = 0 ⇔ ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̂? ∑ 𝑥 𝑖 2 − ?̂? ∑ 𝑥𝑖 = 0 ⇔ ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̂? ∑ 𝑥𝑖 2 − (?̅? − ?̂??̅?) ∑ 𝑥𝑖 = 0 ⇔ ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̂? ∑ 𝑥𝑖 2 − ?̅?𝑛?̅? − ?̂?𝑛?̅?2 = 0 ⇔ ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑛?̅??̅? − ?̂?(∑ 𝑥𝑖 2 − 𝑛?̅?2) = 0 ⇔ 𝑛𝑐𝑜𝑣(𝑥 , 𝑦) − ?̂?(𝑛 𝑣𝑎𝑟(𝑥) = 0 Illustrations : 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑(𝑥𝑖 − ?̅?)(𝑦𝑖 − ?̅?) 𝑛 ⇔ 𝑛𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̅? ∑ 𝑦𝑖 − ?̅? ∑ 𝑥𝑖 + 𝑛?̅??̅? = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ?̅?𝑛?̅? − ?̅?𝑛?̅? + 𝑛?̅??̅? = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑛?̅??̅? 𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = ∑(𝑥𝑖−?̅?)2 𝑛 ⇔ 𝑛 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∑(𝑥𝑖 − ?̅?)2 = ∑(𝑥𝑖 2 − 2?̅?𝑥𝑖 + ?̅?2) = ∑ 𝑥𝑖 2 − 2?̅? ∑ 𝑥𝑖 + 𝑛?̅?2 = ∑ 𝑥𝑖 2 − 2𝑛?̅?2 + 𝑛?̅?2 = ∑ 𝑥𝑖 2 − 𝑛?̅?2 Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 16 3- Equation de la droite de régression ?̂? = ?̂?𝑥 + ?̂? xayb ˆˆ −= ( )( ) ( )  − −− = 2 ˆ xx yyxx a i ii ?̂? = 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑉𝑎𝑟 (𝑥) II.2.4. Application On souhaite étudier les ventes trimestrielles d’un restaurant universitaire (en millier de DH) en fonction de l’effectif des étudiants (en centaine d’individus) : x y 2 58 6 105 8 88 8 118 12 117 16 137 20 157 20 169 22 149 26 202 Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 17 III- Hypothèses du modèle linéaire de régression simple H1 : Spécification correcte du modèle La variable exogène est supposée être la meilleure sans omission d’autres variables potentielles. H2 : Nullité de l'espérance des erreurs (Hypothèse de permanence structurelle) L'espérance mathématique des erreurs est nulle. On note E(ui) = 0 ; quelque soit i = 1, ……, n Les observations recueillies doivent être données de manière exacte. Une erreur dans les observations, risque de donner des résultats biaisés. H3 : Homoscédasticité : Si, par hypothèse, on assume que le terme d’erreur de notre modèle est homoscédastique, on peut dire que l’on a des coefficients efficaces. En d’autres termes, les erreurs ne doivent pas être liées à la variable exogène. L’homoscédasticité qualifie une variance constante des résidus de données composant l’échantillon. À l’inverse, on dit qu’il y a hétéroscédasticité lorsque la variance des résidus du modèle n’est pas constante. Statistiquement il faut que : E(ui) = 0 Quelque soit Xi (i =1,….,n) V(ui) = E( (ui – E(ui))² = E(u²i) H4: Indépendance des erreurs Cov(ui ; uj) = E[(ui - E(ui)) (uj - E(uj)] = E(ui ; uj) = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 H5 : Normalité Les erreurs (ui) sont distribuées selon une loi normale. H6 : Elle concerne la variable exogène La moyenne des observations de la variable exogène ne doit pas changer de manière significative si l’on ajoute de nouvelles observations. Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 20 Coefficient de détermination R2 𝑹𝟐 = ∑ (?̂?𝒊 – ?̅?)𝟐𝒏 𝒏=𝟏 ∑ (𝒚𝒊 – ?̅?)𝟐𝒏 𝒏=𝟏 𝑹𝟐 = 𝑺𝑪𝑹𝒆𝒈 𝑺𝑪𝑻 IV.2. Coefficient de corrélation Pour mesurer la qualité de l’approximation d’un nuage de points par sa droite des moindres carrées, on calcule son coefficient de corrélation linéaire défini par : yx xy xy Cov r  = C’est une valeur comprise entre −1 et +1. • Si rxy = +1 ou (−1), les points du nuage sont exactement alignés sur une droite, dans ce cas la corrélation est parfaite. • Si 0 < rxy < 1, la corrélation est d’autant plus forte que rxy se rapproche de 1. Les corrélations dans ce cas, sont dites positives. En d’autres termes, les variables x et y varient dans le même sens. • Si –1 < rxy < 0, la corrélation est négative, c à d, les variables x et y varient dans des sens contraires. Aussi, on considère que l’approximation d’un nuage par sa droite des moindres carrés est de bonne qualité lorsque xyr est proche de 1 (donc xyr proche de +1 ou de −1) et de médiocre qualité lorsque xyr est proche de 0. Dans la pratique, on estime souvent que la régression est acceptable, lorsque 2 3 xyr . Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 21 IV. Application : a- Déterminer la droite de régression de cette distribution. b- Calculer la valeur de la consommation si le revenu augmente à 110. c- Déterminer et Calculer le coefficient de corrélation et interpréter le. Revenu (x) Consommation(y) 60 40 69 46 72 58 75 66 79 70 80 74 86 78 90 80 94 82 98 84 Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 22 V- Tests de validation Dans la régression linéaire sur données individuelles l’espérance mathématique de y est une fonction linéaire de x : E(y) = ax + b Si a = 0, E(y) = b, alors les variables x et y ne sont pas liées, Si a ≠ 0, E(y) = ax + b, alors x et y sont étroitement liés. Pour tester si la relation est pertinente, on devrait effectuer un test d’hypothèses pour vérifier si a ≠ 0. V.1. Estimation de σ2 A partir des hypothèses de base, on peut conclure que σ2 représente la variance de u et aussi la variance de y tout au long de la droite de régression. La moyenne des carrées des résidus (MCR) fournit une estimation de σ2. MCR = SCR n − 2 = s2 Et donc l’erreur type de l’estimation : s = √ SCR n − 2 V.2. Test de Student Le test d’hypothèse : H0: a = 0 H1: a ≠ 0 Permet de décider avec une faible marge d’erreur si les deux variables sont en relation linéaire statistiquement significative. Le test de Student est basé sur le fait que la statistique de test : tâ = â − a sâ Suit une loi de Student à (n – 2) ddl. Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 25 V.4.1. Le coefficient d’aplatissement (Kurtosis) Comme son nom l’indique, le coefficient d’aplatissement d’une distribution mesure son degré d’aplatissement. Il est associé à l’épaisseur des queues (tails) de la distribution. On le définit comme suit : 𝜇4 𝜎4 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)4] (𝑉(𝑋))2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)4] (𝜎2)2 Dans la pratique, l’espérance E est estimée par la moyenne échantillonnale de la façon suivante. 𝐸[(𝑋 − 𝜇)4] ≅ ∑ (𝑥𝑖 − ?̅?)4𝑛 𝑖=1 𝑛 = ?̂?4 ▪ Si ?̂?𝟒 𝝈𝟒 = 𝟑, on dit alors que la distribution est mésocurtique comme c’est le cas pour la distribution normale qui sert de point de référence. ▪ Si ?̂?𝟒 𝝈𝟒 > 3, on est confronté au cas d’une distribution leptocurtique. Plus communément, on dit qu’une telle distribution présente des queues épaisses, toujours en rapport avec les extrémités d’une distribution normale ▪ Si ?̂?𝟒 𝝈𝟒 < 3, on parle alors de distribution platicurtique. Plus communément, on dit qu’une telle distribution présente des queues minces (thin tails), toujours en rapport avec les extrémités d’une distribution normale. V.4.1. Test de Jarque et Bera La représentation graphique ne suffit pas à mesurer les déviations de ces coefficients par rapport à la normale. Comme à l’accoutumée, il faut développer un test pour juger du caractère significatif de ces déviations. Le test de Jarque et Bera (1984) est conçu à cette Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 26 fin. Ce test est défini sur la somme des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement élevés au carré. Plus précisément, le test de Jarque et Bera est basé sur la statistique suivante : 𝐽𝐵 = 𝑛 − 𝑝 6 (𝑆2 (𝐾 − 3)2 4 ) Où S est le coefficient d’asymétrie et K, le coefficient de kurtosis. Le test d’hypothèses est le suivant. L’hypothèse nulle H0 est que la distribution est normale alors que l’hypothèse alternative H1 est que la distribution n’est pas normale. La règle consiste à rejeter H0 si JB est plus grand que 𝝌 𝟐 à deux degrés de liberté au seuil de signification habituel de 5 % ou bien, si la p-value associée à la statistique JB est inférieure à 0,051. Remarque : Dans la pratique, Si les coefficients estimés d’asymétrie et d’aplatissement sont respectivement près de 0 et de 3 pour une distribution donnée, on pourrait conclure qu’on est en présence d’une distribution gaussienne (normale). V.5. Test de Fisher On peut aussi utiliser la statistique de Fisher pour tester l’hypothèse nulle. Cette statistique permet de comparer la somme des carrés expliquée ∑ (?̂?𝑖 −𝑛 𝑖=1 ?̅?)2 à la variance résiduelle (MCRes). 𝐹 = ∑ (?̂?𝑖 − ?̅?)2𝑛 𝑖=1 ∑ (𝑦𝑖 − ?̂?)2𝑛 𝑖=1 𝑛 − 2 1 N.B. Le test de Jarque et Bera ne devient réellement intéressant que lorsque la taille de l’échantillon est élevée. Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 27 𝐹 = 𝑀𝐶𝑅 𝑀𝐶𝑅𝑒𝑠 On rejette H0 au risque α lorsque : 𝑭 ≥ 𝑭𝜶(𝟏, 𝒏 − 𝟐) Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 30 ✓ les éléments aléatoires sont distribués suivant une loi normale. 3. les variables exogènes sont certaines. Elles ne comportent donc pas d’élément aléatoire. 4. les variables exogènes ne sont pas corrélées entre elles (Pas de multicolinéarité exacte). III. Estimation par les moindres carrés La régression de y en X au sens des moindres carrés consiste à chercher l’ajustement qui minimise en β l’expression : ∑(y − β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 +… + βpxp)2 = 2 Xy − = (y − Xβ)′ (y − Xβ) = y′y − 2β′X′y + β′X′Xβ (1) Pour obtenir le minimum, on dérive l’expression (1) par rapport à β et on obtient : yXXX )Xy(X )( = =−−=      02 1 Supposons que X′X est inversible, on détermine ̂ : Les valeurs estimées (ajustées ou prédites) de y ont pour expression : Le vecteur des résidus est la différence entre y et ŷ : ŷyu −= ( ) yXXXˆ = −1  ( ) yXXXXˆXŷ == −1  Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 31 ( ) ( )( )yXXXXI yXXXXy ˆXyu −= −= −= − − 1 1  IV. Les tests d’hypothèses Faire un test d’hypothèse consiste vérifier si l’effet marginal de β sur la variable dépendante est nul ou non nul en comparant une statistique de test calculée à l’aide de paramètres estimés ( ̂ et ̂ ) à une statistique critique. Les statistiques de test les plus souvent utilisées dans le cadre de ce cours, sont la statistique t de Student, le F de Fisher, le z de la distribution normal standard et la « p-value ». Avant de parler plus précisément de ces statistiques de test, faisons un bref rappel des principes fondamentaux du test d’hypothèse. La première chose à faire est de formuler l’hypothèse que l’on veut tester. On doit donc définir notre hypothèse nulle (H0) et l’hypothèse alternative. Dans le cadre de régression, H0 consiste, dans la plupart du temps, en un coefficient égal à zéro (H0 : β = 0). En termes économiques, cela veut dire que l’effet marginal des coefficients sur la variable dépendante est nul. L’hypothèse alternative peut aussi prendre diverses formes selon le cas : H1 : β ≠ 0, H1 : β > 0 ou H1 : β < 0. La formulation de l’hypothèse alternative est très importante puisqu’elle vient influencer la zone de rejet du test. Cette zone est déterminée en fonction du niveau de confiance choisi (α) et de la prise en considération si on fait un test à une ou deux queues. Plus le niveau de confiance est élevé, plus le test est précis. En sciences humaines, on choisi généralement un niveau de 5%. Dans ce cas, il y a 5% des chances que l’on rejette l’hypothèse nulle alors qu’elle est vraie. De plus, quand la situation le permet, il est préférable de privilégier un test bilatéral pour avoir un test plus précis. Introduction à l’économétrie Pr. A. Gourch 32 La statistique t se calcule ainsi :    ˆˆ ˆ − . Alors, avec un niveau de confiance de 95% et un nombre infini de degrés de libertés, si H0 : β = 0 et H1 : β ≠ 0, la zone de non-rejet sera de -1,96 à 1,96. Donc, on rejette H0 : β = 0 si la statistique t donnée se trouve à l’extérieure de l’intervalle de confiance. Si t est rejeté, cela veut dire que notre coefficient a un impact sur notre variable indépendante, donc qu’elle est statistiquement significative. En ce qui concerne la statistique z, avec un niveau de confiance de 95% : • si H0 : β = 0 et H1 : β ≠ 0, la zone de non-rejet sera aussi de -1,96 à 1,96. • Si H0 : β = 0 et H1 : β > 0, la zone de non-rejet sera de 0 à 1,645. Si H0 : β = 0 et H1 : β < 0, la zone de non-rejet sera de -1,645 à 0. Donc, on rejette H0 : β = 0 si la statistique z donnée se trouve à l’extérieure de la zone de non-rejet. Si z est rejeté, cela veut dire que notre coefficient a un impact sur notre variable indépendante, donc qu’elle est statistiquement significative. La statistique F (test de signification conjointe de Fisher) est caractérisée par deux valeurs: q, le nombre de contraintes, càd le nombre de degrés de libertés du numérateur et p, le nombre de coefficients du modèle non-contraint, (n – p-1) est le nombre de degrés de libertés du dénominateur. 1 ˆˆ ˆˆ −−   = pn uu p YY F Dans le cas où on a deux contraintes et où (n – p-1) peut être considéré infini (>100), la valeur critique de la statistique F à 95% est 3,00. Ainsi, si la valeur de la statistique F obtenue est supérieure à la valeur critique, on rejette l’hypothèse nulle. Dans le cas contraire, on ne peut rejeter l’hypothèse nulle.