Exercices de probabilité, Exercises of Probability and Statistics

Download Exercices de probabilité and more Exercises Probability and Statistics in PDF only on Docsity! Exercices de calcul des probabilités I E.S. TRAORE 1/1 Exercices de calcul des probabilités I. Un voyageur arrive à carrefour. Il sait qu’à cet endroit il va trouver deux routes ; un cul-de-sac et la bonne route. A ce carrefour il y a 3 frères : F1, F2, F3. F1 dit la vérité une fois sur 10 F2 dit la vérité cinq fois sur 10 F3 dit la vérité neuf fois sur 10 Le voyageur s’adresse à un et un seul des frères. Il demande son chemin et s’aperçoit par la suite que ce chemin est le bon. Quelle est la probabilité qu’il se soit adressé à F1 ? II. Pour diagnostiquer une maladie M, on utilise un test T. Ce test donne un résultat positif chez 95 % des gens effectivement atteints de la maladie M ; donc pour 5 % des malades, le test ne permet pas de détecter la maladie. Le test donne un résultat négatif pour 97 % des gens non atteints. 5 personnes sur 1000 dans la population considérée sont atteintes de cette maladie. Quelle est la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit effectivement malade ? Quelle est la probabilité qu’une personne ayant un test négatif ne soit pas malade ? III. Un appareillage électronique tombe en panne dès lors qu’un de ses composants A, B ou C tombe en panne. Des expériences en laboratoire ont permis de déterminer les probabilités de panne pendant une journée de fonctionnement de chacun des éléments, soit P(A) = 0,10 ; P(B) = 0,05 ; P(C) = 0,03. a) Déterminer la probabilité que l’appareillage électronique tombe en panne au cours de la journée. b) Pour réduire ce risque en double l’élément A par un élément A’ identique qui relaie A dès que celui-ci tombe en panne. Déterminer la nouvelle probabilité de panne pour l’ensemble de l’appareillage électronique. IV. Dans un grand magasin, on se propose de mettre un contrôleur afin de détecter les vols éventuels. La proportion de fraudeurs est une variable aléatoire dont des observatoires antérieures avaient permis d’établir la loi empirique suivante : Fraudeurs (pour 1000 clients) Probabilité 2 0,4 3 0,5 4 0,1 a) Une nouvelle observation portant sur 500 clients ayant permis de détecter 2 fraudeurs, comment sont modifiées les probabilités précédentes par cette nouvelle information (appliquer pour cela le théorème de bayes). b) Si on engage une personne qui contrôle au hasard 200 personnes par jour, quelle est la loi de probabilité du nombre de fraudeurs parmi les 200 clients ? c) Si le montant moyen d’une fraude est de 6 000 F et si le contrôleur est payé 70 000 F par mois (+ 40 % de charges sociales) ; cette embauche vous paraît-elle rentable ? V. Une compagnie assure une flotte de 1000 navires de valeur unitaire : 50 millions de francs. Seul le risque de perte totale du navire est pris en compte ; la probabilité d’un tel événement est évaluée à 0,01 pour 1 navire et pour une année. Les frais de gestion représentent 20 % du montant des primes payées. a) Quelle doit être la valeur de la prime annuelle pour un navire, si la compagnie veut avoir une probabilité égale à 0,70 de réaliser des bénéfices. b) Déterminer l’espérance mathématique et l’écart-type de son bénéfice pour cette valeur de la prime. VI. Une urne renferme une proportion p de doubles blanches et q = 1 –p de boules noires. On effectue dans cette urne des tirages avec remise. a) Quelle est la probabilité que les x premières boules tirées soient toutes noires ? b) En déduire la probabilité que la première boule blanche n’apparaisse qu’au xième tirage. c) Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de tirages à effectuer pour obtenir une boule blanche. Calculer E(X) et V(X). d) Soit Xr la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaire pour obtenir r boule blanches. Quelle est la probabilité que Xr soit égal à K ? Montrer que la somme des probabilités relatives à K = r, r+1, …. est égale à l’unité. VII. Dans un magasin il arrive en moyenne 20 clients par heure. Soit T le temps qui s’écoule entre les arrivées successives de deux clients. Déterminer la densité et la fonction de répartition de la loi de probabilité de T. VIII. J'ai dans ma poche 2 boîtes de n allumettes chacune ; quand j’ai besoin de feu, je prends au hasard une boîte, j’en retire une allumette et je la remets dans ma poche. Quelle est la probabilité que lorsque je prends la dernière allumette d’une boîte, il en reste exactement k dans l’autre ? Supposons que par distraction, je remette dans ma poche la boîte dont j’ai craqué la dernière allumette. Quelle est la probabilité quand je prends une boîte vide pour la première fois, qu’il reste exactement k allumettes dans l’autre boîte? IX. Deux personnes se donnent rendez-vous entre 19h et 20h. La première à arriver attend 20 mn, pas plus et pas au delà de 20h. Quelle est la probabilité qu’elles se rencontrent ?