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Université Abdeimalek Assaadi Année 2021-2022
Faculté des Sciences et Techniques MIP Module M22
Tanger
Contrdéle d’algébre 2.
Exercice 1.
Solt la matrice
x» Se 8
er» &
ex Sk oS
a * &
1. Montrer que
det(A) = (a - b)?(a +b + 2x)(a+b-2r).
2. Quelles sont les conditions sur a,b et x pour que la matrice 4 soit inversible 7
Exercice 2.
Soit f'endomorphisme de R? dont la matrice dans la base canonique est
12 0
A=| 13 -l
1-1 3
1. Calculer le polynéme caractéristique de /.
2. En déduire que fest diagonalisable.
Exercice 3.
Soient a € R et f, 'endomorphisme de R? deéfini par :
Sa(x,y,2) = (x + 2y + (a— 1)z, (a- ly +z, (2a -5)y + (5 -a)z).
1. i) Donner la matrice A, de f, dans la base canonique By de R°.
ii) Montrer que le polynéme caractéristique de f, est
Cy(X) = (1-X)(a-X)(-a+4-X).
iif) En déduire les valeurs propres de f, et leur ordre de multiplicité.
2. On suppose que a + 1,2,3.
i) Montrer que f, est diagonalisable ( sans faire de calculs ).
if) Donner la matrice de f, dans une base formée de vecteurs propres de fa.
3. On suppose que a = 3
i) Calculer les sous-espaces propres SEP(/s, 1) et SEP(f,, 3).
ii) En déduire que f; est diagonalisable.
iii) Donner une base de R? formée de vecteurs propres de f; et la matrice de f; dans
cette base.
4. On. suppose que a = 2.
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“hel 4) Calculer les sous-espaces propres SEP(/2, 1) et SEP(/2,2).
4a ii) En déduire que /; n'est pas diagonalisable.
ALS iii) On pose : v; = (1,0,0) et v2 = (3, 1,1). Trouver un vecteur v3 € R? tel que
B= (v1,¥2,v3) soit une base de R? et que
100
Mat, (fi) =| 0 2 1
002
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(u © SEP(fj,1)) <> (fa(u) = u) <> ((x + 2y + 22, 2y +z, y + 22) = (x,y,2))
= (y+z=0) © (u = (x,y,-y) = x(1,0,0) + (0, 1,-1)),
dol SEP(fs, 1) = Vect((1,0,0);(0,1,-1)).
D'autre part,
(u € SEP(fs,3)) < (f(u) = 3u) @ (x + 2y+ 2z, 2y +z, y + 2z) = 3(x,y,z))
o fm! of © (w= 21,1),
-y+z=0 ry
done SEP(fs,3) = Vect((2, 1,1).
ii) On déduit de la question précédente que
dim(SEP(/;,1)) +dim(SEP(fz,3)) = 2+1 = dim(R?), donc f; est diagonalisable.
iii) On pose v; = (1,0,0), v2 = (0,1,-1) et vs = (2,1,1). Les vecteurs vi, v2 et v3 sont
des vecteurs propres de /; et la famille B = (v1,v2,v3) est une base de R’, car
102 1
det 5,(B)=] 0 1 1 -|! ||-2¢0
0-11 A oo
De plu, mor Ch) = [2 A ¢ |
4. On suppose que a = 2 ©3
i) Soit u = (x,y,z) € R’, alors
(u € SEP(f,,1)) <= (f(u) = u) = (e+ 2y +z, y+z, —y+32z) = (xyz)
2y+z=0
oS z=0 @ (z=y=0) & (u=x(1,0,0)),
-y+2z=0
d'ot' SEP(f, 1) = Vect((1,0,0)).
De méme,
(u € SEP(f,,2)) <= (fx(u) = 2u) = ((x + 2y +z, y+2z, —y+3z) = 2(%,y,2))
~ { “yee? {<> © (v= 93,10),
~yt+z=0 z=y
donc SEP(f2, 1) = Vect((3,1,1)).
ii) D’aprés les questions 1. ii) et 4. i), 2 est une valeur propre double de /; et
dim(SEP(fi,2)) = 1, donc f; n'est pas diagonalisable.
iii) On pose v; = (1,0,0) et v2 = (3, 1,1). Les vecteurs v, et v2 vérifient : 2(v1) = v; et
Jr(v2) = 2v2. Soit v3 = (x,y,z) € R?, alors
(flvs) = 2v3 +2) > ((x+2y +z, ytz, —y+3z) = 2(x,y,z) + (3,1,1))
7 = = 3y22
ol Ftytz=3 LJ 3y-2
~y+z=1 z=yr+l
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Si on choisit v3 = (-2,0,1), le vecteur v3 vérifie (v3) = 2vs + v2 et Bi = (v1,v2, v3) est
une base de R?, car
13 -2
det ,,(B1)=| 0 1 0 |=1(0).
011
HOHHHHOHHOHOHDHOF
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