Fiche de TD 1 -Les applications linéaires-, Exercises of Mathematics

Download Fiche de TD 1 -Les applications linéaires- and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! niversité des Sciences et de laTechnologie d’Oran M B Faculté de Physique Département d’enseignement de base en physique Module de Math 2-L1-ST et SM Fiche de TD 1 -Les applications linéaires- Exercice 1. Considérons l’application f définie de 2 dans 2 par f x,y  x  y,x − y. 1) Montrer que f est linéaire. 2) déterminer ker f , Im f et donner leurs dimension.f est elle bijective? 3) déterminer f ∘ f. Exercice 2. Considérons l’application f définie de 3 dans 3 par f x,y, z  2x  y, 2x  3y − 2z,x  y  z 1) Montrer que f est linéaire. 2) déterminer ker f , Im f et donner leurs dimension.f est elle bijective? Exercice 3. i) Considérons l’application f définie de 4 dans 3 par f x,y, z, t  x  y,y − z,x  z. Montrer que f est linéaire; donner une base de ker f et de Im f. Quel est le rang de f? 2i) Considérons l’application g définie de 3 dans 3 par g x,y, z  y  z,x  z,x  y. 1. Montrer que g est un automorphismede 3. Quel est le rang de cette application ? 2. Déterminer g ∘ f. N.BESSAI ******************************************************************************************** Solution de la fiche Exercice 1 . f x,y  x  y,x − y. →1) f est linéaire ,en effet : → f est linéaire  ∀, ∈ ,∀x,y, x ′,y ′ ∈ 2, on a : f x,y  x ′,y ′  f x,y  f x ′,y ′ f x,y  x ′,y ′  f x  x ′,y  y ′  x  x ′  y  y ′, x  x ′ − y  y ′  x  y  x ′  y ′,x  y − x ′  y ′  x  y,x − y  x ′  y ′,x ′ − y ′  f x,y  f x ′,y ′ .Cela veut dire que f est linéaire. 2) déterminer ker f , Im f et donner leurs dimension.f est elle bijective? → ker f  x,y ∈ 2/fx,y  02  x,y ∈ 2/x  y,x − y  0,0  0,0  02  dim ker f  0 → Im f  fx,y/x,y ∈ 2  x  y,x − y/x,y ∈ 2  x1,1  y1,−1/x,y ∈ 2 Im f est le sous espace véctoriel engendré par la famille de vécteurs v1  1,1,v2  1,−1 Cette famille de vécteurs est -elle libre? Pour cela soit , ∈ /v1  v2  02      0 ? v1  v2  1,1  1,−1    , −   0,0      0  −   0      0 D’ou la famille de vécteurs v1  1,1,v2  1,−1 est libre et comme elle est génératrice , elle forme une base pour Im f et dim Im f  2 . Or Im f est un sous espace véctoriel de 2 et dim Im f  2  dim2 cela veut dire que Im f  2 → dim ker f  0  f est injective. → Im f  2  f est surjective. Ainsi: .f est elle bijective. 3) déterminer f ∘ f. f ∘ fx  ffx  fx  y,x − y  2x,y  2id2x,y ******************************************************************************************** Exercice 2: f x,y, z  2x  y, 2x  3y − 2z,x  y  z →kerf  x,y, z ∈ 3/ f x,y, z  03  x,y, z ∈ 3/ 2x  y , 2x  3y − 2z , x  y  z  0,0,0  x,y, z ∈ 3/ 2x  y  0 2x  3y − 2z  0 x  y  z  0  x,y, z ∈ 3/x  y  z  0 03 dimkerf  0 → Im f  f x,y, z / x,y, z ∈ 3  2x  y , 2x  3y − 2z , x  y  z / x,y, z ∈ 3