GEOMETRIC SEQUENCES AND SERIES, Exercises of Mathematics

Download GEOMETRIC SEQUENCES AND SERIES and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!   Page 1 of 13      GEOMETRIC SEQUENCES AND SERIES  Summary 1.  Geometric sequences .............................................................................................................. 2  2.  Exercise .................................................................................................................................... 6  3.  Geometric sequence applications to financial mathematics .................................................. 6  4.  Vocabulary ............................................................................................................................... 7  5.  Exercises : ................................................................................................................................ 8  6.  Geometric series ...................................................................................................................... 8  7.  Exercises ................................................................................................................................ 11  8.  Geometric series applications in financial mathematics ....................................................... 12    During the duration of an investment, the value of an investment can vary in function of  time. The study of an investment at different dates produces a sequence of values. The  market index, for example, represents a random sequence in itself. At some point, you  surely must have observed a curve of market tendencies like this one :      This curve is merely a visualization of the chronological sequence of values:     10‐juin  7542  11‐juin  7623  12‐juin  7743  13‐juin  7471  14‐juin  7443  15‐juin  7501    Page 2 of 13    This  section will  cover  the  study  of  sequences  and  series. We will  particularly  study  geometric  sequences  and  series  since  these  are  the  subject  of most  bank  contracts  (investments, loans, mortgages).  1. Geometric sequences     Definition: A sequence   a ∞ a , a , a , a , …   is an ordered set of numbers. The  index of each term of the sequence indicates the position or order in which specific data  is found. This order  is very  important. For example, the sequence  1,3,5,7,9,…  differs  from the sequence  9,7,5,3,1,… . , even if the terms are the same.    Definition:  A  sequence  a ∞ a , a , a , a , …   is  said  to  be  geometric  with  common ratio   if the terms satisfy the recurrent formula :       Example 1   The sequence  1,2,4,8,16,…  is a geometric sequence with common ratio 2, since each  term is obtained from the preceding one by doubling.   The sequence  9,3,1,1/3,…  is a geometric sequence with common ratio 1/3.       Standard form   Generally, we prefer  to express  the  term   of a geometric sequence  in  function of    and the initial term  , as in the formula:        Example 2   Stocks of a company are initially issued at the price of 10 $. The value of the stock grows  by 25 % every year.  Show that the value of a stock follows a geometric sequence.  Calculate the value of the stock ten years after the initial public offering.  Plot a graph of the sequence over a period of 10 years after it was issued.         Page 5 of 13    Solution  Each  year,  the  amount  of  his  fortune  doubles  with  regards  to  the  previous  year  a 2a . This is a geometric sequence of common ratio r 2. The initial value of  the fortune is unknown, but this information is of no importance thanks to the relation  a r a  :    a 2 a 2 . 32 000 000  a 1 2 . 32 000 000 1 32 . 32 000 000  a 1 000 000    To  obtain  the  date when  one  billion will  be  surpassed, we  need  to  find  n  such  that  1 000 000 000.      a 2 a   1 000 000 000 2 a   2 1000 32     We have an equation in which the variable we want to solve for is in the exponent (see  exponential  equations).  We  must  use  a  logarithmic  transformation  to  solve  this  equation.     2 1000 32 → ln 2 ln 1000 32   → n 2000 ln 2 ln 1000 32   → n 2000 ln 1000 32 ln 2   → n 2000 ln 1000 32 ln 2   → n 2000 4,966 2004,966    The billion will be reached at the end of 2005.     In this case, it would be faster to create an iterative table in Excel allowing us to observe  the  temporal  evolution  of Gill Bate’s  fortune.  The  recurrence  formula a 2a   is  easily programmed:   Page 6 of 13          2. Exercise     Each year the annual global demand for figs increases by 5 %.    a) Show that the demand for figs can be represented by a geometric sequence.   b) If  the demand  for  figs was 2,3  tonnes  in 1997, what will  the demand be  in 2003?  (answer: 3,08 tonnes)   c) In which year did the demand pas 1 tonne for the first time? (ans : 1980)   d) With Excel, create a  table describing  the  temporal evolution of  the demand  in  figs  and plot the graph as a histogram.    3. Geometric sequence applications to financial mathematics     A widespread application of geometric sequences  is found  in bank transactions (loans,  investments).  For example, a person deposits  an amount of 1 000 $ at  the bank. The  bank offers this person an annual return of 6 % of his investment, i.e. the deposited sum  year Page 7 of 13    will  increase  by  an  interest  of  6 %  at  the  end  of  each  year.  If  the  person  leaves  the  interest in the account, the annual evolution of the investment is given in the following  table:     Time passed  deposit  interest  Balance  ‐  1000$  0  1000$ 1 year  0  0,06 1000 60$ 1060$  2 years  0  0,06 1060 63,60$ 1123,60$  3 years  0  0,06 1123,60 67,42$ 1191,02$  4 years  0  0,06 1191,02 71,46$ 1262,48$    The temporal evolution of the investment is a geometric sequence. Since a a 0,06a 1,06a ,  the  sequence  of  accumulated  values  of  the  investment  is  geometric of common ratio 1,06.  4. Vocabulary    Interest dates : dates when the interests are deposited;    Interest period : time interval between two interest dates;    Capitalization : adding interests to the capital;    Periodic interest rate( ) : real interest rate per interest period;    Nominal  interest  rate  ( ) :  This  rate,  calculated  on  an  annual  basis,  is  used  to  determine the periodic rate. IT is generally this rate that is posted. It should always  be accompanied by a precision on the type of capitalization. Given      number of interest periods in the year   duration of the period in the fraction of a year   nominal rate    Then  the  periodic  rate  is  given  by  / .  For  example,  a  rate  of  "8 %  biannually  capitalized"  signifies  that  the  interest period  is  the half‐year  ( 2 or  1/2)  and  that  the periodic  rate  (biannually)  is  8% 2⁄ 4%. The nominal  rate does not correspond to the real annual rate, unless the capitalization is annual;    Effective rate : real annual interest rate;    In general, if   is the initial amount invested at the periodic interest rate " ", then the  value of the investment after   interest periods  , is described by the relation     1     (if  we  let  the  interests  capitalize).  The  sequence  of  the  value  of  the  investment  , , , …  is geometric of common ratio 1 .  Page 10 of 13    Formula to evaluate a finite geometric series :     Given ∑ a r a a r a r ⋯ a r , a  finite geometric  series of  common  ratio   and of initial a . Then    1 1     Example 1   Evaluate the geometric series ∑ 4     Solution   You need to use the formula for the sum of a geometric series:   4 1 2 4 1 1 2 1 1 2 4 1 1 32 1 1 2 4 31 32 1 2 4 ∗ 31 32 ∗ 2 1 7,75     You  can  also  verify  that  this  answer  is  correct by  adding  the  terms of  the  geometric  series ∑ 4 4 2 1 7,75  Example 2  Calculate the sum of the series 9 3 1 …     Solution  This is a geometric series of common ratio  1/3 with initial term  9. We must  also identify the upper limit of summation (the exponent of   of the last term. The last  term, identified by   is – 1/243 :              ⇒ 1 243 9 1 3   ⇒ 1 9.243 1 3   Page 11 of 13    ⇒ 1 3 . 3 1 3   ⇒ 1 3 1 3   ⇒ 7    We can therefore represent the series  in "sigma" notation and calculate the sum using  the formula seen previously:    9 1 3 9 1 1 3 1 1 3 9 1 1 6561 4 3 9 ∗ 6560 6561 ∗ 3 4 6,74897119     7. Exercises    Problem1 :   Evaluate the following geometric series :   4 2 3   2,5 1 √10   1 2 3 2     Problem 2 :   Evaluate the following geometric series :   a 4 1 1/4 1/16 … 1/4096   b 1/3 1 3 9 … 729   c 6 3/2 3/8 3/32 … 3/512       Page 12 of 13    8. Geometric series applications in financial mathematics   A person decides  to deposit an amount    in a savings account,  the  last day of every  month for a full year. The first payment  is done January 31 and the  last, December 31.  The bank where the deposits are made offers a monthly  interest rate   for this type of  account.  How  much  will  the  person  have  accumulated  at  the  end  of  the  year,  immediately after having deposited the last payment the 31 of December?    This type of problem, where we need to consider a certain number of equal deposits at  regular intervals, can be resolved with geometric series.    Instead  of making  12 monthly  deposits  in  one  account, we  could  open  12  different  accounts, as long as the interest rate is the same in each. You would need to deposit an  amount    in the first account January 31, an amount  in the second account February  30,  and  so  forth  until  the  12th  deposit. We would  accumulate  the  same  amount  of  money as if we had deposited the 12 payments in the same account.    The calculation of the accumulated amount on the 31 of December is done by the sum  of  the  individual  acquired  values  (or  cumulated)  per  deposit.  Note  that  even  if  the  deposits  are  equal,  they  do  not  all  capitalize  for  the  same  period.  For  example,  the  deposit  of  January  31  capitalizes  on  11  full  months  as  opposed  to  the  deposit  of  December 31, which does not result in any interest.    As we demonstrated in the previous section, the value of a deposit after n capitalization  periods at rate   is obtained from the relation  1 .    Deposit date  Initial value of  deposit  Number of months of  capitalization until  December 31  Acquired value of  deposit December 31  31 January    11  1 28 February    10  1 31 March    9  1   30 april    8  1   31 May    7  1   30 Juin    6  1   31 July    5  1   31 August    4  1   30 September    3  1   31 October    2  1   30 November    1  1   31 December    0  1     The  total  amount  available  in  the  savings  account  of  the  person  is  the  sum  of  the  acquired (cumulated) values of each deposit: