Creating Effective Physics Graphs: Titles, Scales, Fitting Data, and Linearizing Equations, Study Guides, Projects, Research of Physics

Download Creating Effective Physics Graphs: Titles, Scales, Fitting Data, and Linearizing Equations and more Study Guides, Projects, Research Physics in PDF only on Docsity! Department of Physics & Astronomy Lab Manual Undergraduate Labs Graphical Presentation of Data  Guidelines for Making Graphs   Titles should tell the reader exactly what is graphed   Remove  stray  lines,  legends,  points,  and  any  other  unintended  additions  by  the  computer that does not add to your graph.   Axes should be labeled clearly and include the units and scale markings   The scales should be chosen such  that  the data covers most of  the area of  the graph.  The origin  0,0  is oftentimes included, but not always.   Include error bars when appropriate, especially when fitting curves to the data.    Bad Graph         Label without units   Way too many tick markings   Tick markings too small to read No title  Data only fills up small part of graph     Choose a better vertical scale  Department of Physics & Astronomy Lab Manual Undergraduate Labs  Good Graph           Scales appropriately chosen        so that data can be seen clearly   All labels are easy to read  A reasonable amount       of tick marks displayed    Department of Physics & Astronomy Lab Manual Undergraduate Labs Real Data  Real  life data  sets often display  several  types of behavior  that may make your data not  look  “perfect”.  For example, if you measure the period of a simple pendulum over a long period of  time,  you will  not  observe  a  perfect  fit  to  2 / .  For  small  oscillations  over  a  short  period  of  time  you  can  recover  the  equation.  Over  long  periods  of  time  the  pendulum’s  oscillations will decrease  in amplitude due  to  friction at  the pivot and air resistance, and you  may observe an exponential decay envelope on top of the sinusoidal behavior.      Finding the “best line” and the uncertainty in the slope  The  figure  to  the  right  shows  the  "best"  (dark  line) or  most  representative  straight  line  that  fits  the  data  points  as well  as  two other  (red)  lines. Approximately  the  same  number  of  points  lie  above  and  below  the  best line. The best line is used to find the slope and the  intercept.    The  two  red  lines might  represent  the  data  nearly  as  well  as  the  best  line.  One  red  line  has  the  largest  plausible  slope  and  one  has  the  smallest.  The  largest  slope  line can be constructed by drawing a  line which  goes between a point below the best fit line on the left  side of the graph and a point above the best fit line on  the right side of the graph.  The smallest slope line can be constructed by drawing a line which  goes between a point above the best fit line on the left side of the graph and between a point  below the best fit line on the right side of the graph.  The differences between the slopes and  intercepts of these lines yields the uncertainties in the slope and intercept.     Finding the Uncertainty in the Slope  The  figure  to  the  right  illustrates  the method used  for  finding the uncertainty in the slope of the best line.    The dashed lines define the slope triangle of the best fit  line. The vertical height of the slope triangle is called the  “rise” and  the horizontal width  is called  the “run”. The  slope  is given by “rise/run.” Please note  that  the  slope  triangle is for the best fit line and not for individual data  points.    Finding the “best fit”  Finding uncertainty in slope Department of Physics & Astronomy Lab Manual Undergraduate Labs The uncertainty in the slope, expressed as a fraction of the slope, is       slope slope and is found as  follows:     2run run2 rise rise 2 slope slope          In  this  example,  rise  should  be  approximately  the  same  as  the  uncertainty  in  the    measurements and similarly run should be approximately the same as the uncertainty in the    measurements. Since the uncertainty in the rise does not affect the uncertainty in the run, the  uncertainties are added  in quadrature.   (See the Propagation of Errors section for a complete  explanation.)    Data that does not fit a straight line  When the distances between the data points and the "best" line are much larger than the error  bars, the data does not fit a straight line. An experimenter faced with data of this type should  conclude one or more of the following:   The phenomenon is not described by a linear relationship between variables   The uncertainties have been grossly underestimated    The data  is as precise as  indicated but  is  inaccurate due  to mistakes made  reading  a  measuring instrument (e.g., interpreting 1.23 cm as 2.23 cm.)    The data is plotted incorrectly    Very precise data and a good fit to a straight line  The  graph on  the  right  shows  very precise data  (error bars too small to plot). If the errors are too  small  to  draw  minimum  and  maximum  slope  lines,  you  might  want  to  consider  using  the  method of least squares.          Very good fit to a straight line  Department of Physics & Astronomy Lab Manual Undergraduate Labs Linearizing Data  A linear relation has the form  , which is useful for showing direct relationships such  as   and  . A graph of  the  force of gravity on  the  ‐axis and mass on  the  ‐axis  would yield a line with a slope equal to the acceleration due to gravity.  A graph of voltage vs.  current would give a value for resistance.  This is very good stuff!    What about equations which are non‐linear?  How could a least squares fit help with that?  The  trick is to linearize your data and then apply a least squares fit.    Consider the two graphs below, which both deal with the equation  .  The left graph    vs.    is plotted directly, which yields a parabola.    In the graph on the right we have  linearized  the function and plotted  vs.  , which yields a line with slope  . The difference between the  two graphs  is  that  in graph A    is  treated as  the  independent  variable and  in graph B    is  treated as the  independent variable.    does not always have to be the  independent variable;  think of plotting   vs. a new variable  , where  .  Examples of linearizing equations  We would  like to perform a measurement that would enable us to graph the charge‐to‐mass  ratio  of  the  electron  / ,  just  like  Sir  J.J.  Thompson  did  in  1897.  Consider  electrons  being  accelerated by a uniform electric  field to a speed  . Let   be the voltage difference between  the  starting  and  endpoints.  The  electrons  then  pass  through  a  uniform  magnetic  field    perpendicular  to  their motion. This causes  the electrons  to undergo uniform circular motion.  Combining the equations   and   we can obtain the relation  2     (A) (B) (A) vs. of the quadratic function (B) vs. yields a linear relation with slope .