It's about optometry, Study notes of Engineering Physics

Download It's about optometry and more Study notes Engineering Physics in PDF only on Docsity! Le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique: Appliquant le principe de Fermat pour chercher le couple de points conjugués (A, A’) Le Chemin optique ente A et A’ est Pour réaliser le stigmatisme rigoureux, il faudra poser: Cas particuliers: - Si A et A’ sont sur la surface du dioptre on a LAA’=0 - De même si A est au centre du dioptre on a : A=A’=C et LAA’ = 0 Hormis ces cas, montrons que deux points seulement appelés points de Young-Weierstrass, vérifient la condition de stigmatisme rigoureux. Soit : 77 Chapitre 2: Optique géométrique LAA ' = (AIA ') = nAI − n ' IA ' A A’ n n’>n LAA ' = constante R = SC, p = SA, p ' = SA ' et x = SH H L’expression du chemin optique L est égale (en fonction de R, p, p’ et x) à: Puisque De même, Pour les points de Young-Weierstrass, ce chemin optique est « rigoureusement » indépendant de la position du point I : c’est-à-dire de x. Autrement dit LAA’(x) est indépendante de x d’où : 78 Chapitre 2: Optique géométrique LAA = n p2 + 2x(R− p)⎡⎣ ⎤⎦ 1/2 − n ' p '2+ 2x(R− p ')⎡⎣ ⎤⎦ 1/2 AI 2 = AH 2 +HI 2 = (AS + SH )2 + (IC 2 −CH 2 ) = (AS + SH )2 +[IC 2 − (CS + SH )2 ] = (−p+ x)2 + R2 − (−R+ x)2 = p2 + x2 − 2px + R2 − R2 − x2 + 2Rx = p2 + 2x(R− p) A ' I 2 = A 'H 2 +HI 2 = p '2+ 2x(R− p ') dLAA dx = 2n(R− p) 2 p2 + 2x(R− p)⎡⎣ ⎤⎦ 1/2 − 2n '(R− p ') 2 p '2+ 2x(R− p ')⎡⎣ ⎤⎦ 1/2 = 0 Donc Alors Les deux relations caractérisant les points de Young- Weierstrass (W et W’) pour un dioptre sphérique sont: En conclusion, un dioptre sphérique n’est donc rigoureusement stigmatique que pour les points de W et W’, pour les points de sa surface et pour son centre C. En prenant l’origine au centre C, on obtient une relation plus élégante : 79 Chapitre 2: Optique géométrique n( Rp −1) = n '( Rp ' −1) 1 p ( Rp −1) = 1 p ' ( Rp ' −1) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒ np = n ' p ' n( Rp −1) = n '( Rp ' −1) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ p = SW = ( n 'n +1)R p ' = SW ' = ( nn ' +1)R ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ CW = ( n ' n )R CW ' = ( n n ' )R ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ et CW.CW ' = R2 n(R p −1) 1+ 2x p (R p −1) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1/2 = n '(R p −1) 1+ 2x p ' ( R p ' −1) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1/2 ‘ En considérant des points proches de W et W’, cas de stigmatisme approché, on pose: En insérant, le point C dans ces relations, on aura: C’est la formule de conjugaison d’un dioptre sphérique avec l’origine au centre. Conclusion: Pour les exemples de systèmes centrés traités dans ce paragraphe (sauf le miroir plan), les conditions qui réalisent l’approximation de 1er Ordre de stigmatisme, étudié par Gauss en 1841, sont capable de construire une image nette à partir d’un point- objet. Tout défaut qui altère une image conduit à une mauvaise qualité d’image. Ce phénomène est appelé aberration d'un système optique. 80 Chapitre 2: Optique géométrique p = SA = ( n 'n +1)R p ' = SA ' = ( nn ' +1)R ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ SC +CA = ( n 'n +1)SC SC +CA ' = ( nn ' +1)SC ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒ n ' CA = n SC n CA ' = n ' SC ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ n ' CA − n CA ' = n '− n CS • Nouvelle représentation de ce système optique : • Distance HH’ est appelée interstice, f=HF et f’=H’F’ • FLH : HK=H’K’ ; n. HK. α= n’. H’K’. α’ Soit n . α= n’. α’ • Petits anglesà HK=FF1~FH.α =-f.α de même H’K’=f’.α’ à • La vergence du système est : (C>0 ; convergeant, C<0 ; divergeant) • Les plans anti-principaux sont les plans conjugués dont le grandissement transversal γ est égal à -1. Ils sont symétriques des plans principaux par rapport aux foyers F et F’. f f ' = − α ' α = − n n ' C = − n f = n ' f ' 85 Chapitre 2: Optique géométrique F’ Points nodaux et anti-nodaux : • Les points nodaux N et N’ sont deux points conjugués sur l’axe tels que à tout rayon incident passant par N correspond un émergent passant par N’ et parallèle à l’incident. Les points anti-nodaux ν et ν’ sont les symétriques des points nodaux N et N’ par rapport aux foyers F et F’. • NI//N’I’ et NI//K’F’, FF1N et H’K’F’ sont égaux à FN=H’F’=f’ • L’image de l’objet N étant N’. De même F’N’=HF=f • Alors HN= HF+FN=f+f’. Donc Les éléments cardinauxd’un système centré sont : • Les foyers F, F’ • Les plans principaux (P, P’) et anti-principaux (Π, Π’) • Les points nodaux (N, N’) et anti-nodaux (ν, ν’). Un système est entièrement déterminé si on connaît un couple de points et une distance focale. HN = f + f ' = H 'N ' 86 Chapitre 2: Optique géométrique Formules de conjugaison : • En posant HA=p, H’A’=p’, HF=f, H’F’=f’, x=FA et x’=F’A’, on retrouve des formules de conjugaison générale valable pour un système dioptrique et similaire à celles d’un dioptre sphérique : • ; ; et • Cas particulier ; milieux extrêmes identiques ; n=n’=1 • Ces formules deviennent : Points nodaux et principaux sont confondus ; H≡N • donc ; et f p + f ' p ' =1 n ' p ' − n p = n ' f ' = − n f =C γ = A 'B ' AB = n n ' . p ' p = − f x = − x ' f ' x.x ' = f . f ' f = − f ' 1 p ' − 1 p = 1 f ' = − 1 f =C x.x ' = − f 2 = − f '2 87 Chapitre 2: Optique géométrique K K’ I J’ J I’ F F’H H’α α’ Système optique Chapitre 2: Optique géométrique Association de systèmes centrés: S=S1+S2 L’association de deux systèmes centrés, de même axe est également un système centré. Eléments cardinaux? FI1//F1J1à F objet de F2 à travers le système 1à et F’I’2//J’2F’2 à F’ image de F1’ à travers le système 2à 88 F1F.F1 'F2 = f1.f1 ' F2F1 '.F2 'F ' = f2. f2 ' S1 S2 S Posons les distances focales : f=HF et f’=H’F’ et l’intervalle optique • On trouve les positions de F et F’ par : et • D’après les triangles H’K’F’, H2’J2’F2’ et H1’F1’K1’, F1’F2G2 • on aura : et ce qui vérifie : Formule de Gullstrand (de l’opticien): • Cette formule permet de déterminer la vergence du système équivalent connaissant celles des systèmes composants : • C=C1+C2-e.C1C2/n0 avec l’interstice e=H1’H2 Δ = F1 'F2 F2 'F ' = − f2. f2 ' ΔF1F = f1. f1 ' Δ 89 Chapitre 2: Optique géométrique f = f1. f2 Δ f ' = − f1 '. f2 ' Δ f f ' = − n n ' VI. Lentilles dans l'approximation de Gauss Une lentille est un milieu transparent (n>1) limité principalement par deux dioptres sphériques ou un dioptre plan et un dioptre sphérique. Types de lentilles 90 Chapitre 2: Optique géométrique Points particuliers de l’axe optique: • Les points (de l’axe optique) caractéristiques d’une lentille donnée. • Le foyer image : C’est le point F’ de l’axe optique, image d’un point situé à l’infini (p = -∞) ; son abscisse f’ = p’(F’) s’appelle la distance focale image. La formule fondamentale des lentilles nous donne • Le foyer objet : C’est le point F de l’axe optique dont l’image F’’ est à l’infini (p’(F’’)à∞). Son abscisse f = p(F), s’appelle la distance focale objet. La formule fondamentale des lentilles nous donne alors 95 Chapitre 2: Optique géométrique Donc • Les distances focales image et objet sont opposées : Les deux foyers d’une lentille mince sont symétriques par rapport à la lentille. • Le centre optique : C’est le point O où la lentille rencontre l’axe optique et il possède la propriété que tout rayon qui passe par le centre optique n’est pas dévié. 96 Chapitre 2: Optique géométrique F F’ F’ Ff’ f’ O O • Foyers réels = Lentille convergente. • Foyers virtuels = Lentille divergente. Construction de l’image d’un petit objet AB: • Lentille convergente. • L’objet réel AB est compris entre -∞ et le foyer F. • L’image A’B’ est réelle et renversée par rapport à l’objet 97 Chapitre 2: Optique géométrique • L’objet réel AB est compris entre le foyer F et le centre O. • L’image A’B’ est virtuelle et de même sens que l’objet. Notons que cette situation est le mode de fonctionnement normal de la loupe grossissante. 98 Chapitre 2: Optique géométrique • Lentille divergente: Ici, on peut facilement se convaincre qu’il n’y a qu’un seul cas de figure pour l’objet réel AB situé entre -∞ et le centre O • L’image A’B’ est virtuelle et de même sens que l’objet • Pour un objet virtuel entre O et F, l’image est réelle, droite et agrandie. 99 Chapitre 2: Optique géométrique Formules des lentilles minces • Positions: Nous poserons OA= p, OA’ = p’, OF = f =-f‘ =-OF’. La formule fondamentale des lentilles minces donne alors • Grandissement: Soit un objet rectiligne AB. En utilisant les triangles semblables OAB et OA’B’, nous avons la relation • Le rapport γ est le grandissement de l’image par rapport à l’objet, il vaut • donc 100 Chapitre 2: Optique géométrique