Le devoir comporte des questions de cours et 4 exercices indépendants (sur 2 pages). Une a, Exams of Mathematics

Download Le devoir comporte des questions de cours et 4 exercices indépendants (sur 2 pages). Une a and more Exams Mathematics in PDF only on Docsity! Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2010/2011  Licence Parcours SPI  Semestre 3 Éléments de Calcul Diérentiel  Math 202 B Devoir Surveillé 1 6 Novembre 2010 à 10h30. Durée : 2h. Documents, calculatrices, téléphones et appareils électroniques interdits. Le devoir comporte des questions de cours et 4 exercices indépendants (sur 2 pages). Une attention particulière sera portée à la clarté et à la précision des réponses. Barème indicatif : 4+4+4+4+4=20. Questions de Cours. (1) Donner un exemple de fonction dénie sur R2, à valeurs dans R et non continue au point (1, 0). (2) Soient g : R→ R2 et f : R2 → R deux fonctions de classe C1. Donner une expression développée de la dérivée de f ◦ g en fonction des dérivées partielles de f . (3) Soit f : R2 → R3 de classe C1. Donner l'expression de la matrice jacobienne de f au point a. Exercice 1 En justiant sa réponse, dire si les fonctions suivantes ont une limite en 0 : (1) f(x, y) := xy2−xy (x2+y2) 1 2 ; (2) f(x, y) := xy log(x2 + y2); (3) f(x, y) := sinx x2+y2 ? On pourra utiliser (sans la démontrer) l'inégalité 2t π ≤ sin t pour 0 ≤ t ≤ π 2 . Exercice 2 On dénit f(x, y) := x2 x2 + y2 + y x2 . (1) Donner le domaine de dénition D de f . (2) Calculer les dérivées partielles de f sur D. (3) La fonction f se prolonge-t-elle en une fonction de classe C1 sur R2 ? 1