Download Encrypted Document with ML+1C Algorithm - Prof. Renato Monteiro and more Study notes Systems Engineering in PDF only on Docsity! Lecture Notes in Convexity
Instructor: Renato D. C. Monteiro
November 8, 2008
! #"$ &%')( *,+.-'/10324265879-'0;:<+&=?>@5 03+A-6B':DC1E1795F26:<GH5HI<J;:LKNMLJO+1:L-'MP-'0;:<+QML+1C.-65RBSGT03+U:<J;:LILVW-'/1MP-4>03J3JXKY5FEZ2658C[-'/UB':<EUI</U:<E1- :<EUB!\ZB'582658+A-'MP-'0;:<+&] ^_5F>!B0;-65F`badc -6:e03+1CZ037RMP-65f-'/1MP-4-'/U5F265R-g`032hMi2'EUKZ265R-h:Ljk-'/U5F265R-fcl])^_5F>!B0;-65nmpop`rqsB'5826\?];= muto`wvx-6:[03+1C1037RMP-65T-'/1MP-nmy032iqsB'5826\z];={032n+U:L-vxML+p58J;58GH58+A-f:Lj!-'/15|265R-H`H]e^_5eCU58+U:L-65|-'/U5|2'5R-'2f:Lj}B'58MLJ +~E1GfKY5RBS28=B'58MLJYL5879-6:LBS2
ML+1CgBS58MLJ<@|G MP-6BS0379582XKAVg4=LxML+1Cw4AN=B'582'\#5879-'03L58J;VL]O1:LBO2'7RMLJMPBS2O = CU5RZ+15q6Ovh8hoZ¡ ) ¢{£<=k¤¥6&¦84oQZ¡h{£<=k¤¥6Ov4l84oQu1¡¢) {£ ML+1Cq6&¦Od8}o§ {£<]$¨403L58+©-ª>$:TC1026-'03+179-L5879-6:LBS2)m?6«o§N=1CU5RZ+U5 ¤ m?6«A¦¬ Aq,)®Ov¯m ° ?«|~o¤ ±D8²¦L£< qsm?6«A¦³ Aq,)®Ov¯m ° ?«|~oq´±D8²¦L£< ¤ m?6«1vµ Aq,)®Ov¯m ° ?«|~o¤ ±D8¶vZ£< qsm?6«1vµ Aq,)®Ov¯m ° ?«|~oq´±D8¶vZ£<· ¸):L-65i-'/ZMP-n0;jm¹º«#=X-'/U58+MLJ3J-'/U5|MPKY:¶L5265R-'2nB'58C1E1795|-6:W-'/15|2'03+1I<J;5R-6:<+ 8m?£e8«N£<][»h-'/U5RBS>03265L=O-'/U5RV CU582'79B0;KY5x-'/U5fjs:<EUB!\Y:<2'2'03KZJ;5x265RI<GH58+A-'2479:<+1+U5879-'03+UITm[ML+1C§«eCU5R\Y58+1C103+UIF>/15R-'/U5RB-'/U5n58+1CU\Y:<03+A-'2m[ML+ZC©« MPB'5f0+17RJ3E1CU58Ci:LB+1:L-!-6: -'/U5g265RI<G 58+-R] 6¼ ½n¾H¿FÀYÁF"}Â{ÃkÀd"!(FĵÅÇƬ(FÃÈ "!(H%'ɶ)Ê'ÄHÀ ËLÌÎÍXÏÑÐ9ÒPÓDÐ9Ô<ÕÖ¶Ì ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1àáYàߢâäãNåLã#æ9ç)è#é´ê.ë²ì1í9ëRæ8é `¬aº¹î ëiïeðñ?òOð8óOô1õ<Ø î ö|î é î ë÷Rø;åÎë8æ'ù.ìDãNùæRúïù<ù î é î åPãïPãNù ë9÷ïPø;ïPúnçFìDøûé î èNø î ÷SïLé î åPãUü}ésý~ïLé î ëü Xþm#þ° kÿ'mzÿ!oW`ö åPúwæ Pæ9ú²ê m#þP6mzÿoW` ïPã#ù ?þPSkÿo§ Í<Ì DÕ RÍ ¶Ë ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1àáYàáâºãNåLã#æ9ç)è#é´êiëìZí9ëRæRé `ºa¢î ëwïLã©ôÚXØôNÚXÛªÞ î ö4zm#þ@° q,)®p
v¯mzÿgo_`uö åPú æ Læ9ú²ê m#þ6m?ÿoW` ïPã#ù o§ *,+y:L-'/U5RB >$:LBSC128=@MQ2'E1KZ265R-T`r:Ljx 032HML+¹M T+U5©GTML+10;js:<J3Cy0;jjs:LB ML+Vy-¯>@:Q58J358GH58+-'2 mNþP6mzÿH:Ljf` = -'/U5HJ303+15g\ZML2'2'0+UIT-'/UBS:<EUI</[m þ ML+ZCWm ÿ 032403+_` ]U03+UI<J;5R-6:<+128=#J30+U582R=NML+ZC. 03-'2658J;jkMPB'5F5UMLGH\ZJ;582h:LjM T+15 G ML+103jÝ:<J3CZ2R] *Ñ-X02?58ML26Vf-6:h265R5$-'/1MP-{Mh2'EUKZ265R-X:LjZx032OM)2'E1KZ26\ZML795$0;j¯=PML+1Cn:<+1J;Vg0;jÑ=P0;-X032OML+wM T+U5G ML+10;js:<J3Cg79:<+A-'ML03+103+1I -'/U5g:LB0;I<03+&] 4* ÎÞ&Þ Hq,agv !/U5F265R-gJ303+xq p®Am&vX° Am0324ML+_M T+15FGTML+10;js:<J3C&=#>/1037/§:LK~~03:<E12'J;V§79:<+A-'ML03+124-'/15F2'5R- $]g*Ñ--'/U58+ejs:<J3J;:>2$jÝBS:<GCU5RZ+103-'0;:<+[q,P] v:LjOM T+15g/AE1JJZ:Lj
MH265R-}-'/1MP-!M ya¹J03+xq [® AmYvY° Am?=U:LB!5~E10;PMLJ;58+A-'J;VL= q´M kv
®@Am[a¹J303+xq Q® AmYv] q v!/U5gML2'2'EZGH\1-'0;:<+-'/1MP- Am.oeM y03GH\NJ30;582$-'/1MP-!M .® AmW02}M J303+U58MPB!2SEUKZ26\ZML795L=D>/Z037S/:LK~~03:<E12'J;V 79:<+A-'ML03+12-'/U5x265R- e® Amz]k*Ñ-$-'/U58+ijÝ:<J3J3:¶>2$jsB':<GºCU5RZ+10;-'03:<+Wq,P]3¶v@:LjXJ03+U58MPB/AE1JJ1:LjXMF265R--'/1MP-gq´M kvz® Am J303+gq _®BAmYv] ÕÍPÍÌ <Ë 4* ÎÞZókÞNð¶ÛÝÜÛsÞNÚußZà zàH XæRé mNþÎ6mzÿ8R·R·R·6mc]wo§ íæ Lî Pæ9ã ?ýDæ9ã1ü&ésýUæ ö åLøÝø;åT î ã ë9éïLéªæ9çTæ9ãNésë$ïPú'ææ8ì î PïPø;æRãZé ) ï C103G|8mNþP6m?ÿ8R·R·R·86mc]A£h Z í8 C103Geq´J303+h8m#þ}® Am?R·R·R·86mn])®@Amz£Îvk ZTö åPúxë9åLç æ åPúnïLã1ê AmWo©Mw8mNþP6m?ÿ8R·R·R·86mc]A£ ? ÷" ésýDæ PæS÷8éåPúë mzÿ®_m#þÎR·R·R·¶6mc]h®_m#þ ïPú'ænø î ã#æSïPúø ê î ãNùAæ¯èUæRãNùæ9ãNé6? ù ésýDæHæ8ìUï<é î åPã1ë ]N þ N m N ± ïPãNù ]N þ N ±Wî çè#øêésý~ïLé ?þ {ÿ$·R·R·D¢w]x± ? æ8 ésýDæ PæS÷8éåPúë qsmNþP8¶v¶qsm?ÿ¶8¶vR·R·R·¶qsmn]~8¶vo§ § ïLú6ænø î ãYæ'ïPú²øê î ãNùæ¯è1æ9ãNùæRãZé 4* ÎÞ&Þ hq Uv q 1 v@U:LB)D58C;Am[oeMF8mNþPR·R·R·6mc]£<=1>$5g/1M8L5 CZ03G q¯8mNþPR·R·R·86mn]<£Îv C103G q6q´MF8m#þPR·R·R·¶6mc]£Îv
® Am&vkC103G q´J03+_qÑ8mNþPR·R·R·86mn]<£h® AmYv6v C103G q´J03+)8m þ ®BAmXR·R·R·¶6mc]h®BAm?£Îv# >/U5RBS5x-'/U5f265879:<+1C©5AE1MLJ0;-ªVijÝ:<JJ;:¶>2!jÝB':<G 4z58G G MeP] C ] ] q 1 v q Rv ~-'MP-658GH58+A-wqsK#v@>03-'/ Amm#þh025AE103ÎMLJ;58+A-}-6: C103G©q´J03+)8mzÿ®.mNþÎR·R·R·6mc]h®.mNþ£Îvk Z#=ZML+ZC/U58+1795f-6: -'/U5gL5879-6:LBS2mzÿ®_m#þÎR·R·R·¶6mc]h®_m#þ4K#580+UIHJ303+U58MPBSJ3VT03+1CU5R\Y58+1C158+-R] q 8v q ~v$~!/15$L5879-6:LB2{m ÿ ®wm þ R·R·R·86mc]?®nm þ MPB'5}J303+U58MPBSJ3Vg03+1CU5R\Y58+1CU58+A-X03jNML+1Cw:<+1J;Vw0;jXq ÿ R·R·R·¶Sa]Pv{ q´±DR·R·R·Î'±vx0324-'/U5T:<+1J;V.26:<J3EU-'0;:<+.-6:§-'/U5T26VD26-658G ]N ÿ N qsm N ®ym#þRvx ]N ÿ N m N °q,® ]N ÿ N v¯m#þ l±D] !/U5gJMP-6-65RB)79:<+17RJ3EZ2'0;:<+B'58C1EZ79582}-6:T26-'MP-658GH58+A-wq´C#vEU\Y:<+eJ;5R-6-'03+UI Xþ4u® ]N ÿ N ] q Dv qÎv$U:<JJ;:¶>2X03G GH58CZ03MP-658J;VhjÝB':<G -'/U5j´ML79-?-'/1MP-X-'/U5k5~E1MP-'0;:<+12 ]N ÿ N m N ±)ML+1C ]N ÿ N ¢± MPB'5g5~E10;PMLJ;58+A-}-6: -'/U5f2S03+UI<J;545~E1MP-'0;:<+ ]N ÿ N qsm N 8¶v@±D] ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1àH &à ! ?ýDæ Pæ'÷¶éåPúë m#þ6m?ÿ8R·R·R·86mc] ïPú'æ0l@y{ikj gphUi! j j_i j_ivu î ö ïPã1êfåPã#æ)å ö ésýDæhæRì î ÎïPø3æ9ãNé ë²éï<éªæ9çTæ9ãZésëFå ö ú6åèDåPë î é î åPã ý~åLøûùÎë J;58MPBSJ;VL=UM +U5879582S2'MPB'Ve79:<+1C10;-'03:<+jÝ:LB0Zg°¢xL5879-6:LBS2h03+©T-6:TK#5gM |+U58J;V|0+1CU5R\Y58+1CU58+A-$02}-'/1MP-0Z {] W)ÁihÊ'h%'Â{"!Êh(FÂ{ÃÁn #À"!(FÄ ÇÃkÀ#¾HÊ6 #À *,+_-'/1032x7/1MP\1-65RB8=X>@5TML2S2'E1GH5H-'/1MP-w"!CU58+U:L-6582fML+$#1ªC103GH58+Z2'0;:<+1MLJXL5879-6:LB6ª26\ZML795i58+1CU:>@58CQ>0;-'/_M©+U:LBG %'&(% ] ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zàߢâlëRæ)RìZæ9ãN÷²æ 8m ] £iî ë4ë9ï î ùéå÷SåPã Pæ9ú æwéåïgèDå î ãZé m î ö!J303G]+*-, % m ] ®_m % ¢± ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zàáâ ö ìDãN÷¶é î åPã$. 0/!(21 ü
ýUæ9ú'æ /43 } ïPã#ù 153 ü î ë4ë9ï î ùiéåeíSæn÷SåPãNé î ã1ì1åPì~ënïLé ïfèDå î ãZé m_o$/µî ökö åPúnïPã1ê|ëRæ)RìZæ9ã#÷æ 8m ] £wa6/ ÷SåPã Pæ9ú Lî ã éå m ü@ésýDænë8æRìZæRãN÷æ . qsm ] vS£wa71 ÷SåLã PæRú æ²ë éå8. qsmYv 9 ö . î ëf÷åPãZé î ã1ì1åPì~ëwïLé}æ PæRúêxèDå î ãZé}å ö9/ ü$ésýDæ9ã:. î ëxë9ï î ùiéåeíSæFï÷SåLãZé î ãZìUåLìAënçHï²è Õ¶Ô <Ö PÒ ¶Ò~Ð 4* ÎÞZókÞNð¶ÛÝÜÛsÞNÚußZà?àH ( Pæ9ú²ê|ï" ãYænçHï²èE& }( ºî ëf÷SåPãZé î ã1ì1åPì~ë ; ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zà ! ?ýDænõ sÞZð¶ña ÎØ¡å ö ï§ëRæ8é da ü4ùæ9ãNå<éªæ'ùQí9ê 7RJ. ü î ë ésýDæTëRæ8é)å ö ïLøÝø{ø î ç î é{èUå î ãNésëiå ö ëRæ)RìZæ9ã#÷æ²ë î ã üOåPú4æRì î ÎïPø3æ9ãNé´øê )mWo©7RJ. î ö ü
ïPãNùFåPã1ø ê î ö üXésýDæ9ú'ægæ[- î ë²ésë)ïfëRæ)RìZæ9ãN÷²æ 8m ] £na ÷SåPã Læ9ú Lî ã éå m ø3æ'ïPú²ø êü a 7RJ. 9 ö ésýDæ²ë8æwéDå|ëRæRésënï ú'æSæ²ü î ë4ë9ï î ùéåeíSæo gRq Jj. 6GH:LBS5IL58+U5RBSMLJ#CU5RZ+Z0;-'0;:<+F-'/1ML+|-'/U5:<+15I<0;L58+|MPK#:L5h02k-'/1MP-@:Lj&-'/U5)7RJ;:<2SEUB'5!:LjzMn265R- Q>0;-'/HBS5826\Y5879- -6:|ML+1:L-'/U5RB265R-79:<+A-'ML03+10+UI $] ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zà%$ zåPú <î Læ9ã ë8æRésë a / a ünésýDæEo gRq m j q hUu m j jzo uHéå / üFùæ9ãNå<éªæ'ù7RJ ü î ëxésýUæfëRæRé$ùæDMã#æ'ùeïÎë 7RJ 7RJ V / ü$åLúwæ8ì î ÎïLø;æRãZé´øê )$m[o©7RJ î ö ü@ïLãNùåPã1ø ê î ö ü m[o$/ ïPãNù ésýDæRú6æ æ[- î ë²ésënïTëRæ)RìZæ9ã#÷æ 8m ] £na ÷SåLã PæRú <î ã éå m ø;æSïPú²øêÎü a 7RJ 9 ö ésýDæ²ë8æwéDå|ëRæ8ésënï ú'æSæ9ü î ëë9ï î ùéåeíSæo gRq Jj h\u m j jzo_uLu.q / J;58MPBSJ;VL=P0;-?js:<J3J;:>2zjsB':<Gd-'/U5MPK#:L5$C15RZ+10;-'0;:<+g-'/1MP-O7RJ Q7RJ ©>)/U58+U5RL5RB /ä¢ ]§:LB'5$IL58+U5RBSMLJ3J3VL= >$5f/1M8L5n-'/U5xjs:<J3J;:¶>)03+UIFB'582'E1J3-R] "LÌ F ÖYÏ 9ËLÌ DÖ Ð Ø ÎõÛsð8Øyß1à ?à +zåLú Lî PæRã§ë8æRésë ya6/¬a ükëSýDåT¢ésý~ïLé î ö9/ î ëf÷Rø;åÎëRæSùÎü$ésýUæ9ã 7RJ p7RJ# /U54jÝ:<J3J3:¶>03+1Iwj´ML79-'2MPKY:<EU--'/U5gMPKY:¶L5n+1:L-'0;:<+:Lj{7RJ;:<2'EUB'5g7RML+©K#5x582'-'MPKZJ3032'/158C&] Ô F Ï,Ö <Ð9Ò F Ì 4* ÎÞZókÞNð¶ÛÝÜÛsÞNÚußZà?à65 x ýDåT¢ésýDæ ö åLøÝø;åT î ã ë²éï<éªæ9çTæ9ãZésë ) ï î ö ya / a /³a ü@ésýUæ9ã 7RJ a¹7RJ /*? í8 î ö N a / N a zX ü0Y ³PR·R·R·¶[Z üwésýDæ9ã 7RJ Fq Oÿf¹·R·R·
]LvHä7RJ ^ Oÿf¹·R·R·Xp7RJ ` ] ü
ýDæ9ú'æ/ /ÿ.·R·R·#$/ ] ? ÷" î ö a / a¢ ïPãNù . / ( 1ba¢ î ëFïe÷SåLãZé î ãZìUåLìAëFç ïèZü!ésýDæRã . q´7RJ kv)a7RJ . q v ? î ö ü î ã ï<ù<ù î é î åLãUü$ésýDæfë8æRé . q´7RJ v4î ën÷Rø;åÎëRæSù î ésýeú'æ²ëè1æ'÷8é}éå 1 üésýDæ9ã_ésýDæ9ëRæwéDå|ë8æRésënïPú'æHæ8ìUïLø ? ù î ö / a61a ïPãNù . / a (21 î ëgïT÷åPãZé î ã1ì1åPì~ëxçHï²èZüésýDæ9ã .aC ÿ q´7RJ / v 7RJ .aC ÿ q / v ? î ã èDïPú9é î ÷8ì~ø;ïPúü î ö / î ën÷8øûåÎë8æ'ù, î ésý©ú6æ9ëèUæS÷8ééå 1 ü@ésýUæ9ã:. C ÿ q / vxî ën÷Rø;åÎëRæSù î ésýeú'æ²ëªèUæ'÷¶é}éå / ? æ8 î ö) nNÑ£PN6QzSHî ë4÷åPøÝø3æ'÷¶é î åLã.å ö ë²ì1í9ëRæ8ésëxå ö /³a ü
ésýDæRãpV NRQTSY7RJ N 7RJ q V N6QzS# Nv ? î ãHèDïPú9é î ÷RìDøûïLúSü î ö ésýDæfëRæ8ésë N ü Y oBK ü$ïLú6æF÷8øûåÎë8æ'ù î ésý©ú6æ9ëèUæS÷8ééå / ü@ésýUæ9ãV N6QzS N î ën÷Rø;åÎë8æ'ù î ésýú'æ²ëªèUæ'÷¶ééå / ? ö î ö nNha / a ü Y PR·R·R·[Z ühésýDæRã ]N ÿ 7RJ nN7RJ q ]N ÿ nNv ? î ã§èDïPú9é î ÷8ì~ø;ïPúü î ö ésýDæTë8æRésë nN ü Y uPR·R·R·¶[Z üïPú6æ ÷Rø;åÎëRæSù î ésýeú'æ²ëè1æ'÷8ééå / üésýDæ9ã ]N ÿ N î ëf÷Rø;åÎëRæSù î ésý©ú'æ²ëªèUæ'÷¶é$éå / ^_5:LKZ265RB'L5!-'/ZMP-k-'/1MP-{58ML7S/|:<+U5}:LjY-'/U5!MPKY:¶L5)26-'MP-658GH58+A-'2B'58CZE179582{-6:fMg2'-'MP-658GH58+-$MPKY:<EU-{-'/U5,\ZEUBS5 7RJ;:<2'E1B'5g2'03GH\NJ;V K~V|-'M <D03+UI/r¢ = 1u :LB/ N ¢ TX js:LB!5RL5RB'V Y uPR·R·R·[Z#] /U5x7RJ;:<2'EUB'5x:Lj{M 2'5R-!7RML+§MLJ326:HKY5x:LK1-'ML0+U58CeK~V|-'/U5fjÝ:<J3J3:¶>03+1Iw:<E1-65RB79:<+126-6BSEZ79-'0;:<+&] Ö 4* ÎÞZókÞNð¶ÛÝÜÛsÞNÚußZà?àHG XæRé a /a íæ Lî PæRã 2x ý~åT ésý~ï<é 7RJ éå î ëwésýDæFëç ïPøsø;æ9ë²é}ë8æRé!÷8øûåÎë8æ'ùB î ésýú'æ²ëè1æ'÷8énéå / ÷åPãZéï î ã î ã ü î æ )T7RJ u V z<¬a / < Oc<bî ën÷8øûåÎë8æ'ù î ésýeú6æ9ëèUæS÷8ééå /£ 9ãèDïPú9é î ÷RìDøûïLúSü î ö ésýUæfëRæRé <Ça6/ î ëf÷Rø;åÎë8æ'ù î ésý©ú6æ9ëèUæS÷8é / ïPãNù÷SåLãZéï î ãUë üésýUæ9ã < 7RJ ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zàHfzåPú©ï[ë8æRé / a ïLãNùï|èUå î ãNé m o / ü a5/ î ëi÷ïPøÝø3æ'ùpï ikj h s@qnm q q ¡å öm.o© î ésýeú'æ²ëªèUæ'÷¶é$éå /î ö ésýDæRú6æHæ[- î ë²ésë! #" ± ëì1÷9ý©ésý~ïLé A$|qsm&% v V /³a ' J;58MPBSJ;VL=
K~VCU5RZ+103-'0;:<+&=
ML+V2'5R- :Lj!-'/U5jÝ:LBG A$iqsm&% v V / 032wMW+U5803I</KY:LBS/U:~:DCQ:Lj!m >03-'/B'5826\Y5879-!-6: /] ^_5g+1:L-65x-'/1MP-R=Z2'03+Z795h+U:LBG 2}CU5RZ+U58Ci:L5RB)MFZ+103-65hC10GH58+12'0;:<+ZMLJ1L5879-6:LB)2'\ZML795gMPB'5gMLJ3JY5~E10;PMLJ;58+A-R=~-'/15 MPKY:¶L5wCU5RZ+10;-'03:<+iC1:A582!+1:L-CU5R\Y58+1Ci:<+©-'/U5g+1:LBSGE12658Ce0+-'/U5fCU5RZ+Z0;-'0;:<+i:Lj A$Tqsm % v] ×eØAÙ
ÚOÛÝÜÛsÞNÚß1à zàße ?åPúeëRæ8ésë a / a üwïeèDå î ãZé mo / î ëë9ï î ùpéåíæ[ïPã hUivu.j_m~h8qnm qnh\ivu|q h\u m j jzo_u u.q / î ö ésýDæ9ú'æeæ.- î ë9ésëHë9åPçTæiãYæ î ýDíSåPúSýDå8å8ù FqsmYv å ögm î ésýQú6æ9ëèUæS÷8é4éå / ëì1÷9ýQésý~ïLé wqsm&va ?ýUæ4ë8æRéå ö ïLøÝøYë²ìU÷RýgèDå î ãZésë î ë4ú6æ ö æRúú'æ'ùiéåiïÎëgésýDæLh\ivu.j_m_hUqnmEq h\u m@j j@o uu.q / ïPãNùî ë|ùæ9ãNå<éªæ'ùíRê 03+A- ?ýDæBs@q wi! lnm0yå ö&