Les mathématiques appliquées (cours,details exercices pratiques), Study notes of Applied Mathematics

Download Les mathématiques appliquées (cours,details exercices pratiques) and more Study notes Applied Mathematics in PDF only on Docsity! COURS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES Classe 1A, coef :2 COURS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES Plan du cours Introduction ➢ Transformation de laplace ➢ Produit scalaire ➢ Fonctions de 2 ou 3 variables numériques ➢ Equations différentielles. ➢ Intégrales multiples INTRODUCTION Les mathématiques appliquées sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'application du savoir mathématique aux autres domaines. Ainsi la compréhension d’un phénomène qui se régit dans le temps ou l’espace, nécessite l’élaboration d’un modèle mathématique qui se traduit le plus souvent par des équations différentielles. Comme domaine d’application, on peut citer : Mathématiques financières Traitement de l’information et du signal (ELEC), Génie biomédical, Cryptographie and information Security (ELEC/INFO), Statistique, Modélisation et simulation des phénomènes physiques etc. L’objectif de ce présent cours est de mettre en œuvre de façon efficace les outils mathématiques tels que : Les transformations de Laplace, Les produits scalaires dans R^n, les fonctions de deux ou trois variables numériques, et les équations différentielles. I. TRANSFORMEES DE LAPLACE En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale, c’est-a-dire une opération associant 4 une fonction continue f (a valeurs dans R” ou dans C") une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de f, notée traditionnellement F, via une intégrale. En physique, ce type de fonction f est appelé fonction causale et la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine du temps t au domaine des fréquences p (complexes). 1. Définition de fonction causale Une fonction causale est une fonction s : t—9s (t) telle que si t <0 alors:s(t)=0. La fonction causale la plus utilisée est la fonction é@chelon-unité ou fonction de Heaviside notée % définie par Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par f(t) = g(t)&%(t) est une fonction causale. Soit f la fonction définie par f(t) = sint.%(t). f est une fonction causale dont voici la courbe représentative ae . SS _| eee Pp} La fonction rampe-unité est la fonction t +> tw (t). |  Ces deux résultats n'ont de sens que si les limites existent. On verra par la suite qu'elles sont liées à des conditions sur la fonction F(p). c) Quelques exemples de transformées de Laplace des fonctions causales La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p> Oetona 1 O(Mw == [w(t)l(p) = Démonstration =: ° J. uw (tjePt dt = J e-rtat = [- ter ] = 2 (e-r™ +1): jo lo P P 7 _ gees 22 1 © Or p étant strictement positif : lim F(—e—P™* +1) = 5. +00 1 @ On a done 2 (Y(t)](p) = J. e-P'a(t)dt = = o La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p>Oetona 1 Litw (ti (p) = > Pp Démonstration : @ Wi s'ogit de catcuter £ oP b(t) dt soit c te—Ptae © on ete an tention pr prin ne {Ee pen * @ OF tim Hey © ons done e104 (e)ip) = fg~ tent (aye — Sp La transformée de Laplace de la fonction t+ t" W(t) pourn EN est définie pour p > 0 et ona ni L(t" W(t) (p) = pear La transformée de Laplace de la fonction t+> e~°'Y(t) est définie pour p > a et ona —atg se Cle“ "ew (tl (p) = Seo  Soit w € R, la transformée de Laplace de la fonction tr> sin(wt)%(t) existe et on a [sin(wt)% (t)}(p) = OS p? + w2 Soit w <€ R, la transformée de Laplace de la fonction t+ cos(wt)%(t) existe et on a ZL {[cos(wt)% (t)l(p) = ——— p? +a 4. Tables des transformées usuelles Tableau Fonction Fonction de Dirac (impulsion) Echelon unite Rampe Décroissance exponentieile Domaine tempore! Transformée de Laplace ft) = 2p) Fp) = Liste) Seat 4(t) 1 u(t) TH t-u(t) e™ u(t) = a  Remarque : La transformée inverse d'une somme de fonctions dans le domaine de Laplace est égale à la somme des transformées inverses. MAIS La transformée inverse d'un produit de fonctions dans le domaine de Laplace n'est pas égale au produit des transformées inverses. Il faut utiliser une décomposition en éléments simples pour transformer le produit en somme. Dans le cas où la fonction est trop complexe pour être identifiée directement à une transformée usuelle, il est nécessaire de réaliser une décomposition en éléments simples de la fonction, chacun de ces éléments étant alors identifiés à une transformée usuelle. On utilise ensuite la propriété de superposition : 6. Application de la méthode de Laplace à la résolution d'une équation différentielle simple On transforme cette équation dans le domaine de Laplace grace au théoréme de la dérivée premiére : du(t [ . )) = p. V(p) — (0°) = p. V(p) 1 et a la transformée connue de u(t) : L{u(t)} = — Pp 1 Ce qui donne l'équation symbolique suivante : p. V(p) = g. — s On résout cette équation dans le domaine symbolique : V(p) = 1 On réalise la transformation inverse en sachant que = est la transformée de t. u(t) : P v(t) = g.t.u(t) qui est la solution de I'équation dans le domaine temporel. EXERCICE Enoncé ¥ Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : 1. (2t? — 1)U(t) 2. (et — cos(Ft)e”) U(t) 3. teU(t) 4. cos*(t)e'U(t). Indication ¥ . Utiliser la linéarité et le formulaire. 1 2. Utiliser le formulaire et la formule de multiplication par e® 3. Proceder comme a la question precedente. 4. v . Linéariser cos? x. Corrigé 1. D'aprés la linéarité de la transformée de Laplace et le formulaire, ona = arte _ agua _t_S_i L(f)(p) = 2L(€U())(P) — LU) () = 2 x i 2. On utilise encore la linéarité. On a d'une part L(eu(t)) = a D'autre part, pour la rechercher de £ (e* cos(}t)), on utilise d'une part le formulaire pour remarquer que 2 £ (cm(5¢)) =—? 7 E p+é L(e*tf)(p) = F(p — a) On utilise ensuite la formule ot F = £(f). On en déduit que L (e*cos( +) ) = a 3 (p—2)P +5 3. On procéde comme a la question précédente, en commengant par remarquer que L(tt(e)) = =. De la formule de multiplication par e*, on déduit que 1 (p—4)?” 4. On commence par linéariser cos? z. Pour cela, on remarque que ix iz \ 3 cos* (a) = (=) L(te“U(t)) = ee - j . = gen + 3e” + 3e* +e 8) 1 3 cS qoos3z) + 0032). On en déduit que P 3 Pp L(cos?(t)) = = ( () = 4 iF +9 i 4ptl Raisonnant comme a la question précédente, on déduit finalement que 1 1 3 1 £(cos*(t)e") = "= a 2-1? +9 4(p-1P 41 -orrige ¥ 1. On décompose la fraction en éléments simples, ie on cherche a et b tels que 1 a + b (p+1)(p—2) pti’ p-2 On trouve a = —1/3 et b = 1/3. Il vient que l'original recherché est -1 1 ze ul (+ ze Ut). 2. Posons G(p) = oe et F(p) = zh Alors G’(p) = F(p). Or, loriginal de G est la fonction e*U(t). Done, par la formule de multiplication par t, on en déduit que loriginal de F est la fonction —te*U(t). 3. Le dénominateur se factorise en (p + 4)(p — 1). On décompose Ia fraction en éléments simples en lécrivant sous la forme a b (a + b)p + (4b— a) eo p+4 p-1 p—3p+4 Par identification, on a le systéme a+b = 5 —a+4b = 10 qui donne facilement a = 2 et b = 3. Ainsi, la fonction est 2 + 3 p+4 p-t Loriginal recherché est la fonction 2e “U(t) + 3e'U(t). 4. Le discriminant du trinéme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n'admet pas de racines. On le met sous forme canonique en écrivant Pt Pat p?—14p+50 (p—7)?+1° original de la fonction eae est la fonction cos tl4(t). Tenant compte de la formule de multiplication par e, l'original recherche est cos te"U(t). 5. Le discriminant du trindme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n‘admet pas de racines, On le met sous forme canonique en écrivant P _ P pP—6p+13 (p—3)?+4 _ p-3 ie 3 ~ (p—3 +2 (p—3)2 +2? Se ee (p—3P +2? 2° (p—3)? +2?” En raisonnant comme a la question précédente, on trouve que original recherché est la fonction cos(2t)e"U(t) + Ssin(2je"U(t). 6. Voriginal de > Fag est la fonction e-*U/(t). Pour trouver original de la fonction £ — on utilise le théoréme du ated et on trouve que original est e u(t — 2). tnonce ¥ Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : 1. (2t? — 1)U(t) 2. (et — cos(2t)e™) U(t) 3. te*U(t) nadication © 1. Utiliser la linéarité et le formulaire. 2. Utiliser le formulaire et la formule de multiplication par e®. 3. Procéeder comme a la question précédente. tornge ¥ 1. D'aprés la linéarité de la transformée de Laplace et le formulaire, on a wis 2, = See ee L£(f)(p) = 2L(0U(t))(p) — L(U(t))(p) = 2 Zope 2. On utilise encore ta linéarité. On a d'une part L(etU(t)) = =e D’autre part, pour la rechercher de £ (e* cos(}t)), on utilise d'une part le formulaire pour remarquer que £ (om(2+)) - 324 P+% L(e"tf)(p) = F(p — a) c (o coe(§ ‘)) = ont Finalement, la transformée de Laplace recherché est la fonction 1 p—2 P-1 @=2) +5 3. On procéde comme a la question précédente, en commengant par remarquer que i On utilise ensuite la formule ot F' = £(f). On en déduit que L(tuU(t)) = De la formule de multiplication par e®t, on déduit que L(te“U(t)) = ear Il. Produit scalaire dans R‘n 1) Produit scalaire, bases orthogonales, orthonormales, problèmes de distances i. Produit scalaire dans R^n et C^n ➢ Dans R^n Remarque : Reponse : 1. Pour la forme ®,, la linéarité 4 gauche se montre par le calcul suivant (Apr) + Agra, y) = 7-(Arri + Agre)y = Ar (merry) + A2(m-ray) = ArP(w1, y) + A2P(x2,y) 5 pour tout Ai, A2, 71,72, y € R, et la linéarité 4 droite se montre par le calcul suivant B(x, ayn + Haye) = 7-c(Wayn + Haye) = Ha (ary) + Ha(m-ry2) = pr B(x, yr) + H2®(x, y2) . pour tout 11, (2,7, 41,y2 ER. Pour la forme ‘2, la linéarité 4 gauche se montre par le calcul suivant @(A(x1, 22) + (24,72); (ya, yo) = @((Ari + X’24, Ave + Y'x9), (ys, y2)) = m.(Ary + N'x)yr + 2.(Axy + Nr} yo — (Avg + A'x5)y1 + 3.(Ar2 + N'x})yo =A(m-riys + 2.01y2 — Loy + 3.22y2) +N (01 y1 + 2.0} yo — Thy + 3.rhy2) = A@((r1, 22); (yi, ye) + NO (71,72), (yi, ¥2)) » pour tout A, \’ € R et tout (x1, 72), (74,74), (y1,y2) € R?, et la linéarité 4 droite se montre par le calcul (21,22), w(yr,y2) +H (yt, ¥>)) = @((e1, 22), (Myr + Hy, My? + HYD) = wry (yy + Hy) + 2.01 (ye + u'y2) — x2(uyr + H'yh) + 3.2(uy2 + n'y) = wm tiyh + 201 y2 — Tayi + 3.r2y2) + pl! (mriy), + 2rryh — ray + 3.22y)) = pb ((x1, 72), (yi, y2)) +o’ ((x1, 22), (yi.¥)) » pour tout yu,’ € R et tout (21,2). (yr, 42); (yi) € R?. Exercice 67 (Produit scalaire sur les matrices). — On travaille dans l'espace vectoriel Mo(R) formé des matrices de taille 2 x 2. On considére Vapplication (,) = Ma(R) x Mo(R) > R (A,B) ++ (A,B) :=tr(AB) . 1. Montrer qu'il s’agit d'une forme bilinéaire. 2. Montrer qu’il s’agit d'un produit scalaire sur Mo(R). 3. Décrire la norme associée au produit scalaire (, ). CORRECTION. — 1. On commence par montrer la linéarité 4 gauche. Soient A;, A» € RB et Ai, Az, B © Mo(R). La linéarité de la transposée et de la trace impliquent (AiA1 + A2A2, B)| = tr (Ar Ar + A2A2)B) = tr (Ar ‘Ar + A2"A2)B) = tr (A "A B + Ag'A2B) Aitr(“ArB) + Agte(*A2B) =| Ay (Ar, B) + Az (Aa, B) | - La linéarité 4 droite se montre de la méme maniére. Soient j1;, 42 € R et A, By, By © M2(R). La linéarité de la trace implique (A, 41 By + H2B2)| = tr (‘A(1 By + 2 B2)) = tr (u1'AB, + pa‘AB2) = pate("AB,) + patr(‘ABy) = [yy (A, By) + p12 (A, Ba) J. Done, la forme (, ) est une forme bilinéaire. 2. Il s'agit de montrer que la forme bilinéaire ( , ) est symétrique, définie et positive. ‘© symétrique : Rappelons que la trace est invariante par transposition, c'est-a-dire tr‘ M = tr M et que la transposée d'un produit de matrices est égale au produit, dans le sens inverse, des transposées des matrices, c’est-a-dire {J N) = ‘N 'M. De ces deux propriétés, on déduit la symétrie de la forme bilinéaire ( , ) de la maniére suivante (B, A) |= tr(‘BA) = tr ('('B.A)) = te(‘A('B)) = tr(*4B) =[(4,B)]. © positive : Soit A€ M2(R) une matrice carrée de taille 2 x 2; elle s'écrit a b a=(2 4); a*+c ab+cd\ _ ab+ed +d?) ~ On en déduit @4+P4+274+d0 20). (A.A) ] = tr(*4A) = tr ( © définie : Le calcul précédent montre que si une matrice A est telle que (A, A) = 0, cela signifie que a? + b? + c? + d? =0. Donc tous ses coefficients sont nuls et A = 0. Au final, cela montre que la forme bilinéaire (. ) est un produit scalaire. 3. La norme associée au produit scalaire (, ) est définie par la formule WAll= MA, A) = Va? +P +A 4a], si on note les coefficients de la matrice A par A = ( rt ii. Orthogonalité, base orthonormale Lr Soit (E,< -,- >) un espace vectoriel euclidien. 1) Soit (x,y) € E? ; on dit que x est orthogonal a y, et on note x_Ly, si et seulement si: <x,y>=0. 2) Soient x € E, A € P(E) ; on dit que x est orthogonal a A, et on note x LA, si et seulement si: Va € A, <x,a>=0., 3) Pour toute partie A de E, on définit l'orthogonal de A, noté A+: A+ = (x € E; Vae A, <x,a > =0)}. 4) Une famille (x;)j¢, d'’éléments de E est dite orthogonale si et seulement si : ViAjeEr, G#I—> <x; >=0). 5) Une famille (x;)j¢7 d'éléments de E est dite orthonormale si et seulement si : (xj )iex est orthogonale vied, |full= 1. \ / Proposition 1 ~ Soit (E,< -,- >) un eve. 1) Pour toute partie A de E , A+ est un sev de E. 2) V(A,B) € (P(E))?, (A C B => At dD B+). 3)VA€ P(E), A+ = (Vect (A))*. 4) Pour tout sev F de E: F @ F+ = E, et donc : dim(F+) = dim (E£) — dim(F). 5)VA € P(E), At+ = Vect (A). 6) E+ = {0} et (0) = E. 7)WA € P(E), AN A+ Cc (0). 8) Pour tous sev F,G de E: (F+G) = F+tnGt et (FENG) =Ft4+G". Proposition 2 Soient (E,< -,- >) un eve, (x; )je7 une famille dans E. , (i )ier est orthogonale Viel,x; #0 , alors (xj)je7 est libre. eel rer tit ili ie | Théoréme de Pythagore Soient (E,< -,- >) un eve, (x,y) € E?. Ona: x Ly > [lx + yll? = lel? + Ly? <> Ile — yl? = Ne? + Il? IL.2 Définition Dans le cas o8 A et B ne sont pas colinéaires, An B est perpendiculaire au plan défini par les vecteurs A et B: ANBid ot ANBLB e An B est orienté de telle sorte que le triédre (4, B, AA B) est un triédre direct. e La norme de Aa B vérifie An Bl = All| sin a Ii.3 Propriétés e AA B=Ossi A et B sont colinéaires (B = kA, k € R). ) e AN(B+EC) =ANB+AAG e ANAB=-BAA e AAAB=XNAAN Considérons la base orthonormée directe (i,, dy, 7:). On a la relation : a, At, = ti, et par permutation circulaire (x + y 4 z > x) i, Ad, =u, a, Ad, = ti, On peut reprendre les mémes relations pour les BON directes cylindriques (i,, ii, i.) et sphériques (i,, tig, 7). 11.5 Expression en fonction des coordonnées Soient deux vecteurs V; et Vv, de composantes respectives (x, %.21) et (2, yo. 22) sur une méme base orthonormée directe (i, ii,. ii). Les composantes de V, AV; sur cette méme base (i,, i,,d,) se calculent comme suit : ba nm A a ViAv2= = 2 272 — 222 72 | 22 — 2192 T1Y2 — "iT2  ➢ Double produit vectoriel III. Fonctions de 2 ou 3 variables numériques 1) Définitions Fonction de deux variables Une fonction f, définie sur une partie D de R? et a valeurs réelles, fait correspondre a tout vecteur X de D un réel unique f (X). X se note (x,y) ou (x1,x2). L'ensemble des points de R° : S={(x.y.fQx.y)) + Cy) € D} est la surface représentative de f ; c'est l'analogue de la courbe représentative d'une fonction d'une variable. Fonctions partielles Soit f une fonction de D C R? dans R et A = (a),a>) un point intérieur de D. Les fonctions : xi f(x%1,a2) et mb f(a),x2) définies sur un intervalle ouvert contenant respectivement a; et a2, sont appelées les fonctions partielles associées a f au point A. Lignes de niveau Soitk € R ; l'ensemble {(x,y)€ D ; f(x,y) =k} est la courbe de niveau k de la fonction f. 2) Limite et continuité Limite en un point Soit D une partie de R? sans point isolé, A un point adhérent a D, et f une fonction a valeurs réelles dont le domaine de définition est D, privé éventuellement de A. On dit que fa pour limite / au point A si : Ve>0 ar >0 (XED et ||X—-—All <r) = |f(X)-I <e. L'existence et la valeur éventuelle de la limite sont indépendantes de la norme choisie dans R?. On dit que les normes de R? sont équivalentes. Lorsqu’elle existe, la limite est unique. Continuité Soit f une fonction de D C R? dans R. On dit que fest continue en A € D si f pos- séde en A une limite égale 4 f(A). Si f est continue en chaque élément de D, on dit que f est continue sur D. Opérations algébriques Comme pour les fonctions d'une variable, la somme, le produit, le quotient (lorsque le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues sont continus. * Définition Si les fonctions dérivées partielles admettent elles-mémes des dérivées partielles en (x0.Yo), ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées par- tielles d'ordre 2, de fen (xo, yo). On les note : er a (af . rer a (af x2 (x0, Yo) = H(Z)co.v) - yr wo) a (FZ) co.v) ; ar 8 far | PF _) 8 (af , Bray 0) = = (F) eo Dyax (Xo, Yo) = a(x (X0.Yo)- Les dérivées partielles d'ordre supérieur 4 2 se définissent par récurrence de fagon analogue. Rappel : Théoréme Soit f une fonction a valeurs réelles définie sur une partie ouverte 9 de &*. Soit (xo, yo) € # un point en lequel f est dérivable. Elle est différentiable en (x, yp) ssi S20 + he yo + 8) ~ x0, yo) ~ hs f Xa. Yo) ~ kOy x0. Yo) _ 9 th k}=(0.0) +k — Définition Masrice Hessienne Soit la fonction f: 9 CR? — Roi est un ouvert de R*, La matrice Hessienne de f en (xp, Yo) est la matrice de taille 2 «2 dont les entrées sont les dérivées partielles secondes : Acs f(X0,Yo) Ixy f(x Yo) yx f(X0,Yo) Dy f (Xo, Yo)” Son déterminant est le réel AHy (Xo, Yo) = Axx f (Xo, Yo)Oyy f (X0, Yo) — Oxy f (Xo, Yo)O yx f (Xo, Yo). Hy(Xo, Yo) = * Fonction de classe C* Si les fonctions dérivées partielles d'ordre k sont continues sur D, on dit que f est de classe C* sur D. Si les dérivées partielles de tous ordres existent, f est dite de classe C* sur D. * Théoréme de Schwarz 2 a2 Si au moins une des dérivées partielles axdy et dyax est continue en (x9, yo), alors : a a (x0. Yo) = (x0, Yo) - axdy dyax Application Soit fla fonction définie sur R? par : a f(x,y) = ois si (ay) # 0.0) £(0,0) =0 Montrez que f admet des dérivées partielles secondes en tout point. = ~ Que pouvez-vous déduire du calcul de ——=— ray OF aeaz (0:0) 2 Si l'on considére un point Mo distinct de l'origine, il existe une boule de centre Mp dans laquelle fest donnée seulement par la premiére expression. Comme il s'agit d'une com- posée de fonctions dérivables autant de fois que l'on veut, f admet des dérivées par- tielles secondes en My. Dans tout voisinage de (0,0), les deux expressions de f interviennent et on doit reve- nir aux définitions : (0,0) = tim FEO LO) «9; £0,0) = tim LO LOM x0 x ay yoo y =0 On va avoir aussi besoin du calcul pour (x,y) # (0,0) : af xt+4r?y?-yt af x4 —4x7y? — y4 ox) = I—@aype +yp ; aye = *—Gayy + On en déduit : af af 2 —(x,0) — —(0,0) a x-0 110.0) = tim oy BY tim et ait x x0 a a, ay Soy) - Soo y-0 — (0,0) = lim 2 és = lim =-1 dyax yO y yoo Oy af ae Comme Pray or) # Dax 0» le théor¢me de Schwarz permet de conclure que ey et arf Oxdy dydx les dérivées secondes ne sont pas continues en (0,0). Exercice d’application :  d. Calcul d’erreurs ➢ Pour les fonctions à une variable ➢ Pour des fonctions en plusieurs variables Exercice : Théoréme dé a la linéarité Toute solution de (1) est de la forme xp + xs ot xp est une solution particuliére de (1) et xs la solution générale de |'équation homogéne associée : a(t) x'(t) + b(t) x(t) =0 (2) On est donc conduit 4 deux problémes : rechercher la solution générale xs de I'équation homogéne, puis une solution particulitre xp de l'équation complete. Résolution de I'équation homogéne associée C'est une équation a variables séparables. Ses solutions sont du type : t xs(t)= Ke4 od A(t) =f a(u) du fo avec K constante arbitraire et fo élément quelconque de /. Elles comportent donc la fonction nulle et des fonctions qui ne s'annulent jamais. Recherche d'une solution particuliére (méthode de Lagrange) x, étant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire incon- nue K(t) telle que x(t) = K(t) x,(t) soit solution de (1). On calcule x’(t) ; on reporte x’(t) et x(t) dans (1). On observe que K (t) disparait, ce qui fournit une auto-vérification. Il reste K’(t), ce qui permet de calculer K (t) puis x(t). Vous avez le choix entre deux variantes (équivalentes : ne faites pas les deux) : —chercher tous les K (t) avec une constante d'intégration (n'oubliez pas de repor- ter dans x(r)), —chercher un K (t), reporter dans x(t) et additionner avec x(t). Cette méthode s'appelle aussi la méthode de variation de la constante. Ce mot curieux (une constante qui varie !) vient du fait qu'on remplace la constante K obtenue en résol- vant I'équation homogéne par une fonction K(t). Application Résolvez l'équation différentielle : (t+ 1) x(t) +x) = (t+ 1) sint 6) sur des intervalles a préciser. Solution L'équation différentielle (1) est linéaire du premier ordre. On la résout sur un intervalle ou le coefficient de x’ n'est pas nul, soit sur J; =] — 00,—1[ ou sur /, =] — 1,400. Sur chaque intervalle /; ou J), I'équation s'écrit : (+ Dx O +20 =[0+ DxO] = C+D sine. On a donc : (+x = fot D sine ar. En intégrant par parties, on obtient (attention, la constante dépend de I'intervalle) sur chaque intervalle : [+ nsinra=-0+1 cost+ sint+K. La solution générale de (1) sur /;, ou sur J, est donc : ()= j K + sint veo KER x(t) = —cost+ +1 avec eR. Application 1. Résolvez |'équation différentielle : 2x+1 (x) — = 1). xy) yO) = SG () 2. Existe-t-il des solutions définies sur R ? Solution 1. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. On cherche sa solu- tion générale sur /; =] — 00,0[ ou sur J, =]0,+00[. + Résolution de l'équation homogéne associée xy'(x) — y(x) =0 (2) y = 0 est solution et on sait que les autres solutions ne s'annulent pas sur /. On peut donc écrire : y@)_1 ya) x soit In|y(x)| = In|x| + C, ce qui conduit a la solution générale de (2) sur J : xt y(x)=Kx avec KER. ¢ Résolution de (1) par la méthode de variation de la constante Considérons une nouvelle fonction inconnue z telle que y(x) = z(x) x soit solution de (1). On calcule y’(x) = z'(x) x + z(x), on reporte dans (1) et on obtient : 2x +1 zZ(x)= Gea | Pour pouvoir calculer z, décomposons la fraction rationnelle en éléments simples : ax+1l 1 g 2g tel xe(x24+1) x x x24] On en déduit : 1 2(x) = —— +2 In|x| — In (x? + 1) —arctanx + K. x La solution générale de (1) sur / est donc définie par : y(x) = —1 + 2x In[x| — x In(x? + 1) — xaretan x + Kx. 2. La fonction définie sur R avec un prolongement par continuité en 0 par : y(x) = —1 + 2xIn |x| — xIn (x? + 1) — x arctan x + Kix six <0 y(0) =-1 y(x) = -1 + 2xIn |x] —x In(x? +1) —x arctanx+K2ox six >0 sera un prolongement de solution de (1) si elle est dérivable en 0. Ona tim 2 =O) =, + tim2in.x = ~90 x0 a>0 Il n'existe donc aucune solution de (1) définie sur R. 3) Applications. V. Intégrales multiples, calcul de volumes, applications 1) Intégrale double d’une fonction continue sur un rectangle a. Somme de Riemann b. Propriétés de l’intégrale double c. Calcul de l’intégrale double d’une fonction continue Théorème de Fubini Exemple : Calculons 1 I= I —— dxdy [0,1]x[o,1]%¥ + ¥ + 1 En utilisant le théoréme de Fubini, on a: 1 1 1 1 ‘es gl we 4 -{ ( Sprit) tee [tinces yt 1)]odx 0 1 = I (In(x + 2) — In(x + 1))dx 0 = [(x + 2)In(x+ 2) —(x+ 2)]4—[(x+ 1)In(x+ 1) —(x+ 1)]3 = 3ln3 — 4ln2 Remarque : On appelle « mesure de A» ou «|’aire de A» le réel uA) = ih dxdy Calculons l’aire d’un disque D(O,R). Exemple : On sait que: D = {(x,y)eR?: xy? <.RP} = {(x,y)eR?: —R<x<R et — (R?=x? <y < /R?—x?} On a donc: Ry Rix R M(D) = I dxdy = ( ay) ax 2{ VR? —x?dx D fi —VR2=x? -R En utilisant le changement de variables: . < ee x= Rsint ou te[-5,5], on trouve:  Exemple : 3. Intégrales triples a. Intégrale triple d’une fonction continue sur un pavé On appelle pavé, toute partie de R*® de la forme: P= [a,b] x [c,d] x [e,f] De méme que I'intégrale double, |’intégrale triple a les propriétés de linéarité, croissance et de I’additivité par rapport au domaine. Grace au théoréme de Fubini, le calcul d’une intégrale triple peut se ramener a trois calculs d’intégrales simples. S @ est une fonction continue sur P, on a: b d f II (x,y,z) dxdydz = [U olxyv2)dz) dy dx P e a Exemple : Calculons : I = Mio ys2 Cos(x + y) dx dy dz Remarque : Une partie A est dite mesurable, si la fonction caractéristique xX, est intégrable sur A. On appelle mesure ou volume de A, le réel: u(A) = Il dxdydz Exemple : Calculons le volume du tétraédre A de sommets: O, P(a,0,0), Q(0,a,0) et R(0,0,a) a H(A) = I dxdydz = (f 4) «) dx 0 o 7 pa-x % y2 ane = (f (a=x~y)dy) dx = [ia-oy-% dx ° 0 0 0 & ‘ens 2 a = I ((a-0?-S5**)ax= 5 [ (a — x)#dx ‘0 3 Ma-29g= 5 Ol  b. Changement de variables en coordonnées cylindriques c. Changement de variables en coordonnées sphériques