Limites d'une fonction numérique, Study notes of Mathematics

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Liat gi gute fit fonction définie sur i* par f(x) = 3 rie le comportement de cette fonction pour les viateurs de x re intinie en —, [y_ [as [al [a8 aat | wer | i + loo oo fie" tee g state que plus x est proche de 0 plus f(x) prend de grandes On com! vyalesir3 phus précisément, en pent rendre f(x) aussi grand que l'on désire que ‘xsoit suffisamment proche de 0, on dit alors que f{<) pourra ee und x tend vers Oct om écrit: lim f(x) =+ o: teal vers #4) aig quand versa: Soit f une Sanction définic sur un ensemble £ et 2 un réel Dire qué la fonetion f 9 pour limite +0 en @ signifie que le réel f(x) devien aussi grund que lon veut és que x est sufMisamment proche dca, On nate tum fC) Sata jn definit de Ia méme Fagen + lim fiz) == Limite 8 gauc} On est parfois amené A séparer les cas? # <2 the , fa fonction F peut avoir en effet un comportement différent si:x < a@.0ux > @ On note alors : * lim Fix) = Jim f(=) (on parle alors de limite A gauche de a) xa Yip Foe) = Mim (1 (on parte alors de limite a droite de a) a ae = Ae In fonction fa pour Himite fen a signitie que le réel f(0) i lent aussi proche de Z que Mom veut dés que x est suffisamament rwchedt a eton note lim f(x) =! as dO (paris st négatif) prec! feos Tor [nas [Onn Damar pe ’ 1 YT fino 00 [it Pie? Remaraue: - 2 | Dire qu'une fonction f est définie au voisinage d'un Gement a signifie a quo: f est définie sur un ensemble de type: Ja— hat rt 18) -2 Définitions 1) Vinsiie (/imie pp wn nombre = Définition : soit ‘une fonction définie an voisinage de a ( cad sur am ensemble de type Ja— 1.4 + FL ~ fa} er] © Dire que f a pour limite |en w signifie + f(*) stapproche de! , aussi prés que !"on veut quitte & attribuer & x des ‘valeurs suffisament praches dea, on écrit lim f(x) = 1, autrement dit: on lim f(x) =1es (ve> OMGa> O) (Hx E D7) o<|x-al<a <3 [f(s -<e Exemple: f(x} = 20+ 3 pourtoutx& B Montrons et utilisant a définition que lim f(s) = 5 2) Limite 4 etroite . limite # gauche eft un Sambue st Définition 1: Snit f une fonction définke sur um intervalle de type Jaa+ rf (ou =) Dire que fu pour limite 1 draite en a signifie + (ve > 0)(3a > 0)(¥x & Dy) Q<x-acn= if) -ij<e On écrit: mF) =! ou lim tod =1 apa Définition 2 ; Soit f une fonetion définie sur wn intervalle de type: Ja=ra[foureD) Dire que f a pour limite) 4 guuche ona signific: (We > 0) > OMVe Ee Dy) Q<a—-xcaslf(z) —i<e Onéerit: Ig fG)=1 ow Umi(x) =1 xa Propriété ; Sait f une fonction définic au yoisinage d'un point 4 etleER Fim f(x) =1 + Him f(x) = 1 et tim f(x) =1 3) Limite infisie: La lignite 4-9 “Soit f une fonction définie au voisinage de a limit) =+= <> (VA> 0)Ga>0)VreP,) 0< jx-al<a =f) >A Autrement dit’: f(x) esi supérieur 4 tout réel A>0 , quitte.a atiribuer + des valeurs suffisament proches dea La fimite — ena: _Soit f une fonction définie au voisinage de a lim f(x) smo (WAS O)(Ga> O}¥re Dy) O< jx-aj<a = f(x) <-A Autrement dit: f(x) est infrieur 4 tuut réel (A) strictement aégatil | quilted actribuer dx des valeurs suffisament proches de a  Femme ten et ‘AL Opérylions sup jos Dinnites j ne fonction definie sur um interyulle de type [a+ cof feos (VA> OSB > O)(vxe By) x>B i = fix) >A Exercies 3 pement dit: f(x} est supérieur a tout réel Apa, quitte A soit fu tim, mide-de Tu summe sz slew 12 aut jpuer & x des valeurs suffisament grandes Ee lini f(z) = 71] 1) t [4m] ool + Lplimite £52.00 EN coil f une fonction définie sur un intervulle de type} — 29, a] lin giz) = {| oa] =nc | +20 | -20 | 796 Hm fod toes (fA > OMB > O)(ve € Dy) 8 <-B lim (f(x) otr}) =| 140 | 90:] -90 | +25 | -20 FI =fix}>A ‘Auivemant dit: ((3) est supérieur a tout réel AO; quitte 3 ’ piiribuer a x des valeurs négative de plus em plus grandes en valeur ie du produit absolue Jeno Exervieu 42 Sait f-une fooction définie sur un intervalle de type Ja, + cf Jim, f(y) =1 We>OGA> Ore Dj x>A lin fe} = [|fs0] Pet |foa | Le) $30} 0 ax] ; = |Fizy- me Fels |f| 48 me | eo) te foe | east Autrement dit: f(x) est proche de! aussi prés que l'on veut quitte 4 = - | Tr atiribucr a x des valeurs suffisament grandes iu fle] als) =| | se | = [= | epee el i La limite Lem 02 5 Suit f une fonction définie sur un intervalle de type Jamal lim (@) <1 We> OB > 0)(vxeD) x<-B te du quotient de ix fc = If) -i<e Exersite $i Autrement dit: /(x) est proche de | aussi prés que Pon veot quitte a anes des valeurs négative suffisament grandes en valear Taal as a telicta ae otuex] o | Lalimite 25 en te: : tuei= [paren pirates] Fel ee] al Soit F une fonction définie sur un intervalle de type fa, + 2 fie = Jim f(a) =- = (VA > D)GR > 0) ED) > 8 ap Hn hy | EL foe +x jax | A = fla}<-A Autrement dil f(x) est inférieur 4 tout réel -A strictement négatif , quittea aliribuer a x des valeurs suffisament grandes. UY Calcul des limites : Exemple: f(x} ==° — 4x pourtoutz © R eae wal aa Montrons en utilisant la définitidn que dim fo) = © Suit / une fonction polynime Gxerciced 3 es fonctions usuelles: a Ha E Bie: wo 20 Mn: Wa - 28> Ona; Maras 12) a0 ny bf La limite quand tond vers infini: Ln dl .o ae #40 _ we hit Tied ornare otc a ne Sa pertie ren ae ee fiestas Lobe ) J fle: eet = Ba oe ‘ath 8 ae ‘ Np ouee n Propridté: ae | ngs (sim obrmpes| La limite quand x tend yers l'infini d'une fonction polyndme ext égale 4 fa limite quand x tend vers Vinfini du monome Ie plus haut degre rat 241 Cas dune far 4 fan m val peur’ kt 2 | fy cae ER Solt f une fonction rationnelle tel que : f(x) = Si ( avec N(x) et D(x) wag a oo: (2% ea impel sont des polynémes ) : Exemple is deol ee de oe ayn * = La limite nl dl vers infin: