Linear Perturbation Theory - Lecture Notes | ASTR 596, Study notes of Astronomy

Download Linear Perturbation Theory - Lecture Notes | ASTR 596 and more Study notes Astronomy in PDF only on Docsity! Linear perturbation theory – 4 Finally, combine the continuity and Euler equations and use the Poisson equation  to eliminate , yielding This is the cosmological (matter­dominated) version of the Jeans perturbation  equation.  As before, we can take a spatial Fourier transform (comoving) to obtain Again we have instability growth if the RHS is > 0; but the critical wavenumber k J   now changes with time: Modes with k > k J  oscillate (sound waves); modes with k < k J  are unstable. We are interested in unstable modes... so drop the pressure term... ̈2 ȧ a ̇− cs 2 a2 ∇ 2−4G  = 0 ̈k2 ȧ a ̇k = 4G − cs2 k2a2 k (matter domination,  sub­horizon­scale) k J = 2 cs G a2 = 2cs  G0a Linear perturbation theory – 5 If we consider only unstable modes and drop the pressure term, we can use the  resulting equation for all nonrelativistic matter on sub­horizon scales, even during  the radiation­dominated era: Consider the case  0  = 1.  We have Matter domination: Radiation domination: Radiation Jeans length is comparable to the horizon size, so treat it as smooth. The Universe expands too rapidly for dark matter fluctuations to grow. For baryons, radiation pressure keeps sub­horizon­scale fluctuations from  growing. ̈k2 ȧ a ̇k = 4G k ̈k 4 3 t ̇k = 2 3 t2 k   ⇒   k ∝ t 2/3  (growing)  t−1 (decaying) a ∝ t 2/3 ,   ∝ a−3 a ∝ t 1/2 ,  m ∝ a −3 ,  r ∝ a −4 ̈k 1 t ̇k ≈ 0   ⇒   k ∝ ln t     ,   constants Evolution of important proper length scales ( 0  = 1) log r log t ho riz on In fl at io n Radiation  dominated Matter  dominated Vacuum  dominated Jeans  length k 2 ??? Recombination k 1 About the size of a  globular cluster About the size  of a cluster of  galaxies About the size  of a galaxy  ~ 1 Horizon  crossing Spherical collapse model Collapse of a uniform, spherical perturbation (“top hat”) can be solved analytically. Consider:  2  and r 2  are chosen so that average density inside r 2  is equal to .  The overdense  region behaves like a portion of a closed universe model (assuming  1  >  crit ).   Outside r 2  the universe behaves like an unperturbed model. r (r) r 1 r 2  _  1  2 r  = {1 r  r 12 = −1r1/r231−r1 /r 23 r1  r  r 2 _ Spherical collapse model – 2 If we take the background cosmology to have  0  = 1, then any overdensity  1  will  expand to a maximum size and then recollapse.  Using the Friedmann equation  solution for  0  > 1, we have at the epoch of maximum expansion where initial values (H i ,  i ) are taken at an early epoch a i .  If we take this time to  be very early, then       (k = curvature) and      amax a i = i i−1 H i tmax =  2 i i−1 3 /2 ≃  2  amaxai  3 /2     max =  amaxai  3 /2 i = 3 32 G tmax 2 1t i ≃ ti ≫ k /ai 2 , i ≃ 1 max ≡ 1tmax  tmax  −1= 92 16 −1≈ 4.55 Zel'dovich pancakes – 2 The deformation (strain) tensor is The principal axes of the deformation are determined by ∂p/∂q; because the flow is  irrotational, D is symmetric in this coordinate system: From conservation of mass we can obtain the density : Notice that the density becomes infinite when any one of the terms in parentheses  becomes zero.  For random perturbations, the chance that any two of (, , ) are  the same, or that all are the same, is vanishing – hence collapse should occur  preferentially along one direction (the direction depends on the local pert. field). Dij = ∂r i ∂ q j = a t  ija t  Dt  ∂ pi ∂ q j D = [a−a D 0 00 a−a D 00 0 a−a Dt ] a31− D1− D1− D = a 3 Zel'dovich pancakes – 4 FLASH solution to the Zel'dovich pancake problem (Zel'dovich 1970; Anninos & Norman 1994) in a flat Universe ( 0  = 1) with Hubble constant H 0  = 50 km s–1 Mpc–1  and comoving wavelength  = 10 Mpc at redshift z = 0.  Left Dark matter density profile (top) and phase plot (bottom).  Solid curves show dark­matter­only case;  dashed curves show case with 10% gas fraction.  Right Gas number density, temperature, and velocity profiles.  Solid curves show gas­only case; dashed curves show  case with 10% gas fraction.  A uniform one­dimensional mesh with 8,192 zones was used for the gasdynamics and potential solver, and 65,536 particles were used to  represent the dark matter. Intermission Supercomoving coordinates — 3 The Poisson equation for the comoving potential is 4nG Vb = —s (05 + Pam) — (Pg + Pam)| The equations of motion for particles (dark matter, stars, etc.) are Xam _~yv dt dm dVam 2 vam —_vV¢ And of course the Friedmann equation can be solved numerically with an ODE integrator. ay? Qm % OQ w(t) = (7) = Hi UR Get) The power spectrum The power spectrum of density fluctuations is defined as where  k  is the Fourier transform of the density perturbation field.  Angle brackets  denote an ensemble average.  Notice that in the linear regime we have In general we could have P be a function of the amplitude and direction of k, but in  an isotropic universe P must be a function of the amplitude k only. The dimensionless power spectrum is defined as where V is the normalization volume (arbitrary). Pk  ≡ 〈∣k∣ 2 〉 2k  ≡ V 23 4 k 3 P k  k ∝ D z     ⇒     P k  ∝ D z  2 Gaussian random fields For a Gaussian random field, the power in perturbation modes with comoving  wavenumber k is distributed according to the Rayleigh distribution: The complex phase of  k  is uniformly distributed in [0, 2). A realization of a given power spectrum in a finite volume displays fluctuations in the actual power about P(k) due to the finite number of modes with a given wavenumber k (cosmic variance). The largest variance comes at small k, where we have the smallest number of samples. Probability that ∣k∣ 2  X  is  exp [−X 2/P k ] M. Tegmark Initializing cosmological simulations (uniform meshes) 1.  Compute the Fourier transform of the overdensity field,  k  =| k |exp(i k ).      For each k­space zone pqr,                              an exponential deviate.     a uniform deviate in [0,1). Note 1:  must have  since (x) is real­valued. Note 2:  usually choose initial redshift z so that max[(x)] < 1. 2.  Inverse Fourier transform to get the real­space density fluctuation  ijk  = (x ijk ). 3.  To get the velocity field, use      and the curl­free character of v: then inverse Fourier transform to get v ijk  = v(x ijk ). ∣ pqr∣= D z Pk pqr , z=0 pqr = 2 N−p , N−q , N− r = pqr ,  N−p , N−q , N−r =−pqr ∇⋅v =−̇ v pqr = i kpqr k pqr 2 Ḋ D  pqr Initializing cosmological simulations (particles) 1.  Take unperturbed positions q to lie on a grid:   2.  Compute the Fourier transform of the velocity potential  and velocity v: The  pqr  are computed as for grid­based initialization. 3.  Inverse Fourier transform to get the particle velocities.  The displaced particle  positions are then q ijk = i x , j y , kz  v = ∇   ⇒    v pqr = i kpqr pqr ∇⋅v =−̇   ⇒   ∇ 2=−̇                                       pqr = ̇pqr k pqr 2                                       vpqr = i kpqr k pqr 2 ̇ pqr . x ijk = qijk D Ḋ v ijk Zel'dovich approximation example Dark matter particle positions Mesh gas overdensities IDL 32 (displacements multiplied by 7)