makalah logika matematika, Lecture notes of Mathematics

Download makalah logika matematika and more Lecture notes Mathematics in PDF only on Docsity! MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA DISUSUN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH: MATEMATIKA SD 1 DOSEN PENGAMPU: Ahmad Syadzali, S. Pd, M. Pd DISUSUN OLEH KELAS 1D PGSD KELOMPOK 2 NURUL AZIZAH 2110125120011 (02) NELNA HASANAH 2110125120031 (06) MUHAMMAD ALI RAHMAN 2110125210062 (10) KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR BANJARMASIN 2021/2022 KATA PENGANTAR Dengan mengucapkan Puji Syukur atas Kehadirat Allah SWT karena atas Rahmat dan Hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan makalah ini dengan judul “LOGIKA MATEMATIKA”, penulis menyadari bahwa dalam penulisan tugas ini masih jauh dari kategori sempurna, oleh karena itu penulis dengan senang hati dan tangan terbuka mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan tugas yang akan datang. Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tidak lupa untuk menyampaikan ucapan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Ahmad Syadzali, S.Pd., M.Pd selaku dosen mata kuliah Matematika SD 1 yang telah memberikan arahan serta bimbingan, dan juga kepada semua pihak yang telah membantu baik langsung maupun tidak langsung dalam penulisan makalah ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan tugas ini masih jauh dari kategori sempurna,oleh karena itu penulis dengan senang hati dan tangan terbuka mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan tugas yang akan datang. Banjarmasin, 19 Agustus 2021 i BAB II PEMBAHASAN A. Logika Matematika Logika matematika adalah sebuah cabang matematika dari gabungan ilmu logika. Logika matematika akan memberikan landasan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur, terutama untuk mengambil kesimpulan suatu pernyataan benar atau sah. Logika matematika digunakan untuk melakukan pembuktian. 1. Kalimat Terbuka, Kalimat Tertutup, dan Kalimat Bukan Pernyataan a. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan kebenarannya karena masih mengandung variabel. Jika variabel tersebut diganti dengan konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan sebuah pernyataan. Contoh: a) X adalah bilangan prima b) b) X+5 = 10 Pada kalimat a, belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya, tergantung pada nilai x. Pada kalimat b juga belum diketahui benar atau salahnya, jika x diganti dengan 5 maka kalimat tersebut menjadi benar. Tetapi jika x diganti dengan angka lain, maka akan terbentuk pernyataan salah. b. Kalimat Tertutup Kalimat tertutup bisa juga disebut pernyataan adalah 2 kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai benar atau salahnya. Contoh: a) Bandung adalah ibu kota provinsi Jawa Barat. Ini adalah pernyataan bernilai benar, karena ini adalah fakta yang ada. b) Jumlah hari pada bulan April adalah 31 hari. Ini adalah pernyataan yang salah, karena hari pada bulan April adalah 30 hari. c) 5 adalah bilangan genap. Ini adalah pernyataan bernilai salah, karena 5 adalah bilangan ganjil. c. Kalimat Bukan Pernyataan Kalimat bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak bisa ditentukan nilai benar atau salahnya, atau mengandung pengertian relatif. Contoh: a) Kota Bandung sangat jauh Kalimat yang relatif , karena jauh dekat suatu tempat itu relatif, tergantung pada tempat tinggal seseorang. b) Apa kamu suka lari pagi? Ini adalah suatu kalimat pertanyaan bukan pernyataan c) Tolong sampaikan salam! Ini merupakan suatu kalimat perintah. 2. Ingkaran (Negasi) Negasi dari suatu pernyataan adalah kebalikan dari pernyataan 3 tersebut. Jika pernyataan bernilai benar, maka negasi dari pernyataan tersebut bernilai salah. Negasi pernyataan p dinyatakan dengan “~p”. Jika p suatu perrnyataan bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar. P ~P ~ (~P) = P B S B S B S Contoh: P : Tokyo ibu kota Jepang (B) ~p : Tokyo bukan ibu kota Jepang (S) Keterangan : B= Benar S= Salah 3. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari gabungan beberapa pernyatan tunggal dengan kata penghubung kalimat tertentu, yaitu diskonjungsi ( atau), konjungsi (dan), implikasi (maka), biimplikasi (jika dan hanya jika). Istilah Lambnang Kata Penghubung Diskonjungsi ˅ ...atau... Konjungsi ˄ ...dan... Implikasi → Jika...maka... Biimplikasi ↔ ...jika dan hanya jika... a. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung 4 hanya jika...”, dilambangkan dengan “... <=> ...”. Pernyataan “p ↔ q” dibaca “ p jika dan hanya jika q “. Biimplikasi merupakan gabungan dua implikasi , maka: P ↔ q =(p => q) ˄ (q => q) Tabel kebenaran biimplikasi p q P <=> q B B B B S S S B S S S B Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan p dan q bernili sama, dalam kasus lain biimplikasi bernilai salah. Contoh: p : 2 > 4. (S) q : 2 X 7 <. (S) p=>q : 2 > 4 jika dan hanya jika 2 X 7 <. (S) 4. Negasi Pernyataan Majemuk a. Negasi Konjungsi Pernyataan konjungsi (˄) bila diingkarkan menjadi (˅). ~ (p˄q) =~ p˅q Pernyataan ekuivalen ~ (p˄q) dengan ~ p˅~q, jadi secara umum negasi pernyataan (p˄q) adalah ~ p˅q. Contoh P : Saya suka membaca buku. q : Saya tidak suka menonton TV. p˄q : Saya suka membaca buku dan tidak suka menonton TV. Maka ~ (p˄q) = ~p˅q : Saya tidak suka membaca buku dan suka menonton TV. b. Negasi Diskonjungsi 7 Pernyataan diskonjungsi (˅) bila diingkarkan menjadi (˄). ~(p˅q) =~ p˄~q Contoh: P : Mira pergi ke sekolah. q : Mira bermain di rumah. Maka, p˅q : Mira pergi ke sekolah atau bermain di rumah. Keadaan yang dinyatakan diskonjungsi di atas adalah Mira melakukan salah satu atau kedua kegiatan tersebut, yaitu Mira pergi ke sekolah atau Mira bermain di rumah. Negasi dari pernyataan ini adalah “ Mira tidak pergi ke sekolah dan tidak bermain di rumah”, yang menyatakan Mira tidak melakukan satupun dari kegiatan diatas. c. Negasi Implikasi Implikasi tidak bisa dinegasikan secara langsung, harus dibah dulu menjadi bentuk disjungsi, baru bisa dilakukan proses negasi. Secara umum, negasi pernyataan p => q adalah p˄~q atau ditulis: ~(p => q) = q˄~q P : Matahari bersinar cerah. q : Hari ini tidak hujan. p =>q : Jika matahari bersinar cerah, maka hari ini tidak hujan. Keadaan yang dinyatakan implikasi di atas adalah jika matahari bersinar cerah terjadi, maka hari ini tidak terjadi hujan. Negasi pernyataan yang bertantangan dengan pernyataan ini adalah “ Matahari bersinar cerah dan hari ini hujan”. d. Negasi Biimplikasi Negasi pernyataan p => q adalah ~p =>q atau p =>q, ditulis: ~ (p ↔ q) = ~p => q atau ~ (p ↔q) = p ↔ ~q 8 5. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah kalimat majemuk yang selalu benilai benar untuk seluruh kemungkinannya. Kontradiksi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai salah seluruh kemungkinannya. p q ~p p˄~q (p˄~q) => p B B S S B B S B B B S B S S B S S B S B p˄~q) => p merupakan tautologi karena nilai kebenarannya selalu benar. p q ~p ~p˄q p˄(~p˄q) B S B S S B S S B S S B B S S S B S S S p˄(~p˄q) merupakan kontradiksi karena nilai kebenarannya selalu salah. 6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari sebuah implikasin “ p => q “ dapat dilakukan operasi konvers, invers dan kontraposisi, yaitu sebagai berikut.  Menukar antisenden dengan konsekuen, atau sebaliknya sehingga diperoleh implikasi baru yang disebut konvers dari implikasi itu. Konvers dari “ p => q “ adalah “ q => p “ dan berlaku sebaliknya.  Menegasikan antisenden dan konsekuen, sehingga diperoleh implikasi baru yang disebut invers dari implikasi itu. Invers dari “ p => q” adalah “ ~p => ~q “ dan berlaku sebaliknya.  Menegasikan antisenden dan konsekuen, kemudian menukar letaknya sehingga diperoleh kontraposisi dari implikasi itu. Kontraposisi dar “ p => q ” adalah “ ~q => ~p “ dan berlaku sebaliknya. Contoh: 9 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Logika matematika adalah sebuah matematika dari gabungan ilmu logika. Logika matematika akan memberikan landasan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur, terutama untuk mengambil kesimpulan suatu pernyataan benar atau salah. Logika matematika digunakan untuk melakukan pembuktian. Menggunakan logika diharapkan dapat mengaplikasikan pada kehidupan sehari-hari. Dengan menggunakan logika matematika, kita dapat mengasah otak untuk berpikir dalam menarik suatu kesimpulan yang benar atau salah. B. Saran Demikian makalah ini kami buat. Kami sadar makalah ini jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat kami harapkan guna kesempurnaan makalah kami selanjutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. 12 13 DAFTAR PUSTAKA Fitri Lianingsih, Dkk, Super Modul Matematika, Jakarta : PT. Grasindo. Maulana, Konsep Dasar Matematika dan Pengembangan Kemampuan Berpikir Kritis- Kreatif, Sumedang: UPI, 2017. Reni Dewi Susanti, Dasar-Dasar Logika Dalam Matematika, Malang : APPTI, 2020. Rubyanto, Goenawan, Matematika Dasar untuk PGSD, Malang : Gunung Samudera,2015. Ruseffendi, E.T, Dasar-Dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru Edisi keempat, Bandung: Tarsito, 1989. Yayuk, Erna, Suko Prasetyo, Kajian Matematika SD, Malang : UMM Press,2019 14