Mathematics of high-school, Cheat Sheet of Mathematics

Download Mathematics of high-school and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity! . خالصه دروس ریاضیات کنکور )حسابان/ هندسه/ گسسته ( : مقدمه ?? امیدوارم حالتون خیلی خوب باشه . سالم بچه ها عالوه بر یک برنامه دقیق و منابع مطالعاتی خوب ، به یک خالصه جمع و جور و باحال نیاز داره که ،کنکور حرفه اییه داوطلب سعی کردیم اندکی از سختی " نکات و خالصه دروس "بتونه باهاش ی مرور سریع و البته دقیق داشته باشه. ما با این مجموعه های این راه پر پیچ و خم رو براتون کمتر کنیم . ) البته تالش و کار مهم و نهایی رو شما انجام میدید! ( به منظور اینکه بتونید بهترین کارایی رو داشته باشید پیشنهاد میکنم به نکات زیر توجه کنید: آموزشی خودتون ، درس رو به صورت کامل ینی شما ابتدا از منبع) نمی کندابع آموزشی بی نیاز این جزوه شما رو از من ( . بعدش اگه دوست داشتی ی نگاهی هم به این جزوه بنداز ،یاد میگیری برو سراغ تست و فراوون تست بزن. توی تست ها اگه نکته جدید دیدی) " اوکی شدی" بعد از اینکه درس رو حتما میبینی ( توی جزوه یادداشت کن حتمًا حتمًا!! که ، طراحی شده . 2و1این جزوه به صورت فصل به فصل ازکتاب حسابان ، بچه ها و در آخر هرچی کم وکاستی ، ایرادی ، اشکالی دیدید ، بنده حقیر رو به بزرگی خودتون ببخشید << براتون آرزوی میکنم در همه مراحل زندگی موفق و سر بلند باشید >> مراجعه کنید و از محتواهای اون استفاده کنید . من خودم اکثر " آالء " میتونیدبه سایت ،) راستی اینو بگم اگه جایی رو متوجه نشدید تشکر میکنم( نکات این جزوه رو از اساتید آالء یاد گرفتم و واقعاَ ازشون 5 توی بعضی تیپ تستهای این بخش ی تکنیک هست به نام" کار با ایکس مخالفه" ینی هرکاری باریشه ها ریشه های باشند ، ریشه های کدام βوαاگر مثال( کرده بود ، باید برعکسشو انجام بدی : " به اول می نویسیم له رو ازآخرمعاد "خب اول کار چون ریشه هارو برعکس کرده پسحل: معادله به صورت است؟ −4𝑥2 − 3𝑥 + 2 = "یکی کم کنیم ایکس" حاال چون به ریشه ها یکی اضافه کرده ما باید از 0 −4(𝑥 − 1)2 − 3(𝑥 − 1) + 2 ⇒ −4𝑥2 + 8𝑥 − 4− 3𝑥 + 3+ 2 ⇒ 4𝑥2 − 5𝑥 − 1 = 0 معکوس کرده بود از آخر به اول می نویسیم پس روند حل با این تکنیک اینطوری شد که اگه : همون مقدار کم میکنیم xچیزی اضافه کرده بود از همون مقدار اضافه میکنیم xبه چیزی کم کرده بود 𝑓(𝑎)یک تابع باشد ، جواب های f اگهصفرهای تابع : = همون محل برخورد را صفرهای تابع می گویند.) 0 𝑥( نکته مهم اینجاست که اگر ها xبا محور = 𝑎 یک صفر تابع باشد، آنگاه ظابطه تابع بر𝑥 − 𝑎 بخش پذیر است. کافیه به گودی نمودار دقت کنیم اگه aبرای مشخص کردن عالمت : cوbوa روش مشخص نمودن عالمت .( قبال هم بلد بودیم) منفی هستش aمثبته واگر گودی پایین بود aروبه باال بود رو پیدا کن ، بعد از همون نقطه یک خط (ها yمحل برخورد با محور اول عرض از مبدا ) bبرای مشخص کردن عالمت b ⇐و اگر شیب منفی بود هم مثبته b ⇐مثبت بود مماس بر نمودار رسم کن، اگه شیب این خط که رسم کردی یا منفی ، اگه های مثبته yهم که مثل آب خوردنه ، فقط باید ببینی که عرض از مبدا تو cعالمت هم منفیه . هم مثبته واگر منفی بود ، منفیه . cمثبت بود پس به این روش حل 2بعضی از معادالت درجه باال تر از حل معادالت درجه دو به باال با روش تغییر متغیر : tکه ما سعی می کنیم کوچک ترین عامل رو . این روش به این صورتهمیشن)مخصوصًا درجه زوج ها ( ها رو پیدا کنیم. xیا xدر نظر بگیریم و با توجه به اون معادله جدید رو حل کنیم و در آخر 𝑥4 (مثال − 3𝑥2 + 2 = 𝑥2: حل ⟹ 0 = 𝑡 ⟹ 𝑡2 − 3𝑡 + 2 = 0 ⟹ 𝑡1 = 1 , 𝑡2 = 2 ⟹ 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1 𝑥2 = √2 ⇒ 𝑥 = ±√2 فرم بعضی اوقات ممکنه که از ما بخوان معادله ای رو حل بکنیم مثالٌ بهحل معادله به روش هندسی : 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ، حاال اگه ما بلد باشیم تابعfوg رو رسم کنیم دیگه نمیخواد بریم سراغ حل جبری واینطوری حل برخورد دو تابع روش به این صورت هست که شما دوتا تابع رو رسم میکنی ، م. سریع تر هم هست باهمدیگه میشه جواب های معادله. 6 مثال( تعداد جواب ها را برسی کنید)به روش هندسی( 𝑥2 + 2 = −|𝑥| + جواب ندارد ⟹ 1 √𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)2 − ⟸ یک جواب دارد 1 √𝑥3 = |(𝑥 − سه جواب ⟹ |2(1 و به همین صورت....... میشه با همین روش رفت و جواب ی نکته ریز : بیشتر سواالی این قسمت همون در حد پیدا کرد تعداد جواب هست ولی توی بقیه تستا . رو حدس زد 7 این قسمت نکته آنچنانی نداره و بیشتر محاسبات و ساده کاری میخواد ، با این حال اگه نکته جدیدی دیدی حتماً بنویس دیده میشه . برای حل این xمعادالت کسری هستن که توی مخرجشون اینا همون معادالت گویا : ( . همون مخرج مشترکمدل معادالت باید دوطرف رو در عبارتی ضرب کنیم که مخرج همه کسر ها ازبین بره) مخرج هیچ کسری رو نباید صفر کنه! در آخر حواست باشه چک کن که جوابی که بدست میاریتوجه: درون رادیکال هست . برای حل این xاینا هم همون معادالتی هستند که درآنها معادالت گنگ : ها باید دو طرف رو به توان برسونیم تا رادیکال از بین بره بعدش معادله رو حل کنیم و درآخر جوابا رو دیکال رو منفی نکنه !چک کن که ی وقت درون رادیکال یا جواب را آنگاه همه آن عبارات ،هرگاه جمع چند عبارت نامنفی )مثل رادیکال فرجه زوج( صفر شود نکته : صفر هستند . 10 𝑦توابع به فرم = |𝑓(𝑥)| :کل توی این نوع توابع)(xf قدر مطلق خورده ، برای رسم این ها اگه اون تابع f برامون آشنا و قابل رسم بود ، ابتدا همون تابعf رو بدون در نظر گرفتن قدر رسم میکنیم بعدش اون قسمت ها هست رو به باال قرینه میکنیم. اگر هم تابع آشنا نبود باید اونو چند ظابطه کنیم. xاز نمودار که زیر محور 𝑦 = |𝑥2 − 1| ⟶ 𝑥2 − 𝑥2|⟶ ⟹ رسم 1 − 1| : 𝑦توابع به فرم = 𝑓(|𝑥|) : این توابع فقطx قدر خورده ، برای رسمشون مثل قبل اول خودf رو رسم می ها است رو حذف می کنیم و بعد قسمت راست رو به yکنیم سپس اون قسمتی از نمودار که سمت چپ محور اگر هم تابع آشنا نبود باید اونو چند ظابطه کنیم. قرینه میکنیم . چپ 𝑦 = 𝑥2 − 2|𝑥| ⟶ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 = (𝑥 − 1)2 − 1 : ⟹ 𝑥2 − 2|𝑥|: |𝑎|ویژگی های قدر مطلق : ≥ 0 √𝑎2 = |𝑎| |−𝑥| = |𝑥| |𝑥 − 𝑦| = |𝑦 − 𝑥| |𝑥2| = |𝑥|2 = 𝑥2 |𝑎𝑏| = |𝑎| ⋅ |𝑏| |𝑥| = |𝑎| ⇔ 𝑥 = ±𝑎 −|𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎| 𝑎2 = 𝑎2 ⇔ |𝑥| = |𝑎| |𝑥| ≤ 𝐶 ⇔ −𝐶 ≤ 𝑥 ≤ 𝐶 |𝑥| ≥ 𝑐 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑐 𝑈 𝑥 ≥ 𝑐 اینجا بیشتر 7با از روابط و خواص قدر مطلق اونا رو حل میکنیم ، ولی ویژگی معالدالت قدر مطلقی : } . به کار میاد 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥) = ⟹ |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)| ، 11و 10استفاده میکنیم به ویژه در صورت امکان از ویژیگی های قدر مطلق نامعادالت قدر مطلقی : ولی در غیر این صورت آن ها را به روش چند ظابطه ای حل میکنیم . 11 هم همچین درسی داریم . بنابر این این قسمتو فقط نکته وار آوردم . 3این درس بیشتر مفاهیم مقدماتی هست که توی هندسه 𝐴|𝑦1 فاصله دو نقطه فاصله بین دو نقطه )طول پاره خط(: 𝑥1 و𝐵|𝑦2 𝑥2 : از رابطه زیر بدست می آید 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 𝑂𝐴فاصله هر نقطه تا مبدأ مختصات : نکته : = √𝑥2 + 𝑦2 باشد، مختصات آن : ABوسط پاره خط Mاگر نقطه مختصات وسط پاره خط : 𝑀( 𝑥𝐴+𝑥𝐵 2 , 𝑦𝐴+𝑦𝐵 2 ) 𝐴|𝑦1شیب خط گذرنده از نکات شیب خط : 𝑥1 و𝐵|𝑦2 𝑥2 : به صورت𝑚 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 𝑦اگه معادله خط به صورت = 𝑚𝑥 + 𝑏 بود⟵ m شیب خط است ، و اگر معادله به صورت 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = شیب خط = ⟵بود 0 −𝑎 𝑏 دو خط موازی ، شیب برابر دارند. است . 𝑚عمود برهم دارای شیب " معکوس و قرینه " هم دیگرند . دوخط = 𝑥 𝑦 , 𝑚′ = −𝑦 𝑥 دارد و اگر زاویه بیشر از مثبتشیب ⇐بسازد درجه90کمتر از ها زاویه xاگر خط با جهت مثبت محور 𝑚دارد . منفیشیب ⇐درجه بسازد 90 = 𝑡𝑎𝑛 𝛼 به دو صورت میشه معادله خط نوشت روش اول که روش کلی نوشتن هست نوشتن معادله خط : 𝐴|𝑦1به این صورته که اگر 𝑥1 و𝐵|𝑦2 𝑥2 باشد ، معادله خطی که ازA,B : بگذرد𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) هم مختصات یکی از نقاط دلخواه است . 1y , 1x شیب خط است . mهست که در آن اما روش دوم که تو دوره اول هم باهاش آشنا بودید ، یکم سریع تره )مخصوصًا وقتی که اعداد رند باشند( به 𝑦این صورته = 𝑚𝑥 + 𝑏 شما اول شیب رو بدست میاری ، حاال کافیه یکی از نقاط رو در معادله جایگذاری ( ها yمحور همون عرض از مبدأ هست ینی محل برخورد با bبدست بیاد . ) bکنی تا 12 𝐴|𝑦1 اگر مختصات سه رأس مثلث مختصات مرکز ثقل مثلت)همرسی میانه ها(: 𝑥1 , 𝐵|𝑦2 𝑥2 𝑐|𝑦3و 𝑥3 )𝑀باشند: 𝑥1+𝑥2+𝑥3 3 , 𝑦1+𝑦2+𝑦3 3 ) ⟵در یک متواضی االضالع داریم نکته : 𝑥𝑎 + 𝑥𝑐 = 𝑥𝑏 + 𝑥𝑑 , 𝑦𝑎 + 𝑦𝑐 = 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑 𝐴|𝑦1فاصله نقطه فاصله نقطه از خط : 𝑥1 𝑎𝑥از خط + 𝑏𝑦 + 𝑐 = به صورت زیر است: 0 𝑑 = |𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐| √𝑎2+𝑏2 = :𝑙فاصله دو خط موازی فاصله دو خط موازی : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , 𝑙′: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐′ = 0 𝑑به صورت : = |𝑐−𝑐′| √𝑎2+𝑏2 است . اگه به ما فقط مختصات رأس های مثلث رو بدن ، با این : detمساحت مثلث به روش : STPنکته از هر رأسی خواستی شروع کن : 1قدم (: البته باید دترمینان بلد باشی میتونی مساحتش رو جواب بدی ) روش به سرعت از هر طرف که خواستی رأس های دیگه رو هم به نویس و در آخر اون رأسی که ازش شروع کردی رو ترتیبو به )دوبرابر مساحت( 2sبه ترتیب از اونا دترمینان بگیر و جواب ها رو جمع کن و مساوی با : 2قدم هم بنویس . بزار و تمام . 2S = |𝑥𝑦| | 𝛼 𝛽| | 𝑧 𝑡 | | 𝑥 𝑦| روش برا همه اشکال جواب میده () این 15 اگه به هر عضو برد تابع ، دقیقا یک عضو از دامنه نظیر شود ، آنگاه تابع یک به یک است. تابع یک به یک : ( تکراری بود xشرط تابع بودن ، نداشتن تکراری نداشته باشیم . ) yبه زبون ساده یعنی تو تابع 𝑓 = {(1,2)(3,2)(6,7)} 𝑡 = {(5,7)(4,2)(3,5)} حداکثر آن را در یک نقطه قطع کنند. افقی از نظر هندسی ، تابعی یک به یک است که خطوط رو عوض کنیم و رابطه جدید تابع باشد آن y و xدر زوج مرتب های آن ، جای fاگه در تابع وارون تابع : رو با 𝑓−1حواست باشه نشان می دهیم. ) 𝑓−1را "وارون تابع" می گوییم و با 1 𝑓 ( اشتباه نگیریا ، با هم فرق دارن 𝑓−1به عبارتی = {(𝑦,𝑥)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓} اگر تابعf یک به یک است وبرعکس. ⟸وارون پذیر باشد 𝐷𝑓در وارون تابع داریم: توجه : یک به یک( ⇔)وارون پذیر = 𝑅𝑓−1 , 𝑅𝑓 = 𝐷𝑓−1 ( است . y=xنسبت به نیمساز ربع اول وسوم) fقرینه نمودار 𝑓−1نمودار نکته : yرو بر حسب xاز روی خود تابع ، ابتدا باید برای پیدا کردن ظابطه تابع وارونظابطه تابع وارون : رو عوض می کنیم. y و xرو تنها کنیم( و در آخر جای xبدست بیاریم) 𝑓(𝑥) :مثال = 3𝑥 + 5 ⇒ 𝑦 = 3𝑥 + 5 ⇒ 𝑦 − 5 = 3𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑦−5 3 ⇒ 𝑓(𝑥) −1 = 𝑥−5 3 است . 𝑓−1پیداکردن دامنه تابع ،یکی از راه های بدست آوردن برد تابع 16 𝑓(𝑥)تابع با ظابطه : STPنکته = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 را در نظر بگیرید: رو عوض میکنیم و عالمتشون هم قرینه میکنیم: dو aبرابر است با : جای وارون این تابع 𝑓(𝑥)−1 = −𝑑𝑥+𝑏 𝑐𝑥−𝑎 𝑓(𝑥)شرط اینکه در این نوع تابع داشته باشیم = 𝑓(𝑥) 𝑎اینه که : 1− + 𝑑 = 0 𝑓(𝑥)(مثال = −2𝑥+1 4𝑥+5 → 𝑓(𝑥) −1 = −5𝑥+1 4𝑥+2 𝑓(𝑥)توی بحث تابع وارون همیشه داریم: : STP 2 نکته = 𝑎 ⇔ 𝑓−1(𝑎) = 𝑥 ( ینی اگهf بره اونور و برعکس( 𝑓−1 تساوی تبدیل میشه به 𝑓(3))مثال = 7⇔ 𝑓(7) −1 = 𝑓(𝑔(𝑥))−1 یا 3 = 𝑘 ⇔ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑘) 17 کرد ، برای توابع هم میشه این کار رو انجام داد همونطور که میشه اعداد رو ضرب و تقسیم وجمع وتفریق ظابطه دامنه 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = (𝑓 ± 𝑔)(𝑥) 𝐷 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ( ی برای همه اعمال جبر ) 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) = (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = ( 𝑓 𝑔 ) (𝑥) ( که مخرج رو صفر میکنند در دامنه نیستند حواست باشه مقادیری❗ ) را انجام gو fاشتراک داشته باشد میتوانیم ترکیب تابع fبا دامنه تابع gهرگاه برد تابع ترکیب توابع : 𝑓𝑂𝑔نمایش می دهیم . 𝑓𝑂𝑔دهیم ، که به صورت = 𝑓(𝑔(𝑥)) ( این یعنی اول متغیر وارد تابعg میشه ، بعد جوابش وارد 𝐷𝑓𝑂𝑔( دامنه ترکیب تابع به صورت : میشه ، پس حواست باشه fتابع = {𝑥 ∈ 𝐷𝑔|𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓} 𝑦اگر دامنه تابع مثال( = 𝑓(𝑥) باشد . دامنه تابع با ظابطه (2,2−]برابر𝑦 = 𝑓(√𝑥 − کدام است؟ (1 1)[1,5) 2 )(−∞,5) 3 )[0,5) 4 )[−1,5) 𝑔(𝑥)فرض میکنیم (تشریحیروش اول( ) = √𝑥 − 1 :𝐷𝑓 = [−2,2) ⋅ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝐷𝑔 = [1, +∞) 𝐷𝑓𝑂𝑔 طبق تعریف : = {𝑥 ∈ [1, +∞)|√𝑥 − 1 ∈ [−2,2)} = {𝑥 ≥ 1| − 2 ≤ √𝑥 − 1 < 2} = {𝑥 ≥ 1|𝑥 − 1 < 4} = {𝑥 ≥ 1|𝑥 < 5} ⇒ 𝐷𝑓𝑂𝑔 = [1,5)= 𝑥√ : جواب 2: زیر رادیکال رو منفی نکنه 1از گزینه ها استفاده کنیم. گزینه ای جوابه که کافیه روش دوم( − در 1 هست ولی گزینه ها در طرف دیگه بازه 5باشه. اگه یکم تیز بین باشین میبینین که تو همه گزینه ها fدامنه در بقیه گزینه ها . مشکلی نداره ✔1گزینه ( هئگرچه خیلی تابلو شون فرق دارن ، یک به یک گزینه ها رو برسی میکنیم ) اعدادی هستند که زیر رادیکال رو منفی می کنن. 𝑔(𝑥)از تغییر متغیر f برای پیدا کردن ظابطه : مشخص بود gو 𝑓𝑂𝑔نکته : اگه = 𝑡 ، استفاده میکنیمx را می گذاریم. t ،xبدست میاد و ما به جای tبر حسب 𝑓(𝑡)قرار می دهیم. یعنی 𝑓(𝑔(𝑥))بدست میاریم ودر tبرحسب 𝑓𝑂𝑔 قرار میدهیم و مساوی x ،𝑔(𝑥)به جای fدر ظابطه ، gبرای پیدا کردن ظابطه مشخص بود : fو 𝑓𝑂𝑔اگه قرارمیدهیم . 20 میگویند و به صورت لگاریتم تابع نمایی ، وارون پذیر و یک به یک است ، به وارون آن لگاریتم : تابع 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 لگاریتم نمایش می دهند و آن راx در مبنایa ( .می خوانند𝑎 ≠ 1 , 𝑎 > 0 ) 0 < 𝑎 < 1 𝑎 > 1 𝑎در توابع لگاریتمی ) > بیشتر باشد ، شاخه های نمودار به محور ها نزدیک می شوند. ( هرچه مبنا 1 0در توابع لگاریتمی ) < 𝑎 < کمتر باشد ، شاخه ها به محور ها نزدیک می شوند . هرچه مبنا (1 1برای تعیین دامنه باید دو شرط برقرار باشد: مبنا مثبت باشد ولی تعیین دامنه توابع لگاریتمی : میاد( ، مثبت باشه . xنباشد عبارت درون لگاریتم )همون که جای 𝑎𝑏برای این کار از رابطه روبه رو کمک میگیریم: محاسبه لگاریتم یک عدد : = 𝑐 ⇔ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑏 =𝑙𝑜𝑔3 (مثال 9 𝑙𝑜𝑔2 یا 2 64 = 6 ( بود ، اونو نمینویسیم 10حواست باشه اگه مبنا ) 𝑙𝑜𝑔𝑎 ویژگی های لگاریتم : 1 𝑎 = −1 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑚 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑚 = 𝑚 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 = 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 × 𝑙𝑜𝑔𝑐=𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 ( تا لگاریتم 100مثاال ضرب ،این قانون برای ضرب لگاریم های بیشتر هم به کار میره ) 21 ، که قابل تعمیم برای اعداد دیگه هم هست: 2و 5ی نکته هست برای لگاریتم نکته : 𝑙𝑜𝑔 5+ 𝑙𝑜𝑔 2 = 1 or 𝑙𝑜𝑔21 7 + 𝑙𝑜𝑔21 3 = .…و 1 مبنای دوطرف را یکی کنیم و ،برای حل این معادالت باید با ساده کاری و کار ریاضیمعادالت لگاریتمی : = 𝑙𝑜𝑔𝑎با استفاده از رابطه 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦 . حل می کنیم 𝑎) ویژگی نامعادالت لگاریتمی : > 1): 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 < 𝑦 (0 < 𝑎 < 1): 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 > 𝑦 (برای مبنای کمتر از یک ، جهت عوض میشه) 22 که از این به بعد خیلی باهاش سروکار داریم . توی این فصل دیگه درس به درس پیش نمیریم ) شاید کمی "مثلثات " رسیدیم به فصل خیلی مهم میخوره ( . روابط و اتحاد های این فصل خیلی زیاد ، ولی نکات خوبی توش گفته شده که به دردتون نمیدونم شاید ،مخالف رویه کتاب درسی باشه خود من تقریبا دو سه ماه مونده به کنکور به اونا مسلط ) حل کرده باشی خییل تست و مثال " "هست و شما وقتی میتونی بهشون مسلط بشی که م ، هر چند روز یکبار بهشون نگاه کنین تا کامل یاد بگیرید. ببخشید . پیشنهاد می کنم که این روابط و اتحاد هارو که در ادامه باهاشون روبه رو میشی ( شدم بریم که شروع کنیم پرحرفی کردم برابر اندازه زاویه مرکزی است که روبه روی کمانی به طول شعاع دایره است . یک رادیان ( : 𝑅𝑎𝑑رادیان) 2𝜋 هر دایره ) ≅ رادیان است( 6/28 𝐴𝐵کمان = 𝑟 ⇒ 𝜃 = 𝑅𝑎𝑑 و هر درجه ،درجه 3/57هر رادیان تقریبًا تبدیل درجه به رادیان و برعکس : 𝜋 رادیان است . 180 کافی است که درجه را در درجه به رادیان برای تبدیل 𝜋 ضرب کنیم . 180 می گذاریم. 180عدد πبه جای به کار رفته باشد ، πاگر در آن ، برای تبدیل رادیان به درجه : )البته به صورت تقریبی( ضرب می کنیم. 57یا 57/ 3آن را در به کار نرفته باشد ، πاگر مثال( 𝜋 5 = 180 5 = 36° 2𝑟𝑎𝑑 = 2 × 57 ≈ 114 60° = 60 × 𝜋 180 = 𝜋 3 تبدیل درجه به رادیان برای زوایای مهم : نکته خیلی مهم : 360° 270° 180° 90° 60° 45° 30° 2𝜋 3𝜋 2 π 𝜋 2 𝜋 3 𝜋 4 𝜋 6 𝑙طول کمان مقابل به زاویه مرکزی : = 𝑟𝜃 25 این بخش یکم زیاده ولی خیلی به درد بخوره و در اکثر تست ها شما باید روابط و روابط و اتحاد های مثلثاتی مهم : اتحاد های مثلثاتی رو بلد باشی. پیشنهاد میکنم زود به زود این بخش رو بخونید و تست بزنید تا مسلط شوید . 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼 2 یا 𝑐𝑜𝑠2𝛼−1 1یا− 2𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑡𝑎𝑛 2𝛼 = 2 𝑡𝑎𝑛𝛼 1−𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = √2 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 ± 𝜋 4) 1∓𝑡𝑎𝑛 𝛼 1±𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛 ( 𝜋 4 ∓ 𝛼) 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 2 (1−𝑐𝑜𝑠2𝛼) 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 2 (1+ 𝑐𝑜𝑠 2𝛼) (𝑠𝑖𝑛 𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 2 = 1± 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜶 = −𝟒𝒔𝒊𝒏𝟑𝜶+𝟑𝒔𝒊𝒏𝜶 ( منفی چهار سه سه) 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶−𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶(چهار سه سه) 𝑠𝑖𝑛4 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠4 𝛼 = 1− 1 2 𝑠𝑖𝑛 2 2𝛼 𝑠𝑖𝑛6𝛼+ 𝑐𝑜𝑠6𝛼 = 1− 3 4 𝑠𝑖𝑛 2 2𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼− 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 2𝑐𝑜𝑡2𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼+ 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒂𝒙 𝟐 𝑐𝑜𝑠4 𝛼− 𝑠𝑖𝑛4 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 با این مثلث میتونید نسبت های مثلثاتی دوبرابر کمان رو برحسب مثلث مثلثاتی : : STPنکته تانژانت بدست بیارید . 𝑠𝑖𝑛مثال( 2𝛼 = 2 𝑡𝑎𝑛𝛼 1+𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑡𝑎𝑛یا 2𝛼 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝛼 1−𝑡𝑎𝑛2 𝛼 باشد : pباشد و ضرب آنها cos ،sو sinاگر فرض کنیم که جمع ترکیب روابط ریشه ها با مثلثات : 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑆 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 𝑆2 − 2𝑃 = 1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑃 𝑠𝑖𝑛3 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3 𝛼 = 𝑆3 − 3𝑃𝑆 26 ی تیپ سوال هست که توش جمع سینوس و کسینوس یک زاویه که ما بلد نسیتیم رو میده و اونو برحسب یک یا چند زاویه از ما میخواد ، راه حل sinمیشه cosو sinجمع اما راه سریع تر برای تست اینه که : تشریحیش اینه که باید ی چیزیو فاکتور بگیری و جمع وتفریق و ... sinرو برضریب cosضریب با ضرایب ی فیثاغورس بزن ، عددی که بدست میاد میشه ضریب سینوس چه زاویه ای هست ، اون زاویه رو با زاویه ای که داریم جمع کن تقسیم کن ، ببین عددی که بدست میاد تانژانت 3مثال( 𝑠𝑖𝑛40+√3 𝑐𝑜𝑠 40 =? 1 →… 𝑠𝑖𝑛(40+⋯) 2 → √32 + √32 = √12 = 2√3 ⟹ 2√3 𝑠𝑖𝑛(40+⋯) 3→ √3 3 = tan30 ⟹ 2√3 𝑠𝑖𝑛(40 + 30) = 2√3 sin 70 = 2√3 cos 20 نی شد ، اگه یکم تمرین باهاش حل کنید به سرعت میتونید این نوع سوالو حل کنید شاید با خودتون بگید این که طوالنی شد ، نترسید چون توضیح دادم طوال این قسمت توی نظام قدیم بوده ولی توی نظام جدید هم کاربرد داره و اگه بلد باشید سرعت و قدرتتون بیشتر بدانید : :توی مثلثات بیشتر میشه و تو جاهای دیگه هم به کارتون میاد. 𝑠𝑖𝑛 :جمع به ضرب 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 (𝛼+𝛽2 ) × 𝑐𝑜𝑠 ( 𝛼−𝛽 2 ) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠 جمع ) 2 ) ×𝑠𝑖𝑛 ( تفاضل 2 ) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠 جمع ) 2 ) × 𝑐𝑜𝑠 ( تفاضل 2 ) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = -2 𝑠𝑖𝑛 جمع ) 2 ) ×𝑠𝑖𝑛 ( تفاضل 2 ) 𝑠𝑖𝑛 : ضرب به جمع 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 1 2 (𝑠𝑖𝑛( جمع) + 𝑠𝑖𝑛( تفاضل)) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 1 2 (𝑐𝑜𝑠( جمع) + 𝑐𝑜𝑠( تفاضل)) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = − 1 2 (𝑐𝑜𝑠( جمع) − 𝑐𝑜𝑠( تفاضل)) 27 ، توی این فصل مفهوم و محاسبه حد رو یاد میگیریم و توی خب ، خداقوت ، رسیدیم به فصل خیلی مهم حد که خیلی جاها توریاضی وبقیه علوم کاربرد داره مفاهیم خاص تری از حد رو یاد میگریم. 2حسابان باشد را یک همسایگی 𝑥0شامل یک عدد حقیقی باشد ، هر بازه که 𝑥0اگر همسایگی یک نقطه : 𝑥0یعنی میگوییم . 𝑥0برای ∈ (𝑎, 𝑏) ( بسته هم باشهالبته میتونه بازه ) ,𝑎)اگر بازه همسایگی محذوف یک نقطه : 𝑏) یک همسایگی𝑥0 باشد ، اما خود𝑥0 در این بازه ,𝑎)نباشد )توخالی باشه( به عبارتی 𝑏) − {𝑥} یک همسایگی محذوف𝑥0 . میگویند یا کمتر از آن به خود aبا مقادیر بیشتر از عدد 𝑥اگر در تابع ، زمانی که متغیر تعریف حد یک تابع : 𝑥نزدیک میشه میگوییم aعدد → 𝑎 (x به طرفa حال اگر در این زمان . )مقادیر تابعمیل میکند (𝑓(𝑥)) به . است Lبرابر aمیگوییم حد تابع در شوند ،نزدیک Lعدد 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 تعریف شده باشد ، زمانی که aدر یک همسایگی راست )یا هسایگی محذوف راست( fاگر تابع حد راست : x به بیشتر ازa ( میل میکند𝑥 → 𝑎+ مقادیر تابع به عدد )𝐿 . نزدیک می شود𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 ( از این به بعدبه این مثبت یا منفی که باالی عدد میاد میگیم راست یا چپ و معنیش ی کوچولو بیشتر یا کمتر از همون عدد هست) به کمتر از xتعریف شده باشه ، زمانی که aهمون حرفای باالیی اما این بار باید در همسایگی چپ حد چپ : a میل کنه مقادیر تابع به عدد𝐿 . نزدیک میشن𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 اون عدد سمت راست ←همه اینا که باال درمورد همسایگی چپ وراست گفتم به تعبیر نموداری یعنی این که : همسایگی راست سمت چپ اون عدد ، نمودار تعریف شده باشه . ←نمودار ، تعریف شده باشه . همسایگی چپ حواستون باشه توی حد ، ما فقط به عدد نزدیک میشیم و خود عدد منظورمون نیس ، پس مهم نیست که خود عدد در نمودار توخال باشه یا تو باشه . پر ، فقط مهمه که اطراف اون عدد توپر )پیوسته( 30 𝑓برسی حد توابع نکته : ± 𝑔 :( معلوم نیست و باید برسی بشه و ... : ) ؟ ✔ وضعیت حد/ تابع g f g g 𝒇 ± 𝒈 ? 𝒇 × 𝒈 ? ? ? 𝒇 𝒈 ? ? 𝒈 𝒇 ? ? 𝑙𝑖𝑚برای محاسبه به طور کلی: (𝑓𝑂𝑔روش محاسبه حد ترکیب توابع ) 𝑥→𝑎 𝑓𝑜𝑔 اول باید به𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) توجه مطلق است . سپس با استفاده از آن جواب 𝑏یا −𝑏+ ،𝑏( کدام یک از 𝑏مثاال ببینیم جواب اون )کنیم و 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑏+ 𝑓(𝑥) یا𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑏− 𝑓(𝑥) یا𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑏 𝑓(𝑥) ( . جواب حد تابع داخلی رو بزار زیروند تابع خارجی و حد بگیررو بدست بیاریم ) 𝑓(𝑥)مثال( = [𝑥] و𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑥−1 جواب ،𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ (𝑓𝑂𝑔)(𝑥) را بدست آورید؟ 𝑙𝑖𝑚 : پاسخ 𝑥→2+ 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 𝑥 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ (𝑥−1)+1 𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 1+ 1 𝑥−1 = 1+ 1 1+ = 1 + 1− = 2− ⟹ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ (𝑓𝑂𝑔)(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− [𝑥]= [2−]= 1 که البته یکیش مال حسابان ی این قسمت راه حل های بی نظیر و فوق العاده ای آوردم خب رسیدیم به بحث خیییییلییی مهم و جذاب حد های مبهم ، تو هست . خوب یادبگیرید و هه راه حل ها رو بلد باشید . 2 حالت مبهم یعنی حالتی که نه میتونیم بگیم وجود داره نه حاالت مبهم و روش های رفع ابها م : بگیم وجود نداره . حاالت مبهم چند تا هستند که ما امسال با یکیش کار دارم و اونم حالت میتونیم 0 صفر صفرم 0 هست که خیلی رایجه . گاهی اوقات وقتی عدد گذاری می کنیم به این حالت برخورد می کنیم وبرای اینکه رفع ابهام بشه چند تا روش وجود داره : 𝑙𝑖𝑚 اگر 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 𝑥)به 0 − 𝑎) می گویند عامل ابهام، (𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) هر دو ساده کاری ریاضی باید عامل ،بر عامل ابهام بخش پذیر اند( با استفاده از تجزیه، فاکتور گیری ، تقسیم و خالصه ابهام رو حذف کنیم . 31 این یک روش تقسیم سریع برای چند جمله ای هاست . روش انجام : تقسیم اورنری : STPنکته ریشه قدم دوم(ضریب ها رو به ترتیب توان ، از چپ به راست می نویسم قدم اول( اون به این صورته: ضریب اول را زیر خودش دوباره می نویسیم سپس قدم سوم( مقسوم الیه را در سمت چپ باال می نویسیم که اعدادیقدم چهارم( عمل می کنیم که حاال یاد میگیرید . ضرب جمع ↘ ↗ به صورت ریشه مقسوم الیه را ( در خارج قسمت می نویسیم. 2تو جدول بدست اومدند رو بسته به درجه چند جمله ای ها )معموالً درجه 2𝑥3 (مثال − 𝑥 − 1 ÷ 𝑥 − 1 ⟶ 1 2 0 -1 -1 ⟶ 1- 1 - 0 2 1 ⟶ 1 - 1 - 0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 0 - 1 -1و همین طوری می ریم تا آخر ..... حاال باید با این اعداد قرمز رنگ یک 2 2 1 0 ( : 2میشه درجه 1تقسیم بر درجه 3بنویسیم )درجه 2عبارت درجه 2𝑥2 + 2𝑥 + اینم از خارج قسمت 1 این روش بیشتر برای کسر هایی استفاده میشه که توشون حداقل صورت یا مخرج دارای رادیکال باشه . در این روش برای تولید عامل ابهام و حذف آن ، صورت و مخرج کسر را در عامل تعامل گویا کننده عبار ضرب می کنیم . ،گویا کننده صورت یا مخرج و حتی هر دو √𝑎 √𝑎 √𝑎 ∓ √𝑏 √𝑎 ± √𝑏 √𝑎𝑚−𝑛 𝑚 √𝑎𝑛 𝑚 √𝑎23 ∓ √𝑎𝑏 + √𝑏23 √𝑎 3 ± √𝑏 3 توی این روش که مخصوص حد های مثلثاتی هست ، از ع ابهام کنیم . همون اتحاد هایی که بلدیم استفاده می کنیم و ساده کاری انجام می دیم تا رف 32 𝑥توی این روش ما عامل ابهام رو ) − 𝑎 یک متغیر در نظر می گیریم یعنی ) 𝑥 − 𝑎 = 𝑡 و از آنجا نتیجه می گیریم𝑥 = 𝑎 + 𝑡 در مرحله بعد به جای .𝑥 عدد𝑎 رو جایگذاری می کنیم تا سپس ،باز نویسی میکنیم 𝑡عادله استفاده می کنیم و تابع را برحسب چند است . و در آخر از این دو م 𝑡بفهمیم حد می گیریم . 𝑙𝑖𝑚 (مثال 𝑥→1 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 𝑥2−1 𝑥 :حل ⟹ − 1 = 𝑡 𝑥 = 𝑡 + 1 𝑥=1 → 1− 1 = 𝑡 ⟹ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 → 0 𝑙𝑖𝑚 : حاال حد رو باز نویسی میکنیم 𝑡→0 𝑠𝑖𝑛 𝜋(𝑡+1) 𝑡(𝑡+2) … خب از اینجا به بعد وارد روش های تستی خفن میشیم و داستان جالب میشه چند نوع هم ارزی حد مبهم رو حل کنیم با این روش خیلی سریع می تونیم که اینجا به دردمون میخوره عبارت است از : کمترین توان ، آن عبارت با جمله ای از خود که دارای صفر میل میکنه وقتی که متغیر به باشد ، هم ارز است یعنی میشه بجای اون عبارت ازش استفاده کرد . (𝑥 → 0) 𝑥 + √𝑥 3 + 2√𝑥 ≈ √𝑥3 (𝑥 → 0) 7𝑥5 + 4𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 ≈ 3𝑥 مثال ( 𝑢، هرگاه 𝑢نوشته شده باشه مثل 𝑥 هرگاه عبارتی که برحسب → )ینی صفر بشه( 0 1)میتونیم از این هم ارزی استفاده کنیم : ± 𝑢)𝑛 → (1 ± 𝑛𝑢) توانش میاد بغل دستش (1+ 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1))5 𝑥→1 → (1+ 5 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1)) (1− 𝑥 2) 2 𝑥→0 → (1− 𝑥) مثال( جه یک : این هم ارزی ها مخصوص مثلثاتی هاست . این ها یک هم ارزی در کال در بحث هم ارزی ، هر جا شما هم ارزی زدی و با ساده کاری به صفر رسیدی ، اون هم ارزی دیگه . 2دارن و یک هم ارزی درجه بری . 2رفتی و به صفر رسیدی باید از درجه 1شما اگه با درجه قابل استفاده نیست وباطله و شما باید از ی راه دیگه بری . حاال تو هم ارزی مک لورن 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑢 𝑢→0 → (1 − 𝑛 𝑢 2 2 ) 𝑡𝑎𝑛𝑛 𝑢 𝑢→0 → 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑢 𝑢→0 → 𝑢𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑢→0 → 𝑢 + 𝑢3 3 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑢→0 → 𝑢 − 𝑢3 : درجه دوم 6 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥3 √1−(1−2×4𝑥2 2 ) = 𝑥3 √4𝑥2 = 𝑥3 2𝑥 = 𝑥2 2 = 𝑙𝑖𝑚 ⟶هم ارزی: 0 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 √1−𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 )مثال . اگه قبل از عدد گذاری به صفر می رسیدیم ، هم ارزی قبول نبود. اینجا با ساده کردن به صفر نرسیدیما !! این جا جواب حد صفره 35 پیوسته 𝑎در نقطه 𝑓، شروط زیر برقرار باشد ، می گوییم تابع تابع 𝑎در نقطه 𝑓هر گاه در تابع پیوستگی : 𝑎حد داشته باشد مقدار تابع با حد در نقطه 𝑎تعریف شده باشد تابع در 𝑎تابع در نقطه است . 𝑓(𝑎)برابر باشد یعنی = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) هر گاه حاصل حد راست تابع در یک نقطه ، با مقدار تابع در همان نقطه پیوستگی راست و چپ : 𝑙𝑖𝑚) تابع در آن نقطه ، پیوستگی راست دارد .یکسان باشد می گوییم 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ) تابع در آن نقطه هرگاه حاصل حد چپ تابع در یک نقطه ، با مقدار تابع در همان نقطه یکسان باشد میگوییم 𝑙𝑖𝑚) دارد. پیوستگی چپ 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ) حال اگر تابع در نقطه ای هم پیوستگی راست داشته تابع در آن نقطه پیوسته است . ⟸باشئ هم پیوستگی چپ ,𝑎)را بر بازه 𝑓تابع روی بازه : پیوستگی 𝑏) پیوسته می گوییم هرگاه در هر نقطه از(𝑎, 𝑏) پیوسته باشد . ,𝑎]را بر بازه 𝑓تابع 𝑏] پیوسته میگوییم هرگاه در تمام نقاط(𝑎, 𝑏) پیوسته باشد و در𝑎 پیوستگی راست پیوستگی چپ داشته باشد . 𝑏ودر ,𝑎]را بر بازه 𝑓تابع 𝑏) پیوسته میگوییم هرگاه در تمام نقاط(𝑎, 𝑏) پیوسته باشد و در𝑎 پیوستگی راست داشته باشد . ,𝑎)را بر بازه 𝑓تابع 𝑏] پیوسته میگوییم هرگاه در تمام نقاط(𝑎, 𝑏) پیوسته باشد و در𝑏 پیوستگی چپ داشته باشد . 36 توی هر سه سال این تابع میاد و هر سال مباحتش تکمیلی تر میشه و به پیش نیاز های سال های پیش نیاز داره . برای یادآوری چند تا نکتهمقدمه : برو بریم.... ،رو 2از سال های پیش میارم و بعدش شروع می کنیم حسابان 𝑓(𝑥) ⟶ واحد تابع رو به باال یا پایین می بریم𝑘𝑓(𝑥) 𝑘 ⟶ ها(𝑦انبساط عمودی )کشیده شدن در راستای ± 𝑘 ⟶( کوتاه شدن نمودار)انقباض عمودی 1 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑘 کار با( واحد تابع رو به سمت چپ یا راست می بریم𝑥 )مخالفه ⟶ 𝑓(𝑥 ± 𝑘) 𝑓 ⟶ انبساط طولی )افقی( 𝑓(𝑘𝑥) ⟶انقباظ طولی)افقی( ( 1 𝑘 𝑥) موافقه ینی 𝑥کار با ⟸اگه از یک تابع دیگه خواستی برسی به تابع اصلی کالً تو بحث انتقال این نکته رو بلد باش : مخالفه ینی هر کاری کرد شما برعکسشو انجام بده . 𝑦کرده بود شما هم همون کار رو با تابع انجام میدی ، کار با 𝑥هر کاری با موافقه . 𝑦مخالفه و کار با 𝑥همون کارای قبل : کار با ⟸اگه از تابع اصلی خواستی برسی به ی تابع دیگه 𝑓(𝑥′) → 𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥′′) ℎ(𝑥)اگر مثال ( = 2𝑓(3𝑥 − را رسم کنید . 𝑓(𝑥)و نمودار آن به صورت زیر باشد ، نمودار (1 شروع میکنیم: 𝑥مخالفه . اول از 𝑦موافق و کار با 𝑥به تابع اصلی برسیم پس کار با میخوایم برابر و منهای یک میکنیم 3برابر شدن و منهای یک ، پس ما هم همین کار رو انجام میدیم ، طول ها رو 3ایکس ها 8 , 2 , 1- , 7-بدین ترتیب طول ها میشن : میکنیم . 2شده ما تقسیم بر 2ها : چون ضرب در 𝑦حاال میریم سراغ . 3-, 2 , 0 , 2پس عرض ها میشن : 𝑦نمودار = 𝑓(𝑥) : 37 𝑦اگر دامنه و برد تابع = 𝑓(𝑥) تابع با ظابطه دامنهمعلوم باشد ، برای یافتن𝑦 = 𝑎𝑓(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑘 کافی 𝑏𝑥است از رابطه + 𝐶 ∈ 𝐷𝑓 حدود ایکس را بدست آوریم . هم چنین اگر برد تابع را در𝑎 ضرب کنیم و با𝑘 𝑦برد تابع ،جمع کنیم = 𝑎𝑓(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑘 . بدست می آید 𝑓(𝑥)به تابع با ظابطه کلی : 3تابع درجه = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 تابع درجه سوم می گویند . این به چند دسته تقسیم میشن که تو این فصل به یکیش اشاره شده و مشتق 𝛥و 𝑎وابع با توجه به عالمت نوع ت بقیه اش تو فصل آخر گفته شده . ( که دو جا شیب صفر داره 87یا 78مدل ) ⟵، مثبت باشد 3تابع درجه مشتق 𝛥اگه 𝑎 < 0 𝑎 > 0 ( است که توی همین فصل برسی شده ، یک شیب صفر داره لَممدل ) ⟵صفر باشد ، 3تابع درجه مشتق 𝛥اگه 𝑎 < 0 𝑎 > 0 −» طول نقطه لم = 𝑏 3𝑎 » ( است . شیب صفر ندارد لُرمدل ) ⟵منفی باشد ، 3تابع درجه شتق م 𝛥اگه 𝑎 < 0 𝑎 > 0 40 ( ، حال تقسیم اورنری هم که آوردمتقسیم رو که از سال های پیش یادگرفتیم )تقسیم چند جمله ای ها : و 𝑞(𝑥)توابع چند جمله ای باشند آنگاه توابعی مانند 𝑃(𝑥)و 𝑓(𝑥)اضافه میشه : اگر قضیه تقسیم اینجا یک 𝑟(𝑥) : وجود دارند به طوری که 𝑃(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙)𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙) ⟹ 𝒎باید ⟵باشد 𝑃(𝑥) ،𝒎و درجه باشد 𝑓(𝑥) ،𝒏در تقسیم همیشه اگر درجه ≤ 𝒏 و درجه𝒒(𝒙) 𝒏باید −𝒎 . باشد 𝑟(𝑥)در تقسیم اگر = 𝒇(𝒙))باقیمانده = صفر( ، بخش پذیری اتفاق می افتد . 0 = 𝒑(𝒙)𝒒(𝒙) تقسیم 𝑃(𝑥) 1رو بر عبارت درجه 𝑓(𝑥)هرگاه عبارت چندجمله ای قضیه تقسیم در حالت خاص : ( که مقدار آن میشه : یعنی یک عدده کنیم ، باقیمانده حتمًا درجه صفر خواهد بود ) 𝒓( رو بذار تو مقسومینی ریشه عبارت درجه یک ) = 𝒇( ریشه عبارت درجه یک ) 𝑃(𝑥)برای یافتن باقیمانده تقسیم چندجمله ای ها وقتی که تقسیم با استفاده از هم ارزی : 𝑃(𝑥)، باید ابتدا درجه یک نباشد = . (لزومی نداره که ریشه داشته باشه را حساب کنیم تا یک رابطه بدست آید ) 0 جایگذاری می کنیم . 𝑓(𝑥)بعد اون رابطه رو در 𝑓(𝑥)مثال ( باقیمانده تقسیم = 2𝑥5 + 𝑥4 + 4𝑥3 − 𝑥2 − 𝑃(𝑥)بر 1 = 𝑥2 − ؟ 1 𝑥2 − 1 = 0 ⇒∗ 𝑥2 = 1 :حل )قدم اول ∗ 2(1)2𝑥 + (1)2 + 4(1)𝑥 − 1 − 1 ⇒ 𝑟(𝑥) = 6𝑥 − 1 2(𝑥2) 2 𝑥 + (𝑥2) 2 + 4(𝑥2)𝑥 − 𝑥2 − )قدم دوم ⟹1 . 𝑎𝑛−1یکی یکی توان اضافه کن تابرسه 𝑎به ، 1توان کم کن تا برسه به عدد یکی یکی 𝑥از تعمم اتحاد چاق و الغر : 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 +⋯+ 𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) 𝑥𝑛+𝑎𝑛 د های فر 𝑛برای = (𝑥+𝑎) (𝑥𝑛−1−𝑥𝑛−2𝑎+𝑥𝑛−3𝑎2−⋯−𝑥𝑎𝑛−2+𝑎𝑛−1) 𝑥𝑛−𝑎𝑛 های زوج 𝑛برای = (𝑥+𝑎) (𝑥𝑛−1−𝑥𝑛−2𝑎+𝑥𝑛−3𝑎2−⋯−𝑥𝑎𝑛−2+𝑎𝑛−1) 41 تنها تو مثلثات بلکه توی حد مثلثات یازدهم رو حتماً بخون مخصوصا اون فرمول هایی که گفتم چون اونا خیلی به کار میان ، نه باز هم رسیدیم به مثلثات ، هم کمکتون میکنه . توی این مثلثات ، مباحث تکمیلی تر مثل معادله مثلثاتی و ... رو یادمی گیریم . برو تا بریم ... نشان می دهند . 𝑇به اون بازه ای که توش ، تابع تکرار میشه می گویند و با دوره تناوب : ، تأثیری روی دوره تناوب نداره ! عمودیباشه ، انتقال افقی یا عمودی ، انبساط یا انقباض حواست 𝑦 ⟵به توان فرد ،در توابع سینوسی و کسینوسی = 𝑎 𝑠𝑖𝑛2𝑛−1(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑇 = 2𝜋 |𝑏| 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝑛−1(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 ⟵سینوسی و کسینوسی توان زوج ،در توابع تانژانت و کتانژانت 𝑦 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 و𝑦 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛2𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑇 = 𝜋 |𝑏| 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 و𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑦در حالت کلی توابع ساده ماکسیمم و مینیمم توابع سینوس و کسینوس : = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 است . اما اگه تغییراتی در اونا بدیم دیگه اینطور نیست و باید حساب -1برابر و مینیمم 1ماکسیمم برابر کنیم. برای این کار دو روش تشریحی و تستی هست : 𝑦 به طور کلی اگر روش تشریحی ( = a cos(𝑏𝑥 + 𝑑) + 𝑐, 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥+ 𝑑)+ 𝑐 : 𝑐 = 𝑚𝑖𝑛+𝑚𝑎𝑥 2 ⟹ «𝑚𝑎𝑥 = −|𝑎| + 𝑐» و« 𝑚𝑖𝑛 = |𝑎| + 𝑐 » بود : برای پیداکردن ماکسیمم ، به جای کل منفیاگه ضریب سینوس یا کسینوس ، ( 1 رو جایگذاری می کنیم . 1رو جایگذاری می کنیم و برای مینیمم عدد -1سینوس یا کسینوس عدد رو جایگذاری -1عدد رو جایگذاری می کنیم و برای مینیمم 1اگه ضریب مثبت بود : برای ماکسیمم ، عدد (2 می کنیم . 42 شروع می کنیم : 𝑡𝑎𝑛اول با تابع : 𝑐𝑜𝑡و 𝑡𝑎𝑛توابع 𝐷 = ℝ− {𝑘𝜋 + 𝜋 2} 𝑦تابع = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 : 𝐷 = ℝ − {𝑘𝜋} 𝑡𝑎𝑛، 4و 2در ناحیه های STنکته < 𝑠𝑖𝑛 3و 1و در ناحیه های ،𝑡𝑎𝑛 > 𝑠𝑖𝑛 . است 𝒙در شکل روبه رو : = 𝒉(𝒄𝒐𝒕𝜶 − 𝒄𝒐𝒕𝜷) به معادالتی که پس از ساده شدن به صورت نسبت های مثلثاتی زاویه مجهول معادالت مثلثاتی : به فرمول ها و اتحاد های مثلثاتی نیاز ،بدست میان ، معادله مثلثاتی می گویند . برای مرحله ساده کردن صورت هستند: 4ین معادالت به داریم . ا اگه پس از ساده کردن به این صورت رسیدیم ، برای حل از فرمول های زیر 𝛼استفاده می کنیم : = 2𝑘𝜋 + 𝑥 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝛼 = 2𝑘𝜋 + (𝜋 − 𝑥) تحویل بگیری . 𝛼د بدی و عد 𝑘در اینجا جواب به صورت کلی بدست میاد )دسته جواب( ، برای اینکه جواب دقیق بدست بیاد باید به جای 45 یادگرفتیم . اینجا مباحث حرفه ای تر و تخصصی تر حد رو یاد میگیریم . 1مفاهیم اولیه حد که خیلی مهم هستند رو توی حسابان از براکت، قدر همون صفر اصلی یا همون مبدأ مختصات هست . به طور کلی هر عددی که صفر مطلق : مطلق است . بدست میاد ،مطلق و محاسبات عادی )جمع و تفریق و...( ( میگویند . +0و−0به عدد بسیار کوچک مثبت یا منفی که خیییلییی نزدیک به صفر است )صفر حدی : حد ندارد . ⟸اگه تو محاسبات به این ها رسیدیم : تعریف نشده ها مفاهیم مهم در حد : بشه ، میشه جزو تعریف نشده ها . کال هرچی تقسیم بر صفر مطلق عدد صفرمطلق ، صفرمطلق صفرمطلق ، ∞ صفرمطلق ، صفرحدی صفرمطلق و میشن تعریف نشده ها . )صفرمطلق( صفرمطلق ، خوردیم به این حالت ، جواب میشه بی نهایت که عالمتش رو طبق اگه تو فرآیند حدگیری: بی نهایت 𝐿روند زیر می گوییم . > 0 → 𝐿 0+ = +∞ , 𝐿 0− = −∞ ∞ = عدد ≠0 صفرحدی 𝐿 < 0 → 𝐿 0+ = −∞ , 𝐿 0− = +∞ عالمتشو طبق همون تعیین عالمت اعدداد که قبال بلدبودیم بگو )مثبت در مثبت میشه مثبت و...( اگه خوردیم به اینا باید رفع ابهام کنیم : : مبهم ها صفرحدی صفرحدی ، ∞ ∞ ، صفر حدی ×∞، ∞−∞، ∞ 1 . پر تکرار ترین حالت ، همون صفر صفرم هستش . ∞ صفر حدی، حدی : حاالت خاص عدد ∞ = 0 صفرحدی عدد≠0 = 0 صفرمطلق صفرحدی = 0 صفرحدی ∞ = 0 صفرمطلق ×∞ = (صفرحدی) 0 صفرمطلق = (صفرمطلق) 1 صفرحدی = 0 46 دیدیم ، حاال برای یادآوری آوردم . 1توی حسابان محاسبه حد های مبهم )صفر صفرم(: در این روش ، با ساده کاری و کار با عبارت ، عامل ابهام رو حذف می کردیم . حل می کنیم . « در نظر می گیریم و حد رو بازنویسی و 𝑡تو این روش عامل ابهام رو » هم ارزی های مختلف رو هم که آوردم ... ) برنولی ، کم توان ، مک لورن ( . مشتق صورت جدا ، مشتق مخرج جدا ... . ،یک روش خییلیی خوبه ( تغییر متغیر 4( حذف عامل ابهام 3 ( هوپیتال2( هم ارزی 1بهتره اولویت حل کردن اینطوری باشه : تست توی به طور ترکیبی استفاده کرد . یعنی اول شما با تغییر متغیر حد رو بازنویسی ، بعضی اوقات میشه از روش تغییر متغیر و هم ارزی ( ل و هم ارزی حله می کنی ، بعدش اگه شرایط هم ارزی برقرار بود ازش استفاده می کنی . ) ولی اکثر تستا با همین هوپیتا ها نزدیک 𝑦نمودار تابع به صورتی باشه که به محور ، 𝑥اگر با افزایش یا کاهش مقدار حد بی نهایت : و نزدیک تر بشه اّما به اون برخورد نکنه به اون حد بی نهایت ) مجانب قائم( می گوییم . مثال( 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0− 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3+ 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = +∞ توی صفحه قبل گفتیم که حد بی نهایت وقتی به وجود میاد که عدد≠0 صفرحدی و عالمت اون رو هم گفتیم چجوری باید تشخیص داد . 47 𝑥)( ریشه مخرج به صورت 1در حد توابع کسری اگر : STنکته − 𝛼)2 یعنی مضاعف یا 2 )𝑠𝑖𝑛 یا 𝑐𝑜𝑠 = مخرج صفر حدی میشه و معموال حالت بی نهایت داریم و نمودار آن معموال ⟸باشد ±1 یا به این صورت می شود : گاهی اوقات پیش میاد که نمیشه به راحتی عالمت صفر در مخرج رو تشخیص داد . این نکته اون جاها 𝑥به درد می خوره > 0 → 𝑡𝑎𝑛 𝑥 > 𝑥 > 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥 < 0 → 𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 𝑥 < 𝑠𝑖𝑛 𝑥 یکی از حاالت مبهم است ، برای رفع ابهام آن ابتدا باید مخرج :∞−∞رفع ابهام در حالت مشترک بگیریم ، پس از این کار به حالت صفر صفرم می رسیم و سپس رفع ابهام می کنیم . 𝑥 این با » حد بی نهایت « فرق داره ، در این نوع حد بی نهایت : در حد → یعنی توی بی نهایت ، ∞ افقی نزدیک می شوند . مقادیر تابع به خط (محدود باشه نمی تونیم حد در بی نهایت رو حساب کنیم ،طبیعتاً اگه دامنه تابع ) 𝑙𝑖𝑚مثال( 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0 رفع ابهام در حالت ∞ ∞ 𝑥وقتی که ) → برای این کار دو روش حل وجود داره : :(∞ روش نسبتًا طوالنی هست که باید با فاکتور گیری و کار با عبارت ، رفع استفاده از فاکتور گیری : ( 1 ابهام کنیم . ارزی داریم . مثل همیشه این هم ارزی ها روش بله !! اینجا هم هم استفاده از هم ارزی ها : (2 خیلی سریعی هستند که چند مدل داره : 50 شرطکنه ، مجانب قائم است به داخل لگاریتم رو صفر عددی که :مجانب قائم در توابع لگاریتمی و اگر هم داخل لگاریتم ، کسری وجود داشت ، ریشه صورت ومخرج اون منفی نکنه اینکه داخل لگاریتم رو کسر نباید یکی بشه . 𝑦درتوابع نمایی :مجانب قائم در توابع نمایی = 𝑎𝑓(𝑥) که در آن𝑓(𝑥) ، یا کسری یا لگاریتمیه عین همون کسر یا لگاریتم باهاش برخورد می کنیم . در نهایت میتونیم از اون نقاط حد بگیریم تا مطمئن بشیم . هرگاه جواب ، حد در بینهایت تابعی ، یک عدد شد اون عدد مجانب افقی تابع هست . :مجانب افقی ه از تابع در بینهایت حد بگیریم . برای پیدا کردن مجانب افقی ، فقط کافی )مثال 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏 تا مجانب افقی داشته باشه )چرا ؟(! 2حداکثر میتونه ( هرتابع2توابعی که دامنه محدود دارن ، مجانب افقی ندارن ! ( 1 𝑥اگر :نقاط تالقی مجانب قائم و مجانب افقی = 𝑎 و قائم مجانب𝑦 = 𝑏 باشه افقیمجانب، 𝐴|𝑏محل تالقی یا برخورد این دو با هم ، نقطه ای به مختصات 𝑎 یا همون𝐴(𝑎, 𝑏) . است 𝑓(𝑥)مجانب افقی باشه ، باید ابتدا 𝑏اگه :وضعیت نمودار تابع در اطراف مجانب افقی − 𝑏 رو نمودار باالی مجانب است ⟸تعیین عالمت می کنیم . اگر مثبت شد ∞±تشکیل بدیم . سپس اون رو در نمودار پایین مجانب است . ⟸اگر منفی شد 51 پیوستگی در توابع معروف : : STنکته چند همیشه پیوسته اند . چند جمله ای ها : در دامنه خود پیوسته اند ولی در ریشه های مخرج ناپیوسته اند . :توابع کسری به غیر از ریشه های مخرج ، درهمه جا 𝑐𝑜𝑡و 𝑡𝑎𝑛همیشه پیوسته اند ولی 𝑐𝑜𝑠و 𝑠𝑖𝑛 :توابع مثلثاتی د . پیوسته ان اگه فرجه فرد باشه ، همیشه پیوسته ، ولی در کل این توابع در دامنه خود پیوسته اند . :توابع رادیکالی نمایی ها همیشه پیوسته . لگاریتمی ها در دامنه خودشون پیوسته اند . :توابع نمایی و لگاریتمی کسری بود ، اگه اون تابع کسری پیوسته باشه ، همیشه پیوسته اند اما اگه درونشون :توابع قدر مطلقی خود تابع قدر مطلقی هم پیوسته است . داخل براکت عدد صحیح باشه ( 1: حالت 3مگر نیست هیچ وقت پیوسته :توابع تک براکتی پشت براکت عامل صفر کننده باشه ( 2 سه تابع نقطه ای به مینیمم بر ( 3 در هر ظابطه باید برسی شود اما به احتمال زیاد در محل اتصال ظابطه ها ، :توابع چند ظابطه ای ناپیوستگی وجود داره . 𝑙𝑖𝑚 : میشه با هوپیتال ثابت کرد که 𝑥→1 𝑥𝑛−1 𝑥𝑚−1 = 𝑛 𝑚 52 مشتق اون نقطه در در نقطه خاصی رو شیب نموداراگه بخوام به زبون ساده بگم ، به :مفهوم مشتق نمودار می گویند . 𝑥اگه نقطه :مفهوم حدی مشتق = 𝑎 : در ظابطه تابع تعریف شده باشد 𝑓(𝑎) ′ = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ توی مسائل ، راحت با اون روش هایی که قبال گفتم به !!همونطور که میبینید این خا جفتشون یک حد صفر صفرم هستند و ما هم که این کاره تفاده کنی .سرعت میتونی از این تعریف اس +𝑓همون شیب راست نقطه هست و با : مشتق راست ′(𝑎) . نمایش می دهند −𝑓همون شیب چپ نقطه هست و با :مشتق چپ ′(𝑎) . نمایش می دهند 𝑥شرط اینکه تابع در نقطه = 𝑎 : ) مشتق داشته باشد ) مشتق پذیر باشد −𝑓 =یک عدد متناهی و معلوم ′(𝑎) = 𝑓+ ′(𝑎) اگر تابعی در نقطه ای : « در آن نقطه حد دارد ⟸در آن نقطه پیوسته است ⟸مشتق پذیر باشد » برعکس این درست نیستا!! 55 مشتق تابع هموگرافیک : STP نکته ′𝑦به زبان دیگر : = 𝑑𝑒𝑡 (مخرج ) 2𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 → 𝑦′ = (𝑎 𝑑−𝑏𝑐) (𝑐𝑥+𝑑)2 هموگرافیکشبه مشتق تابع ′𝑦به زبان دیگر : = 𝑑𝑒𝑡×𝑢′ (مخرج ) 2𝑦 = 𝑎𝑢+𝑏 𝑐𝑢+𝑑 → 𝑦′ = (𝑎 𝑑−𝑏𝑐)×𝑢 (𝑐𝑢+𝑑)2 ) مخصوص کسر صورت درجه یک و دو ، مخرج درجه یک و دو ( : 23 – 13 – 12قانون 𝑦 ضرایب رو به ترتیب ستونی بچین = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ℎ𝑥2 + 𝑧𝑥+ 𝑡 𝑦′ = (𝑑𝑒𝑡ستون 2و3) +2𝑥(𝑑𝑒𝑡ستون 3و1 ) + 𝑥2(𝑑𝑒𝑡ستون 2و1 ) (مخرج ) 2 𝑓(𝑥)اگر تابع : STنکته = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) و𝑔 وℎ در𝑎 و یکی از مشتق پذیر باشند𝑔 یاℎ به ازای𝑥 = 𝑎 بقیه ،فقط از اون عبارتی که صفر میشه ) صفر کننده ( مشتق بگیر باید : 𝑓′(𝑥)صفر شوند ، برای محاسبه اش هم که عدد گذاریه ! 𝑓(𝑥)مثال( اگر = (𝑥2 − 1)(3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑓(1)آنگاه (1 چقدر است ؟ ′ 𝑥2چون عبارت − 3𝑥2)( ، صفر میشه پس فقط از همون مشتق می گیریم و سپس عدد یک رو در اون یکی عبارت 1به ازای ) 1 + 5𝑥 + 1) 𝑓′(𝑥) جایگذاری می کنیم : = 9(2𝑥) = 18𝑥 ⇒ 𝑓(1)′ = 18 ⟹ 3𝑥2 + 5𝑥 + 1 𝑥=1 → = 𝑥2) و 9 − 1)′ = 2𝑥 𝑥حاال اگه همین = 𝑎 به باال ( در عبارت صفر کننده بود 2 ، ریشه مضاعف یا مکرر ) توان⟸ 𝑓′(𝑎) = می شد . یعنی : 0 𝑓(𝑥)مثال اگه اینطوری بود : = (𝑥2 − 1)2(3𝑥2 + 5𝑥 + ، صفر میشد . 1مشتق (1 56 ( ′𝐷𝑓موجود باشه میشه دامنه مشتق ) براشون ′𝑓 ، 𝑓تمام نقاطی که از دامنه تابع مشتق : 𝐷𝑓′ = {𝑥 ∈ 𝐷𝑓| موجودباشد𝑓(𝑥)′ } ( اول خود تابع مشتق رو پیدا کنیم و بعد دامنه اش رو بیابیم 1به دو روش میشه دامنه مشتق رو پیدا کرد : این روش برای تابع رو پیدا کنیم و اون نقاطی که مشتق پذیر نیستند رو از دامنه حذف کنیم . ) ( دامنه خود 2 ( توابعی که مشتقشون سخته مناسبه ، رو داشتی که راحته ! فقط کافیه مشتق بگیری و رسم کنی 𝑓اگه ظابطه :𝑓از روی ′𝑓روش رسم رو نداشتی و فقط نمودارش رو داشتی به این نکات توجه کن تا بتونی نمودار مشتق رسم کنی: 𝑓اما اگه ظابطه ، هست 3رجه مثاال اگه تابع د همیشه یک درجه ازش کمتر باشه . ′𝑓 در بازه ای ، هر درجه ای بود ، باید 𝑓اگر میشه . 2مشتقش درجه . باشد 𝑥باالی محور در آن بازه ، ′𝑓باید صعودی اکید بود ، ،در بازه ای 𝑓اگه . باشد 𝑥محور پایین در آن بازه ، ′𝑓باید نزولی اکید بود ، ،در بازه ای 𝑓اگه ,𝑔اگه توابع مشتق تابع مرکب : 𝑓 : مشتق پذیر باشند(𝑓𝑜𝑔)′ = 𝑔′(𝑥)𝑓′(𝑔(𝑥)) یدونه پریم بزار و برو جلو 𝑓به زبون ساده : از تابع داخلی مشتق بگیر ، بعد برا 𝑓(𝑥)اگه از مشتق تابع ، دوباره مشتق بگیری آنگاه مشتق دوم پدید میاد که با مشتق دوم تابع : ′′ پیوسته باشه ′𝑓( 2مشتق پذیر باشه 𝑓( 1نشون میدن . برای اینکه تابع مشتق دوم داشته باشه باید : 3 )𝑓+ ′′(𝑎) = 𝑓− ′′(𝑎) = عدد ،فهمیدیم که مشتق یعنی همون شیب خط مماس بر تابع در نقطه ای خاص معادله خط مماس : حاال میخوایم معادله شو بنویسیم . همون معادله خطه اما به جای شیب ، مشتق تابع رو می گذاریم . «𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) » 𝑓(𝑥)ثال ( معادله خط مماس بر تابع م = 5𝑥2 − 𝑥در نقطه 3 = را بنویسید . 2 𝑦 − 17 = 20(𝑥 − 2) ⇒ 𝑦 = 20𝑥 − 23 ⟹ 𝑓(2) = 𝑓(𝑥)و 17 ′ = 10𝑥 ⇒ 𝑓(2)′ = 20 روی تابع مشتق هم هست دیگه . پس اول مشتق میگیریم ( 2و 17مماس نیست ، پس نقطه ) 2روش سریع تر : مگه مشتق تابع در نقطه 𝑦رو در معادله جایگذاری میکنیم وتمام : 2بعدش عدد = 20𝑥 + ⟹ 𝑓(2) ′ = 20 𝑦 = 20𝑥 − 23 ⟹ 23- = ⟹ 17 = 20(2) + ⟹ 𝑥 = 2, 𝑦 = 17 57 𝑓(𝑎)مقدارشان در اون نقطه برابر باشه شرط مماس بودن دو منحنی بر هم : = 𝑔(𝑎) 𝑓′(𝑎)مشتق شان باهم برابر باشد = 𝑔′(𝑎) شد باید 2معادله تالقی دو منحنی ، درجهاگر𝛥 = 0 آهنگ تغییرات متوسط: ( 1دو نوع آهنگ تغییرات داریم آهنگ تغییرات : 𝛥𝑓 𝛥𝑥 = 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1) 𝑥2−𝑥1 همون مشتق تابع میشه .آهنگ تغییرات لحظه ای : ( 2 𝑦اگر تابع : STP نکته = 𝑥𝑛 : باشد » 𝑦′ 𝑛 = 𝑛! « »𝑦′ (𝑛−1) = 𝑛! 𝑥 « » 𝑦′ (𝑛+1) = 0« مانند : • 𝑦 = 𝑥10 : 𝑦′10 = 10! 𝑦′9 = 10! 𝑥 𝑦′11 = 0 ، متناوب هستند : 4در مشتق مرتبه ، مضرب 𝑐𝑜𝑠و 𝑠𝑖𝑛توابع 𝑦 طوریه برای کسینوس هم = 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 → 𝑦′ 4 = 𝑘 4 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ⟶ 𝑦′ 8 = 𝑘 8 sin𝑘𝑥 شیب نیم مماس های چپ و راست هستند( ′𝑚و 𝑚بسازند : ) 𝜃اگر دو نیم مماس با هم زاویه 𝒕𝒂𝒏𝜽 = | 𝒎−𝒎′ 𝟏+𝒎𝒎′ |