Download Matrices Toutes Puissantes and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp(K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp(K). On pourra confondre M1(K) et K. Une matrice N de Mp(K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1, . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, . . . , Mk) désigne la matrice dia- gonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1, . . . , Mk. Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une matrice A de Mp(K) est «toute-puissante sur K» et on notera en abrégé TPK si, pour tout n ∈ N ∗, il existe une matrice B de Mp(K) telle que A = Bn. On note Tp(K) l’ensemble des matrices de Mp(K) toutes-puissantes sur K : Tp(K) = {A ∈ Mp(K) | ∀n ∈ N ∗ ∃B ∈ Mp(K) A = Bn}. L’objectif principal du sujet est d’établir le résultat suivant : toute matrice inversible de Mp(C) est TPC. Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples. Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l’étude au cas des matrices de la forme λIp+N avec N nilpotente. Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c’est-à-dire de la forme Ip+N avec N nilpotente et on en déduit le théorème principal. Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes. 2/5 Partie I : quelques exemples 1. Le cas de la taille 1 (a) Démontrer que T1(R) = [0,+∞[. (b) Soient n ∈ N ∗ et b = reiθ avec r > 0 et θ ∈ R. Donner les racines n-ièmes du nombre complexe b, c’est-à-dire les solutions de l’équation zn = b d’inconnue z ∈ C. (c) En déduire T1(C). 2. Une condition nécessaire... (a) Démontrer que si A ∈ Tp(K), alors detA ∈ T1(K). (b) En déduire un exemple de matrice de M2(R) qui n’est pas TPR. 3. ...mais pas suffisante Soit A = (−1 0 0 −2 ) . Démontrer qu’il n’existe aucune matrice B = ( a b c d ) de M2(R) telle que A = B2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n’est pas suffisante. 4. Un cas où A est diagonalisable Soit A = ⎛ ⎜⎝ 0 3 2 −2 5 2 2 −3 0 ⎞ ⎟⎠. (a) Démontrer que A est diagonalisable sur R (le détail des calculs n’est pas demandé). (b) Démontrer que la matrice A est TPR. (c) Pour chacun des cas n = 2 et n = 3, expliciter une matrice B de M3(R) vérifiant Bn = A (on pourra utiliser la calculatrice). 5. Un exemple de nature géométrique Soit A = (−1 0 0 −1 ) . (a) Justifier que A est la matrice d’une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l’angle. (b) En déduire que A est TPR. 6. Le cas des matrices nilpotentes Soit N une matrice nilpotente de Mp(K). (a) Déterminer le polynôme caractéristique de N , en déduire que Np = 0. (b) Démontrer que si N est TPK, alors N est la matrice nulle. 3/5
