Lecture 2: Supervised Learning Introduction in Machine Learning, Study notes of Software Engineering

Download Lecture 2: Supervised Learning Introduction in Machine Learning and more Study notes Software Engineering in PDF only on Docsity! Lecture 2: Supervised learning introduction CSI 5v93: Introduction to machine learning Baylor University Computer Science Department Dr. Greg Hamerly http://cs.baylor.edu/˜hamerly/ CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 1/24 General announcements • First assignment: due January 20th (see the website). • Get the book ASAP if you don’t have it. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 2/24 Questions? CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 3/24 Chapter 2: Overview of supervised learning • 2.1 – Introduction • 2.2 – Variable types and terminology • 2.3 – Two simple approaches to prediction: Least squares and nearest neighbors • 2.4 – Statistical decision theory • 2.5 – Local methods in high dimensions • 2.6 – Statistical models, supervised learning, and function approximation • 2.7 – Structured regression models • 2.8 – Classes of restricted estimators • 2.9 – Model selection and the bias-variance tradeoff CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 4/24 Least squares error function We can rewrite the last equation as: RSS(β) = (y − Xβ)T (y − Xβ)(4) Taking the derivative with respect to β, setting to zero, we get: X T (y − Xβ) = 0(5) If XT X is nonsingular, then the unique solution is given by: β̂ = (XT X)−1XT y(6) We will derive this later, see section 3.2 in your book. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 9/24 Linear regression application Linear Regression of 0/1 Response .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 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oo o o oo oo o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o Input: 2-dimensions. Output: GREEN or RED (coded as 0/1). Note: we have used a regression model for a classification problem. Predict RED if Ŷ > 0.5, or GREEN if Ŷ ≤ 0.5. The linear model makes strict assumptions. If the data does not fit a linear model we have misclassifications. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 10/24 Nearest neighbors (2.3.2) Instead of using a linear model, let’s use the points near the query to classify it. Ŷ (x) = 1 k ∑ xi∈Nk(x) yi(7) Where the Nk(x) is the neighborhood of k points closest to x. This is an average of the nearest neighbors. Here we don’t assume a linear model, or any model. We do have to choose k, however. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 11/24 15-Nearest neighbor classifier 15-Nearest Neighbor Classifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o We still make misclassifications, but we make fewer than the linear model. Note the shape of the boundary, which is determined by the red/green points. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 12/24 1-Nearest neighbor classifier 1-Nearest Neighbor Classifier .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o We can get perfect performance on the training set if we use k = 1. However, this does not generalize well. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 13/24 Number of parameters to estimate Small # parameters −→ large # parameters Linear Regression of 0/1 Response .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o For linear regression, we estimate d + 1 parameters, where here d = 2. For nearest-neighbors, we estimate roughly N/k parameters. More parameters → more flexibility → harder to learn → need lots of data. Machine learning must deal with the tradeoff between model flexibility and model stability/learnability. This is often called the bias-variance tradeoff. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 14/24 Averaging over data Nearest neighbor methods average over training data in a neighborhood near the input point: f̂(x) = Ave(yi|xi ∈ Nk(x))(14) This is an approximation to computing the expected output for the given input. Linear regression also averages over the training data. Both compute averages, but have dramatic differences: • least-squares assumes f(x) is well-approximated by a globally linear function • k-nearest neighbors assumes f(x) is well-approximated by a locally constant function CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 19/24 Classifiers and Bayes classifier For a classifier, we define the loss function as L(k, l) is the cost of classifying an observation of true class Gk as Gl If we assume that the losses are 0 or 1: • L(k, l) = 0 if k = l • L(k, l) = 1 if k 6= l then we obtain the Bayes classifier: Ĝ(X) = Gk if Pr(Gk|X = x) = max g∈G Pr(g|X = x)(15) The Bayes classifier always chooses the most probable class. The error rate of the Bayes classifier is called the Bayes error rate. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 20/24 Optimal Bayes classifier Bayes Optimal Classifier .. . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o The classifier shown here comes from the known distribution that generated the data, not from the data itself. Therefore it is optimal. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 21/24 Dimensionality problems (2.5) Even though the k-nearest neighbor classifier seems like it will do everything we need, it has problems when the input dimension is high. This is known as the “curse of dimensionality”, and it affects every learning algorithm (though some worse than others). Basic idea: in higher dimensions, everything looks far away. Example explanation: the Euclidean distance formula is d(x, y) = √ √ √ √ d ∑ i=1 (xi − yi)2(16) As d increases, there are more added terms. Distances get large. CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 22/24 The curse: another example 1 1 0 Unit Cube Fraction of Volume D is ta nc e 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 d=1 d=2 d=3 d=10 Neighborhood Right graph shows the required sidelength to capture the given fraction of volume in a unit hypercube for different dimensions. For d = 10, to capture just 10% of the volume requires a box with sidelength 80%! CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 23/24 2-minute journal Please write a response to the following on a piece of paper and hand it in immediately. Please make it anonymous (no names). Write about: • major points you learned today • areas not understood or requiring clarification CSI 5v93: Introduction to machine learning, Lecture 2 – p. 24/24