PARTIAL FRACTIONS C4 Worksheet A, Lecture notes of Calculus

Download PARTIAL FRACTIONS C4 Worksheet A and more Lecture notes Calculus in PDF only on Docsity!  Solomon Press PARTIAL FRACTIONS C4 Worksheet A 1 Find the values of the constants A and B in each identity. a x − 8 ≡ A(x − 2) + B(x + 4) b 6x + 7 ≡ A(2x − 1) + B(x + 2) 2 Find the values of the constants A and B in each identity. a 2 ( 1)( 3)x x+ + ≡ 1 A x + + 3 B x + b 3 ( 1) x x x − − ≡ A x + 1 B x − c 1 ( 3)( 5) x x x + − − ≡ 3 A x − + 5 B x − d 10 (1 )(2 ) x x x + + − ≡ 1 A x+ + 2 B x− e 2 4 1 2 x x x − + − ≡ 2 A x + + 1 B x − f 2 9 4 3 x x x − − + ≡ 1 A x − + 3 B x − 3 Express in partial fractions a 8 ( 1)( 3)x x− + b 1 ( 2)( 3) x x x − + + c 10 ( 4)( 1) x x x+ − d 2 5 7x x x + + e 2 2 5 4 x x x + − + f 2 4 6 9 x x + − g 2 3 2 2 24 x x x + − − h 2 38 12 x x x − − − i 4 5 (2 1)( 3) x x x − + − j 1 3 (3 4)(2 1) x x x − + + k 2 1 3 x x x + − l 2 5 2 3 2x x+ − m 2 2( 5) 8 10 3 x x x + + − n 2 3 7 2 3 x x x − − − o 2 1 3 1 2 x x x − − − 4 Find the values of the constants A, B and C in each identity. a 3x2 + 17x − 32 ≡ A(x − 1)(x + 3) + B(x − 1)(x − 4) + C(x + 3)(x − 4) b 14x + 2 ≡ A(x + 1)(x − 2) + B(x + 1)(3x − 1) + C(x − 2)(3x − 1) c x2 + x + 12 ≡ A(x + 1)2 + B(x + 1)(x + 5) + C(x + 5) d 4(5x2 + 4) ≡ A(2x + 1)2 + B(2x + 1)(x − 3) + C(x − 3) 5 Find the values of the constants A, B and C in each identity. a 8 14 ( 2)( 1)( 3) x x x x + − + + ≡ 2 A x − + 1 B x + + 3 C x + b 22 6 20 ( 1)( 2)( 6) x x x x x − + + + − ≡ 1 A x + + 2 B x + + 6 C x − c 2 9 14 ( 4)( 1) x x x − + − ≡ 4 A x + + 1 B x − + 2( 1) C x − d 2 2 3 7 4 ( 3)( 2) x x x x − − − − ≡ 3 A x − + 2 B x − + 2( 2) C x −  Solomon Press 6 Express in partial fractions a 22 4 ( 1)( 4) x x x x + − − b 2 9 ( 2)( 1)x x− + c 2 11 21 (2 1)( 2)( 3) x x x x x + − + − − d 2 10 9 ( 4)( 3) x x x + − + e 2 2 4 5 ( 1)( 2) x x x x + + + + f 2 16 2 ( 3)( 4) x x x − − − g 2 2 9 ( 3)(2 1) x x x − − − h 2 2 3 24 4 ( 1)( 4) x x x x + − + − i 2 3 2 9 2 12 6 x x x x x − − + − j 2 3 2 5 3 20 4 x x x x + − + k 2 2 13 3 (2 3)( 1) x x x − + − l 226 ( 1)( 3)( 5) x x x x x − − − + + 7 Find the values of the constants A, B and C in each identity. a 2 ( 2)( 6) x x x− − ≡ A + 2 B x − + 6 C x − b 2 2 2 9 4 5 x x x x + + + − ≡ A + 1 B x − + 5 C x + 8 a Find the quotient and remainder obtained in dividing (x3 + 4x2 − 2) by (x2 + x − 2). b Hence, express 3 2 2 4 2 2 x x x x + − + − in partial fractions. 9 Express in partial fractions a 2 3 ( 3)( 1) x x x + − + b 3 2 2 3 2 4 x x x x − − + − c 2 2 2 7 6 8 x x x x + + + d 3( 1)( 1) ( 4)( 5) x x x x + − − + e 3 2 2 3 7 4 4 3 x x x x + + + + f 2 2 4 7 5 2 7 3 x x x x − + − + g 2 2 2 2 3 x x x− − h 3 2 2 6 6 1 6 5 x x x x x − + + − + i 3 2 9 27 2 3 4 4 x x x x − − − − 10 f(x) = 5 ( 1)(2 1) x x x + − + . a Express f(x) in partial fractions. b Find the exact x-coordinates of the stationary points of the curve y = f(x). 11 f(x) = 2 (4 5) ( 1)( 2) x x x x + − + . a Find the values of the constants A, B and C such that f(x) = 1 A x − + 2 B x + + 2( 2) C x + . b Show that the tangent to the curve y = f(x) at the point where x = −1 has the equation 3x − 4y + 5 = 0. C4 PARTIAL FRACTIONS Worksheet A continued C4 PARTIAL FRACTIONS Answers - Worksheet A page 2  Solomon Press i 4 5 (2 1)( 3) x x x − + − ≡ 2 1 A x + + 3 B x − j 1 3 (3 4)(2 1) x x x − + + ≡ 3 4 A x + + 2 1 B x + 4x − 5 ≡ A(x − 3) + B(2x + 1) 1 − 3x ≡ A(2x + 1) + B(3x + 4) x = 1 2− ⇒ −7 = 7 2− A ⇒ A = 2 x = 4 3− ⇒ 5 = 5 3− A ⇒ A = −3 x = 3 ⇒ 7 = 7B ⇒ B = 1 x = 1 2− ⇒ 5 2 = 5 2 B ⇒ B = 1 ∴ 4 5 (2 1)( 3) x x x − + − ≡ 2 2 1x + + 1 3x − ∴ 1 3 (3 4)(2 1) x x x − + + ≡ 1 2 1x + − 3 3 4x + k 1 (1 3 ) x x x + − ≡ A x + 1 3 B x− l 5 (2 1)( 2)x x− + ≡ 2 1 A x − + 2 B x + x + 1 ≡ A(1 − 3x) + Bx 5 ≡ A(x + 2) + B(2x − 1) x = 0 ⇒ A = 1 x = 1 2 ⇒ 5 = 5 2 A ⇒ A = 2 x = 1 3 ⇒ 4 3 = 1 3 B ⇒ B = 4 x = −2 ⇒ 5 = −5B ⇒ B = −1 ∴ 2 1 3 x x x + − ≡ 1 x + 4 1 3x− ∴ 2 5 2 3 2x x+ − ≡ 2 2 1x − − 1 2x + m 2 10 (4 1)(2 3) x x x + − + ≡ 4 1 A x − + 2 3 B x + n 3 7 ( 1)( 3) x x x − + − ≡ 1 A x + + 3 B x − 2x + 10 ≡ A(2x + 3) + B(4x − 1) 3x − 7 ≡ A(x − 3) + B(x + 1) x = 1 4 ⇒ 21 2 = 7 2 A ⇒ A = 3 x = −1 ⇒ −10 = −4A ⇒ A = 5 2 x = 3 2− ⇒ 7 = −7B ⇒ B = −1 x = 3 ⇒ 2 = 4B ⇒ B = 1 2 ∴ 2 2( 5) 8 10 3 x x x + + − ≡ 3 4 1x − − 1 2 3x + ∴ 2 3 7 2 3 x x x − − − ≡ 5 2( 1)x + + 1 2( 3)x − o 1 3 (1 )(1 2 ) x x x − + − ≡ 1 A x+ + 1 2 B x− 1 − 3x ≡ A(1 − 2x) + B(1 + x) x = −1 ⇒ 4 = 3A ⇒ A = 4 3 x = 1 2 ⇒ 1 2− = 3 2 B ⇒ B = 1 3− ∴ 2 1 3 1 2 x x x − − − ≡ 4 3(1 )x+ − 1 3(1 2 )x− 4 a x = 4 ⇒ 84 = 21A ⇒ A = 4 x = −3 ⇒ −56 = 28B ⇒ B = −2 x = 1 ⇒ −12 = −12C ⇒ C = 1 b x = 1 3 ⇒ 20 3 = 20 9− A ⇒ A = −3 x = 2 ⇒ 30 = 15B ⇒ B = 2 x = −1 ⇒ −12 = 12C ⇒ C = −1 c x = −5 ⇒ 32 = 16A ⇒ A = 2 x = −1 ⇒ 12 = 4C ⇒ C = 3 coeffs of x2 ⇒ 1 = A + B ⇒ B = −1 d x = 3 ⇒ 196 = 49A ⇒ A = 4 x = 1 2− ⇒ 21 = 7 2− C ⇒ C = −6 coeffs of x2 ⇒ 20 = 4A + 2B ⇒ B = 2 C4 PARTIAL FRACTIONS Answers - Worksheet A page 3  Solomon Press 5 a 8x + 14 ≡ A(x + 1)(x + 3) + B(x − 2)(x + 3) + C(x − 2)(x + 1) x = 2 ⇒ 30 = 15A ⇒ A = 2 x = −1 ⇒ 6 = −6B ⇒ B = −1 x = −3 ⇒ −10 = 10C ⇒ C = −1 b 2x2 − 6x + 20 ≡ A(x + 2)(x − 6) + B(x + 1)(x − 6) + C(x + 1)(x + 2) x = −1 ⇒ 28 = −7A ⇒ A = −4 x = −2 ⇒ 40 = 8B ⇒ B = 5 x = 6 ⇒ 56 = 56C ⇒ C = 1 c 9x − 14 ≡ A(x − 1)2 + B(x + 4)(x − 1) + C(x + 4) x = −4 ⇒ −50 = 25A ⇒ A = −2 x = 1 ⇒ −5 = 5C ⇒ C = −1 coeffs of x2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = 2 d 3x2 − 7x − 4 ≡ A(x − 2)2 + B(x − 3)(x − 2) + C(x − 3) x = 3 ⇒ A = 2 x = 2 ⇒ −6 = −C ⇒ C = 6 coeffs of x2 ⇒ 3 = A + B ⇒ B = 1 6 a 22 4 ( 1)( 4) x x x x + − − ≡ A x + 1 B x − + 4 C x − 2x2 + 4 ≡ A(x − 1)(x − 4) + Bx(x − 4) + Cx(x − 1) x = 0 ⇒ 4 = 4A ⇒ A = 1 x = 1 ⇒ 6 = −3B ⇒ B = −2 x = 4 ⇒ 36 = 12C ⇒ C = 3 ∴ 22 4 ( 1)( 4) x x x x + − − ≡ 1 x − 2 1x − + 3 4x − b 2 9 ( 2)( 1)x x− + ≡ 2 A x − + 1 B x + + 2( 1) C x + 9 ≡ A(x + 1)2 + B(x − 2)(x + 1) + C(x − 2) x = 2 ⇒ 9 = 9A ⇒ A = 1 x = −1 ⇒ 9 = −3C ⇒ C = −3 coeffs of x2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = −1 ∴ 2 9 ( 2)( 1)x x− + ≡ 1 2x − − 1 1x + − 2 3 ( 1)x + c 2 11 21 (2 1)( 2)( 3) x x x x x + − + − − ≡ 2 1 A x + + 2 B x − + 3 C x − x2 + 11x − 21 ≡ A(x − 2)(x − 3) + B(2x + 1)(x − 3) + C(2x + 1)(x − 2) x = 1 2− ⇒ 105 4− = 35 4 A ⇒ A = −3 x = 2 ⇒ 5 = −5B ⇒ B = −1 x = 3 ⇒ 21 = 7C ⇒ C = 3 ∴ 2 11 21 (2 1)( 2)( 3) x x x x x + − + − − ≡ 3 3x − − 3 2 1x + − 1 2x − d 2 10 9 ( 4)( 3) x x x + − + ≡ 4 A x − + 3 B x + + 2( 3) C x + 10x + 9 ≡ A(x + 3)2 + B(x − 4)(x + 3) + C(x − 4) x = 4 ⇒ 49 = 49A ⇒ A = 1 x = −3 ⇒ −21 = −7C ⇒ C = 3 coeffs of x2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = −1 ∴ 2 10 9 ( 4)( 3) x x x + − + ≡ 1 4x − − 1 3x + + 2 3 ( 3)x + C4 PARTIAL FRACTIONS Answers - Worksheet A page 4  Solomon Press e 2 2 4 5 ( 1)( 2) x x x x + + + + ≡ 1 A x + + 2 B x + + 2( 2) C x + x2 + 4x + 5 ≡ A(x + 2)2 + B(x + 1)(x + 2) + C(x + 1) x = −1 ⇒ A = 2 x = −2 ⇒ 1 = −C ⇒ C = −1 coeffs of x2 ⇒ 1 = A + B ⇒ B = −1 ∴ 2 2 4 5 ( 1)( 2) x x x x + + + + ≡ 2 1x + − 1 2x + − 2 1 ( 2)x + f 16 2 ( 3)( 2)( 2) x x x x − − + − ≡ 3 A x − + 2 B x + + 2 C x − 16 − 2x ≡ A(x + 2)(x − 2) + B(x − 3)(x − 2) + C(x − 3)(x + 2) x = 3 ⇒ 10 = 5A ⇒ A = 2 x = −2 ⇒ 20 = 20B ⇒ B = 1 x = 2 ⇒ 12 = −4C ⇒ C = −3 ∴ 2 16 2 ( 3)( 4) x x x − − − ≡ 2 3x − + 1 2x + − 3 2x − g 2 2 9 ( 3)(2 1) x x x − − − ≡ 3 A x − + 2 1 B x − + 2(2 1) C x − 2 − 9x ≡ A(2x − 1)2 + B(x − 3)(2x − 1) + C(x − 3) x = 3 ⇒ −25 = 25A ⇒ A = −1 x = 1 2 ⇒ 5 2− = 5 2− C ⇒ C = 1 coeffs of x2 ⇒ 0 = 4A + 2B ⇒ B = 2 ∴ 2 2 9 ( 3)(2 1) x x x − − − ≡ 2 2 1x − + 2 1 (2 1)x − − 1 3x − h 2 2 3 24 4 ( 1)( 4) x x x x + − + − ≡ 1 A x + + 4 B x − + 2( 4) C x − 3 + 24x − 4x2 ≡ A(x − 4)2 + B(x + 1)(x − 4) + C(x + 1) x = −1 ⇒ −25 = 25A ⇒ A = −1 x = 4 ⇒ 35 = 5C ⇒ C = 7 coeffs of x2 ⇒ −4 = A + B ⇒ B = −3 ∴ 2 2 3 24 4 ( 1)( 4) x x x x + − + − ≡ 2 7 ( 4)x − − 3 4x − − 1 1x + i 29 2 12 ( 3)( 2) x x x x x − − + − ≡ A x + 3 B x + + 2 C x − 9x2 − 2x − 12 ≡ A(x + 3)(x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 3) x = 0 ⇒ −12 = −6A ⇒ A = 2 x = −3 ⇒ 75 = 15B ⇒ B = 5 x = 2 ⇒ 20 = 10C ⇒ C = 2 ∴ 2 3 2 9 2 12 6 x x x x x − − + − ≡ 2 x + 5 3x + + 2 2x − j 2 2 5 3 20 ( 4) x x x x + − + ≡ A x + 2 B x + 4 C x + 5x2 + 3x − 20 ≡ Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2 x = 0 ⇒ −20 = 4B ⇒ B = −5 x = −4 ⇒ 48 = 16C ⇒ C = 3 coeffs of x2 ⇒ 5 = A + C ⇒ A = 2 ∴ 2 3 2 5 3 20 4 x x x x + − + ≡ 2 x − 2 5 x + 3 4x + k 2 2 13 3 (2 3)( 1) x x x − + − ≡ 2 3 A x + + 1 B x − + 2( 1) C x − 13 − 3x2 ≡ A(x − 1)2 + B(2x + 3)(x − 1) + C(2x + 3) x = 3 2− ⇒ 25 4 = 25 4 A ⇒ A = 1 x = 1 ⇒ 10 = 5C ⇒ C = 2 coeffs of x2 ⇒ −3 = A + 2B ⇒ B = −2 ∴ 2 2 13 3 (2 3)( 1) x x x − + − ≡ 1 2 3x + − 2 1x − + 2 2 ( 1)x − C4 PARTIAL FRACTIONS Answers - Worksheet A page 7  Solomon Press e ∴ 3 2 2 3 7 4 4 3 x x x x + + + + ≡ 3x − 5 + 2 11 19 4 3 x x x + + + 11 19 ( 1)( 3) x x x + + + ≡ 1 A x + + 3 B x + 11x + 19 ≡ A(x + 3) + B(x + 1) x = −1 ⇒ 8 = 2A ⇒ A = 4 x = −3 ⇒ −14 = −2B ⇒ B = 7 ∴ 3 2 2 3 7 4 4 3 x x x x + + + + ≡ 3x − 5 + 4 1x + + 7 3x + f ∴ 2 2 4 7 5 2 7 3 x x x x − + − + ≡ 2 + 2 7 1 2 7 3 x x x − − + 7 1 (2 1)( 3) x x x − − − ≡ 2 1 A x − + 3 B x − 7x − 1 ≡ A(x − 3) + B(2x − 1) x = 1 2 ⇒ 5 2 = 5 2− A ⇒ A = −1 x = 3 ⇒ 20 = 5B ⇒ B = 4 ∴ 2 2 4 7 5 2 7 3 x x x x − + − + ≡ 2 − 1 2 1x − + 4 3x − g ∴ 2 2 2 2 3 x x x− − ≡ 2 + 2 4 6 2 3 x x x + − − 4 6 ( 1)( 3) x x x + + − ≡ 1 A x + + 3 B x − 4x + 6 ≡ A(x − 3) + B(x + 1) x = −1 ⇒ 2 = −4A ⇒ A = 1 2− x = 3 ⇒ 18 = 4B ⇒ B = 9 2 ∴ 2 2 2 2 3 x x x− − ≡ 2 − 1 2( 1)x + + 9 2( 3)x − 3x − 5 x2 + 4x + 3 3x3 + 7x2 + 0x + 4 3x3 + 12x2 + 9x − 5x2 − 9x + 4 − 5x2 − 20x − 15 11x + 19 2 2x2 − 7x + 3 4x2 − 7x + 5 2x2 − 14x + 6 7x − 1 2 x2 − 2x − 3 2x2 + 0x + 0 2x2 − 4x − 6 4x + 6 C4 PARTIAL FRACTIONS Answers - Worksheet A page 8  Solomon Press h ∴ 3 2 2 6 6 1 6 5 x x x x x − + + − + ≡ x + 2 1 6 5 x x x + − + 1 ( 1)( 5) x x x + − − ≡ 1 A x − + 5 B x − x + 1 ≡ A(x − 5) + B(x − 1) x = 1 ⇒ 2 = −4A ⇒ A = 1 2− x = 5 ⇒ 6 = 4B ⇒ B = 3 2 ∴ 3 2 2 6 6 1 6 5 x x x x x − + + − + ≡ x − 1 2( 1)x − + 3 2( 5)x − i ∴ 3 2 9 27 2 3 4 4 x x x x − − − − ≡ 3x + 4 + 2 14 3 4 4 x x x + − − 14 (3 2)( 2) x x x + + − ≡ 3 2 A x + + 2 B x − x + 14 ≡ A(x − 2) + B(3x + 2) x = 2 3− ⇒ 40 3 = 8 3− A ⇒ A = −5 x = 2 ⇒ 16 = 8B ⇒ B = 2 ∴ 3 2 9 27 2 3 4 4 x x x x − − − − ≡ 3x + 4 − 5 3 2x + + 2 2x − 10 a 5 ( 1)(2 1) x x x + − + ≡ 1 A x − + 2 1 B x + 11 a x(4x + 5) ≡ A(x + 2)2 + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1) x + 5 ≡ A(2x + 1) + B(x − 1) x = 1 ⇒ 9 = 9A ⇒ A = 1 x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2 x = −2 ⇒ 6 = −3C ⇒ C = −2 x = 1 2− ⇒ 9 2 = 3 2− B ⇒ B = −3 coeffs x2 ⇒ 4 = A + B ⇒ B = 3 ∴ f(x) = 2 1x − − 3 2 1x + b x = −1 ∴ y = 1 2 b f ′(x) = −2(x − 1)−2 + 3(2x + 1)−2 × 2 f(x) = (x − 1)−1 + 3(x + 2)−1 − 2(x + 2)−2 = 2 6 (2 1)x + − 2 2 ( 1)x − f ′(x) = −(x − 1)−2 − 3(x + 2)−2 + 4(x + 2)−3 SP: 2 6 (2 1)x + − 2 2 ( 1)x − = 0 grad = 1 4− − 3 + 4 = 3 4 6(x − 1)2 − 2(2x + 1)2 = 0 ∴ y − 1 2 = 3 4 (x + 1) x2 + 10x − 2 = 0 4y − 2 = 3x + 3 x = 10 100 8 2 − ± + 3x − 4y + 5 = 0 x = −5 ± 3 3 x x2 − 6x + 5 x3 − 6x2 + 6x + 1 x3 − 6x2 + 5x x + 1 3x + 4 3x2 − 4x − 4 9x3 + 0x2 − 27x − 2 9x3 − 12x2 − 12x 12x2 − 15x − 2 12x2 − 16x − 16 x + 14  Solomon Press PARTIAL FRACTIONS C4 Answers - Worksheet B 1 22 ≡ A(x + 4) + B(2x − 3) x = 3 2 ⇒ 22 = 11 2 A ⇒ A = 4 x = −4 ⇒ 22 = −11B ⇒ B = −2 2 x + 5 ≡ A(x − 3)2 + B(x + 1)(x − 3) + C(x + 1) x = −1 ⇒ 4 = 16A ⇒ A = 1 4 x = 3 ⇒ 8 = 4C ⇒ C = 2 coeffs of x2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = 1 4− 3 4x2 − 16x − 7 ≡ A(2x − 1)(x − 4) + B(x − 4) + C(2x − 1) x = 4 ⇒ −7 = 7C ⇒ C = −1 x = 1 2 ⇒ −14 = 7 2− B ⇒ B = 4 coeffs of x2 ⇒ 4 = 2A ⇒ A = 2 4 a f(1) = 3 + 11 + 8 − 4 = 18 f(−1) = −3 + 11 − 8 − 4 = −4 f(2) = 24 + 44 + 16 − 4 = 80 f(−2) = −24 + 44 − 16 − 4 = 0 ∴ (x + 2) is a factor ∴ f(x) = (x + 2)(3x2 + 5x − 2) = (3x − 1)(x + 2)2 b 16 f ( ) x x + ≡ 3 1 A x − + 2 B x + + 2( 2) C x + x + 16 ≡ A(x + 2)2 + B(3x − 1)(x + 2) + C(3x − 1) x = 1 3 ⇒ 49 3 = 49 9 A ⇒ A = 3 x = −2 ⇒ 14 = −7C ⇒ C = −2 coeffs of x2 ⇒ 0 = A + 3B ⇒ B = −1 ∴ 16 f ( ) x x + ≡ 3 3 1x − − 1 2x + − 2 2 ( 2)x + 5 2 1 (2 1)x x − ≡ A x + 2 1 B x − + 2(2 1) C x − 1 ≡ A(2x − 1)2 + Bx(2x − 1) + Cx x = 0 ⇒ A = 1 x = 1 2 ⇒ 1 = 1 2 C ⇒ C = 2 coeffs of x2 ⇒ 0 = 4A + 2B ⇒ B = −2 ∴ f(x) = 1 x − 2 2 1x − + 2 2 (2 1)x − 3x2 + 5x − 2 x + 2 3x3 + 11x2 + 8x − 4 3x3 + 6x2 5x2 + 8x 5x2 + 10x − 2x − 4 − 2x − 4