Perturbation Theory: Expressing a Perturbed Hamiltonian and Finding Stationary States, Slides of Classical Mechanics

Download Perturbation Theory: Expressing a Perturbed Hamiltonian and Finding Stationary States and more Slides Classical Mechanics in PDF only on Docsity! Perturbation  Docsity.com Perturbed System  • Simple system with added effect. – Basic Lagrangian L0  – Perturbing term U    • Express as a perturbed  Hamiltonian.  – Formed in the usual way    • Write as a first‐order power  series.  –  = 1 for perturbed motion  ),,(),,(),,( 0 tqqUtqqLtqqL   jjjjj ppq U q Lp         0 ULL  0 ULqptpqH jj  0),,( ),,(),,(),,( 0 tpqVtpqHtpqH  VHH  0 Docsity.com Periodic Variables  • All dynamic variables are  expressed as periodic functions of  both old and new angle variables.  – Differ by a periodic function  – Unit period    • Terms are also periodic in old  angles.  – Choose to have mean = 0         kk kk J S J Sww 2210  )( )( 0 2 0 1 k k k k w J S w J S                 Docsity.com Equating Terms  • The mean value can be found for  each term in the Hamiltonian  – Split V into average and  oscillating term      – Can solve for S1, S2   ),()( 0 0 10 1 wJVw S J HJH k k       ),()( 01 wJVJH  k k lk lk w S J W w S w S JJ HJH 0 1 0 1 0 10 2 2 )(             0 0 1 0 2 0 0 1 0 10 2                          osc k k k k osc lk lk w S J V w Sv w S w S JJ H WVV  0),( 0 0 1 0   wJW w Sv k k Docsity.com Perturbed Charge  • Charge under two forces  – Attractive Coulomb force  – Uniform magnetic field      • Let the magnetic field be a  perturbation.  r ZeA c ep m H 22 2 1         X Y Z   r Zep m H 2 2 0 2 1   ByAx 2 1  BxAy 2 1  0zA Docsity.com