Physics 1120: Simple Harmonic Motion Solutions, Lecture notes of Physics

Download Physics 1120: Simple Harmonic Motion Solutions and more Lecture notes Physics in PDF only on Docsity!                         Questions: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Physics 1120: Simple Harmonic Motion Solutions 1.  A 1.75−kg particle moves as function of time as follows: x = 4cos(1.33t+π/5) where distance is measured in metres and time in seconds.  (a) What is the amplitude, frequency, angular frequency, and period of this motion?  (b) What is the equation of the velocity of this particle?  (c) What is the equation of the acceleration of this particle? (d) What is the spring constant?  (e) At what next time t > 0, will the object be:  i.  at equilibrium and moving to the right, ii.  at equilibrium and moving to the left, iii.  at maximum amplitude, and iv.  at minimum amplitude. (a) First write the general expression on top of the given expression x = Acos(ωt + ϕ0 ) x = 4cos(1.33t + π/5) Immediately, we get A = 4 m, ω = 1.33 rad/s, and ϕ0 = π/5. Since ω = 2π / T = 2πf, we get T = 2π /1.33 rad/s = 4.724 s, and f = ω / 2π = 0.2117 s−1.  (b) The velocity is given by the first derivative of position with respect to time v = −ωAsin(ωt + ϕ0) . With the given values, we get v = −5.32sin(1.33t + π/5) . (c) The acceleration is given by the second of position with respect to time, or the first derivative of the velocity with respect to time, a = −ω2A cos(ωt + π/5) . With the given values, we get a = −7.08cos(1.33t + π/5) . (d) We have the relation that ω2 = K/m, so K = ω2m = (1.33 rad/s)2(1.75 kg) = 3.0956 N/m . (e) (i) & (ii) We know that at equilibrium x = 0. We also know that there are two places where this happens, one where is the velocity is positive and the object is moving to the right, and one where the velocity is negative and the object is moving to the left. So first let's set x = 0, 0 = 4cos(ωt + π/5) . We can divide through by 4, and we get  0 = cos(ωt + π/5) . Taking the inverse of both sides, the solution is ωt + π/5 = cos−1(0) , and thus,  t = [cos−1(0) − π/5] / ω . Now cos−1(0) has many solutions, all the angles in radians for which the cosine is zero. This occurs for angles θ = π/2, θ = −π/2, θ = 3π/2, θ = −3π/2, and so on. This is usually expressed θ = nπ/2,       where n = ±1, ±3, ±5, … So our solutions for t are in the form t = [nπ/2 − π/5] / ω,       where n = ±1, ±3, ±5, … The first nonzero time when x = 0 occurs for n = +1, t1 = [π/2 − π/5] / = 0.7086 s. The second nonzero time occurs when n = +2, t2 = [3π/2 − π/5] / = 3.0707 s. To tell which has the object moving to the right and which to the left we examine the velocity  v1 = −5.32sin(1.33t1 + π/5) = −5.32sin(π/2) = −5.32 m/s, v2 = −5.32sin(1.33t2 + π/5) = −5.32sin(3π/2) = +5.32 m/s. We see that the object is moving to the left, has negative velocity, at t = t1 = 0.7086 s, and is moving to the right at t = t2 = 3.0707 s. (iii) At maximum amplitude, x = +4, so we have 4 = 4cos(ωt + π/5) . Dividing through by 4, we get 1 = cos(ωt + π/5) Taking the inverse of both sides, the solution is  ωt + π/5 = cos−1(1) , and thus,  (iii) t = 4.252 s, and (iv) t = 1.890 s. 2.  If the amplitude in Question #1 is doubled, how would yours answers change?  Simple Harmonic Motion is independent of amplitude. Our answers to Question #1 would not change. 3.  What are the equations for the potential and kinetic energies of the particle in Question #1? What is the total energy? The potential energy is spring potential energy and is given by U = ½Kx2, so U = ½(3.0956)[4cos(1.33t + π/5)] 2 = 24.76cos2(1.33t + π/5) . The kinetic energy is given by K = ½mv2, so K = ½(1.75)[−5.32sin(1.33t + π/5)] 2 = 24.76sin2(1.33t + π/5) . The total energy is the sum of potential and kinetic energies, E = U + K = 24.76 J . 4.  The diagram below shows the motion of a 2.00−kg mass on a horizontal spring. Draw the reference circle. Find the phase constant. Write down the equation of the displacement as a function of time. What is the spring constant? What is the total energy? What is the maximum speed? What is the maximum acceleration? When exactly will the mass be at equilibrium and moving to the right? When exactly will the mass be at point C? Examining the graph we see that the largest displacement is 10 cm, so A = 0.10 m. We also see that the motion repeats every 0.2 seconds, so T = 0.2 s. Angular frequency is related to the period by ω = 2π/T, so ω = 10π. At t = 0, we can read from the side of the graph that x = ­7.5 cm = ­0.075 m. The negative x position puts the object at either quadrant II or III of the reference circle. To decide which quadrant is correct, note that as t increases the curve goes through zero (equilibrium), labelled point A in the diagram, and it is moving from negative to positive position so it is moving to the right. This is the behaviour of the particle in quadrant III, so the reference circle looks like We can take the general equation, x = Acos(ωt + ϕ0) and substitute in the t = 0 values to find ϕ0. ­0.075 = 0.10cos(0 + ϕ0) , which reduces to ­0.75 = cos(ϕ0) , or ϕ0 = cos­1(­0.75) . Remember that your calculator will only give you one answer but there is also a second answer 360° minus the calulator answer. Solving yields 138.6° (2.419 rad) or 221.4° (3.864 rad). The second answer is in the third quadrant and is thus the correct phase constant. The equation of the displacement is x = 0.10cos(10πt + 3.864) , An examination of our relationships for SHM indicates that K = ω2m, E = ½KA2, vmax = ωA, and amax = ω2A, so K = (10π /s)2(2 kg) = 1974 N/m . E = ½(1974 N/m)(0.1 m)2 = 9.870 J . vmax = (10π/s)(0.1 m) = π m/s . amax = (10π/s) 2(0.1 m) = 9870 m/s2 . To find when the object is moving to the right at equilibrium (labelled A in the given x­t graph), note that this is point 3 on the reference circle given above. So the object needs to rotate to 270° from 221.4°. Since rotating 360° takes one period which here is 0.2 s, tA = 48.6/360 × 0.2 s = 0.027 s. Point C in the diagram occurs at point 1 on the reference circle but note that point C is more than one period T from t = 0. We need to calculate the time to rotate to point 1 but then add one period. The angle we need to rotate through is 360° − 221.4° = 138.6°. So tC = 138.6/360 × 0.2 s + 0.2 s = 0.277 s. 5.  The diagram below shows the velocity of a 2.00­kg mass on a horizontal spring. What is the maximum amplitude of the object's displacement? What is the maximum acceleration? Draw the reference circle. What is the phase constant? Write down the equation of the displacement as a function of time. What is the spring constant? What is the total energy? When exactly will the mass have maximum positive velocity (point A)? The equation for the velocity of an object undergoing SHM has the form v(t) = ­vmaxsin(ωt+ϕ0), where vmax = ωA and ω = 2π/T. Examining the graph, we see that the period is T = 0.1 s, so ω = 20π s­1. Also the maximum velocity is 5 m/s. From this we determine that A = vmax/ω = (5 m/s)/( 20π s­1) = 1/(4π) m = 0.0796 m. Furthermore, the maximum acceleration is amax = ω2A = ωvmax = 100π m/s2. To draw the reference circle note that the t = 0 velocity is positive (moving to the right) which only occurs when the object is in quadrants III and IV. Next note that the given v­t graph has the velocity going to a maximum, which occurs when the object passes through equilibrium. Thus the object is in the third quadrant. We use the velocity equation, v(t) = ­vmaxsin(ωt+ϕ0), at t = 0 to find the phase constant ϕ0. We already found ω = 20π s­1. Again we look at the value of the graph at t = 0 which is v(0) = 2.40 m/s. So we have 2.40 = ­5sin(ϕ0), or sin(ϕ0) = ­0.48. We can take the general equation, x = Acos(ωt + ϕ0) and substitute in the t = 0 values to find ϕ0. ­0.40A = Acos(0 + ϕ0) , which reduces to ­0.40 = cos(ϕ0) , or ϕ0 = cos­1(­0.40) . Remember that your calculator will only give you one answer but there is also a second answer 360° minus the calulator answer. Solving yields 113.6° (1.983 rad) or 246.4° (4.300 rad). The second answer is in the third quadrant and is thus the correct phase constant. To sketch the x­t graph first note that the t = 0 position is ­0.40A and that the velocity is positive v = ωAand that the object on the reference circle will rotate next to point 4, which has x = 0. So graph must rise through x = 0. To sketch the v­t graph first note that the t = 0 velocity is positive and has value v = −ωAsin(ϕ0) = 0.9164ωA .When the object rotates to position 4, equilibrium velocity will be a maximum. So the velocity has risen. 8.  The t = 0 reference circle shown is for a 4.0 kg block on a spring with stiffness K = 900 N/m. What is the phase constant ϕ0? Sketch the x­t and v­t graphs. When exactly will the block reach equilibrium? The phase constant ϕ0 is measured from the positive x axis. Thus ϕ0 = 240° = 4π/3. To sketch the x­t graph, we need to know the t = 0 position. Here x(0) = Acos(240°) = −½A. To determine the behaviour for t > 0, note that the object in the reference circle rotates counterclockwise and will reach equilibrium, x = 0. To sketch the v­t graph, we need to know the t = 0 velocity. Here v(0) = −ωAsin(240°) = +0.866ωA. To determine the behaviour for t > 0, now that the object in the reference circle rotates counterclockwise and will reach equilibrium, x = 0, where the velocity is positive maximum v = +ωA. The object has to rotate through 30° counterclockwise to reach equilibrum. Since a rotation of 360° takes one period T, this object will reach equilibrium in time t = 30/360 × T = T/12. We just need to know the period T. Since ω2 = K/M, ω = 15 rad/s. Now T = 2π/ω = 0.419 s. So the object reaches equilibrium in t = (= 0.419 s)/12 = 0.0349 s. 9.  A horizontal spring with k = 200N/m has an attached mass of 0.150 kg. It is stretched and released. As the mass passes through the equilibrium point, its speed is 5.25 m/s. What was the amplitude of the motion? An examination of our relationships for SHM indicates that the velocity of a particle is at a maximum as it goes through equilibrium. So the problem has given use the maximum velocity. As well we have vmax = ωA, and ω = [K/m]½, so A = vmax / [K/m]½ = 5.25 m/s / [(200 N/m) / (0.15 kg)]½ = 0.144 m . 10.  A stiff spring k = 400 N/m has be attached to the floor vertically. A mass of 6.00 kg is placed on top of the spring as shown below and it finds a new equilibrium point. If the block is pressed downward and released it oscillates. If the compression is too big, however, the block will lose contact with the spring at the maximum vertical extension. Draw a free body diagram and find that extension at which the block loses contact with the spring. The problem tells us that the block loses contact with the spring. That means the normal acting on the block goes to zero. Typically, for problems involving forces we draw the FBD and apply Newton's Second Law. However, we have always avoided doing this with springs because we are dealing with a non−constant force and a non−constant acceleration. We don't have this difficulty in this problem because we are told that the spring is at maximum extension, and thus we know that the acceleration is amax = ω2A downwards. j ΣFy = may N − mg = −mω2A The equation we have is  N − mg = −mω2A . Setting N = 0, and rearranging yields A = g /ω2 . Our relationships for SHM tell us that ω = [K/m]½, so A = g / [K/m] = (9.81 m/s2) / [ (400 N/m) / (6 kg)] = 14.7 cm . 11.  A 100­g ball hangs from a metre­long string. Its swing is shown at t = 0 and it is moving to the right. Sketch the reference circle. Find the phase constant ϕ0 in degrees. Sketch the x­t and v­t graphs. When will the ball pass through equilibrium? 2 × ½KA2 = ½Mv2 Solving for v yields  . (b) Now this is the maximum velocity of the block and we know for SHM that vmax = ωA. So  . (c) For a single spring we know  . Since ω and M are the same, Keffective = 2K. We replace the two springs with a single spring with twice the spring constant. (d) We found   for the two parallel springs and block but we want the same ω as for the single spring and block result  . If we double the mass from M to 2M for the two spring system, the 2's will cancel and we will have the same ω. 14.  A disk of mass M is on a surface as shown below.  It is attached to a wall by a spring of constant K.  Initially the disk is at rest and the spring is unstretched.  The disk is pulled a distance A and then released. (a) What is the speed ofthe block as it passes through equilibrium?  (b) What is the angular frequency ω of the motion?  (c) What would spring constant be for this system to have the same ω as a system comprised of a single block of mass M and spring with stiffness K? (d) What would the mass of the disk have to be for this system to have the same  ω  as a system comprised of a single block of mass M and spring with stiffness K? (a) The fact that we are looking for ω indicates an SHM problem. It is not that simple a spring and block system since there is also rolling. However energy methods let us handle everything since we know Ef = Ei, hence we have ½KA2 = ½Mv2 + ½Iωrolling2 For a disk, I = ½Mr2. Since it is rolling, ωrolling = v/r. The above equation reduces to ½KA2 = ¾Mv2 Solving for v yields   . (b) Now this is the maximum velocity of the block and we know for SHM that vmax = ωA. So  . (c) We found that   for the single spring and rolling disk. If we had the spring and a block the result would have been  . We would need to increase the spring constant in the spring­disk system to increase ω to the same value as the spring­block system. To get rid of the fraction 2/3 in our spring­disk system we need Knew = 3/2K. (d) We found that   for the single spring and rolling disk. If we had the spring and a block the result would have been  . We would need to decrease the mass in the spring­disk system to increase ω to the same value as the spring­block system. To get rid of the fraction 2/3 in our spring­disk system we need Mnew = 2/3M. 15.  A solid sphere of mass M is on a surface as shown below.  It is attached to a wall by two springs with the same constant K.  Initially the sphere is at rest and the springs unstretched.  The sphere is pulled a distance A and then released.  (a) What is the speed of the sphere as it passes through equilibrium? (b) What is the angular frequency ω of the motion? (c) What would the spring constants have to be for this system to have the same ω as a system comprised of a single block of mass M and spring with stiffness K? (d) What would the mass of the sphere have to be for this system to have the same  ω  as a system comprised of a single block of mass M and spring with stiffness K? (a) The fact that we are looking for ω indicates an SHM problem. It is not a simple single spring and block system since there is also rolling. However energy methods let us handle everything since we know Ef = Ei, hence we have 2 × ½KA2 = ½Mv2 + ½Iωrolling2 For a solid sphere, I = 2/5Mr2. Since it is rolling, ωrolling = v/r. The above equation reduces to KA2 = 7/10Mv2 Solving for v yields  . (b) Now this is the maximum velocity of the block and we know for SHM that vmax = ωA. So  . (c) We found that   for the double spring and rolling disk. If we had a spring and a block system, the result would have been  . We would need to decrease the spring constant in the double spring­disk system to decrease ω to the same value as the spring­block system. To get rid of the fraction 10/7 in our double spring­disk system equation we need Knew = 7/10K. (d) We found that   for the double spring and rolling disk. If we had a spring and a block system, the result would have been  . We would need to increase the mass in the double spring­disk system to decrease ω to the same value as the spring­block system. To get rid of the fraction 10/7 in our double spring­disk system equation we need Mnew = 10/7M. 16.  A block with a mass M1 = 5.00 kg is sliding to the right with a speed of 15.0 m/s when it hits and sticks to a block of mass, M2 = 3.00 kg, attached to a spring of spring constant k = 3000 N/m. The second block was at the equilibrium position and the spring uncompressed at the time of the collision. The horizontal surface is frictionless.  (a) Find the angular frequency of vibration for the system.  (b) Find the maximum compression of the spring.  (c) Find the maximum acceleration of the joined blocks.  First we have a totally inelastic collision, so (M1 + M2)vf = M1v . This tells us that vf = M1v /(M1 + M2) = (5)(15 m/s)/(5 + 3) = 9.375 m/s . This is the maximum velocity of the double−block SHM. (a) From our relations for SHM, we know that ω = [K/m]½, so ω = [(3000 N/m) / (5 kg + 3 kg)] ½ = 19.36 rad/s . (b) From the SHM relations, we also know vmax = ωA, so the maximum compression is A = vmax / ω = (9.375 m/s) / (19.36 rad/s) = 0.4842 m . (c) The maximum acceleration is given by amax = ω2A, so amax = (19.36 rad/s)2(0.4842 m) = 181.5 m/s2 .