physique maths si baaaa, Cheat Sheet of Physics

Download physique maths si baaaa and more Cheat Sheet Physics in PDF only on Docsity! Concours National Commun – Session 2019 – Filière MP Epreuve de Physique I 1/7 • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. • Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve sont relativement indépendantes entre elles. Mission BepiColombo De par sa position relativement basse par rapport à l'horizon, et bien que visible, Mercure reste la plus mystérieuse des planètes telluriques. Son orbite particulière et sa petite dimension rendent son observation difficile. Malgré deux grandes missions déjà réalisées par Mariner 10 (dans les années 1970) et Messenger (dans les années 2000), qui ont permis d'apporter de nombreuses observations sur sa surface, certaines caractéristiques de Mercure demeurent encore inconnues. La mission BepiColombo (figure 1), appelée ainsi en hommage au mathématicien italien G. COLOMBO qui calcula la trajectoire de la sonde Mariner 10, est la cinquième pierre angulaire du programme Cosmic Vision de l’ESA (European Space Agency) en coopération avec le JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency). Elle permettra l’étude de la planète Mercure et de son environnement grâce à deux sondes, MMO (Mercury Magnetospheric Orbiter) et MPO (Mercury Polar Orbiter), mises en orbite autour de la planète. Figure 1 : Illustration d'artiste de la sonde BepiColombo, propulsé par deux moteurs ioniques. Lancée le 19 octobre 2018 par le lanceur Européen Ariane 5, la sonde arriverait autour de Mercure en 2025. La sonde MPO, sur une trajectoire circulaire, étudiera la surface et l’intérieur de la planète ainsi que l’exosphère. La sonde MMO, sur une trajectoire elliptique, sera dédiée à l’étude de la magnétosphère et de l’exosphère. Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs à la mission BepiColombo. La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points. Concours National Commun – Session 2019 – Filière MP Epreuve de Physique I 2/7 Partie 1 Mouvement dans le champ gravitationnel d’une planète On assimile une planète à une distribution de masse sphérique homogène de centre OP , de rayon RP et de masse MP répartie uniformément en volume. On se place dans le référentiel (ℜP ) , d’origine OP et en translation par rapport au référentiel de Copernic. On suppose (ℜP ) galiléen et on ne tiendra compte que de l’attraction de la planète. 1. En justifiant soigneusement, montrer que le champ gravitationnel G !" (M ) créé par cette distribution en tout point M de l’espace repéré par ses coordonnées sphériques r,θ,ϕ( ) est donné par : G !" (M ) = −G M int (r) r2 e " r où G est la constante de gravitation universelle et M int (r) la masse qui se trouve à l'intérieur de la sphère de centre OP et de rayon r . e ! r est un vecteur unitaire de la base e ! r,e ! θ ,e ! ϕ( ) associée à ces coordonnées sphériques. 2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G !" (M ) créé par la planète au point M de l’espace. On affecte le point M , situé à la distance r ( r > RP ) du centre OP , d’une masse m que l’on assimile à un point matériel. 3. Exprimer vectoriellement la force F !" exercée par la planète sur le point matériel M . 4. La seule force F !" qui s’exerce sur M est une force dite centrale. Justifier l’appellation. Quelle en est la conséquence sur la trajectoire du point M ? Préciser la surface dans laquelle se fait le mouvement. 5. Montrer que la force F !" dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle Ep dont on donnera l'expression en fonction de G , MP , m et r . On prendra l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point matériel est infiniment éloigné de la planète. 6. Établir l’expression générale de l’énergie mécanique Em du point M en fonction de G , MP , m et r et de la vitesse v de M dans (ℜP ) . 7. En déduire la vitesse de libération (ou vitesse d’ « évasion ») du point M à la surface de la planète. On considère que le point matériel M est en orbite circulaire de centre OP , de rayon r0 et qu’il effectue un tour complet de la planète en une durée T0 . 8. Montrer que le mouvement circulaire de M est nécessairement uniforme. 9. Établir l’expression littérale de la vitesse v0 de M en fonction de MP , r0 et G . Retrouver la troisième loi de Kepler. 10. Exprimer l’énergie cinétique Ec0 de M en fonction de G , MP , m et r0 . Concours National Commun – Session 2019 – Filière MP Epreuve de Physique I 5/7 3. Motorisation de la sonde BepiColombo Afin d'optimiser au mieux la taille et le poids de la sonde BepiColombo, il a été décidé d'utiliser un moteur ionique (figure 2) fonctionnant grâce à l’ionisation du xénon gazeux par bombardement électronique dans la chambre du propulseur ionique. Les ions Xe+ du xénon de charge qi et de masse mi pénètrent dans la chambre d’accélération en x = 0 , avec une vitesse que l’on considèrera nulle. Ils sont ensuite accélérés entre une grille intérieure (Gi ) chargée positivement de potentiel Vp = 0 et une grille extérieure (Ge ) chargée négativement de potentiel Vn = −U0 < 0 (figure 3). Les deux grilles distantes de d sont planes de surface S . Les ions sont caractérisés par la densité volumique ni (x) , le potentiel électrique V (x) et la vitesse ui (x) en x . La force d'accélération des ions à très haute vitesse est convertie en une force de poussée du vaisseau spatial donnée par : F !" = −Dmui !" . ui !" est la vitesse d’éjection des ions en x = d par rapport à la Figure 2 : Schéma du moteur ionique sonde et Dm est le débit massique de matière éjectée à travers la section S . On se place dans le cadre de la mécanique non relativiste et on travaille dans un référentiel galiléen. 3.1. Vérifier l’homogénéité de l’expression de la force de poussée. Figure 3 : Principe du moteur ionique 3.2. Établir l’expression de la vitesse ui (x) des ions à l’abscisse x . 3.3. Exprimer le débit massique Dm en fonction de ui (x) , ni (x) , mi et S . 3.4. Justifier que d 2V (x) dx2 + ni (x)qi ε0 = 0 . On souhaite déterminer des ordres de grandeurs des caractéristiques du moteur ionique. Pour cela, on suppose que le potentiel vérifie l’hypothèse : d 2V (x) dx2 ≈ ΔV (Δx)2 ≈ − U0 d 2 . 3.5. En déduire l’expression du débit massique Dm en fonction de ε0 , U0 , qi , mi , d et S . 3.6. Exprimer F = F !" en fonction de ε0 , U0 , d et S . 3.7. En négligeant la force de pesanteur et la force de frottement due à l’atmosphère, montrer que la puissance électrique minimale que doit fournir le générateur est donnée par : Concours National Commun – Session 2019 – Filière MP Epreuve de Physique I 6/7 Pem = ε0SU0 5/2 d 2 2qi mi 3.8. Le césium ou du sodium, qui étaient également des carburants potentiels pour les moteurs ioniques, n’ont plus cet avantage. Ils ont été remplacés par le xénon. Expliquer pourquoi. 3.9. À la sortie de la chambre d’accélération, un canon à électrons extérieur appelé neutraliseur, transforme les ions xénon en atomes de xénon. Expliquer pourquoi le gaz éjecté doit être électriquement neutre. 4. Sonde MPO 4.1. Trajectoire La sonde MPO (figure 4), assimilée à un point matériel de masse mMPO = 400kg et soumise uniquement à l'attraction de Mercure, décrit une trajectoire circulaire de rayon rMPO = 3, 4.10 3km . Son mouvement est étudié dans le référentiel « mercurocentrique » que l’on suppose galiléen. On suppose que la planète Mercure est à répartition sphérique homogène de masse MM , de centre OM . Figure 4 : Sonde MPO, vu d’artiste 4.1.1. En faisant l’analogie avec le référentiel géocentrique, définir le référentiel « mercurocentrique ». 4.1.2. Calculer la période de révolution TMPO (en heure) de la sonde MPO autour de Mercure. 4.1.3. La sonde MPO est mise sur une orbite polaire, c'est-à-dire sur une orbite dont le plan contient l'axe polaire de Mercure. Quel est l'intérêt de cette situation pour cette sonde ? 4.1.4. Pourquoi à chaque révolution de la sonde, la zone de la surface de Mercure observée n’est pas la même ? 4.2. Télescope de Schmidt-Cassegrain, prise d’image On étudie la prise de photographies numériques sur un capteur électronique photosensible par le télescope Schmidt-Cassegrain depuis la sonde. On se place dans le cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de GAUSS. L’espace entre Mercure et la sonde sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux. 4.2.1. Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique. 4.2.2. Quelles sont les conditions qui permettent de réaliser l’approximation de GAUSS ? Citer les conséquences de cette approximation sur le stigmatisme et l’aplanétisme. 4.2.3. Le télescope Schmidt-Cassegrain est un dispositif optique de type catadioptrique, composé de deux miroirs l’un sphérique, l’autre hyperbolique et d'une lentille, appelée lame de Schmidt, de correction des aberrations engendrées par le miroir primaire. On modélise le télescope Schmidt- Cassegrain embarqué dans la sonde par une lentille sphérique mince convergente ( )L de distance focale image f ' = 50mm . La sonde à une orbite circulaire d’altitude moyenne hMPO = 950km . L’atmosphère de Mercure, quasi inexistante, sera négligée pour la suite du problème. Concours National Commun – Session 2019 – Filière MP Epreuve de Physique I 7/7 Parmi les nombreux instruments qui équiperont la sonde spatiale, on trouve un imageur spectrale dans l’infrarouge thermique fonctionnant en mode « push broom » (Figure 5). Les images réalisées par la sonde sont recueillies sur un capteur constitué d’une seule ligne de Np =120 pixels carrés, de taille δ = 35µm (Figure 6). Figure 6 4.2.3.1. De conception proche du télescope de type Cassegrain, le télescope Schmidt- Cassegrain présente toutefois quelques particularités notables. En citer deux. 4.2.3.2. Où doit-on placer le capteur ? Figure 5 : Principe de l’imagerie par sonde « Push-broom » 4.2.3.3. Dessiner le schéma des rayons lumineux donnant l’image de la ligne imagée à la surface de Mercure par le télescope. 4.2.3.4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les dimensions l et L = AB de la ligne imagée rectangulaire à la surface de Mercure par la ligne de pixel. 4.2.3.5. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension du plus petit objet sur Mercure détectable. 4.2.4. La surface de mercure est considérée comme un corps à la température T = 440K pour une longueur d’onde centrale de détection λ0 =10µm . 4.2.4.1. Le rayonnement émis par la planète Mercure vérifie-t-il la loi de Wien ? 4.2.4.2. Sachant que le mouvement de la sonde BepiColombo sur son orbite entraîne un déplacement de la ligne de vue à une vitesse v = 2,6km.s−1 , calculer le temps τ durant lequel est vue une zone donnée de la surface par un pixel. 4.2.4.3. On estime que la puissance Φpx reçu par un pixel au centre du détecteur observant la surface de Mercure dans la bande spectrale du détecteur est Φpx = 510pW . Calculer le nombre Nphoton de photons reçus par un pixel provenant d’une zone donnée de la surface de Mercure. Données : − Masse de la planète Mercure : MM = 3,30.10 23kg . − Rayon de la planète Mercure : RM = 2, 44.10 3km . − Masse de la planète Terre : MT = 6,0.10 24kg . − Rayon de la planète Terre : RT = 6, 4.10 3km . − Masse du Soleil : MS =1,9.10 30kg . − Constante de gravitation universelle : G = 6, 7.10−11SI . − Vitesse de la lumière dans le vide : 8 13.10 .c m s −= . − Constante de Planck : h = 6,63.10−34 J .s .