Population Growth Models-Modeling and Simulation-Lecture Handouts, Lecture notes of Mathematical Modeling and Simulation

Download Population Growth Models-Modeling and Simulation-Lecture Handouts and more Lecture notes Mathematical Modeling and Simulation in PDF only on Docsity! 1 CIS308 ‐ Modeling and Simulation  Handout#6  Population Growth Models Thomas Malthus, an 18th century English scholar, observed in an essay written in 1798 that the growth  of  the human population  is  fundamentally different  from  the growth of  the  food  supply  to  feed  that  population. He wrote  that  the human population was growing geometrically  [i.e. exponentially] while  the  food  supply was growing arithmetically  [i.e.  linearly]. He  concluded  that  left unchecked,  it would  only be a matter of time before the world's population would be too large to feed itself.  Mathematical Model      1. Malthusian Law of Population Growth (Exponential or Unlimited Growth)  Malthus' model  is  commonly  called  the natural growth model or exponential growth model.  For  this  model we assume that the population grows at a rate that is proportional to itself. If P represents such  population then the assumption of natural growth can be written symbolically as  dP/dt = k P     Model Assumptions  Limitation of resources and space have no effect  Small population living in large environment    Modeling Parameters  t= time (independent variable)  P = Population (dependent variable)  k= growth‐rate co‐efficient  o Proportionality constant between rate of grow of population and size of the population.    Suppose we grow a population of some organism (say flies) in the laboratory. It seems reasonable that,  on any given day, the population will change due to new births, so that it increases by the addition of a  certain multiple f of the population. At the same time, a fraction d of the population will die. To track  the population P of our laboratory organism, we focus on P, the change in population over a single day.   P = f P − dP = (f − d)P    What this means is simply that given a current population P (say P = 500) and the fecundity and death  rates f and d, (say f = .1 and d = .03) we can predict the change in the population P = (.1 − .03)500 = 35  over a day. The population at the beginning of the next day is P + P = 500 + 35 = 535.    A more general notation will make this simpler.   Let Pt= P(t) = the size of the population measured on day t  ΔPt = Pt+1− Pt   is the change in population between two consecutive days.  Pt+1  = Pt + ΔPt  = Pt   (f‐d) + Pt   Pt+1  =  λPt  where (1+f‐d) is a constant   – Population ecologists often refer to the constant λ as the finite growth rate of the  population.   For the values f = .1, d = .03, and P0 = 500 used previously, our entire model is now  Pt+1  =  1.07Pt , P0 = 500   docsity.com 2 CIS308 ‐ Modeling and Simulation    The first equation, relating Pt+1 and Pt is referred to as a  difference equation and the second, giving P0 is its initial  condition. With the two, it is easy to make a table of values  of the population over time.       In general, if the initial population is given as P0 at t = 0, then we have an initial value problem of the form  dP/dt = kP  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(I)  P(0) = Po    The solution to the above equation is  P(t) = Poekt ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(II)    Exercises in MATLAB      1. Simulate the growth of a population according to equation (II).   p0=100; % size of population at time 0 k=2; %population growth rate t=0:0.2:10; % timeperiod (in years) pt=p0*exp(k.*t); % the equation for pop. growth in continuous time figure % opens a new figure-window plot(t,pt) %plots the figure xlabel('Time(Years)') ylabel('Population Growth') grid on;     2.  Consider  a  colony  of  micro‐organisms  reproducing  through  simple  cell  division  under  ideal  conditions  of  unlimited  food  supply  and  total  absence  of  any  predators.  It  is  observed  that  the  population increases q (10% every hour).  Find a mathematical model (Using SIMULINK) that will also  produce the same results.   The unlimited growth model is given by  P(t) = Poekt ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(II)    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10 10 Time(Years) P op ul at io n G ro w th docsity.com