Progress Test Unit 5-A Pre-Intermediate, Exams of English

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Mathématiques : Troc Commun Sciences Séance 9 (Trigonométrie 1 - Règles du calcul trigonométrique) Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak Sommaire I- Cercle trigonométrique 1-1/ Définition 1-2/ Remaque 1-3/ Abscisses curvilignes II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls 2-1/ Radian – grade 2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites 2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls III- Lignes trigonométriques du réel x IV- Signe de sinx et cosx et tanx 4-1/ Quadrant d’un cercle 4-2/ Signes des lignes trigonométriques 4-3/ Angles remarquables V- Relations entre les angles 5-1/ Angles opposés 5-2/ Angles supplémentaires 5-3/ Angles opposés supplémentaires 5-4/ Angles complémentaires 5-5/ Angles opposés complémentaires 5-6/ Résumé des formules précédentes VI- Exercices 6-1/ Exercice 1 6-2/ Exercice 2 6-3/ Exercice 3 6-4/ Exercice 4 I- Cercle trigonométrique 1-1/ Définition : Tout cercle ( C) du plan (P) tel que : que son rayon est r = 1. qui est muni d’un origine I . qui est orienté positif ( qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre ). Ce cercle ( C) est appelé cercle trigonométrique. Si tous les cercles du plan sont orientés d’une orientation positive, on dit que le plan est orienté positif (ou direct). I- Cercle trigonométrique 1-2/ Remarque Si le plan est rapporté a un repère orthonormé O, OI , OJ et O est le centre du cercle ( C) et le point J est placé dans le sens positif, on dit que le cercle trigonométrique ( C) est lié au repère orthonormé O, OI , OJ = O, i , j (avec OI = i et OJ = j ). Pour tout le cours : le cercle ( C) est le cercle trigonométrique d’origine I et son centre est le point O . I- Cercle trigonométrique 1-3/ Abscisses curvilignes M( α + 2kπ) est un point de ( C) , il existe un et un seul abscisse curviligne de M qui appartienne à ] − π, π] ( c.à.d. −π < α ≤ π ). Cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de M . Le plan ( P) est orienté positif, O est un point de ( P) . Soient u et v deux vecteurs non nuls de ( P) . Soient A et B deux points de ( P) tel que u = OA et v = OB . L’angle orienté des vecteurs u et v est l’angle orienté OA,OB (c.à.d. des deux demi-droites OA et [ OB) , on le note u , v . Les mesures de l’angle orienté OA,OB sont appelées les mesures de l’angle orienté u , v , on note ¯ u , v . On a : ¯ u , v ≡ ¯OA,OB [ 2π] La mesure de l’angle orienté u , v qui appartienne à ] − π, π] est appelée la mesure principale de u , v . Exemple II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls 2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls Propriété Le plan ( P) est orienté positif, O est un point de ( P) . Soient u et v et w trois vecteurs non nuls de ( P) . On a : ¯ u , u ≡ 0 [ 2π] ¯ u , v ≡ − ¯ v , u [ 2π] ¯ u , v + ¯ v , w ≡ ¯ u , w [ 2π] Exemple III- Lignes trigonométriques du réel x Définition x est une abscisse curviligne du point M( x) ∈ ( C) tel que ( C) est le cercle trigonométrique d’origine I lié au repère orthonormé. M( c, s) par rapport au repère orthonormé direct. Le réel c (abscisse de M ) est appelé le sinus du réel x , on le note cosx , d’où cosx = cos ¯ i , OM = c . Le réel s (ordonnée de M ) est appelé le cosinus du réel x , on le note sinx , d’où sinx = sin ¯ i , OM = s . Le réel t (abscisse du point T ) est appelé la tangente du réel x , on le note tanx , d’où tanx = tan ¯ i , OM = t (sachant la droite ( T) est tangente au cercle ( C) en I et ( T) ∩ OM = { T} ). III- Lignes trigonométriques du réel x Conséquences ( ∀x ∈ ℝ) : ( sinx) 2+ ( cosx) 2 = 1 ( ∀x ∈ ℝ) : − 1 ≤ sinx ≤ 1 et − 1 ≤ cosx ≤ 1 ( ∀x ∈ ℝ) : cos( x + 2kπ) = cosx ( ∀x ∈ ℝ) : sin( x + 2kπ) = sinx ∀x ∈ ℝ − π 2 + kπ; k ∈ ℤ : tanx = sinx cosx et 1 + tan 2x = 1 cos2x IV- Signe de sinx et cosx et tanx 4-1/ Quadrant d’un cercle On divise le cercle en quatre arcs de même longueur suivant le sens positif. x est une abscisse curviligne du point M( x) ∈ ( C) . Le 1er arc IJ : si M( x) ∈ IJ on dit que M( x) est situé dans le premier quadrant. Le 2ème arc JI' : si M( x) ∈ JI' on dit que M( x) est situé dans le deuxième quadrant. Le 3ème arc I 'J' : si M( x) ∈ I'J' on dit que M( x) est situé dans le troisième quadrant. Le 4ème arc J'I : si M( x) ∈ J'I on dit que M( x) est situé dans le quatrième quadrant IV- Signe de sinx et cosx et tanx 4-2/ Signes des lignes trigonométriques V- Relations entre les angles 5-4/ Angles complémentaires sin π 2 − x = cosx cos π 2 − x = sinx tan π 2 − x = 1 tanx V- Relations entre les angles 5-5/ Angles opposés complémentaires sin π 2 + x = cosx cos π 2 + x = − sinx tan π 2 + x = −1 tanx V- Relations entre les angles 5-6/ Résumé des formules précédentes VI- Exercices 6-1/ Exercice 1 Soit ( C) un cercle trigonométrique et O; OI ; OJ un repère orthonormé direct lié avec ( C) . 1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points suivants : A 267π 6 ; B −238π 3 ; C 25π 4 2. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : ⎛ ⎝ ⎜ ^ OA ; OB ⎞ ⎠ ⎟ ; ⎛ ⎝ ⎜ ^ OC ; OA ⎞ ⎠ ⎟ ; ⎛ ⎝ ⎜ ^ OC ; OB ⎞ ⎠ ⎟ 3. Placer les points A , B et C dans le cercle trigonométrique ( C) . VI- Exercices 6-2/ Exercice 2 Soit x ∈ ℝ . 1. Exprimer en fonction de sinx et cosx : A( x) = sin( −x) + cos( −x) + sin( π + x) + cos( π − x) B( x) = cos( π + x) + cos π 2 − x − sin x − π2 + sin 5π 2 + x C( x) = cos π 2 + x + cos( x − 3π) − sin 5π 2 − x 2. Calculer A 3π 4 , B −17π 3 et C 2017π 6 . VI- Exercices 6-3/ Exercice 3 1. Résoudre dans l’intervalle I les inéquations suivantes : I1 : 2sinx − 1 ≥ 0 ; I = [ 0, 2π] I2 :√ 2cosx + 1 > 0 ; I = − π, π I3 :2sinx − √ 3 ≤ 0 ; I = [ 0, 2π] I4 : 2cos x + π4 − 1 ≥ 0 ; I = [ 0, 2π] VI- Exercices 6-4/ Exercice 4 Pour tout x ∈ ℝ , on pose : A( x) = cos x + π2 + sin x + π2 + cos π 2 − x + sin π 2 − x 1. Montrer que : A( x) = 2cos( x) 2. Résoudre dans ℝ l’équation : A( x) = √ 2 3. Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π] l’inéquation : A( x) < √ 2