REALISATION D'UNE ETUDE, Lecture notes of Mathematics

Download REALISATION D'UNE ETUDE and more Lecture notes Mathematics in PDF only on Docsity! Approfondissement sur les suites numériques : Récurrence affine d'ordre 2 Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2 On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 4 valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas ot le corps est celui des réels ou des complexes. Sommaire Définitions Cas linéaire Cas affine Premier cas : P(1) #0 Second cas : P(1) =0 Second cas, premier sous-cas : P'(1) #0 Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0 Cas des suites réelles Cas des suites entiéres Résumé et conclusion Définitions & Définitions Soient a,b,c € K. On appelle suite récurrente affine d'ordre 2 (a valeurs dans K) toute suite définie par une relation de récurrence delaforme: Vn € N Unie = AUn+1 + bun +e et par les valeurs de wp et ui, éléments de K. On appelle suites récurrentes linéaires associées 4 la relation de récurrence précédente les suites vérifiant la relation : Unt2 = AUnt1 + bun. Cas linéaire On cherche V’ensemble Sp des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire Unt2 = AUnt1 + bun. 9 Théoréme L'ensemble Sp est un K-espace vectoriel de dimension 2. Démonstration [ Dérouler ] On considére le polynéme du second degré : P(X) = X* -aX—b. Supposons que polynéme admet deux racines 71,72 € K — si K =C, c'est toujours le cas. On peut donc écrire : P(X) =(X-11)(X—-12). Le cas r1 = re est celui ot P admet une racine double, c'est-a-dire ot 71 est également racine de la dérivée de P: P’ (X) = 2X -a. © Théoréme = Sir, # 1a, alors ((r?),,cy (73 nen) St une base de Sp. = Sir; =ro, alors ((r?) cn» (TP) nen) est une base de Sp. Démonstration [ Dérouler ] Cas affine On note S l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine tn+2 = @Un41 + bun +¢ " Lemme