Recursion - Object-Oriented Programming and Data Structures - Lecture Sl, Lecture notes of Object Oriented Programming

Download Recursion - Object-Oriented Programming and Data Structures - Lecture Sl and more Lecture notes Object Oriented Programming in PDF only on Docsity! Recursion  • Arises in three forms in computer science  – Recursion as a mathematical tool for defining a function  in terms of its own value in a simpler case    – Recursion as a programming tool.  You’ve seen this  previously but we’ll take it to mind‐bending extremes  (by the end of the class it will seem easy!)    – Recursion used to prove properties about algorithms.   We use the term induction for this and will discuss it  later.  docsity.com Recursion as a math technique  • Broadly, recursion is a powerful technique for  specifying functions, sets, and programs  • A few recursively‐defined functions and programs  – factorial   – combinations  – exponentiation (raising to an integer power)  • Some recursively‐defined sets  – grammars   – expressions  – data structures (lists, trees, ...)  docsity.com Count the e’s in a string  • countEm(‘e’, “it is easy to see that this has many e’s”) = 4  • countEm(‘e’, “Mississippi”) = 0  /** = " number of times c occurs in s */ public static int countEm(char c, String s) { if (s.length() == 0) return 0; // { s has at least 1 character } if (s.charAt(0) != c) return countEm(c, s.substring(1)); // { first character of s is c} return 1 + countEm (c, s.substring(1)); } Substring from char(1) to end docsity.com The Factorial Function (n!) * Define n! = n-(n—1):(n—2)---3-2-1 read: “n factorial” —E.g., 3!=3-21=6 ¢ By convention, 0! =1 ¢ The function int — int that gives n! on input n is called the factorial function ® docsity.com The Factorial Function  (n!)  • n! is the number of permutations of n distinct  objects  – There is just one permutation of one object.  1! = 1  – There are two permutations of two objects:  2! = 2  1 2    2 1  – There are six permutations of three objects:  3! = 6  1 2 3     1 3 2     2 1 3     2 3 1     3 1 2     3 2 1  • If n > 0,  n! = n∙(n  1)!        docsity.com A Recursive Program  static int fact(int n) { if (n = = 0) return 1; else return n*fact(n-1); } 0! = 1 n! = n·(n1)!, n > 0 1 1 2 6 Execution of fact(4) fact(1) fact(4) fact(3) fact(0) fact(2) 24 docsity.com General Approach to Writing Recursive  Functions    1. Try to find a parameter, say n, such that the  solution for n can be obtained by combining  solutions to the same problem using smaller values  of n (e.g., (n‐1) in our factorial example)    2. Find base case(s) – small values of n for which you  can just write down the solution (e.g., 0! = 1)    3. Verify that, for any valid value of n, applying the  reduction of step 1 repeatedly will ultimately hit  one of the base cases      docsity.com A cautionary note  • Keep in mind that each instance of your recursive  function has its own local variables  • Also, remember that “higher” instances are  waiting while “lower” instances run    • Not such a good idea to touch global variables  from within recursive functions  – Legal… but a common source of errors  – Must have a really clear mental picture of how  recursion is performed to get this right!  docsity.com One thing to notice  • This way of computing the Fibonacci function  is elegant, but inefficient  • It “recomputes” answers again and again!  • To improve speed, need to save   known answers in a table!  – One entry per answer  – Such a table is called a cache  fib(4) fib(2) fib(0) fib(1) fib(3) fib(0) fib(1) fib(1) fib(2) docsity.com Memoization (fancy term for  “caching”)  • Memoization is an optimization technique used  to speed up computer programs by having  function calls avoid repeating the calculation of  results for previously processed inputs.  – The first time the function is called, we save result  – The next time, we can look the result up  • Assumes a “side effect free” function: The function just  computes the result, it doesn’t change things  • If the function depends on anything that changes, must  “empty” the saved results list  docsity.com Adding Memoization to our solution  • Before:  • After  static int fib(int n) { if (n == 0) return 0; else if (n == 1) return 1; else return fib(n-2) + fib(n-1); } static ArrayList<Integer> cached = new ArrayList<Integer>(); static int fib(int n) { if(n < cached.size()) return cached.get(n); int v; if (n == 0) v = 0; else if (n == 1) v = 1; else v = fib(n-2) + fib(n-1); // cached[n] = fib(n). This code makes use of the fact // that an ArrayList adds elements to the end of the list if(n == cached.size()) cached.add(v); return v; } docsity.com Positive Integer Powers  • an = a∙a∙a∙∙∙a (n times)    • Alternate description:  – a0 = 1  – an+1 = a∙an  static int power(int a, int n) { if (n == 0) return 1; else return a*power(a,n-1); } docsity.com A Smarter Version  • Power computation:  – a0 = 1  – If n is nonzero and even, an = (an/2)2  – If n is odd, an = a∙(an/2)2  • Java note: If x and y are integers, “x/y” returns the integer  part of the quotient  • Example:   – a5  =  a∙(a5/2)2  =  a∙(a2)2  =  a∙((a2/2)2)2   =  a∙(a2)2          Note: this requires 3 multiplications rather than  5!  docsity.com A Smarter Version  • … Example:   – a5  =  a∙(a5/2)2  =  a∙(a2)2  =  a∙((a2/2)2)2   =  a∙(a2)2           Note: this requires 3 multiplications rather than 5!    • What if n were larger?   – Savings would be more significant  • This is much faster than the straightforward  computation  – Straightforward computation:  n multiplications  – Smarter computation:  log(n)  multiplications  docsity.com Stacks  • Like a stack of dinner plates  • You can push data on top or  pop data off the top in a LIFO  (last‐in‐first‐out) fashion  • A queue is similar, except it is  FIFO (first‐in‐first‐out)  top element 2nd element 3rd element ... bottom element ... top-of-stack pointer stack grows docsity.com return info local variables parameters Stack Frame  • A new stack frame is pushed  with each recursive call    • The stack frame is popped  when the method returns  – Leaving a return value (if  there is one) on top of  the stack  a stack frame retval halfPower a, n docsity.com Example: power(2, 5)  return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 2 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 2 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 1 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) 4 return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 2 (hP = ) 2 return info (a = ) 2 (n = ) 5 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 2 (hP = ) ? return info (a = ) 2 (n = ) 1 (hP = ) 1 (retval = ) 1 (retval = ) 2 (retval = ) 4 (retval = ) 32 hP: short for halfPower docsity.com Extra slides ¢ For use if we have time for one more example of recursion ¢ This builds on the ideas in the Fibonacci example docsity.com Combinations   (a.k.a. Binomial Coefficients)  • How many ways can you choose r items from   a set of n distinct elements?   (  )  “n choose r”  (  ) = number of 2‐element subsets of {A,B,C,D,E}    2‐element subsets containing A:   {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}  2‐element subsets not containing A: {B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E}    • Therefore,        =        +  • … in perfect form to write a recursive function!  ( ) 4 1 ( ) 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4 2 ( ) 5 2 n r 5 2 docsity.com Combinations  = + , n > r > 0 = 1 = 1 ( ) n r ( ) n1 r ( ) n1 r1 ( )n n ( )n 0 ( ) 0 0 ( ) 1 1 ( ) 1 0 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 0 ( ) 3 3 ( ) 3 2 ( ) 3 1 ( ) 3 0 ( ) 4 4 ( ) 4 3 ( ) 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4 0 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 = Pascal’s triangle Can also show that = ( )n r n! r!(nr)! docsity.com Recursive Program for Combinations  static int combs(int n, int r) { //assume n>=r>=0 if (r == 0 || r == n) return 1; //base cases else return combs(n-1,r) + combs(n-1,r-1); } = + , n > r > 0 = 1 = 1 ( ) n r ( ) n1 r ( )n1 r1 ( )n n ( )n 0 docsity.com Exercise for the reader (you!)  • Modify our recursive program so that it caches  results  • Same idea as for our caching version of the  fibonacci series    • Question to ponder: When is it worthwhile to  adding caching to a recursive function?  – Certainly not always…  – Must think about tradeoffs: space to maintain the  cached results vs speedup obtained by having them  docsity.com Something to think about  • With fib(), it was kind of a trick to arrange that:                           cached[n]=fib(n)    • Caching combinatorial values will force you to  store more than just the answer:  – Create a class called Triple  – Design it to have integer fields n, r, v – Store Triple objects into ArrayList<Triple> cached;  – Search cached for a saved value matching n and r • Hint: use a foreach loop  docsity.com