resistance of materials course and exercices., Cheat Sheet of Law

Download resistance of materials course and exercices. and more Cheat Sheet Law in PDF only on Docsity! 203-001 05 A compléter avant 2 .......0.0..c0cccccce ccs cesceeeesceseseeesceeecseeseevscsecseeseseeteeseseeeeeenes Poutre 5A Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que les positions d’inflexion. F, =2,50kN pes F,=1,00kN v [. i | x o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) 1° Calcul des réactions aux appuis: UM) =-2,5x(1-0) + 5x(6-1) - Rpx(8-1) - 1x(10 - 1) = 0 => Rp = (2,5 + 25 + 9)+ 7 = 4,5 kN => Rp = 4,5 kN UM <8) = -2,5x(8 - 0) + Rgx(8- 1) - 5x(8- 6) + 1x(10 - 8) = 0 => Rg = (20 + 10 - 2)+7 => Rg = 4,0kN Vérification : XIF, = -2,5+4-54+45-1=0 => Ok! Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES DS.2 Poutre 5A (suite) F, = 2,50 kN F, =5,00kN F; = 1,00 kN v Vv Te I. 6 2 3 i 6 ; § 10 mn Equations de V(x) Région Fy Re F, Rp Fs 0 <x<1 |V@= -2,5 0 0 0 0 1<x<6 |v@=| -2,5 +4 0 0 0 6<x<8 |V@=) -2,5 +4 -5 0 0 8<x< 10 |V@=| —2,5 +4 -5 +45 0 10<x | V@)= -2,5 +4 -5 +4,5 -1 Calcul de V(x) x (m) F, Re Fy Rp F; (en kN) o |}v@=] -25 0 0 0 0 = 0 oO | v@= ~2,5 0 0 0 0 = -2,5 rofv@=| -25 0 0 0 0 = -2,5 Iv | v@= ~2,5 +4 0 0 0 = +15 6 Jv@=| 2,5 +4 0 0 0 = +15 6 | v@=| -25 +4 —5 0 0 = -3,5 8 Jv@~=| 2,5 +4 —5 0 0 = -3,5 sx’ |v@=| 25 +4 -5 +45 0 =+1 lo | v@=| -25 +4 —5 +45 0 =+1 10° | V@= ~2,5 +4 —5 +45 1 = 0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES Poutre 5A (suite) Calcul précis de Max Le moment fléchissant atteint sa valeur maximale pour une des valeurs de x ot! V(x) = 0. Mmax est donc la valeur de M(x) soit pour x = 0,1, 6, 8 ou 10m. On a deja calculé M(x) pour ces valeurs de x dans le tableau précédent. M(x =0)=0 M(x=1)=-2,5kN.m M(x =6)=+5kN.m M(x=1)=-2kN.m M(x=10)=0 => Mmax = 5 KN.m ax = 6m. Calcul précis des positions d’inflexion Région 1<x <6: M(x) =—2,5x + 4(x-1) > -—2,5I; + 4I;-1) = 0 >-2,5I, + 4;-4 =0 => 1,51; = 4 > I, = 2,6666...m Région 6<x <8: Mx) = —2,5x + 4(x-1) -5(x-6) => -2,51, + 42-1) -5(l2- 6) = 0 => -2,5I, + 4I1,-4 —5I,+30 = 0 > -351,=-26 > [= 7,4286m Réponses poutre 5A : Minax = 5,0000 kN a X = 6,000 m; I, =2,6667 met 1, =7,4286 m. Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES DS.6 Poutre 5B Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que les positions d’inflexion. F,=200N F, =500N | w =1000Nin x 0 0,5 1,0 ™) Equations de V(x) Région KR F; w R 0 <x< 03 | V@&= - 200 0 0 0 0,3 <x< 05 | V@&)= — 200 -500 0 0 os <x<1 | veo=| —200 -500 | -1000(x-0,5)| 9 1 <x V(x) = — 200 -500 - 500 +1200 |=0 Calcul de V(x) x(m) Fi F; w R o V@)= 0 0 0 0 = 0 oO V@)= — 200 0 0 0 = -200 03° | V@= — 200 0 0 0 = -200 03° | V@= — 200 — 500 0 0 = -700 0,5 V@)= — 200 — 500 0 0 = -700 Vr V@)= — 200 — 500 — 500 0 = -1200 x>l | V@= — 200 — 500 — 500 +1200 |= 0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES 5.7 Poutre 5B (suite) F, =200N F,=500N w =1000Nin x 0 0,5 1,0 (m) Equations donnant M(x) Région F, F, w R M 0<x<03 |M@=| —200x 0 0 0 0 035x<0,5 |M@=| —200x | —500(x-0,3) 0 0 0 2 0 O5<x<1 |M@®=| -200x | -500(x-0,3) | -500(x-0,5) 0 1s<x M@)=| —200x | —S00(x-0,3) | —500(x-0,75) | +1200(x-1) +675 =0 Calcul de M(x) (en N-m) x (m) Fy F, w R M 0 | M@&= 0 0 0 0 = 0 0,3. | M@) = —60 0 0 0 0 = -60 0,5 | M@&) = —100 —100 0 0 0 = -200 0,6 | M@= —120 150 5 0 0 = -275 0,7 | M@= —140 —200 -20 0 0 = -360 0,8 | M@ = 160 250 45 0 0 = -455 0,9 | M@&) = —180 —300 —80 0 0 = -560 1 | M@= 200 350 125 0 0 = -675 1° | Me= 200 350 125 0 +675 = 0 >1* |Me=| —200x —500(x-0,3) | —S00(x-0,75) | +1200(x-1) +675 = 0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES D510 Poutre 5C (suite) F,=5S00kKN Fy =6 kN F, =4,00kN : w=1,00kNAn Late, : = i l [rv=ssons 0 123 4 5 6 7 8 9 B ny Equations de V(x) Région Fy Re w F, Rp O<x<1_ |v@= -4 0 0 0 0 I<x<4 | V@)= -4 + 8,5 0 0 0 4<x<5 |V@= -4 +8,5 | -1(x-4) 0 0 S<x<9 |V@)= -4 +8,5 | —1(x-4) 0 0 9<x< 10 |V@= -4 +8,5, | -1(x-4)| -5 + 6,5 10<x | V@)= -4 + 8,5 -6 -5 + 6,5 Calcul de V(x) x (m) Fi Re w Fy Rp (en kN) o | v@= 0 0 0 0 0 = 0 oO | V@= -4 0 0 0 0 =-4 ro | v@s 4 0 0 0 0 =-4 | ve= -4 +85 0 0 0 = +45 4 | Vo= 4 +85 0 0 0 = +4,5 Ss | v@= 4 +85 0 0 0 = +3,5 S| voo= -4 +85 -1 —3 0 =-15 o | v@= 4 +85 —1 -3 0 = -5,5 9 | ves —4 +85 -5 -5 +65 |= +1 10 | V@= 4 +85 -6 -3 +65 |= 0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES SL Poutre 5C (suite) F, =4,00kN F.= 5,00 KN ‘ ~ ee 0 Nin as fr.-sso Rp =6,5kN | T T T T 1 ! 1 x o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) Equations de M(x) Région F, Rg w F, Rp O<x<1 |M@=| -4x 0 0 0 0 l<x<4 |M@=| -—4x + 8,5(x -1) 0 0 0 4sx<s [M@=| -4x | +8,5(x-1) | -0,5(x-4) 0 0 s<xso |M@=| -4y | +85(x-1) | -0,5(x-4) | -5(x-5) 0 9<x<10 |M@=| -4x +8,5(x-1) | -0,5(x- 4" -5(x-5) | +6,5(x-9) lo<sx |M@=| -4x | +85(x-1) | -6(x-7) =5(x-5) | +6,5(x-9) Calcul de M(x) ) F, Re w F, Rp (en kN.m) 0 | M@®= 0 0 0 0 0 = 0 1 | M@= -4 0 0 0 0 = -4 4 | M@= -16 + 25,5 0 0 0 = 9,5 4,5 | M@= -18 + 29,75 = 0,125 0 0 = 11,625 5 | M@= -20 +34 -0,5 0 0 = 13,5 6 | M@= 24 + 42,5 -2 -5 0 = 11,5 7 | M@= -28 +51 -45 -10 0 = 85 8 | M@= -32 + 59,5 -8 -15 0 = 45 9 | M@= -36 +68 -12,5 -20 0 = -0,5 9,5 | MQ) = -38 +72,25 | -15,125 22,5 43,25 | =-0,125 10 | M@= -40 + 76,5 -18 25 +6,5 = 0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES DS.12 Poutre 5C (suite) _ F)=5,00 KN FL =4,00 kN w=1,00KNin | Rg =8,500 KN Rp =6,5kN I T T T T T T | i x o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) V (kN) Diagramme de l’effort tranchant x (m) Diagramme du moment fléchissant 4 2 0 x (m) Position du début et de la fin de chaque droite (Dr) ou parabole (Par) pour M(x): 10 49,5! 12 +11,625--f HERE eee eee le. Z aw. ASP +13,5° Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES 51S Poutre 5D (suite) WwW, = 2,00 kN/m. w, = 1,00 kNin a Rg =3,75 KN fromtoases t T T T T T T t i x o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) Equations de M(x) Région Re Wi W2 Rp O<x< 6 |Me@=| +3,75(¢— 0) | —0,5(x- 0)" 0 0 6<x<8|mM@=| + 3,75x -6(x—3) | —1@-6) 0 8<x<10 |M@=| + 3,75x —6(x-—3) | —1@¢-—6)? | +10,25(x-8) Calcul de M(x) () Rg Wi wr Rp (en kN.m) 0 | M@= 0 0 0 0 =0 1 |M@=| + 3,75 -0,5 0 0 = 3,25 2 | M@)= +7,5 —2 0 0 =5,5 3 |M@=] + 11,25 —4,5 0 0 =6,75 4 | M@= +15 —8 0 0 =7 6 |M@=| + 22,5 —18 0 0 =45 7 |M@=| + 26,25 —24 -1 0 = 1,25 8 | M@)= + 30 — 30 —4 0 =-4 9 |M@=]| + 33,75 —36 -9 + 10,25 =-] 10 | M@=| + 37,5 —42 —16 + 20,5 =0 Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES DS.16 . W? = 2,00 kN/im Poutre 5D (suite) w, = 1,00 kN/m 4 Rg = 3,75 KN [ro=102s kN T T T T T T T 1 1 x o 2 2 3 4.65 6 7 8 9 10 (m) V (kN) Diagramme de |’ effort tranchant 4 aE 43.75 +4 2 9 x (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Di: me du moment fléchissant 4 3 2 -1 2 Position du début et de la fin de chaque droite (Dr) ou parabole 3 (Par) pour M(x): M (kN-m) Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT DANS LES POUTRES 517 Poutre 5D (suite) Calcul précis de Max Il faut calculer M(x) pour les positions oti V(x) = 0, car c’est pour une de ces positions que M(x) atteindra sa valeur maximale (en valeur absolue) V(x) =0 dans la région 0 <x <6, ainsi que pourx = 8. Région 0<x <6 :; V(x) = 3,75 -x => V(x) = 0 lorsque 3,75 —-x =0 > x = 3,75 > Mg-379 = 3,79* 3,75 — (1x 3,75 /2) = 7,03125 Pour x = 8 Mg-=s) = —4 (voir tableau) => Mya = 7.03125 kN.m_a@ x = 3,75 1m Calcul précis des positions d’inflexion Région 6<x <8: M(x) = +3,75x — 6(x—3) —I(x- 6)? => + 3,751, — 6(1,- 3) —(l, - 6) = 0 => + 3,751, — 6(I;— 3) — (If — 121, + 36) = 0 => + 3,751, — 61, + 18-17 + 121,;- 36 = 0 => I? + (3,75 —6+ 12)I, + 18-36 = 0 => -I/ + 9,75I,;-18 = 0 SI, = 2D ENTS ACVCI®) _ 4 975 49 40117 2x(-1) => T_=_7,27617m > (i = 2,47383 m doit étre rejeté car on est dans la région 6 <x <8) Réponses poutre 5D : Mynax = 7,031 KN.m a X =3,75 m; I) = 7,2762 m