Tableau des dérivé et primitive d'une fonction, Cheat Sheet of Mathematics

Download Tableau des dérivé et primitive d'une fonction and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity! de la 1° § ala TS. Chapitre 3 : Dérivation I. Exercices 1 Dérivabilité Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point demandé Neo R WAN f(z) =a? en x =3 (Revenir & la définition du nombre dérivé) f(®)=JVaer=1. f(z) = J/renr=0. f(x) = |z| ena =0. f(a) =aV/ren x = 0. f(a) = (a@-YV1—@ en x = 1. f(x) =(«@-1)V1— 2? en x = 1. (plus difficile) Aide Réponses 2 Calculs de fonctions dérivées Calculer les dérivées des fonctions suivantes. C'est un exe! ice d’entrainement au calcul, on ne demande pas de déterminer les ensembles sur lesquels les fonctions sont dérivables. 1. n Roe eS Roe b ca SPrnNen Pr w f(a) = 4a° — 3a? +a -7. do —1 fl Tx +2" x f(e ~ 2 = cos(—2x + 5). = sina. Aide Réponses L.BILLOT 1 DDL de la 1° § ala TS. Chapitre 3 : Dérivation 3 Sens de variation d’une fonction Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes sur l’ensemble indiqué. (Les limites ne sont pas demandée 1 v — <2? —6c+1sur R. 1. f(x) = 30° 3 2. f(x) = — sur R — {—2}. ~ 3. f(x) = = 7 sur R-—- {-1;1}. Remarque : Il y a davantage d’études de fonctions dans le chapitre dédié. Aide Réponses 4 Equation de tangente Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la tangente a la courbe représentative de la fonction f au point demandé. Ll. f(z) = 20° -5r+lenz=1. Qe — f(z)= = rar ec=-l. f(a) = V2x-5ar=4. f(x) = cos (- - 7) eanc= > Aide Réponses 5 Approximation affine Cette partie, qui n’est pas la mieux connue par les éléves entrant en terminale, sera pourtant nécessaire cette année dans l’application de la méthode d’Euler, méthode com- mune aux maths et a la physique. Déterminer l’approximation affine des fonctions suivantes au point demandé. 1 1. f(z) = per 2. 2. f(x) =sinz en 0. 3. f(x) = tanz en 0. 4. f(x) = Te 0. 5. f(v) = V1+2 en0 Aide Réponses L.BILLOT 2 DDL de la 1° § ala TS. Chapitre 3 : Dérivation III Correction 1 Dérivabilité 1. Pour la premiére question, j’utilise les deux versions. Dans la suite j’alterne pour vous permettre de vous habituer. him £2) = £8) 23, 2-3 Ou bien : : _ < 2 92 lim f(3+h) — f(3) — lim (+h)? -—3 ho h ho h = Lim 46h + ht = 9 he h = = lim 6 + h=6 Donc la fonction est dér ivable en 3 et f’(3) =6. fa)= FQ) _ yt 2. lim ————— rol a-1 rol oe = lim 20 (vet = li ao = +1 _l 2 re ene 1 Done la fonction f est dérivable en 1, et f’(1) = z 3. Le domaine de définition est [0,+o00[, donc je calcule la limite en 0 par valeurs supérieures. lim LO+h)~ £0) =lim= vh no h nao Mt = lim —= (ici, h est positif) no Vh = +00 Donc la fonction f n’est pas dérivable en 0. 4. Je sépare les limites par valeurs supéricures et inférieures, si x > 0, alors |x| = x et six < 0, alors |a| = —2. him £0) = FO) < a—0 230 = lim fel «So = lim <o rs =-1 L.BILLOT 5 DDL de la 1° § ala TS. Chapitre 3 : Dérivation et = lim fel 10) tim 9 TT 20 F = lm- rsot =1 Il y a une limite 4 gauche et une limite a droite différentes, donc la limite du taux daccroissement n’existe pas, et la fonction f n’est pas dérivable en 0. im LOM = FO _ hVR 5 OF h pa h =limvh h—0 =0 Done la fonction f est dérivable en 0, et f’(0) = 0. 6. Le domaine de définition est [—1; 1], donc je calcule la limite en 1 par valeurs infé rieures. imf@-L _ yy, @= DVI aS Done la fonction f est dérivable en 1, et f’(1) = 0. 7. Le domaine de définition est [-1;1], donc je calcule la limite en —1 par valeurs supérieures. f(x) =f) ~)vl- «—0 ot+l —1)/(-a)(1+2) ue * 1(@+1) vit Or lim (« —1)V1—@ = 2v2 et lim Ve+1=0", donc lim 1 23-1 He) 10) _ r-1 La fonction f n’est pas dérivable en —1. Remarque & propos des derniéres questions : il est écrit dans votre cours de premiére que la somme, le produit, etc... de fonctions dérivables sont dérivables et c’est exact. Mais on ne peut rien dire de la somme, du produit ... de fonctions non dérivables ou dont certaines ne sont pas dérivables. Retour L.BILLOT 6 DDL de la 1° § ala TS. Chapitre 3 : Dérivation 2 Calculs de fonctions dérivées on 10. 11. 12. 13. 14, Mn) 1 I) = 8x T= . La dérivée de x ++ cos(2x) est x ++ —2sin(2x), donc f’(x) = 4cosx — 2sin(2z). . f(a) = 120? —6r +1. . Je pose u(x) = 4x — 1 et v(x) = 7x +2, ce qui donne w(x) = 4 et v(x) = 7, t Jay — yf japplique la formule (=) = oe et j’obtiens : v v A(7a + 2) — (4a —-1) x7 15 (a) = Meee xT (7x + 2) (7a + 2) Remarque : vous avez le droit d’écrire directement la deuxiéme ligne. . Je pose u(x) = x et v(x) = x? — 3, ce qui donne u'(x) = 1 et v'(x) = 2z et j’obtiens : ) l(a? —3)-—@ x 2a -a? —3 Ga aye 3 I(2)= . Je pose u(x) = —2% +5, done u/(x) = —2 et j’applique (cosu)’ = —u' sinu, done f(a) = 2sin(—2x +5). . Je pose u(x) = x”, donc u/(x) = 2x et j’applique (sin u)’ = u’ cos.u, done f' (x) = 2a cos(a”). 4 n=1 . Je pose u(x) = sinz, donc u'(x) = cosx et j’applique (w")’ = nu'u"~! avec n = 2, donc f'(x) = 2cosxsinz. Et puisque je connais quelques formules de trigo : f’(x) = 2cosxsina = sin(2z). sin a f(x) = tang = , ona donc : cosa cosacosa—sina(—sinx) cos?a +sin? x 1 F@)= - == cos? x cos? x cos? Remarque : on peut aussi l’écrire sous la forme : f’(x) = — J applique (u")! = nu'u"! : f'(a) =4 x 2 x (2x —5)° = 8(2r — 5)*. 1)! i Qv J’applique : (+) = -5 done f'(x) =7 x (-=“p) ~ ou 8x 4x ; . , 1) U _ _ Japplique (/u)’ = we donc f'(x) = Jaa Je Qn Warp _ c J’applique les deux formules précédentes et : f’(2) = -—22=— = -——______.. ppm p M2) = ~~ Gaya da — 1 A(a +2) — (4a -1 Je pose u(x) = — que je dérive : u!(x) = soe) = 5 el puis j’applique (u”)’ = nu’w 9 4x —1\" — 27(4a — 1)? a (43) (a +2) * donc f'(x) = 3 x Retour L.BILLOT 7 DDL