Derivative Functions and Slopes, Study Guides, Projects, Research of Mathematics

Download Derivative Functions and Slopes and more Study Guides, Projects, Research Mathematics in PDF only on Docsity! Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 16 PARAGRAAF 2.1 : SNELHEDEN (EN HELLING) LES 1 BENADERING VAN DE HELLING TUSSEN TWEE PUNTEN DEFINITIES • Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling } • Differentiequotiënt = { r.c. van de lijn door deze twee punten} • Differentiequotiënt op interval [xa , xb] = Δ𝑦𝑦 Δ𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑏𝑏−𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑥𝑥𝑏𝑏−𝑥𝑥𝑎𝑎 • Helling = Snelheid (bijv. m/s) • Soorten daling : blz. 50 boek. VOORBEELD 1 Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3. a. Bereken het differentiequotiënt op [2,6] b. Bereken de gemiddelde helling / snelheid op [−4,−1] OPLOSSING 1 a. Differentiequotiënt op interval [2 , 6] = 8 4 32 26 739 26 26 == − − = − − = ∆ ∆ xx yy x y Dit betekent dat als je één naar echts gaat, je met 8 omhoog gaat (r.c. van de lijn door deze twee punten) b. Gemiddelde helling / snelheid op [−4 ,−1] = 5 3 15 41 194 41 41 −= − = +− − = − − = ∆ ∆ −− −− xx yy x y Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 2 van 16 LES 2 BENADERING VAN DE HELLING IN EEN PUNT VOORBEELD 1 Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3. Bereken de helling in 𝑥𝑥 = 2 OPLOSSING 1 Een goede benadering is om een heel klein interval rond x = 2 te nemen en het differentiequotiënt uit te rekenen dus bijvoorbeeld op interval [2 ; 2,01] (Dan is ∆x=0,01) : (1) Bereken bij beide x-en de y-waarden : 𝑥𝑥 = 2 → 𝑦𝑦 = 22 + 3 = 7 dus 𝐴𝐴 = (2,7) 𝑥𝑥 = 2,01 → 𝑦𝑦 = 2,012 + 3 = 7,0401 dus 𝐵𝐵 = (2,01 ; 7,0401) (2) Differentiequotiënt op interval [2 ; 2,01] = 401,4 01,0 0401,0 01,0 70401,7 201,2 201,2 ≈== − = − − = ∆ ∆ xx yy x y (3) Dus de helling in 𝑥𝑥 = 2 is 4. Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 5 van 16 LES 2 : VERBAND TUSSEN F(X) EN F ’(X) DEFINITIES • 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = { de hellinggrafiek van 𝑓𝑓(𝑥𝑥) } VOORBEELD 1 Gegeven is de grafiek hierbeneden. a. Stel dat is de grafiek van f(x). Teken op basis hiervan f’(x) b. Stel dat is de grafiek van g’(x). Teken op basis hiervan g(x) Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 6 van 16 OPLOSSING 1 a. (1) In de toppen is f’(x) = 0. Dus bij x = -2 en x = 1,5. (2) Links van x = -2 is de grafiek stijgend. Dus f’(x) is positief (3) Rechts van x = 1,5 is de grafiek stijgend. Dus f’(x) is positief (4) Tussen x = -2 en x = 1,5 is de grafiek dalend. Dus f’(x) is negatief. Dit geeft : Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 7 van 16 b. (1) Waar g’(x) = 0 zijn bij g(x) toppen. Dus bij x = -3, x = -1 en x = 3. (2) Links van x = -3 en tussen -1 en 3 is g’(x) is negatief. Dus is de grafiek daar dalend. (3) Rechts van x = 3 en tussen -3 en -1 is g’(x) is positief. Dus is de grafiek daar stijgend. Dit geeft : Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 10 van 16 c. Beide zijn nul dus : lim 𝑥𝑥→5 𝑥𝑥 2−5𝑥𝑥 𝑥𝑥2−25 = lim 𝑥𝑥→5 𝑥𝑥(𝑥𝑥−5) (𝑥𝑥−5)(𝑥𝑥+5) = lim 𝑥𝑥→5 𝑥𝑥 𝑥𝑥+5 = 5 10 = 1 2 Het continu makende punt is 𝑃𝑃 = (5 , 1 2 ). Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 11 van 16 LES 2 : HELLINGFUNCTIE MET LIMIET VOORBEELD 1 Gegeven is de functie 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3. a. Bereken de helling in x = 6 met de limietdefinitie. b. Bereken de hellingfunctie met de limietdefinitie. OPLOSSING 1 Maak eerst een schets (zie hiernaast). We nemen een heel klein getal h. a. We gaan eerst de helling in x=6 berekenen. (1) Helling op interval [6 , 6 + ℎ] = 6 6 6 6 (6 ) 6 h hy y y yy x h h + +− −∆ = = ∆ + − (2) Eerst de y-coördinaten berekenen : 𝑦𝑦(6 + ℎ) = (6 + ℎ)2 + 3 = 62 + 2 ∙ 6 ∙ ℎ + ℎ2 + 3 = ℎ2 + 12ℎ + 39 𝑦𝑦(6) = 62 + 3 = 39 (3) Helling op interval [6 , 6+h] = 12)12(12393912)6(' 22 += + = + = −++ = ∆ ∆ = h h hh h hh h hh x yf (4) Omdat h heel klein is geldt : 1212lim)6(' 0 =+= → hf h (5) Dus de helling in 𝑥𝑥 = 6 is 𝑓𝑓’(6) = 12. Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 12 van 16 b. Nu hetzelfde voor een willekeurige x : (1) Dan geldt voor iedere x dat Helling op interval [𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 + ℎ] = h yy xhx yy x y xhxxhx − = −+ − = ∆ ∆ ++ )( (2) Eerst de y-coördinaten berekenen : 𝑦𝑦(𝑥𝑥 + ℎ) = (𝑥𝑥 + ℎ)2 + 3 = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 + 3 (3) Dan geldt dat de helling op interval [x , x+h] = hx h hxh h hxh h xhxhx x y += + = + = +−+++ = ∆ ∆ 2)2(2)3(32 2222 Omdat h heel klein is geldt : xhx h 22lim 0 =+ → (4) Dus voor iedere x geldt dat de hellingfunctie 𝑦𝑦 ‘(𝑥𝑥) gelijk is aan 𝑦𝑦 ‘(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥. VOORBEELD 2 Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3. a. Bereken de helling in 𝑥𝑥 = 13 b. Bereken de helling in 𝑥𝑥 = −7 OPLOSSING 2 a. helling in 𝑥𝑥 = 13 is 𝑓𝑓 ‘(13) = 2 ∙ 13 = 26 b. helling in 𝑥𝑥 = −7 is 𝑓𝑓‘(−7) = 2 ∙ −7 = −14 Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 15 van 16 LES 2 : VRAGEN OVER DE AFGELEIDE VOORBEELD 1 Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 9𝑥𝑥2 + 36𝑥𝑥. a. Bereken algebraïsch de helling in 𝑥𝑥 = 3. b. Bereken algebraïsch de coördinaat waar de helling gelijk is aan −9. c. Bereken algebraïsch de raaklijn in 𝑥𝑥 = 2. d. Bereken algebraïsch de coördinaten van de top. OPLOSSING 1 a. 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥 + 36 Helling in x=3 is : 𝑓𝑓’(3) = 18 ∙ 3 + 36 = 90 b. 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = −9 dus 18𝑥𝑥 + 36 = −9 18𝑥𝑥 = −45 𝑥𝑥 = −2½ 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−2½ ) = 9(−2½)2 + 36(−2½) = −33 3 4 Coördinaat 𝐴𝐴 = (−2½ , −33 3 4 ) c. Neem het stappenplan erbij. Alleen stap 3 kan nu sneller : (1) Algemene vergelijking raaklijn → 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 (2) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(2) = 108 (3) 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥 + 36 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓’(2) = 72 (4) Je weet 𝑦𝑦 = 72𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. Invullen van (2,108) geeft : 108 = 72 ∙ 2 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = −36 (5) Dus raaklijn : 𝑦𝑦 = 72𝑥𝑥 – 36 Hoofdstuk 2 De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 16 van 16 d. In de top geldt : HELLING = 0 → 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥 + 36 = 0 18𝑥𝑥 = −36 𝑥𝑥 = −2 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−2) = −36. Dus de top is (−2,−36) Dit is een minimum (dalparabool) VOORBEELD 2 Gegeven is de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2– 2𝑥𝑥 + 3. Op de grafiek van f ligt het punt B waarin de raaklijn m evenwijdig is met de lijn 𝑙𝑙 ∶ 𝑦𝑦 = – 6𝑥𝑥 + 8 OPLOSSING 2 Bereken met behulp van de afgeleide de coördinaten van B. (1) 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟. 𝑐𝑐. = – 6 Dus 𝑓𝑓 ’(𝑥𝑥) = – 6 (2) 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 – 2 = – 6 2𝑥𝑥 = −4 𝑥𝑥 = −2 Dus 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(– 2) = (– 2)2– 2 ·– 2 + 3 = 11 Dus 𝐵𝐵 = (– 2,11)