¡Descarga algebra abstracta y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Dominios Enteros En esta sección, para motivar su estudio, usaremos polinomios de manera intuitiva. Sera hasta el capitulo 22 cuando se traten con detalle. Una de las propiedades algebraicas más importantes de nuestro sistema numérico usual es que el producto de dos números puede ser 0 solo si al menos uno de los dos factores es cero. Se suele usar con frecuencia este hecho, incluso de manera inconsciente. Supóngase, por ejemplo, que se pide resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 Lo primero que se hace es factorizar el lado izquierdo: x2 - 5x + 6 = (x-2) (x-3) Después se concluye que los únicos valores posibles para x son 2 y 3. Porque? Porque si x se reemplaza por cualquier numero a, el producto (a - 2) (a - 3) de los números resultantes es 0, si y solo si a - 2 = 0 o a - 3 = 0. Ejemplo (19.1): Resolvamos la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 en Z12. Ahora x2 - 5x + 6 = (x-2) (x-3) sigue siendo válido si consideramos x como un numero en Z12.Pero en Z12 no solo 0a = a0 = 0 para todas las a € Z12, sino además, (2)(6) = (6) (2) = (3) (4) = (4) (3) = (3) (8) = (8) (3) = (4) (6) = (6) (4) = (4) (9) = (9) (4) = (6) (6) = (6) (8) = (8) (6) = (6) (10) = (10) (6) = (8) (9) = (9) (8) = 0 Así, nuestra ecuación no tiene solo las soluciones 2 y 3, sino también 6 y 11 pues (6 - 2)(6 - 3) = (4) (3) = 0 y (11 - 2) (11 - 3) = (9) (8) = 0 en Z12 Estas ideas son tan importantes que las formalizaremos en una definición. Definición (19.2): Si a y b son dos elementos distintos de cero de un anillo R tal que ab = 0, entonces a y b son divisores de 0. En particular, a es un divisor izquierdo de 0 y b es un divisor derecho de 0. En un anillo conmutativo, todo divisor izquierdo de 0 es también un divisor derecho de 0 y recíprocamente. Así, no hay distinción entre divisores izquierdos y derecho de cero en un anillo conmutativo. El ejemplo 19.1 muestra que en Z12 los elementos 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 10 son todos divisores de 0. Nótese que estos son precisamente los números en Z12 que no son primos relativos con 12, esto es, aquellos cuyo mcd con 12 no es 1. El siguiente teorema muestra que este es un ejemplo de una situación general. Teorema (19.3) En el anillo Zn los divisores de 0 son precisamente aquellos elementos que no son primos relativos con n. Demostración: Sea m € Zn donde m ≠ 0, y sea d ≠ 1 el mcd de m y n. Entonces, m (n/d) = (m/d) n Y (m/d)n da 0 como múltiplo de n. Así, m (nld) = 0 en Zn mientras que ni m ni nld es 0, así que m es un divisor de 0. Por otro lado, supóngase que m € Zn es primo relativo con n. Si para s € Zn tenemos ms = 0, entonces n divide al producto ms de m y s como elementos del anillo Zn. Como n no tiene factores > 1 en común con m, debe ser que n divide a s, de modo que s = 0 en Zn. Irene Corolario (19.4) Si p es primo, entonces Zp no tiene divisores de 0. Demostración La demostración de este corolario resulta de inmediato del teorema 19.3. Otra indicación de la importancia del concepto de divisores de 0 se muestra en el siguiente teorema. Sea R un anillo y sean a, b, c € R. Las leyes de cancelación valen en R si ab=ac con a≠0, implica b=c y ba=ca con a≠0 implica b=c. Estas son las leyes de cancelación multiplicativas. Es claro que las leyes de cancelación aditiva valen en R, pues (R, +) es grupo. Teorema (19.5): Las leyes de cancelación valen en R si y solo si R no tiene divisores de 0, izquierdos ni derechos. Demostración Sea R un anillo en el cual se cumplen las leyes de cancelación, Supóngase que ab=0 para algunas a, b € R. Debemos mostrar que a es cero o b es 0. Si a≠0, entonces a =a0 implica que b=0, por las leyes de cancelación.
