Algebra abstracta fraleigh, Apuntes de Matemática Empresarial

¡Descarga Algebra abstracta fraleigh y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity! /ALGEBRA ABSTRACTA “PRIMER CURSO |) John B. Fraleigh 1 Department of Mathematics University of Rhode Istand Versión en español de Manuel López Mateos Universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración ge Herminla Ochsenlus A. Pontificia Universidad Católica de Chile + ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina + Brasil « Chile « Colombla « Ecuador * España Estados Unidos = México = Perú = Puerto Rico + Venezuela Versión en cspañol de la obra titulada A First Course in Abstract Algebra, third edition, de John B. Fraleigh, publicada originalmente en inglés por Addison- Wesley Publishing Company, Inc, Reading, Massachusetts, E.U.A. € 1982, 1976, 1967 por Addison-Wesley Publishing Company Inc. Esta edición en español es la única autorizada. A fa memoria de mí padre PERCY A. FRALEIGH O 1983 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S, A. Wilmington, Delaware, E.U.A. O 1988 por Sistemas Técnicos de Edición, S, A. de C.V. San Marcos, 102, Tlalpan. 14000 México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ní parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sislema electrónico, mecánico o de folorrepraducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1312. Impreso en México. Printed ín Mexico, ISBN 0-20)-64052-X Addison Wesley Iberoanaericana ISBN 968-858-077-5 Sistemas Técnicos de Edición ABCDEFGHIJ-M-898 en particular debido a que en muchas escuelas se dedica un solo semestre al estudio de lo que nos ocupa en este libro. La parte 11 está dedicada a anillos y campos. No se escatiman esfuerzos para señalar las analogías cen cl estudio anterior de los grupos. En la parte [[ se da principal atención al tema de teoria de campos, que nos conduce a la teoria de Galois y la incluye. Los espacios vectoriales se tratan brevemente, sólo con el fin de desarrollar los conceptos de independencia lineal y dimensión, necesarios en teoría de campos. Debido a que los estudiantes suelen encontras dificil la teoria de campos, he intentado darle un tratamiento paulatino acterando siempre lo que queremos lograr y cómo lo haremos En todo el texto. sin comentarios mi disculpas. se usan propiedades de lus racionales que los estudiantes ya conocen aunque nunca hayan visto sus justilica- ciones rigurosas. Me he dado cuenta que el estudiante medio tiene dificultad para entender la razón de iniciar el estudio formal de resultados que conoce hace años. Después de haber adquirido una visión global de la naturaleza de les esiructuras algebraicas. los estudiantes podrán ver estas propiedades de otra manera. Esta forma de estudio concuerda además con mi objetivo inicial de lograr cierta profundidad en un primer curso. En vísta de que mi deseo es que los estudiantes de álgebra aprepdan lo más posible, decidi tratar de manera muy intuitiva el material de teoria de conjuntos. y sólo conforme fuera necesario. Hay dos maneras de adquirir el conocimiento de las aplicaciones de la teoria de conjuntos: estudiarla per se o sumergirse en ella y usarla según sea necesario. De acuerdo con mi experiencia, los estudiantes en- cuentran el estudio de los «prerrequisitos de teoría de conjuntos» al inicio de un curso de álgebra, como la parte más desalentadora. A este respecto, mi enfoque es reflejo de mi disposición a sacrificar a lo largo del libro la elegancia de la presentación matemática y a veces hasta el lenguaje, en aras de la comprensión en este primer curso. s El texto contiene material suficiente para un curso de dos semestres con alumnos medios. Sia embargo, las secciones no murcadas con asterixeo se plane ren de manera especifica con el fl de formar an enrío de un semester. Estas secciones son independientes; en ellas na se empleo el material marcado von usteris- co, y representan mi intento de presentar material de cierta profundidad en algebra, incluso la teoria de Galois, er sur grupo medio, cn 01 sola semestre. Desde luego. es posible formar una gran variedad de cursos de un semestre a partir del material disponible, Ciertos capitulos marcados con asterisco son adecuados para su estudio fuera de clase, en particular los capitulos 10, 37, 39 y 43. Si no hay tiempo suficiente para terminar la teoria de campos en el texto, el capitulo 35, que analiza minuciosamente el teorema de Kronecker. o bien el capítulo 39, pueden convertirse en sección final satisfactoria. En mi opinión, no vale la pena comenzar el capitulo 40 si no hay tiempo para terminar el material no marcado con asterisco. Los ejercicios al final de un capitulo a menudo están divididos en dos grupos por una recta horizontal. Los que se encuentran en la parte superior se recomien- dan para un grupo medio y probablemente son los que el autor asignar alumnos de la Universidad de Rhode island. Con el objeto de que la trar las matemáticas abstractas sea para los estudiantes tan fácil como sea posible, los ejercicios del primer grupo son sobre todo de cálculos. Los estudiantes medios están completamente perdidos frente a una seric de ejercicios que comienzan con las palabras probar o demostrar, Claro que el adiestramiento en las demostracio- nes es importante. Por lo general, el primer grupo de ejercicios contiene alguno marcado con una daga, lo que significa que requiere demostración, Es política del autor reunir estos ejercicios marcados, leerlos y hacer que los estudiantes los reescribán y, si es necesario, capacitarlos para escribir matemáticas y no lonte- rías. Los ejercicios del segundo grupo a menudo incluyen varios que requieren demostración asi como algunos adicionales donde se calcula. El asterisco en un ejercicio ne denota dificultad, sino que dicho ejercicio depende de algún material marcado con asterisco en el texta, Debido a que deseo promover una actitud matemática positiva, algunos ejercicios, en particular al principio del texto, son de naturaleza un tanto matemática. Ál final del libro hay respuestas o comenta- rios acerca de casi todos los ejercicios que no requieren demostraciones. Las demostraciones que se solicitan en los ejercicios no están dadas en las respuestas; no creo que sea pedagógicamente sensato tener lan a la mano dichas demostra- ciones. Durante el semestre de primavera de 1966, en la Universidad de Rhode Island, se usó una primera versión mimeografiada de este libro. Quicro expresar aquí mi agradecimiento a George E. Martin quien impartió una de las secciones del curso. Sus comentarios y sugerencias fueron de gran valor al preparar esta versión para su publicación. J BF Indice general capítulo 0 Algenas palabras preliminares 1 0.1 El papel de las definiciones 1 0.2 Conjuntos 2 0.3 Particiones y relaciones de equivalencia 4 PARTE I GRUPOS capítulo 1 Operaciones binarias 10 1.1 Motivación 10 1,2 * Definición y propiedades 11 1.3 Tablas 13 1.4 Algunas palabras de advertencia 13 capltulo 2 Grupos 18 21 Motivación — 18 22 Definición y propiedades elemenlales 19 23 Grupos finitos y tabias de grupo 23 capitulo 3 Subgrupos 29 3.1 "Notación y terminología 29 3.2 Subconjuntos y subgrupos 30 3.3 Subgrupos cíclicos 33 "capítulo 18 Teoremas de Sylow 167 *18,J p-grupos 167 *182 Los teoremas de Sylow 169 *capítulo 19 Aplicaciones de la teoria de Sylaw 14 *19.1 Aplicaciones a p-grupos y la ecuación de clase 174 *19.2 Aplicaciones ulteriores 176 *capítulo 20. Grupos abelianos libres 181 *20.1 Grupos abelianos libres 181 *20.2 Demostración del teorema fundamental 184 "capítulo 21 Grupos libres 190 *21.1 Palabras y palabras reducidas 190 *21.2 Grupos libres 191 *21.3 Homomorfismos de grupos libres 193 *214 Más sobre grupos abehanos libres 194 *capítulo 22 Presentaciones de grupos 197 *22.1 Definición 197. *222 Presentaciones isomorlas 193 *223 Aplicaciones 200 PARTE II ANILLOS Y CAMPOS capítulo 23 Anillos 208 231 Definición y propiedades básicas 208 23.2 Cuestiones muhtiplicativas; campos an capítulo 24 Dominios enteros 215 24,1 Divisores de O y cancelación 215 24,2 Dominios enteros 217 24,3 Característica de un anillo 218 244 Teorema de Fermat 219 *24.5 Generalización de Euler 220 "capítulo 25 Algunos ejemplos no conmutativos 224 *25.1 Matrices sobre un campo 224 *25.2 Anillos de endomorfismos 227 *25.3 Anillos de grupo y álgebra de grupo 230 *254 Cuaterniones 232 capítulo 26 El campo de cocientes de un dominio entero 237 26.1 La construcción 237 26.2 Unicidad 242 capítulo 27 Nuestro objetivo fundamental 246 capítulo 28 Anillos cocientes e ideales 250 28.1 Introducción 250 28.2 Criterios para la existencia de un anillo de clases laterales 251 28.3 Ideales y anillos cocientes 253 capítulo 29 Homomorfismos de anillos 257 29.1 Definición y propiedades elementales 257 29.2 Ideales maximales y primos 259 29.3 Campos primos 262 capítulo 30 Anillos de polinomios 266 30.1 Polinomios en una indeterminada 266 30.2 Homomorfismos de evaluación 270 30.3 El nuevo enfoque 273 capítulo 31 Factorización de polinomios sobre un campo 277 31.1 El algoritmo de la división en F[x] 2n 31.2 Polinomios irreducibles 281 31.3 Estructura de ideal en F[x] 285 314 Unicidad de la factorización en F[x] 236 *capítulo 32 Dominios de factorización única 291 *32.1 Introducción 291 *322 Todo DIP es un DFU 293 *32,3 Si D es un DFU, entonces D[x] es un DFU 297 *capitulo 33 Dominios euctidianos 304 *33.1 Introducción y definición 304 *332 Ariimélica en dominios evclidianos 305 *capitulo 34 Enteros gaussianos y normas — 312 *34.1 Enteros gaussianos 312 *34.2 Normas multiplicativas — 315 capítulo 35 Introducción a los campos de extensión 320 35.1 El objetivo fundamental alcanzado 320 35.2 Elementos algebraicos y lrascendentes 322 35.3 El polinomio irreducible de « sobre F 324 35.4 Extensiones simples 325 capítulo 36 Espacios vectoriales 331 361 Definición y propiedades elementales 331 36.2 Independencia lineal y bases 333 36,3 Dimensión 335 36.4 Uns aplicación a la teoria de campos 338 “capitulo 37 Otras estructuras algebraicas — 342 *37.] Grupos con operadores 342 *37.2 Módulos 344 37,3 Algebras H5 capítulo 38 Extensiones algebraicas 343 39.1 Extensiones finitas — 348 38.2 Campos algebraicamente cerrados y cerraduras algebraicas 352 *38.3 Existencia de una cerradura algebraica 354 *capítulo 39 Construcciones geométricas 360 *39,1 Números construibles 360 *39.2 Imposibilidad de ciertas construcciones 364 2 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES Se entiende que loda definición es una proposición del tipo sí y sólo sí aunque se acostumbre suprimir el sóla si. Por tanto, cuando definimos: «un triángulo es isósceles si tiene dos lados de igual longitud», en realidad queremos decir que un triángulo es isúsoeles si y sólo si tiene dos lados de igual longitud. Ahora bien, no piensen que es necesario memorizar una definición palabra por palabra. Lo importante es comprender el concepto para que cada estudiante pueda definir precisamente ese mismo concepto con sus propias palabras. Así, la definición «un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales», es total- menle correcia. También es correcta la definición «un triángulo isósceles es aquel que tiene dos ánguios iguales», pues los triángulos que llamamos isósceles en estas definiciones, son los mismos. Es importante notar que una vez definido un concepto, para probar algo cor respecto a dicho concepla, se debe usar la definición como parte de la demostra- ción. Inmediatamente después de definir un concepto, la definición es la única información disponible acerca del concepto. A lo largo del libro, cuando un término aparece en negritas, es porque se está definiendo. Los principales conceptos algebraicos se definen de manera explicita; muchos otros se destacan con negritas, sin dar una definición explicica. De esta forma se destacarán ideas en párrafos del libro, teoremas y ejercicios, 0.2 CONJUNTOS La importancia básica de las definiciones en matemáticas es también una debili- dad estructural, por la razón de que no todos los conceptos usados pueden definirse. Supongamos, por ejemplo, que definimos el término confutto: «un conjunto es una colección bien definida de objetos». Es natural preguntarse de inmediato el significado de rofección. Quizá definamos entonces: «una colección es un agregado de cosas». ¿Y qué es un «gregado? Ahora, como nuestro lenguaje es finito, después de algún tiempo se nos acabarán las palabras nuevas y tendre- mos que repetir algunas de las ya cuestionadas. Entonces, la definición es circular y, obviamente, carece de sentido. Los matemáticos saben que debe haber algunos conceptos sia definición o primitivos. Por el momento, están de acuerdo en que conjunto debe ser uno de dichos conceptos primitivos. No definiremos conjunto, pero esperamos que al usar expresiones como «el conjunto de todos los números reales» o «el conjunto de todos los miembros del senado de Estados Unidos», las ideas que de su significado tienen distintas personas sean lo bastante similares para permitir la comunicación. Resumimos brevemente algunas de las cuestiones que se asumirán con res- pecto a los conjuntos. 1 Un conjunto S está formado por elementos, y si a es uno de estos elementos, lo denotaremos por 46 S. 2 Existe sólo un conjunto sin elementos. Es el conjunto vacto, que denotamos por 0.2 CONJUNTOS 3 3 Podemos describir un conjunto aludiendo a una propiedad que caracterice a los elementos, como «el conjunto de todos los miembros del senado de Estados Unidos», o listando los elementos. La manera usual de describir un conjunto mediante el listado de sus elementos, consiste en encerrar en llaves las designaciones de los elementos, separados por comas, por ejemplo, [1, 2, 153. Si se describe un conjunto mediante la propiedad P(x) que caracteriza a sus elementos x, también es común usar la notación Íx|] P(x)), que se lec «el conjunto de todas las x tales que la proposición P(x) acerca de x es verdade- ra». Asi, - (2, 4, 6,8] = (x]x es un número entero positivo par < 8) Px[x =1,2,3,4). H 4 Decir que un conjunto está bien definido, significa que si $ es un conjunto y « es un objeto, entonces, o a está sin lugar a dudas en 5, lo que se denota por 4 € S, o a, sin lugar a dudas, no está en S, lo que se denota por «ÉS. Por tanto, no debemos decir: «considérese el conjunto S de algunos números positivos», pues no está definido si 2e S o 2 S. Por otra parte, si podemos considerar el conjunto 7 de todos los enteros positivos primos. Todo entero positivo es definitivamente primo o no lo es. Así, 5eT y 14 T. En la práctica puede ser dificil determinar si un objeto está realmente en un conjunto. Por ejemplo, cuando este libro entró a la imprenta no se sabía si 22% + 1 estaba en T; sin embargo, 22"? + 1 con certeza o es primo, o no lo es, Para el estudiante al cual está dirigido este libro, no será posible basar cada definición en el concepto de conjunto. El autor está consciente de que consiruye sobre definiciones muy intuitivas, particularmente, al principio del libro. La primera definición del capítulo 1 dice: «una operación binaria en un conjunto es una regla ... conjunto». Y ... ¿qué es una regla? En este libro trabajaremos con varios conjuntos de números ya conocidos. Abordaremos el asunto de la notación de estos conjuntos de una vez y para siempre. Z es el conjunto de todos los enteros (es decir, números enteros: positivos, negativos y cero). Z.* es el conjunto de todos los enteros positivos. (Se excluye el cero.) Q es el conjunto de todos los números racionales (esto es, números que pueden expresarse como el cociente m/n de enteros, donde » X 0). Q* es el conjunto de tódos los números racionales positivos. R es el conjunto de todos los números reales. R* es el conjunto de todos los números reales positivos. C es el conjunto de todos los números complejos, 4 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES 0.3 PARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Se desc Q como e! conjunto de tudos los números que pueden expresarse como cocientes m/n de enteros, donde » % O. Seria incorrecto describir Q como el corjunto 5 de todas las «expresiones cociente» mín para my nen Z yn20 pues, claramente, 4 y $ son expresiones de cociente distintas pero subemos que representan el snismo número racional De hecho, cada elemento de Q está representado por un número infínito de distintos elementos de S. En aritmética. identificamos como uno sola a los elementos de S que representan el mismo número racional en Q. La ilustración del párrafo anterior es típica de algunas situaciones en las que consideraremos elementos diferentes de un conjunto como arilmética o algebrai- camente equivalentes, de manera que nuestro conjunto se porte en celdas, cada una de las crales podremos considerar como una entidad aritmética o algebraica única. Si 5 es un elemento de dicho conjunto, 5 representa, por lo general, lu celda de todos los elementos identificados con h. Por ejemplo, en el conjunto anterior $ de cusientes formales, tenemos m 5f2-24-46-6 DO ! Ú ——> e|2 =|5 nsLyn eo) Demos una definición precisa de dich” partición. Definición Una partición de un conjunto es una descomposición del conjun- to en celdas, lales que todo elemento del conjunto está en exactamente tera de las celdas. Dos celdas (o conjuntos) que no tengan elementos en común son ajenas. Ási, las celdas de una partición de un conjunto son ajenas. ¿Cómo sabremos si dos expresiones cocientes m/n y rís de nuestro conjunto $S anterior están en la misma celda, esto es, sí representan al mismo número racional? Una manera de decidirlo es reducir ambas fracciones a su expresión más simpk. Esto puede ser difícil. por ejemplo, 1909/4897 y 1403/3599 represen- tan el mismo número racional, pues 1909 _ 23:83 1403 _ 23-61 4897 — 59-83 y 3599 59-61 Sin embargo, aun con una ca! uladora manual, puede ser dificil encontrar estas factorizaciones, es una tarca de adivinar y corregir'un poco tediosa, Pero como EJERCICIOS 7 Pensándolo bien vemos que —34'0 y 0% 5, pero -3/465, asi que la relación »f no es transitiva y, por tanto, no es una relación de equivalencia. Para cada 4 € Z* tenemos una relación de equivalencia en Z muy importante: la congruencia módulo n. Para A, ke Z definimos A congruente com A módula «, lo cual se escribe h = k (mod n), si — k es divisible entre n, es decir, que h— k = ns para alguna s e Z. Por ejemplo, 17 = 33 (mod 8) puesto que 17 — 33 = 8( — 2). Las clases de equivalencia para la congruencia módulo n son las clases residuales módulo ». Cada una de estas clases residuales contiene un número infinito de elementos, Por ejemplo, pueden convencerse fácilmente de que, para la congruencia módulo 8, la clase residual que contiene el 17 y el 33 es $, 47, -39, -31, 23, -15. —7,1,9, 17, 23, 33, 41, 49, 3]. Esta clase residual contiene cada octavo número, comenzando con 1. De hecho, hay siete clases residuales más en la partición dada por la congruencia módulo 8. En el ejercicio 0.18 pedimos mostrar que, en efecto, la congruencia módulo 7 es una relación de equivalencia y que examinen algunas otras clases residuales. Ejercicios - En los ejercicios 1 al 4, describase el conjunto listando sus elementos. OL (se Rixi=3) 9 mezZ|n? =3) 03 (meZ|ma = 60 para algunaneZ) 04 (meZ[m? —-m < 115) En las ejercicios 5 al 10 digase sí la descrito es en efecto un conjunto [si está bien definido). Dése otra descripción para cada conjunto. 05 (ne Z*|nes un número grande) 06 (reZla? <0) 87 (EZ |39< "rr <sn M8 [x € Q]e denominador de x es mayar que 100] 09 (x € Q|5e puede escribir « con denominador mayor que 100) 0.10. (x € QUx se puede escribir con denominador menor que 3) En los ejercicios 11 al 19, determinese si la relación dada es una relación de equivalencia en el conjunto. Describase la partición que surge de cada relación de equivalencia. QIL nan Esiam > 0 012 sRyenRsix 27 413 xy en R sil] let 014 xRyenHsilx— 9153 015 námen Z* sin y m tienen el mismo número de digitos en la notación usual de base dicz, 0.16 14 men Z* si n y m tienen el mismo dígito final en la notación usual de base diez. 8 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES 017 ndmen 2? sin — mes divisible entre 2. 0.18 Sea n un entero en Z*, muéstrese que la congruencia módulo « es una relación de equivalencia en Z. Describanse las clases residuales para a = 1,2 3. 0.19 El siguiente es un famoso argumento falso. Encuéntrese el error. «El criterio de reflexividad es redundante en las condiciones para una relación de equivalencia, ya que de a — by b - a (simetria) deducimos e — a por transitividad.» En los ejercicios 20 al 24, encuéntrese el número de relaciones de equivalencia posibles en an conjunto S, a partir del número de sus clementos. (Lsar el teorema 0.1.) 0.20 1 elemento 0.21 2 elementos 0.22 3 elementos 0,23 4 elementos 024 5 elementos 0 GRUPOS la operacion binaria r' del ejemplo 1.2 claramente depende de la habilidad para distinguir orden. A menudo se ilustra la importancia del orden pensando en el lio que resultaria si trataran de ponerse primer0 10s zapatos y despuks 10s calcetines. No deben apresurarsc a descartar algunas operaciones binarias creyendo que son de poca importancia. Es claro que las operaciones usuales de suma y multiplica- cion de numeros lienen una importancia practica bien oonocida por todos. Escogimos 10s ejemplos 1.1 y 1.2 para demostrar que una operacibn binaria puede o no depender del orden del par dado. Asi, en el ejemplo 1.1, a h = h . a para toda a, h~ Zt, y en el ejemplo 1.2 eslo no sucede, pues 5 *' 7 = 5 pero 7 r' 5 = 7. Supongarnos ahora que se desea considerar una expresion de la lorma a r b r c. Una opcracibn binaria r pcnnite combinar s61o dos clernentos y aqui hay tres. Las maneras obvias de inlentar combinar 10s tres elementos son (a 6) c o a (6 c). Con definida oomo en el ejemplo 1.1, (2 5) r 9 se calcula 2 r 5 = 2 y despuks 2 r 9 = 2. Asi mismo, 2 r (5 9) se calcula 5 9 = 5 y despub 2 r 5 = 2. De aqui que (2 r 5) 9 = 2 r (5 r 9) y se observa facilmente que para esla l de manera que no existe ambiguedad al escribir a h* c. Pero para r" del ejemplo 1.3 mientras que Asi, (a 8'' h) r"c no neoesariamente es igual a a *"(h *"c) y la expresion a *"h *"c puede ser ambigua. DeIinki4n Una operacion binaria r en un conjunlo S es conmvrativa si (y solo si) a r h = h r a para toda u. h S. La operacion r es asociariva si (y solo si) (a b) c = u (h r c) para toda a, h, c E S. Como sefialamos en la seccion introductoria, es costumbre en matematicas omitir las palabras y sblo side una definicion. Se entiende que las definiciones son siempre afirmaciones del tipa si y solo si. Los reorema no siempre son afirmacio- I nes del rip0 si y s6lo si y dichu conurncibn nunca se usa pora reoremas. No es dificil moslrar que si es asociativa, entonces expresiones mas largas como a 8 h c d no son ambiguas. Para prop6sitos de calculo, 10s parkntesis pueden insertarx dc cualquier modo: el resultado final de dichos calculos seri el mismo. 1.4 ALCUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA 13 1.3 TABLAS Para un conjunto finito, tambitn se puede definir una operacion binaria en el conjunto, mediante una tabla. El ejemplo siguiente muestra cbmo lo haremos en este libro. Ejemplo 1.4 La tabla 1.1 define la operaci6n binaria en S = {a. h, r ) mediante la regla (i isimo lugor en la izquierda) (j-tsimo lugar arribo) = = (lugar en el i k i m o renglcin y j-sima columna dc! cuerpo & la tabla). Asi, a r b = c y b r a = a de modo que r no es conmutativa. Tabla 1.1 $# c c b o El estudiante puede observar Ucilmente que una operacibn binario definida mediante UM rabla es conmutarha si y scilo si la tabla es sim2rrica con respecto a la diagonal que empieza en la esquina superior izquierda de la rabla y rermina en la esqub trjerior derecha. Suponemos siempre que 10s elementos del eonjunto estsn listados en la parte superior de la tabla en el mismo orden en que eslhn listados a'la izquierda. Con exccpcion del 1.4, nuestros ejemplos de operaciones binarias sc han definido en conjuntos de numeros. Es importante comprender que las operacio- nes binarias pueden delinirse en cualesquiera wnjuntos. En efecto, estudiaremos muchas operaciones binarias importantes en conjuntos cuyos elementos no son numeros. Algunos de 10s ejemplos dados mis adelante consisten en wnjuntos cuyos elementos son funciones. Suponemos que 10s ertudiantes estan hmiliariza- dos con ciertas funciones por sus cursos de dculo, entre ouos. Comprendemos que quizi por el momento no entiendan el concept0 de funcion; y mas adelante diremof algo sobre ello. Sin embargo. ya queremos ligar 10s conceptos recitn presentados con las matemiticas que ya saben. 1.4 ALGUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA Partiendo de su propia cxperiencia., e l autor sabe del caos que puede rcsultar si a un estudiante se le pide definir alguna operaci6n binaria en un conjunto. ObsEr- 14 OPERAClONES BINARIAS vese que al definir una operacibn binaria en un conjunto S debemos estar seguros de que I se asigrlc e.raclarllcnlc un clrrrlenro a cada par ordcnado posible dc clcnirnro dc S, 2 para coda par adr~rado dr clcrrrcnro.r flr S, r l el',frrorto asignado ~,.rfk 1.n S. Con respecto a la condicibn 1, 10s esludiantes suelen dar reglas que asignan u n elemenro de S a la amayorias de 10s pares ordenados, pero para algunos parcs la regla no delermina ninglin elernento. En este caso, no se ha detinido r. Tambien puede suceder que para algunos pares, la regla asigna cualquiera enye varios ekmentos de S, esto a, existe arnbigiedad. En caw de ambigiiedad. no u t P bien definida. Si se viola la condici6n 2, enlonces S no u cerrado bnjo *. Ilustrarernos ahora algunos intentos por definir operaciones binarias en conjuntos. Algunos son fallidos, como se setlala. Puesto que no se compararan las operaciones, denotaremos lodas por *. Ejemplo I S En Q, udefinasea por a r b = alb. Aqui, no rsrd drfinida ya que csta regla no asigna un nurnero racional al par (2.0). Qmplo 1.6 En Q' definasc r por o b = a/h. Aqui se satisfamn las condicio- nes 1 y 2 y r es una operacibn binaria en Q+. . Ejemplo 1.7 En Z+ udelinasew . por a h = olh. Aqui se viola la condicibn 2, pues 1 + 3 no esd en Z'. Asi, noes una operacibn binaria en Z* ya que Z' !to es cerrado bop *. rn Ejcmplo 1.8 Sea S el wnjunto de tcdas las funciones w n valores reales defini- das para todos 10s nimeros reales. Dzlinase r corno la surna usual de dos funciona, esto es, f g - h donde h(x) = f (x ) + g(.r) para l; g E S y x E R. Esta ddinicibn de r satisfaa las condiciom 1 y 2 y nos da una operacibn binaria en S. Ejcmplo 1.9 Sea Scorno en el ejemplo 1.8, ddinase wrno el producto usual de dos funciones, =to cs, f wg = h donde h(x) = f(xlg(x) Di nuevo esta definition es b u m y da una operaci6n binaM en S. rn Ejemplo 1.10 Sea S como en el ejemplo 1.8. udelinaser r wmo el cociente usual defpor g, esto a , / * g = h donde h(x) = f(x)/&). Aqui se viola la condicibn 2, ya quc las funcioncs en S deben esrar definidas para r&s 10s nlimeros reales y para algunag 6 S. g(x) sera a r o para algunos valores de x en R y h(.r) no estaria definida en csos nhrneros en R. POI ejemplo, si f(x) = w s x y g(x) = s2 enlonces h(0) no esth delinida, de modo que h+ S.. Ejemplo 1.11 Sea S wmo en el ejemplo 1.8; delinase)> * p o r f r g = h donde k es una funcibn mayor que f y g. Esta ccdeliniclbn* es completarnenle inutil. En C) Si r es cualquier opcracion binaria asociativa en cualquier conjunto S. entonces o r ( b r c ) = ( b * c ) * a p a r a t o d a e b,ceS. - d) Las Gnicas opcraciones binarias importantes son aquellas defin~das en-conjunlos de numcros. - e) Una opcracion binaria r cn un conjunto Scs conmulativa s i cxistc u, b E S tal que a o b = h r a . - f) Toda opcracion binaria dcliniaa en un conjunto dc un solo clcmcnlo es conmu- tativa y asocialiva. - g) Una opcracion binaria cn yn copjunto S asigna al menos un elernento de S a rodo par ordenado de elemenlos de S. - h) Una opcracion binaria en un conjunto S asigna a lo mas un elemenlo dc S a todo par ordcnado dc elernentos de S. - i) Una opcracion binaria en unconjunto Sasigna exactamente un elerncnto de Sa todo par ordenado dc elernentos dc S. - j) Una opcracion binaria en un conjunto S pucde asignar mas de un elcmento de S a algun par ordenado de elementos dc S. 1.8 U s e un conjunlpdilerente a los descritos en 10s ejemplos del libro y que no sea un wnjunto dc numcros. Ddinanse dos opcraciones binarias dilercntes . y .' en cstc conjun- to. Asegurcsc que d conjunto este bien dermido. . . . . 1 9 Sea S un conjunto con exactamente un demmto. iCuPntas bpcradones binarias dilerentes pueden definirse en S? Rcspbndasc a la prcgunta s i S lienc 2 elementos; s i ticne 3 elernentos; s i liene n elernentos. 1.10 jCu8ntas opcraciones binarias wnrnutativas difercntcs pueden dcfinirse en un con- junto dc 2 elerncntos?; Len un conjunto de 3 clemcntos?; Len un conjunlo de n elementofl 1.11 Obshvesc que Ias operacionca binarias + y +' en41 wnjunto {a, b ] dadas por las tablaa b o b proporcionan e l m h o lipo de esfrunura algebraica en {a, b ) en el sentido de quc s i w reexrite la tabla para *' es wrno la de d o que l m papcles de a y b estan intcrcambiada. a) Dese una delinicion natural del wnceptodc que dos opcraciones binarias . y 4' en el m i m o wnjunto dan es1mcrura.r algebroicm del mum0 ripo, y que gcneralia esla oboervacion. b) ~ C d n l o s lipos difercntcs de estructuras algebraicas cstan dadm por las 16 opcracio- ncs binarias difermta posibles, cn un conjunto dc 2 elemmtosl Continuernos el anilisis dc necstra cxpcricncia con el Algebra. Una vcz quc dominamos 10s problemas de calcular sumas y muitiplicaciones de nhmeros mtuvimos m condicionm dc aplicar atas operaciones binarias a la solucion de problemas. A menudo lor problemas llevaban a ecuaciones quc contcnian algun numero desconocido x quc era ncaario determinar. Las ccuacioncs mis scnci- Uas son las lineales dc las formas a + x = b para la operacibn de suma y ax = b para la multiplicacibn. La ecuaci6n lineal aditiva sicmpn tiene solucibn numtri- ca; tambib la multiplicativa, siemm que a f 0. En efecto, la nccesidad de soluciones de las ccuaciona lineales aditivas como 5 + x = 2 a una magnlfica motivacibn para 10s nirmeros negntivos Dc manera similar, la nemidad de nhmeros rationales sc muestra mediante ecuaciones como Zx = 3, y La ncccsidad del numero mmplejo i sc muestra mcdiante la ccuaci6n x' = - 1. QuisiCramos ser capaces de mdver &uacioncs lineales que contengan ope- raciona binarias. Sin embargo, a t o no cs poaible para toda operacibn binaria. Por ejemplo, la a u a c i b a x = a no ticne soluci6n m S = {a, b, c) para la operaci6n dcl ejemplo 1.4. Vcamos cuiks son h propiedada de la operacion de suma de los enteros Z que nos pcrmiten resolver la ecuacion 5 + x = 2 en 2. No debcmos ncurrir a la resta, p u a lo que nos ocupa es la soluci6n en tirminos de una sola operacion binaria, en es(c caso, la suma. Los pasos para la solucion son 10s siguientes: 5 + x = 2 cs(4 dado - 5 + ( 5 + x ) = - S t 2 sumando-5 ( - 5 + 5) + x = - 5 + 2 kyasociativa 2.2 DEFlNlClON Y PROPIEDAOES ELEMENTALES 19 0 + x = - 5 + 2 calculando-5+5 x = -5 + 2 propiedad del 0 x = -3 calculando -5 + 2 Estrictamente. no hemos mostrado aqui que -3 es una solucion. sino que es la unica posibilidad de solucion. Para mostrar que -3 es una soluci6n. basta calcular 5 + (-3). Puede bacersc un analisis similar para la ecuacibn 2x = 3 en 10s ndmeros rationales: Zx = 3 esta dado f(2x) = f{3) multiplicando por f ( 1 . 2 ) ~ = f .3 b y asociativa I . x = t . 3 calculandof~2 x = f . 3 propiedad del 1 x = j calculando i . 3 Vcamos qu6 propiedads deben tencr un conjunto S y una operacibn binaria + en S para pcrmitir la imitacibn de este procadimiento en una ecuacibn a x = b para a, b e S. Es b&sii para el procedimiento la existencia de un elemento e en S mn la propiedad de que e * x = x para toda XES. En el ejemplo aditivo, 0 dacmpe~ibel papel de e. y el I en el ejemplo multiplicativo. Despub, narsitamos un clemmto d en S que tenga la propiedad de que d a = e.. En el ejemplo aditivo - 5 dcscmpeao e! papel de d, y en el ejemplo multiplicativo lo hiio f. Por ultimo, neasitamos la k y asociativa. El m t o cs cucstibn de dlculos. Se puede observar Wlmente que para m l v e r la ecuacibn x a = b (hay que m r d a r que a x no neccsariarnente es igual a x a) nos gustaria tener un elemento e en S ta lquexse = XparatodaslasxcSy u n a d e n S t a l q u e r * Z = e.Contodas estas propiedada de en S stariamos seguros de pcder resolver ecuaciones lineala. Estas son pruisamente laa propiedada dc un grupo. D C T I Un gnrpo (G, *) es un conjunto C, junto wn una operacibn binaria + en C, tal que se satisface los siguientes axiomas: 9, La operacibn binaria es asociativa. '3, Existe un elemento e en G tal que e + x = x e = x para todas las x E G: (Este elemento e a un ekmento identidod para * en 13.) '3, Para cada a en G existe un ekmento d en G con la propiedad de que d a = a a' = e. (El elemento a' es un imrcrso & a respccto a +.) ' R d l d e u quc IM 4- indicln qus ic sli ddinicndo un itmino. V k s l inllirno piirralo ds la mxibn 0.1. h r tanlq un &mulo M e d a d pm UM opracib binaria en un mnjunto S a cualquiu s b l o r quc salidaga e. r = x r = r p r a lodas Isr raS. y tarnbien Por tanto, es asocialiva. Es claro que para todas las a E Qt de modo que 2 es un elernenlo identidad para *. Por ultimo, de manera que a' = 4/a es un inverso de a. De aqui que Qi con la operaci6n es un g rup . Existe otro resultado acerca de gmpos que desearnos probar en esta scccibn. Teorema 2.3 En un grupo G con operacibn r huy una solo identidad e ral q u ~ para rodas las x E G. De la misrna manera, para cada a s G exirre un solo elemenlo a' to1 que d a a = a * d = e . En resumen, la identidad y 10s inwrsos son ainicos en un grupo. Demostracibn Sup6ngase que e a x = x r e = x y ~ a m b i h que e , r x = x r e , = = x para todas las X E G . DCjcnse competir a r y e,. Considerando e como identidad, e r e , = e,. Pero considenindo e , unno identidad e r e, = e. Por tanto. e , = e . e , = e, y la idcntidad en un grupo cs unica. Sup6ngase ahora que a' r a = a r a' = e y que a" r a = a a a" = e. Entonm a.a" = a r a ' = e y, por el teorerna 2.1, a" = a', dc rnanera que el inverso de a a un grupo es Gniw. Para su informacibn, qucrernos haccr notar quc las estruauras algebraicas for- rnadas por conjuntos con operaciones binarias en las cuales no se cumplen rodos 2.3 CRUPOS FlNlTOS Y TABIAS DE CRUPO 23 10s axiomas de grupo, tambikn sc estudian ampliamente. De eslas estructuras mas dkbiles, es el semigrupo, un conjunto w n una operacibn binaria asociativa, la q&, quizi haya acaparado mas atencibn. Recientemente se han estudiado tarnbih las .. estructuras no asociativas. Por ultimo, es posible dar axiomas formalmente mas dkbiles para un grupo (C, *) a saber: I La operacion binaria en G es asociativa. 2 Existe una identidad izquierda e en G tal que e r x = x para todas las x e G. 3 Para cada a € G existe un inverso izquierdo a' en G tal que a' a = e A partir de esta definicibn de wr solo lado podemos probar que la identidad izquierda tambien es una identidad derecha y que un inveno izquierdo tambikn es un inverso derecho para el mismo elemento. Por tanto, no deberiamos decir que estos axiomas son mPs dkbiles, pues dan lugar a las misrnas estructuras llamadas grupos. Es posible que en algunos casos sea mas facil corroborar estos ariomos izquierdos, que wrroborar los axiomas vcilidos para 10s dos lados. Desde luego, a ficil dcducu por sirnetria que tambib hay a x i o m derechos para un gmpo. Hasta ahora nuestros ejemplos han comspondido a grupos inAn~tos, esto es, de grupos donde el wnjunto G time un nirmero infinito de elementos. El estudiante se preguntari si puede existir una estructura de grupo en algun conjunto Anito; la rspuesta es si, y ciertamente, dichas cstructuras son rnuy importants. Puato que un grupo debe tener al rnenos un elemento, a saber, la identi- dad, el wnjunto m b pequefio que puede dar lugar a un grupo es un conjunto {e} de un elemento. La unica operacibn binaria posible en {e} s t & definida por e e = e. El atudiante pucde wrroborar de inmediato que se cumplen 10s tres axiomas de grupo. En cada grupo, el elemento identidad cs siempre su propio inverso. Tratemos de constmir una estructura de grupo en un conjunto de dos elementos. Como uno de 10s elementos debe desempeiiar el papel de identidad, digamos que el wnjunto a {ea; . Busquemos una tabla p r a una operacibn binaria en {e, a ] que dC una cslructura de grupo. Cuando demos una tabla para una operacibn de grupo. siempre colocaremos 10s elementos en la parte superior, hacia la derecha. en el mismo ordcn en que 10s colocamos del lado izquierdo, hacia abajo, colocando en primcr lugar la identidad, como en la tabla siguiente: Como e sera la identidad, entonces para todas bas X E (e, a ] , y nos vemos obligados a llenar la labla de la manera indicada mbs adelante, si es quc va a dar un grupo. Ademas, o debc tener un inverso a' tal que En nuestro caso d debe ser e o a. Puesto que obviamente d = e no funciona. debemos tener a' = a de tal modo que debemos completar la tabla de la siguiente manera: Se satisfaoen asi todos 10s axiomas de grupo. excepto, quiza, la ley asociativa. Veremos adelante, en una situation mas general, que esta operacibn es asociati- va. Ustedes pueden aceptarlo en este momento, o hacer el tedioso trabajo de corroborar todos 10s casos. Con base en estos ejemplos, podremos enumerar algunas condiciones que una tabla que defina una operacibn binaria en un wnjunto finito debe satisfacer. para dotarlo de una estructura de grupo. Es necesario que algiin elemento del conjunto, que siempre dcnotaremos por e, a c t h como identidad. La condicion e x = x significa que el rengl6n de la tabla que contiene a e en el extremo iquierdo, debe contener exactamente 10s elementos que aparecen hasta arriba de la tabla, en el mismo orden. En forma aniloga, la condicibn r e = r signilica que la columna de la tabla bajo e, debc conlener precisamenre 10s elementos que apa- en el extremo izquierdo, en el mismo orden. El hecho de que cada elemento a tenga un inverso derecho y un izquierdo, quiere decir que en el renglon frente a a debe apareoer el elemento e y que en la columna bajo a debe aparecer e en primer lugar. Asi, e &be aparecer en cada renglon y en cada columna. Sin embargo, podemos mejorar esto. Por el teorema 2.2, no solo tienen soluciones unicas las ecuaciones a r x = c y g * a-= r , sino tambien las ecuacio- (Tampom aqui a neccsario corroborar la ley asccialiva.) Dc las Ires tablas obtenidas, dor dan el mismo t i p de atructura de grupo. Delenninese cuala son y mutstrese de qu.5 mancra dekria cambiar el nombre de lor elemenlos de una tabla para que ambas x a n la misma $00 conmuutivos todos 10s grupos de 4 elementos? 725 MuCslnse que ri G n un grupo finito con identidad e y con un numero par dc ckmcntos, mtonas eriste a + r , en G, tal que a a = e. 26 ~Fa l ro vcrdadero? - a) Un grupo puede tener m8s dc un clemcnto identidad. - b) Cualcsquien dos grupos de t m elementos son isomodos. - c) En un p p o , cada suacibn lineal timc rolucibn. - d) Ln nclitud mmcta k n t e a una definidbn cs manorizarln de manera que pucda lucgo rrplirla p a l a h por palabra mmo rim m d texto. c) Cualquier definicibn de grupo dada por alguna penona cs corrects sicmpre que lo que rca grupo x @ n su M~nic ibb sca grupo tambibn xgun la definicibn del libm. - I) Cualquier detinicib dc grupo dada por alguna persona es correcta siempre que csa pcmna muestrc que todo lo que satisfaa su ddnicibn tambitn satisface la dd libm y vicmrro - g Todo p p o finito de t r e elemmtos como mkirno ca abeliano. - h) Una scuacibn de la fonna a. x . b = c siempre tienc solucibn unim cn un V p o . - i) El conjunto vacio pucde consideram como grupo. - j) Hasta ahom, cn el libm no x ban pracntado jemplos de grupos no abelianm 27 Dtae m a u b h para una operacibn binaria en el mnjunto {r.a, b) de t m elementos que cumph Ios uiomas 9, y Y, de p p o . pero no d axiom 9,. 28 Dc m r d o mn d cjcrcicio 1.9. hay 16 opraciona binarias posiblcs en un mnjunto de 2 elementos. iCdntPa docan .I conjunto de cslructura dc grupo? ~Cuhtas de 1.s 19,683 opmcioars binariu posibles en un conjunto & 3 clementas dotan .I conjunto & una estnwbun dc gnIp.31 7.9 Sea S d conjunto dc todas lor numeros m l a exapto - 1. Dclinax . en S por a) MuWrrrt quc . & una operocibn binarin en S. b) Mvtstrac quc (S. * ) a un grupo. c) b c u t o l m c la rducibn de la auacibn 2 r x r 3 = 7 m S. 2.10 Sea R* el wnjunto de todos los n6mcros mala exapto d 0. Ddinase r cn R* por a .b = Mb. a) MuQtrrsc que r & UM opcracibn binaria asociativa en R*. b) Mubtrac quc site una identidad iquierda para y un inverso dcrecho para d a dcmento en I*. c) Con au opem56n binaria, ~s R* un gmpo? d) Eapllqust la impoluncia de estt ejcrcicio. 2.11 Si s UM opcracib binaria en un wnjunto S, un ekmcnto x de S es idernpateme pn r si x . x = x. Rutbcsc quc un grupo time exsctamente un elemento idempotcnte. (Pucden usarsc los teomnas quc ya sc han dcmostrado en el terio.) 112 MuCItrtse que lodo grupo G con identidad e lal que x x = P para tadas las x s G, es ateliano. [Sugerencia: considerese (ob)'.] 1 1 3 Prutbcse que un conjunto G, junto con una operaci6n binaria en G que satisface 10s axiomas izquierdos 1, 2 y 3, dados al final de la seccion 2.2, es un gmpo. 214 PruCbese que un conjunto no vacio G junta can una operacibn binaria en G tal que las ecuaciones a x = b y y * a = b tienen soluciones en G para todas las a, b, s G. a un grupo. [Sugerencia: urcrc el ejcrcicio 2.13.1 215 Las siguientes udeliniciormu de grupo, quc deberln critiurse. oe han reproducido literalmente, induyendo onografla y puntuacibn, de l a e d m e n a de alguna alumnos. a) Un g u p o G cs un conjunto de elementas junto con una operacion binaria tal que se satisfacen las siguienta condiciones r cs asociativa Existe e E G tal que e x = x r e = x = identidad. Para toda a e G existe un a' (inverso) la1 que b) Un grupo a un conjunto G tal que La operacibn en G u asokativa. existe un elemento identidad (e) en G. para toda a l G, e~ i s t e un a' (inverso para cada elemento) c) Un ~ r u p c8 un conjunto con una operacion binaria tal quc csth dd~nida la opracibn binaria existc un inverso existe un clemento identidad d) Un conjunto G rc llama un grupa sobre la operacibn binaria r tal que para todas las a,b,e G Operacibn binaria u d a t i v a bajo la suma existe un elemento { e ) tal quc Para todo elemento a e~iste un elmento d la1 que Subgrupos Es el momento de explicar algo de terminologia y notaciones convencionales usadas en la teoria de grupos. Por regla general, 10s a1gebrista.s no usan un simbolo especial para denotar una operacion binaria diferenle de la suma y multiplicaci6n usualed Se aferran a la notacion wnvencional de la suma y la multiplicaci6n e incluso llaman la operacion suma o muitiplicacibn, dependiendo del simbolo usado. Es obvio que el simbolo para la suma es + y la multiplication se denota wn la yuxtaposici6n de 10s factores sin un punto, si es que no hay confusi6n. Asi, en lugar de la notaci6n a b usanmos ya sea a + b que se lee #la sum dc c i y bn o ab que se lee #el produclo dc a y 6 1 . Hay una espxie de acuerdo entre caballeros en cuanto a que el simbolo + se use s61o para designar operaciona wnmutativas. Los algebristas se sienten muy incomodos cuando ven a + b # b + a. Por csta raz6n. a1 desarrollar nuestm tcoria de grupos, en una situacih general donde la operation pueda &r o no conmutativa, usarcmos siempre la notacibn multiplicativa. Los matemhticos usan w n rrccuencia el simbolo 0 para denorar una identi- dad aditiva y el simbolo I para dcnotar una identidad multiplicativa, aunque en realidad no se denoten 10s enteros 0 y I . Claro que si alguien habla al mismo tiempo de ntimems, podria haber conCusi6n, y se prefiere el uso de simbolos como e o u wmo elementos identidad. Por tanto, una tabla para un grupo de Ires elementos sc veria mmo la tabla 3.1 o bien, wmo dicho grupo es conmutativo, se veria mmo la tabla 3.2. En situacioncs generales seguiremos usando r para denoiar el elemento identidad de un grupo. (e, a ) ; (e, 6) y {e. c). Aqui, (u, a, h} noes un subgrupo pueslo que { P . 11. h ) no es cerrado bajo la operacion de V. Por ejemplo. oh = c y c $ (e 11, hJ. rn A menudo es conveniente dibujar un diugramo r<,ricular de los subgrupos de un grupo. En dicho diagrama una recta que baja de un grupo G ;I un grupo H signilica que H es un subgrupo de G. Por tanto. e l grupo mas grande e s l i mas arriba en el diagrama. L a ligura 3.1 contiene 10s diagramas reticulares par;! 10s grupos 2, y V del ejemplo 3.2. (a) (b) Rg. 3.1 la1 Dlagrama reticular para L (bl Dlagrama reticular para V Notese que s i H 5 G y a 6 H entonces, par el teorema 2.2. 13 ecu;~cion ax = a debe tener solucion hnica, a saber, el elemento identidad de H. Pero esta ecuaci6n lambien puede,verse como una ecuacibn en G y vemos que esla solucion 6nica debe ser tambikn l a identidad e de G. U n argument0 anilogo aplic;tdo a la ecuaci6n ax = e considerada tanto en H como en G, muestra que el inverso 1 1 - ' de a en G es lambitn el inverso de a en el subgrupo H. Conviene lener un criterio dc rutina para determinar si un subconjunto de un grupo G es un subgrupo de G. El siguimte teorema proporciona dicho criterio. Aunque hay crilerios m is cornpactos que involucran una sola condicion, preierimos kte, por ser mas transparente, para un primer curso. . , reorem 3.1 ' l ln subconjun~o H de w grupo G us w suhgrupir clc G .\i .v sdlo si I H es cerrado hojo la operacidn hinaria de G; 2 la idenlidad t. rlt. G esld en H; 3 para lodos 10s a € H es cierlo que o-' E H ramhikn. Demosrracidn E l hecho de que si H 5 G entonces deben cumplirse las condicio- nes I. 2 y 3, se desprende de inmediato de la definition de subgrupo y dc les observaciones que preceden al enunciado del tcorerna. De manera reciproca, sup6ngase que H es un subconjunto de un prupo G tal que se cumplm las condiciones 1, 2 y 3. Por 2 tenemos de inmediato que !$, se satislace. Tarnbikn Y, se satisface por 3. Falta mrroborar el axioma asociativo 9,. Pero, con seguridad, para toda o, b, C E H es cierto que (nhk = N(hc) cn H ya queen realidad podemos considerarla una ecuacion en G, donde se cumple la ley asociativa. De aqui que H 5 G. rn 3.3 SUBGRUPOS CKlltOS 33 3.3 SUBGRUPOS ClCLlcoS En el ejemplo 3.2 obscrvamos que (0.3) no es un subgrupo de Z,. Veamos que tan grande tendria que ser un subgrupo H de 2, que contenga el 3. Tendria que contener la identidad 0 y el inverso de 3 que es 1 . TambiCn H deberia contener a 3 + 3 que es 2. Asi, el linico subgrupo de Z, que wnliene el 3 es Z, mismo. Se imitara ahora este razonamiento en una situaci6n general. Como ya se dijo, para un argument0 general se usa siempre la notacion multiplicaliva. Sea G un grupo y sea 4 E G. Un subgrupo de G que contenga a debe, por el leorema 3.1, contener aa. lo que denotaremos por a? Entonces, debe conlener 0% lo que denotamos por a3. En general, debe contener d, que a el resultado del dlculo de produclos de a por si mismo, n fadom para cada entero positivo n. (En notaci6n aditiva denotariamos esto por no.) Estas potencias enteras positivas de a wnbr- man un conjunto cerrado bajo multiplication. Sin embargo, cs posiblc que el inverso de a no estk en este conjunto. Desde luego, un subgcupo que contenga a debe wntener tambitn a-I y, por tanto, o - ' a - l , lo que dcnotamos por a - 2 y en general, debe wntener a-" para toda me Z*. Debe wntener la identidad e = aa-I. POT razones simb6licas obvias, estamos de acuerdo en quc oo sea e. En resumen, se ha mostrado que un subgrupo de G qw contengo a, debe confener rodos 10s elernenfos 6 (o no para grupos ndilioos) para fo& n e Z. Es decir, un subgrupo que wntenga 4 debe contener {dln E 2). Obdrvcse que eslas potencias d de a no son por fuem dietintas. Por ejemplo, en el grupo V del ejemplo 3.2 a' = e, 4' = a, a' = e, a-' =a. y asi sucesivamente. Es facil ver que se cumple la ley usual de 10s exponentes a'"d = a"*" para m, n E 2. Es claro para m, n E Z'. Podmos ilustrar otro tipo de caso con un ejemplo: Dejamos 10s dctalles de la demostracion del caso general a 10s estudiantes que no teman aburrirse. Casi sc ha demostrado el siguiente teorema. Teormeo 3.2 . Sea G G grupo y sea 4 E G. Enronces es un subgrupo & G y es ei menor subgrupo do G que conriene a, eslo es, coda subgrupo que conriene a conliene Hi. * Sc wdr8 distinmir cntrc lor tenminor minimal Y -or cuando se adi~ucn a aubconivnlom de un mnjUnlc S quc &an alguru proplsdad. Un &conjunto H dr S minimal con a la pmpedad u H time la propredrd y ninpun subwnjunro K c H. K f H bcnc la pmp~sdui. So H ticne la propicdad y HE K para mdo subeonjunlo K w n la propicdad, enlonos H cs el ~ u b n j u n l o mcnor mn la prop*drd. Purdc haber muchm rubmnjunlos minimales, pem d l o un aubnjunlo mcnor. Para ilutnr. (r , a). (e. b) y (c, c ) son lodm los rubgrvpoa no triyialcs minimale, dcl grvpo V. (V& la Cgura 3.1.) Sin cmbnrgo. V no conlicnc un rubgrvpo no lrivial menor. i o n Verifiquese si re cumplen las tres condiciones dadas en el teore- ma 3.1. para que un subconjunto de un grupo de un subgrupo. Pucsto que dd = = u"' para r, ss 2, el producto en G de dos elementos de H esia en H. Asi. H es cerrado bajo la opcracibn de grupo de G. Ademas, a" = e de modo que e E H y para d e H, n- 'E H y a-'a' = f . Todas las condiciones sc satislacen y, por tanto, H I C. Los argumentos previos al enunciado del teorema muestran que cualquier subgrupo de G que contenga a, debe contener H asi, H es el subgrupo menor de G aue wnliene a. DeInici6n El grupo H del twrema 3.2 es el subgrupo dclico de G generado pm a y se denolari por ( a ) . Dclinici6n Un elemento a de un grupo G.qenera G y es un .qenerador de G si ( a ) = G. Un grupo G es cIdim ri exisle elgbn clemento a en G que pnerc G. Ejemplo 13 Sean Z, y V 10s grupos del ejemplo 3.2. Entonms 2, es ciclico y tanio I como 3 son generadores a t o es, (1 ) = ( 3 ) = 2,. Sin embargo, V JIO es ciclicn pues (a), (b) y (c) son subgrupos propios de 2 elernmtos. Es claro que ( f ) es el subgrupo trivial de un elemenlo. Ejemplo 3.4 El grupo Z bajo la suma es un grupo ciclico. Tanto I como - 1 son gencradores del grupo. '\ Ejemplo 33 Considtrese el gmpo 2 bajo la puma y busqucse ( 3 ) . Aqui, la notacion es aditiva y ( 3 ) debe contener 3 3 + 3 = 6 3 + 3 + 3 = 9 y asi sucesivamente, 0 -3 - 3 + - 3 = -6 - 3 + - 3 + - 3 - -9 yasisufcsivamenle. En otras palabras. el subgrupo ciclico generado por 3 consta de todos lor muldplos de 3, positivos, negaiivcn y el cero. Denolamos cste subgrupo pot 3Z, asi como por ( 3 ) . De manera similar. nZ sera el subgrupo cicliw (n) de 2. Notese que 6 2 < 32. 1 1 Delerminesc culks de lor siguicnlss subconjuntos de lor nbmeros mmplejos son subgrupos bajo la suma del gmpo C & 10s nlmcros mmplejos bajo la suma. a) R b) Q' c) 72 d) El conjunto R de 10s nhncros imaginaries puros incluyendo 0 el El conjunto n Q de los multiples racionalcr dc n fI El conjunto (n" I ! I E 2; En a t e capitulo y en el siguiente trabajaremos con grupos cuyos elementos son entes llamados permutaciones. Estos grupos nos proporcionarin 10s primeros ejemplos de grupos que no son abelianos. Mostraremos, en un capitulo posterior, que cualquier grupo a estructuralmente el mismo quc algGn grupo de permuta- aones. Por dagracia, este rsultado, que pa- muy importante, no rnulta util en particular. Quizis estCn lamiliarizados con la idea de permutacibn dc un conjunto wmo un reatreglo dc elementos del wnjunto. Asi, para el wnjunto (1, 2, 3, 4 5) se podria dar, csquemiticamente, un rcamglo de 10s element- como en la Iigura 4.1, y obtemr el nuevo arrcglo (4, 2, 5, 3, I}. Pensemor en cste diagrama caquemitico de la Iigura 4.1 mmo una traslacibn o una fransformacidn de cada elemento de la wlumna de la izquierda, en un h i w elemento (no necesariamente distinto) del mismo wnjunto listado a la demha. De este modo, el 1 va a dar a1 4, el 2 pe uansiorma cn el 2, y asi suocsivamente. Mas a h para ser pcrmutacion del mnjunto, a t a translormacibn debe ser tal que cada elemento aparezca una y solo una vcz en la wlumna de la derecha. Por ejemplo, el diagrama en la Iigura 1-4 1 - 3 2 - 2 2-2 3 - 5 3-4 4 - 3 4-5 5 - 1 5 - 3 Raun 4.1 Fl~Ura 4.2 4.2 no da una perrnutacion. pues en la columna d e m h q el 3 aparece dos veas mientras que el 1 no aparece. Definiremos una permutacibn como dicho tipo de transfonnacion. Sin cmbargo, la idea general de asignar a cada cleniento de algun conjunto un elcmento del mismo o qu id de un conjunto dlfercntc, se presentarb tan a rncnudo cn nuestro trabajo que daremos primcro una delinicih aparte de cste concepto. El concepto es el dc funcibn, tknnino que ya han encontrado. D+fukihm Una fundfa o tramfanrackh 4 & ur cmiplca A ea ma w n j ~ ~ t o B s una rcgla quc asigna a cada h e n t o a de A cxactamente un elemcnto b dc 8. Sc d i a quc 4 tmqfmma a rn b (o que b &ra a rr b) y que 6 rrcmsfkma o h a A en B. La notaabn clhica para deaotar quc 4 lleva a cn b es Sin cmbargo, con fracuencia usamos la notacibn TambiQ se cncucntra m la Iitcratun la not.sibn 6 = b. El elemento b es la b n de a ).jO 4. El hccho d c que 4 Ueva A en B se repmmtarb simb6lic.a- mcntc por Sere Otil para el catudii tc considerar una funcibn en tCnninos dc la hgura 4.3. De las tm notacionca posibles dadas despu(s & la defiaicibn que cxp- quc I$ Ueva a ca 6, cl estudiantc conarc la notacibn &a) = b por cursos anterio- res. 4.1 FUNCIONES Y PERMUTACIONES 39 Muchos algebristas prefieren las notaciones a$ = h y d = h por la siguiente r d n : si 4 y (I wn luncioncs con 4 : A - B y (I: B 4 C, entonces existe una funci6n natural que Ueva A en C como se ilustra en la ligura 4.4. Esto es, x puedc ir de A a C via B, usando las funciones 4 y (I. Esta funcion que lleva A en C es la fwibn carnpwst. constituida por 4 xguida de (I. En la notacion clbica &a) = b y (I(b) = c luego, y se denota la funcion wmpuesta par $4. El simbolo (I4 para 4 seguida de (I se tienc, eotonces, que leer de derecha a izquierda. En las notaciones mis recientes tcncrms a# = b y b$ = c w n Por tanto, la funcion compuata en estas notaciones es #(I y puede ieerse de iquicrda a derecha. Sugerimos a1 estudiantc leer las notaciones a+ = b y d = b como d a imagcn dc a bajo 4 cs bn. Compnndedn que toda csta dircusi6n no es aarca dcl concepto. sino sobn notation. Sin embargo, una mala seleeci6n dc notaci6n pucde entorpcccr mucho el dcsarrollo de una twria matematica. Volvicndo alas pcrmutaaoneq de acuerdo con nuntra dfinici6n. vcmos que Is asignacibn dc la figura 4.2 es una lunci60 dc {1.2.3.4.5) cn si misma. Pcro no qutnmas Uamar a csto una pcrmutaci6n. Es necesario escogcr aqucllas funciones 4 tnl quc roab clcmento del conjunto a imagm dc rxacfmente un solo ekmcnto. Dc oucvo, existc una tcdnologia para una situaci6n m h general. DeClDici60 Una funci6n de un conjunto A en un conjunto B a uw a uno si cada clcmcnto dc B es imagen de a lo mis un elemento de A y es sobre B si cada ekmcoto de B es imagea dc nl menos un elemento dc A. En rtrminos dc La figurn 4.3, una lunci6n 4 : A 4 B cs uno a uno si cada b c B ticnc u lo mbr una flccha dirigida hacia si. Dccir que 4 cs sobrc B, es decir quc t d a b c B ticnc a1 menos wur flczha dirigida hacia si. Pucsto quc a menudo atarcmos probando qu2 cicrtas funciones son uno a uno, o sobre, o ambccosas, vale la pcaa mcnciooar Is t h i c a a u t i l i r . 1 Para mostnr que 4 a uno a uno. sc muatra quc old = a,4 implica a, = a, 2 Para mostrar quc 4 a sobrc B, se mucstra quc para todo b E B existe a E A tat que a4 = b para toda a E A. Tcnernos Por consiguiente. (m)p y a(g) llevan toda aeA a1 mismo elemento [(ao)r]p y son, pot tanto, la misma permutacibn Como no cmpkamos el k h o de que u, r y p son uno a uno y sobre, en realidad probamos quc la composiridn de funciones es etociatiua. Entoncep, se satisface 9,. La permutacibn i tal que a1 = a para todas las a A, obviamente aclua corno identidad. Por tanto, se satisface g,. Para una permutaci6n a dcfinimas a-' como la pennutacibn quc invicrtc la d i r d n dc la transformacibn u. esto cs aa-' scri el clemcnto d & A tal quc a = do. La existencia de exactamenle un elcmmto d con era caracteristica sc Qbe a quc, como funci611, o es uno a uno y sobre. (Vbse cl ejercicio 4.18.) Es claro quc or = a = do c ( m 7 - l ) ~ ~ = 4u-'o) y tambib quc dr = d = ao-i = (doh-' = ~' (06 ' l de mancra quc a-'a y nu-' son, ambas, la permutacibn r. Asi, se satisfafnct Y, . A1 dcfinir perrnutacibn, no fuc nerrsario quc A fuem un conjunto hito. Sin embargo, casi lodos nucstrm ejcmplm de g r u p & permutacioncs tratarhn con pcnnutaciones dc conjuntos finites. Ea claro quc si ranto A mmo B tienen el mismo niunero de ckmentos, entonca el grupo & todas las permutacioncs dc A time la misma estruelura que el grupo d t todas 1Ps pemutacimes de B. Se puede obtcner UII grupo a partir &I o m simplemeate cambiando el nombrc a 10s claomtm. Estc eq dc nucvo. el coaocpto & g m p isomorfis mencionado en el capitulo 2 y accrcn dcl cual habhqaos mha adcknle. DcTricib. Si A es cl conjunto finito {I. Z . . ., nJ, entonccs el grupo de todas l a pwnutacioaes & A es el br*p rWhieo dr n h w y se dcnou por S". Ndtcse que S. tiene n! elcmcntaq dondc Ejanplo 41 Un ejmplo intcresantc es cl grupo S, & 3! = 6 elcmentos. Sea cl conjunlo A = {I. 2, 3). Listease las perrnutadoncs de A y a cada una asignex 4.3 DOS EJEMPLOS IMPORTANTES 43 una letra griega con subíndice. Más adelante se aclararán las razones para asignar los nombres y para sombrear la tabla. Sea ρ0 = 1 2 3 1 2 3 , μ1 = 1 2 3 1 3 2 , ρ1 = 1 2 3 2 3 1 , μ2 = 1 2 3 3 2 1 , ρ2 = 1 2 3 3 1 2 , μ3 = 1 2 3 2 1 3 , Puede verificarse que la tabla de multiplicación dada en la tabla 4.1 es correcta. Nótese que este grupo no es abeliano. Este es el primer ejemplo que tenemos de ello. Hemos visto que cualquier grupo de a lo más 4 elementos es abeliano. Más adelante veremos que un grupo de 5 elementos también es abeliano. Así, S3 tiene el orden menor entre los grupos no abelianos. ■ Tabla 4.1 Hay una correspondencia natural entre los elementos de S3 en el ejemplo 4.1 y las maneras en que pueden colocarse, una sobre otra, dos copias de un triángulo equilátero con vértices 1,2 y 3 (véase la figura 4.5). Por esta razón, S3 es además el grupo D3, de simetrías de un triángulo equilátero. Usamos ρi para las rotaciones y μ i para las imágenes reflejadas en bisectrices de los ángulos. La notación D3 Figura 4.5 Figura 4.6 44 PERMUTACIONES representa al tercer grupo diédrico. El n-ésimo grupo diédrico Dn. es el grupo de simetrías del n-ágono regular. Ejemplo 4 2 Fórmese el grupo diécdrico D4 de permutaciones, correspondientes a los rnodos en que puedan superponerse dos copias de un cuadrado con vértices 1, 2, 3 y 4 (véase la Figura 4.6). D4 será el grupo de simetrías del cuadrado. También se le llama grupo octal. De nuevo, úsese una notación y sombreo en la tabla que parece arbitraria, pero que se explicará rnás adelante. lntuitivamenle usemos ρi para rotaciones, μ i para imágenes reflejadas en bisectrices perpendiculares a los lados y δ i para 1os reflejos en las diagonales. En. este caso hay ocho permutaciones. Sea ρ0 = 1 2 3 4 1 2 3 4 , μ1 = 1 2 3 4 2 1 4 3 , ρ1 = 1 2 3 4 2 3 4 1 , μ2 = 1 2 3 4 4 3 2 1 , ρ2 = 1 2 3 4 3 4 1 2 , μ3 = 1 2 3 4 3 2 1 4 , ρ3 = 1 2 3 4 4 1 2 3 , μ4 = 1 2 3 4 1 4 3 2 . Puede verificarse que la tabla para D4. dada en la tabla 4.2 es correcta. Nótese que D4, tampoco es abeliano. Este grupo es sencillamente una belleza. Nos proporcionará magníficos ejemplos para casi todos 1os conceptos que presentaremos en teoría de grupos. !Qué bellas simetrías hay en la tabla! Tabla 4.1 4.13 S u n A un wnjunto, B un subconjunro dc A. y b un clemento fijo de B. iCu61 dc lor siguicntcr cr un subgrupo de S,? a) { a ~ S ~ l b u = b ] b) ( o E S ~ I ~ ~ E B ) c) { U E S ~ I B U E BJ d) ( O E S ~ I B O = B) 4.14 Sea A un conjunto y a < S,. Para un a e A fijo. el wnjunto cs la brbiu & a b.p a. Encutntmnse las brbitas de I bajo cada una de las pcrrnutacioncs del cjercicio 4.1. 4.15 R a p t o d wncepto dcfinido cn el ejercicio 4.14 muklrcoe quc si para a, b E A, 0.. . Y O,,. tienen dghn clanenlo en mmitn, mtonas 0,. = Q,,, 4.16 Si A a un wnjunto, rnlonar un subgrupo H d~ S, a mnsisiliio u A si para tDda a, ~ E A a h a e H tal que ao = b. M U b t l g ~ que ai A-m YO wnjunto no v d o linilo, cntonm existc un subgrupo ciclico tinito H dc S, w n IH( = 1.41 que w lransitivo m A. 4.17 Con respecto a 10s jcrricios 4.14 y 4.16, rnuktlec quc para a~ S.,, ( a ) a lransitivo ~ n A r i y d o s i 0 ~ , = A p a r a . I s l n e a ~ A . 4.18 Sen 4: A + B. La tra~formaCi6n 4-' : B + A cr UM ~ U U de 4 si (x&-' = x para todaxe.4 y (*-In = y pan tDda ~ E B . a) Mvtstrrse quc # a una biycocion si y wlo si licne inverna b) Muiatrrac quc la inrenu de UM biyscd6n $ ca h n i a Existe otra notaci6n para permutaciones. Supongamos que se distribuyen equita- tivamente 10s cinco numeros 2, 4,3,6, 8 en una circunferencia, como se muestra en la figura 5.1. Sup6ngase que el circulo se rota 2x15 radianes en sentido contrario a1 que giran las manedlas del rcloj, & manera que el 2 queda en la posicibn que antes ocupaba el 4, el 4 a la que ocupaba el 3 y asi sucesivamente. Sea a la pcrmutaci6n en S8 que deja fijos a1 1.5 y 7 y aalia sobre 10s elementos mtantcs mediante la rotaci6n del circulo descrita Entonces, Esta pennutacion a es un cicio de iongitud 5; para ello se-introduce una notaci6n nueva, m h compacta La nueva notaci6n s la notoeibn cielim. Cada elnnento que aparea en (2,4,3,6,8) se lleva al elemento siguiente excepto el bltimo, que va a dar a1 primero. Se considera que 10s elementos que no aparecen en la notaci6n quedan lijos bajo la pemutacion. D c f i a u i Una permutacibn a de un wnjunto A es un &c/o & longirnd n si existen a, , a,, . . ., a, E A tales que Y xu = x para toda x c A tal que x$ {a, , a,. . . .. a"). Escribimos a = (a,, air ..., a"). Al usar la notacion ciclica, el conjunto A debe estar clararnente ubicado en el contexto. . - Obstrvese que Puesto quc 10s cidos son tipos particulam de permutaciones, pueden multipli- came wrno cualesquiera dm perrnutaciones. Sin embargo, el product0 de dos cidm no nmsariamente cs un ciclo. E h p l o 52 Sean (1, 4, 5, 6) y (2, 1, 5 ) ciclm en el grupo S, de todas las perrnutaciones de { I , 2, 3, 4, 5, 6). Entoqces, Ninguna de estas dos permutaciones es un ciclo. Hemos visto que toda permutaci6n de un conjunto finito que tenga al menos 2 elementos, es producto de transposiciones. Las transposiciones pueden no ser ajenas y no es unica esta representauon de la permutacion. Por ejemplo, siempre es posible insertar al principio la transposicion (a, b) dos veces pues (a, b)(a, b) es la permutacion identidad. Lo cierto es que el numero de transposiciones que se usan para representar una permutacion dada debe ser siempre par o siempre impar. Este es un hecho importante y la demostracion usual, que puede encon- trarse en la primera edicion de esle libro, implica una construction bastante artificial. En 1971, William I. Miller public6 una demostraci6n que nos parece mejor y que damos aquit. Tcorema 5.2 Ninguna permuracibn & un conjunro jiniro puede expresar~e como un producro & un nrimero par de ~ransposiciones p como un p r o h c ~ o de un numero impar I rrcmrposicioncs. Demosrracibn No se pierde generalidad a1 considerar el conjunto A = = {I, 2, . . ., n) y suponer que n t 2, de rnanera que existan las transposiciones. Estudiemos primer0 el caso especial de la prmutacion identidad I. Desde luego, r puede expresarse como un producto de un nlimero par de transposicio- nes, digamos i = (I, 2)(1, 2). Debemos mostrar que si donde cada 7, es una transposicion, entonces k debe ser par. Sea m cualqu~er entem que aparezca en alguna de las transposidoncr en la ecuacion [S.I] y sea 71 la primera transposicibn, wntando de izquierda a demha, en la'cual aparca: m. No podemos tenerj = k pues, de ser asi, I no hubiera dejado fijo a m. Ahora bien, rJrJ+, &be tener la forma de aiguao de 10s lados izquierdos de las siguientes identidades fk i l a de verificar Si sustituimos la identidad correcta m la ecuaci6n C5.21. en lugar de T ~ T ~ ~ , en la ecuaci6n CS.11, sucede que reducimos en 2 el numero k de transposlclones o trasladamos la primera aparicion Q m un lugar a la dencha. Repetimos este procedimiento hasta eliminar m de la expresion de la gcuacion [S.I]; hay que recordar que m no puede aparecer por primera v a en la transposicion final, asi queen algun momento debe aparecer la situaci6n de la primera identidad en la ecuacibn [5.2] para eliminar a m por wmpkto. A continuation elegimos otro ' William I. Miller, *Even and Odd Permulations~~. Malhmorics Assorioriom ~,'Two-Yr.r Colleges Journol5(1971): 32. 5.3 CRUPOS ACTERNANTES 53 entero en A que aparece en la ccuacion [5.1] reducida y lo eliminamos de la ccuacion C5.11 medianle un proceso similar y mntinuamos hasta que el lado derecho de la ecuacion C5.11 se reduzca a la suasion rr ... r. Como al sustituir una identidad de la ecuacion [5.2] el numero k permanece igual o se reduce en 2, vemos que k debe haber sido par. Es ficil probar el teorema partiendo del caso especial para r . Supongase que Como cada transposition es su propia inversa, obtenemos Mostramos, en este caso particular, que r + s es un numero par, de modo que r y s son ambos numeros p a m o ambos son numeros imparcs. Deloicih Una permutation de un wnjunto finito es par o impcu de acuer- do con que pueda expresam como el producto de un nbmero par de transposiciones o como el producto de un nhrnero impar de transposiciones, respectivamente. Alirmamos que para n 2 2, el numero de pennutsciones pares en S. es igual al numero de permutaciones impares; es decir, S. se descompone equitativamente y ambos numeros son (n!)/2. Para mostrarlo, sea A, el conjunto de permutaciones pars en's, y sca B, el conjunto de pennutaciones imparcs para n 2 2. A wntinuaaon defininmos una funci6n uno a uno de A, sobrc B,. Esto es precisa- mente lo que se amsita para mostrar que A. y B. tienen el mismo ndmero de elementos. Sea 7 cualquier transposici6n fija en S. que existe porque n t 2. Podernos suponer que r = ( I , 2). Definimos la funcion 1,:A. -. B" mediante ad. = ra, esto es, oeA. va a dar a (1, 2)o bajo 1, Obskwese que como o es par, la permutanion (1 ,2)u aparm wmo el producto de (1 + numero par) o sea un numero impar de transposiciones, asi que, en efecto. (I, 2)a esta en B,. Si para u y p E A. s u d e que od, = FA,, entonces y como S. es grupo, tenemos n = p. Asi, i.. es una funcion uno a uno. Por ultimo, asi quc si p E B., enlonces Por consiguiente, 4 (,a sobre 8.. Dc aqui que el n h e r o de elcmentos en A. es el mismo que el numero de clementos en B. puesto que existe una correspondencia biunivoca entre 10s elmentos & ambos wnjuntos. N6tcse que el producto de dos permutauones p a r a es par. TambiCn, como n 2 2, A tienc dos elcmentos a y h, y I = (a, b)(a. b) u una permulacion par. Por Gltimo, notese que si expresamos a wmo producto de transposiciones, el produc- to dc las mismas transposiciones tomadas en el orden opuesto es u-l. Por tanto, si u cs una pcrmutaci6n par, a-I tambikn deke scr par. Hacicndo rcfertncia al teonma 3.1, se ve que hemos probado: Teorema 5.3 Si n 2 2, la coleccibn de t o h s /as permuraciones pares de { I , 2, 3, . . ., nj forma un subgrupo de orden n!/2 &I grupo sim6nico S.. Definicibn El subgrupo de S. que wnsta de las pemulaciones pares de n letras u el grnpo d t n a u t e A. k n ktras. Tanto S. como A. son grupos muy importantes. Ya mencionamos, sin demostraci6n. que cada grupo finito ca cstructuralmente i d h t i w a a l a n subgru- po de S. para alguna n.lPimporrancia de A. apa r ra r i mAs adelante. I 1 Los ciclos siguicnla *in pcrmulacioncs de { I , Z 3, 4, 5, 6 7, 8). Calcitlmse 10s prcductos que se indian. a) (1.4, 5N7. 8)(2. 5. 7) b) (1, 3, 2,7)(4, 8 , 6) C) (1, 2)(4, 7. 8K.2 1)(7. Z 8. 1, 5) 5.2 ExprCxx cada una dc las siguicnta permutacioncs de {I, Z 3, 4. 5, 6. 7. 8) wmo producto de ciclos ajenos y despubs como producto dc transposiciones. 6.1 PROPIEDADES ELEMENTALES Recuerdcse lo siguicnte del capitulo 3: Si G cs un grupo y ac G, entonas cs un subgmpo dc G (Tcorema 3.2). Este yupa cs el s u m & k o de G generndo par a. Ademits, dado un grupo G y un clemtato ac G, si entonas a cs un g-dor dc G y el grupa G = ( a ) es cldka El prop6sito dc esta s&bn es clasificar todos 10s gmpos ciclicos y todos 10s subgrupos de 10s grupos ciclicos. Tcorc))~~ 6.1 Todo grupo ciclico es abeliano. Demostracidn Sea G un gmpo ciclico y sea a un gcnerador de G tal .- que G = ( a ) = { m " l n ~ Z ) . 58 GRUPOS CICLICOS Si g, y g, son dos elementos cualesquiera de G, existen enteros r y s tales que E =4 y ga = 7. Entonces, 25 =d40=d4=2"=dd = 88 de modo que G es abeliano. m Seguiremos usando la notación multiplicativa para nuestro trabajo general acer- ca de grupos cíclicos, a pesar de saber que son abelianos. Existe un recíproco débil, pero muy importante, del teorema 6.1 que discuti- remos con detalle más adelante. A saber, es posible mostrar que todo grupo abeliano «suficientemente pequeño» puede construirse a partir de grupos cíclicos, de una cierta manera. Por tanto, los grupos cíclicos son fundamentales en el estudio de los grupos abelianos. Los grupos cíclicos son una especie de tipos clementales de grupos abelianos. Podría esperarse que una parte de un tipo elemental sea de nuevo un tipo elemental. El siguiente teorema muestra que, en efecto, así sucede. En primer lugar daremos un lema aparentemente trivial, pero muy importante, de la teoria de los números. Lema 6.1 (Algoritmo de la división para Z) Si mes un entero positivo y n es cualquier entero, entonces existen enteros únicos q y r tales que n=mq+r y 0O<r<m Demostración Daremos una explicación diagramática intuitiva con base en la figura 6.1. Sobre el eje x real usado en geometría analitica, se marcan los múltiplos de » y la posición de a. Ahora bien, n caerá en un múltiplo gm de m y se puede tomar r igual a 0, o » caerá entre dos múltiplos de m. Si éste es el caso, sea gm el primer múltiplo de m a la izquierda de n. Entonots, » es come se muestra en la figura 6.1. Nólese que 0 < r < m. Después de pensarlo un poco, se verá que la unicidad de q y de r es clara a partir de los diagramas. m a A 2, q A -m 0 mo dm gm (gel n<0, ¿a EN E qn ta+l -. 0 m Pigura 6.1 Teorema 6.2 Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración Sea Gun grupo cíclico generádo por a y sea Hun subgrupo de 6. Si H = (ej, entonces H = Ce) es cíclico. Si H + (e), entonces e e H para alguna ne Z*. Sea me Z* minimal, tal que ae H. 6.1 PROPIEDADES ELEMENTALES 59 Afirmamos que £ = a" genera H, esto es, H=«(d) = (0). Debemos mostrar que toda be H es una potencia de c. Como heH y H<G, b= 42" para alguna ». Encuéntrense q y r tales que n=mg+r para 0Ogr<m mediante el lema 6.1. Entonces, d=a <= (ae, d= (ay. Ahora, como de M, a" e H y Hes un grupo, tanto (a")"* como e” están en H. Asi, (ay tteH, estaes deH Ya que m fue el menor entero positivo tal que "e Hy 0 < r < m, debemos tener r =0, Por tanto, 1 = qm y b=r=(P=a, de modo que b es una potencia de c. a Por alguna razón, suele pedirse a los estudiantes en un examen de este curso, en el examen oral para la maestría, o €n otros exámenes, que demuestren el teorema 6.2. Esto es algo fácil de hacer, pero sirve para averiguar si el estudiante es capaz de entender y construir demostraciones. En primer lugar, nótese que el teorema trata de grupos cíclicos, acerca de los cuales no hemos probado, hasta ahora, prácticamente nada, por tanto, debe usarse la definición de grupo cíclico. Es decir, hay que mostrar que un subgrupo -H de un grupo cíclico G es ciclico. Debe tenerse en cuenta que G cíclico significa que existe aeG tal que todo elemento de G es de forma 4” para neZ y que, del aire, hay que sacar un elemento c de H que haga lo mismo en 4. Todo esto praviene sólo de la definición de grupo cíclico. Lo ingenioso consiste en definir <. Sin embargo, se trata de una selección natural, ya que es el' imioo elemento de H que podemos expresar en términos de a. Después hay que mostrar que < sirve, esto es, que < genera H, ¡Como se observó en los ejemplos 3.4 y 3.5, Z bajo la suma es cíclico y para un entero positivo a, el conjunto 1Z de todos los múltiplos de » es un subgrupo de Z bajo la suma; es el subgrupo ciclico generado por ”. El teorema 6.2 muestra que estos subgrupos cíclicos son los únicos subgrupos de Z bajo la suma. Se enuncia esto como corolario, Corolario Los subgrupos de Z bajo la suma, son precisamente los grupos nE bajo la suma para ne Z. r Hemos terminado la clasifiuci6n de grupos ciclicos y nos dedicaremos ahora a 10s subgrupos. El corolario dcl teorema 6.2 proporciona infonnacion completa aarca dc 10s subgrupos de 10s grupos ciclicos infinitos. A continuacion daremos el tcorema bhsico con respecto a 10s gcncradores de subgrupos para 10s grupos ciclicos finitos. Tearemu 6.4 Sea G un grupo ciclico con n elementos generado por a. Sea b E G y sea b = d. Enlonces, b genera un subgrzipo ciclico H de G con n/d elnncnros don& d es el rnbximo cornrig diviror (&reviado mcd) de n y s. D e m o s r r d n Sc ssbe, a panir &I tcorcma 3.2, que b genera un subgrupo d d i w H dc G. Sblo falu mosuar quc H licne n/d eluncntos. Siguicndo la discusibn en cl cam I anterior, podcmos obscrvar quc H ticnc tantos clcmentos como la menor potencia dc b quc dt la idcntidad. Ahora bicn, b = d y b" = e si y d l o d (dr = P = e o si y mlo si n dividc a mr. ~Cu61 a cl mcnor valor dc m tal quc PI divide a mr? Si d ar el myor nhmero quc divide n y s, entonces, cn la wrpresibn n = &Id), el factor ddc n dividira al factors & mr. No sc absorbcn cn s factores primos dc n/d adcmhs &I factor 4 ya quc escogimos d como el mayor cntcro quc dividc tanto n wmo s. Asi, n/dse absorbc en rn y la mcnor de dichas m srn=(nM Ejempb 6 3 ComidCrcse Z,,~rnn g~ncrador a = 1. Como cl d x i m o c o m h divisor (mcd) dc 3 y 12 a 3. 3 = 3.1 genera un subgrupo dc 4 = 4 clcmcntos, a sabcr (3) = (0.3.69). Como d mcd dc 8 y 12 es 4. 8 genera un subgrupo dc 9 = 3 clcrnmtos. a saber Pucsto quc el mcd dc 12 y 5 es 1. 5 gcncn un subgnrpo dc 4 = 12 clcmentos, esto a, 5 a un gcacrador dc todo el grupo Z,,. rn El siguimtc wrolario *I mullodo inmsdiato dcl tcorcma. C h i 0 Si a es un generodor de un grupo ciclico finito G & orden n, enronccs, 10s otros generodores & G son lar elcmenros & lajorma a', don& r y n son grinrm re&ivos, csro es, donde el &imo comlin diviror & r y n es 1. Ejrmplo 6A EncuCntmse todos 10s subgrupos dc Z,, y claMmc el wrnspon- dicntc diagrama reticular. Todos 10s subgrupos son ciclicos. Por cl corolario dcl teomna 6.4, 10s clernentos 1. 5, 7, 11, 13 y 17 son todos gcncradores dc Z,,. Comemando con 2, RO. SA Magrama reticular para x,.. a de ordcn 9 y licnc como generadorcs a lor ckmcnlos dc la forma U, donde h a primo relativo con 9, a saber, h = 1,2,4, 5.7 y 8, asi que 2h = 2,4,8, 10, 14 y 16. El elemento 6 de (2) genera (0.6, 12) y I2 cs tambikn generador de este su bgrupo. Hasla ahora hcmos enwnlrado todos los subgrupos gcnerados por 0. I , 2 4, 5, 6. 7, 8, 10. 11, I2 13, 14 y 16. Nos faltan por considerar 3. 9 y 15. el IS tambiln genera este grupo de otden 6 pues 15 = 5 . 3 y el mcd de 5 y 6 es 1. Por Sltimo, El diagrama reticular de estos subgrupos dc Z,, sc da en la figura 6.4. Estc ejcmplo es muy facil; quids al cscribirlo w n tan hombk minuciosidad haya partcido dificil. Los ejcrcicios a y u d a h a dcsarrollar esta habilidad. 6.1 Encutntrcse cl n h e m dc gcncradom d4loa p p o l ciclicos de 6rdcnes 6,8, 12 y 60. Q62 Muhlmc que un grupo quc ten@ d l o un numero finilo de subgrupos d e k ser un grupo finilo. 6.3 Encutntrcse el numero de elrmen~os en fada uno de lor grupos ciclicos indicadoa. a) El subgrupo ciclioo de Z,. gemado por el 25. b) El subgrupo ciclioo de Z4, generado por 30. C) El subgrupo dclico (0 del grupo C dc numeros complejoa di~lintos de aro, bajo la multiplicacibn d) El subgrupo ciclioo del grupo C dc la parre c) generado por (1 + I@. e) El subgrupo ciclico del grupo C de la pane c) generado por.1 + i. 6.4 Para cada uno de 10s siguicnta grupos, cncuintrcnse todos 10s subgrupos y elab6rcw cl diagrarna rclicular wrrcspondientc 63 EncuCnlrcnx tcdos 10s brdena de 10s subgrujms dc Z,, Z,, Z,.,, Z,, y Z,, M pa l so o vcrdadero? a) Todo grupo ciclico es akliano. b) Todo grupo akliano a ciclico. C) Q bajo la suma es grupo ciclico. d) Todo elemenlo de tcdo grujm cicliw genera al grupo. e) Exisle al mcnos un grupo no abeliano para cada orden finito > 0. 0 Todo grupo dc orden 5 4 cs ciclico. g) Todos 10s generndorcs dc Z,, son nOmeros primos. h) S, a un grupo ciclico. i) A, ca un gmpo cicliw. j) Todo grupo cicliw dc ordcn > 2 time a1 mcnos dos gcncradors distintos. 6.7 Mu4strew. mediantc un wntracjernplo. quc el siguicntc nreciproeoa dcl teorcma 6.2 no a un tcorcma: uSi un grupo G a la1 que todo subgrupo propio a cicliw, cnlonca C a cicliwu. 6.8 Ses +. la suma mMulo n en Z. = (1.Z3,. . .. n). PruCbcse quc (2, +,) a un grupo. [Sugerencia: la asociatividad es el uniw axioma no trivial. E r n p l k el alga- ritmo de la divismn y muistrcse que tanto r+,(s+.r) wmo (r+p)+,r, ron el residuo de r + s + r al dividirlo cntrc n.] 69 Sea G un grupo, supbngase que a c G gmaa un subgrupo ciclim de orden 2 y ademis a cl Lnico elemento w n ma propiedad. Mutstrcsc quc ax = xa para todas las KEG. (Cmnrario: Quizi se haya obrervado quc puede x r dilicil enwntrar una demos- tracibn en ilgcbra, nun cuando cxistan demostncioncs faales Por lo general, m, se puedcn dibujar dgurasn que ayuden a vi6ualizar la dnnostracibn. A mmudo sc ticne quc inventar el atrumw adecundo. Para enmntrar los mcos adecuados haw falta expericncia, intuicibn y a vcacs d o ruertc. Uno de lor principales algcbristas dc catc liglo obsmii alguna v a quc la rnancra dc haccr invcs t igdn en ilgebrs cs pmsar cn algbn truw y dcspuhs enmnlrar un problema quc sc pueda d v e r w n ex truw. cn l u p r de trntar de cnmntrar el modo dc raolvn un probkma espci6co. Bicn, intCntesc m l v e r a l e ejerci- cia; si w preMtan dificultade$ consullesc el mruco)] que csts en la esci6n dc mpucslas.) 610 Ses G = (a) un grupo cicliw finitddc orden n. a) M u k t r s e que todo subgrupo H 5 G tieae la forma (8). dondc m z 0 es algun divisor de n y mutstrcse quc, para mteros pmitivos m y m' que dividan a n, lcnemos <am) = (8') si y solo 6i m = m'. b) Sea fin) el wnjunto dc lor enteros positives divisorcs dc n y sea S(G) el conjunlo de los subgrupos de G. Traduzcase el resultado de la parte a) como un enunciado acerca dc quc cicrta transformacibn de D(n) a S(G) a uno a uno y sobrt. . c) Mutstrcze quc ei d m subgrupos dcl grupo ciclico finito G tienen el mirmo ordcn, entonas son iguala. iQuC mleros son brdcnes de 10s subgrupos de GI d) Proporcibncsc un cjemplo para mostrar quc para grupos finitos no clclicos G, la wnclusibn de la parte c) no es ncaaariamcnte cicrta. Probemos ahora un teorema que resulta muy obvio, si consideramos que un isomorfismo es un cambio de nombre de un grupo de mod0 que sea como otro. Desde luego, lo probarcmos a partir de nucstra definicibn de isomorfismo. Teorema 7.1 Si $: G + G' es mt isomorfismo enrre G y G' y e es la idenlidad . de G, enronces e$ es la idenlidad en G'. Adem&, a = ( a ) para rodas las a e G . Para abreviar, un isomorf~mo lleua la idenridad a la idenridad y 10s inversos a 10s inverses. Demostracibn Sea i E G'. Como $ es sobre. existe x s G la1 que x@ = x'. Enton- ces Asi, para cada x' E G' tenemos (e4)x' = x' = i (e$) , de modo que e$ es la identidad de G'. Tcnemos ademb que para a s G P$ = (a-laj$ = (a- '$)(a$). e$ = (on-'j$ = (a$)(a-'4). Asi, a- '6 = (a$)-'. 7.2 COW0 MOSTRAR QUE DOS GRUWS SON ISOMOR= En el pasado, algunos alumnos del autor han tenido dificultades para comprcn- der y emplear el conocplo de isomoriismo; rr utilizi, ya en varias secciones antes de prscisarlo, w n la cspcranza de que se compnmdieran su importancia y su significado. EQ cuanto a su uso, darcmos ahora un abow dcl procedimiento que seguiria un maternitico para mostrar. a pardr de la delinicion, que dos grupos. G y G'. son isornorfos. PAS0 1 D~f in i r /u fincibn 4 que (lo e/ isomorJi.smo dc G con G'. Esto significa describir, de alguna manera, cual seria s+ en G' para toda x E G . PAS0 2 Mn.rfror yue 4 cs unofuncion uno o uno. PASO 3 Ml~srror que $ cs sohrf3 G'. PAS0 4 Mosrror que (r:r)+ = (n$)().$) poro rodas /as x. J EG. Esto es solo cueslion de calculos. Se calculan ambos lados de la ecuacion y se ve si son iguales. Ilustrarcrnos esta tecnica con un ejemplo Ejemplo 7.1 Mostrernos que R bajo la suma es isomorfo a R' hajo la multipli- cation. PAS0 I Para x E R, delinase r$ = ex. Fsto da una transiormacion $: R + Ri. PAS0 2 Si x$ = y+, entonces L.' = e', de aqui que .Y = y. Asi, $ es uno a uno. PAS0 3 Si r E Rt, entonces (In r)+ = elnr = r. donde (In r ) E R. Asi, 4 es sobre R i PAS0 4 Para 1, y E R tenemos Ilustraremos de nuevo esta tkcnica en un teorema Dc-n~o.srrocitin Supbngase que G tiene un generador a y usese la notacibn rnulti- plicativa para la operacibn en G. Asi, La diseusion en el caso 1 de la seecibn 6.2 para prupos ciclicos infinitos rnostro que 10s elementos u" de G' son lodos dist~ntos, esto es, a' # om si n # m. PAS0 I Definir d,: G - Z por and, = n para toda o" E G. PAS0 2 Si d+ = am$, cntonces n = m y u" = om. Asf, $ es uno a uno. PAS0 3 Para cada n E Z, el elemenlo d~ G va a dar a n bajo 4. Asi, d, es sobre Z. 7.3 COMO MOSTRAR RUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS 69 PAS0 4 Ahora. (4d"M =a"'"$ = n + m. (Notese que la operairon binana estah en el grupo G. ) Falta calcular (on$) + (urn$), se usa + porque la opcracion en Z es la suma. Pero (a"$) + (S4 ) tamhien esn + m. Por tanto, la"S)$ = (d'$) + (uV'$). La demostracion anterior rue muy lacil, hay que ascgurarsc de habcr entendido 10s pasos, Es inmediato que cada grupo G es isomorlo a si mismo: la luncidn identi- dad I deiinida por X I = K para todas las p e G lo muestra. Si G es isomorlo a G' , entones ti' es isomorio a G ; la luncion 4 ' : G' + G para un isomorfismo 4: C -' G ' lo muestra (viase el ejercicio 7.6). Por ultimo, si G es isomorlo a G' y ti' es isomorlo a ti", entonces G es isonlorlo a C"; si 4 : G -. G' y I/, :G ' -' G " son isomorfismos, entonces la luncihn compuesta & lo muestra (veasc el ejercicio 7.7). Debe reconocerse que hemos demostrado que la propiedad de isomoriismo es una relacion de equivalcncia en una coleccion de grupos. Por el teorema 0.1, esto signiiica que dudu una c~~leccion no uociu de grupos, sremprc se purdeporrir la colecriun en reldus (c1usr.s dc eyuiuol~~nciu) ~oles que cuole,vqu~rru dos Xrupns en Irr mi.smo celdu son Bomorfi).~ y no hay Krupos en celdas distintas yue sean i,romor/os. Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorlos. L o r.rpresamos diciendo que sdlo hay un prupo de ordrn 3, salvo ~.somorfi.rmo. Ejemplo 7.2 Hay un solo grupo de ordcn 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvo isomorFlsmo. En el ejemplo 3.2 vimos que de orden 4, hay exactamente dos grupos dilerentes, salvo isomorfismo: el grupo Z, y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferenles de orden 6, salvo isomorfismo, a saber. Z, y S,. 7.3 COMO MOSTRAR OUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS Trataremos ahora un tema que se esrudia en pocos textos de ilgcbra: iComo .se drmuerlra que do.s grupo.r C y G' no son rso~norfov, dr ser cse el cu.so? Ello signiiicara que no existe luncion uno a uno 4 de G sobre G' con la propiedad (.xy)@ = (xb)Cy$). En general, es claro que no es lactible someter a prueba cada funcion uno a uno y detectar si tiene la propiedad anterior, a menos que no existan lunciones uno a uno. Esto s u e d e si. por ejemplo, G y G ' son de orden iinito y tienen dislinto numero de elementos. Ejemplo 7 3 2, y S, no son isomorlos. No existe luncion uno a uno de Z, sobre s,. En el caso iniinilo, no siempre estQ claro si exislen o no lunciones uno a uno y sobre. Por ejemplo, algun estudiante podria pensar que Q tiene amas,, elementos libros de algebra. M& aun, es el primer teomna quc vemos con cierla compleji- dad y reune diversas ideas y tbnicas expueslas por separado. Todo estudiante debe saber lo que propone el teorema de Cayley. Marcarnos la dernostracibn con un astcrisco para indicar que no consideramos que este resultado sea bisico para el libro. Para facilitar la comprensi6n de la dcmostracion, se ha dividido en pasos Comenzando con cualquier grupo dado G, se procede como sigue: PAS0 1 Encontrar un conjunto G' de permutaciones que sea candidato a fonnar un grupo, bajo la multiplicacion de permutacioneg isomorio a G. PAS0 2 Probar que G' es un grupo bajo la multiplicacion de permutaciones. PAS0 3 Definir una transromaci6n 6 : G - G' y mostrar que 4 es un isomor- fismo entre G y G'. Tcorcmo 7.3 (& CayIcy) Todo grupa es iromorfo a un gnqm & permura- ciones. *Demosrracwn Sea G un grupo dado. PAS0 1 Nucstra primera t a m s encontrar un conjunto G' de pcnnutaciona que sta candidato a formar un gupo isomorfo a G. P i en G simplemente como conjunto y sea S, el grupo de todas las pcrmutacjones de G dado por el teorcma 4.1. (Notese que en el caso finito si G tiene n ekmentos, S, tiene n! ekmeatos. Asi, en general, es claro que So es demasiado grande para ser isomorfo a G.) Delinamos cierto subconjunto de &.Para a e G sea p. la transformadbn de G en G dada por para XE G. (Podemos pcnsar en p, wrno mulfiplicaci6n akrecha por a,) Si xp, = yp. entonccs xa = ya y por el teorema 2.1, x = 9. Asi, p, cs una funcibn uno a uno. Ademhs, si y G, entones mi, p, leva a G sobre G. Entones wmo pa : G -r G es uno a uno y sobre G, p. es una pcmutaci6n de G, esto 6 P.E S,. Sea PAS0 2 Afirmamos que G' es un subgrupo de S,. Debemos mostrar que G' es ccnado bajo la multiplicacibn de permutaciones, que contiene a la pcrmutacibn idcatidad y que contiene el inverso de cada uno de sus elementos. En primer lugar afinnamos que P d b = P.s. ra mostrar que estas iunciones son iguales, debemos mostrar que actuan igual Ire toda xe G. Ahora , p g , = p, y por tanto, G' es cerrado bajo la multiplication. Es claro que .a roda x G G. ide e es el elemento identidad de G, de modo que p, es la permutation ntidad I de S, y a t e en G'. Como pap, = pa, Lencmos aqui que (par1 = Pa-8, modo que (pa)-' E G'. Entonces, G' es un subgmpo de S,. .SO 3 Falta probar que G es isomorfo a1 grupo G' descrito. Delinase G - G ' por .a UGG. Si a$ = entonas p, y p, deben ser la misma pcrmutaci6n de G. particular, ep# = epb, que ea = eb y a = b. Por tanto, 4 es uno a uno. Es inmediato que 4 s sobre por la definicibn dc G'. Finalmente. (ab)+ = p, mientras que ro ya se dijo que p., y p p , son la misma permutacibn de G. Asi, ra la demostracidn del t e o m a , igualmente pudimos haber usado las permuta- n a & de G definidas por . . . . . . , , . xa. = ax . , para xc G. (Podemos pensar en I, como rnultiplicaci6n hquierda por a.) Estas permulaciones iormarian un subgrupo C" de S, de nuevo isomorfo a G, p r o ahora bajo la iransformaci6n +: G - G" delinida por a$ = A,.,. DefinXtbn El grupo G' en la demostracion del teorema 7.3 es la representa- cidn re~ular derecha de G y el grupo G" del comentario anterior es la represenracidn regular izquierda de G. Tabla 7.1 Tabla 7.2 Ejemplo 7.10 Calculemos la represenlacibn regular derecha del grupo dado por la tabla 7.1. Por <calcularn quercmos d a i r dar 10s elementos de la representation rcgular derecha y la tabla del grupo. Los elementos son e a b La tabla para s t a repnsentacion es wmo la tabla original cambiando el nombre de x por el de p, como pucde versc en la tabla 7.2. Este ncambiar de nombrer es la idea bhsica dcl isomorfimo. Por ejemplo, c a b e a b e a b ( a e) (b e a ) a b ) = ' c m Para un grupo linito dado por una tabla del grupo, p, ts la pcmutaci6n de 10s elementos con el orden wrrcspondiente a la columna~bajo a y la pemutaci6n A, wmsponde a1 orden de 10s elementos en el rengl6n a la derecha de a. Sc cscogieron las notaciones p. y I., para sugerir la mulliplicacion demha (right) y la multiplicaci6n iquierda (Iefi) por a, nspeciivamente. 1.1 Proporci6ncnse dos argumentos que muestren que Z, no a isomorlo al 4-pupa V de Klcin dcl cjemplo 3.2. - I .<S opuanbal o~unluo~ la olamud asau!rulalaa .[ + ,x e alqluou ap e!qmeJ .a sx 1s (e ailed el asej!da~ (3 .=s op!lanbal o~unluo~ la olaluild asau!mraiaa .elg 'g 31 eled r - x e alqluou ap e~qmm !s (e aved e[ asei!daa (q 'ajqwau ap o!qme> alsa a,ue!patu uo!aes!ld!i[nm el oreq .y r! ojlomos! eas ('r "s) anb lei 'S ua '. xeuyaa .p- o~dmxa salear solawnu so( sopol ap olunluo~ pIS Eas ,.a ex wed p - x e a~qmou ap e!qmes x anb aseauodns 'u?!sEJqd!llnlu el oleq *g odn~8 la uos opuezuamo3 (e Productos dlrectos Veamos cuAl es, hasta ahora, nuestro aarvo dc grupos. Comcnzando con 10s gmpos finitos, tenemos el gmpo ciclico Z, el grupo sirnctrico S. y el grupo altcmante A. para cada entero positivo n. Tmemos tambih el grupo octal D, del ejemplo 4.2 y el Cgrupo V dc Klein. eor supucsto, sabemos quc existen subgru- pos de cstos grupos y que el teorema de Cay1ey;aplicado a grupos finitos, mucstra que cada grupo finito cs isomorfo a un subgnrpo de algun S, Pero no hay un camino fadl para calcular todos 10s subgrupos de un grupo dado. Respecto a grupos infmitos, tenrmos grupos quc constan & conjuntos de numc- ros bajo la suma o la rndtiplicaci6n usual, por cjcmplo Z y R bajo la suma. Uno de loo objctivos de cste capitulo es dar a conoar un mCtodo constructi- vo para fomar d s grupos, mcdiante cl uso de 10s grupos ya conocidos como pnrtes wnstitutivas. Rbcuperanmos el 4-grupo de Klcin a partir de grupos cidicos. En el siguimte capltdo, dcsccibircnos, rncdiante este procedimiento con los grupos ciclicos, d m o se obticne una clase arnplia de grupos abelianos que incluye todos 10s grupos abeiianos de orden lnito. Cornenamos wn una defini- ci6n de teoria dc wnjuntos. Defiiiein El producto curfrsiano & wnntos S,, S2, . . ., S. cs el conjunto & todas las n-adas ordenadas (a,, a,, . . .. a,). don& a,€S,. El product0 cartesiano sc dcnota por S, x S, x . . . x s. 0 por n - Tambien se puede deinir el producto cartesiano de un numero inlinito dc wnjuntos, pero la dcfinicidn cs wnsiderablernentc m b solisticada y no se ne- cesita. Ahora bien, sean l a grupos G,, G,. . . ., G.; usaremos la notation multiplica- tiva para todas las operationes de grupo. Considerando las G, como conjuntos, podemor formar n;., G,. Mostrarema que puede formarse un grupo de n;- , G, mediante una operacidn binaria de muhiplicacion por componenres. Quc- rcmos seiialar nucstro descuido al usar la misma notacidn para un grupo y para el conjunto de elementos del grupo. Teorema 8.1 S e m 10s grvpos GI , G,. . . ., G.. Para (a,. a,, . . ., a,) y (b,,. b,, . . ., b.) e~ n:-, G, definase (a,, a,, . . ., a.)(b,, b,, . . , b,) como (a,b,, a,b,, . . ., a&.) Entonces, n:,, G, es un grupo, el prodveto &recto externo k Ios grvpr G,. bajo esra operackin b imia . Demoslraci6n Notese que wmo a, E Gi, b, E Ci y G, es un @ u p , tenemos que a,b, E G,. Entonm tiene sentido la definition dc la operaci6n binaria en n;., G,, dada en el enunciado deI twrcma, a t o a , n;. , GI a a m d o bajo k operacibn binaria. La Icy asociativa en m,, GI depende de la ley asociativa en cada wmpo- nente: (a,. 02, . . ., am)[(bl, b,. . . ., b.)(c,, c,, . . ., c31 = = (a1. 01, . . ., a.)(blcl, b,c,, . . ., bg.) = (a,(blclA a2(b,c2X . . ., a.(b.c.)) = ((albl)cl, ( a l b 2 h , . . ., (a&.)c.) = (albl, a,b,. . . ., a&,)(c,, c,, . . .. c.) - - [(a,. a,. . . ., a.)(b,, b,, . . ..b.)](cl. c2.. . .. c,). Si e, es el elemento identidad en G,, e n t o n a cs claro quq mn la multiplicaudn por wmponentes, (el. e,, . . ., e.) a una identidad en n:,, G,. Un inverso de (a1. a,, . . ., a") a (a;', a; l , . . ., a;lX basta calcular el producto por componen- t& Por tanto, n;, , G, u un grupo. En caso de que la opcracidn en cada Gi sea conmutativa, usaremos, algunas VCUS, notacibn aditiva en m_, G, y nos referiremos a , G, como la r . m . dtecta exferna & lor drrpor G,. En a t e cam, en ofasiones se usa la notacion $GI G, en lugar de nbl G,, apecialmente wn grupos abelinos con operacibn +. La suma directa dc g r u p abelianos GI . G,, . . ., G, se puede M i b i r G I @ G, 8 . . . @ G.. Dcjamos, wmo ejercicio, la demostracibn trivial dc que el producto dincto extemo de gup abelianos es abcliano. Es Bdl observar que si d wnjunto S, tiene r, elementos para i = 1. . . .. n, entonas m., S, tiene rlr, ... r.elemmtos, porque en una n-ada hay r , eleocio- n a posibla para la prirnera mmponente de S , y para cada una de a t a s hay r, elccciones posibles de S, para la segunda wmponente y asi sucesivamentc. (el, e,, . . ., en), k potencia debc ser de manera simultinea multiplo de r, , para que esta potencia de la prirnera wmponente a, de el; un mbltiplo de r, para que n t a potmcia de la segunda cornponente a, de el, y asi sucesivamente. m Es obvio que si n1=, G, es un producto direct0 externo de grupos GI. el subcon- junto esto es, el conjunto de todas las n-adas con 10s elementos identidad en todos 10s lugares except0 el i-kimo, es un subgrupo de n;. , G, TambiCn s claro quc cstc subgrupo Cl es naturalmentc isomorlo a Gi bajo la wrnspondencia dada por la proyecci6n que transforma n,, donde El grupo GI sc refleja m la i l s i m wmponente de 10s ekmcntos de G , y las e, en Las o m wmponentes sirnp*mate van dc awmpfiantes. Considcrcmos fl:-l G1 w m o el prohero directo interno dc tstm s u b p u p G,. Los tkrminos inrerno y exrerno, aplicados a lo6 pmductos directos de p u p , a610 d e j a n si se wnsideran o no (rcspectivamente), a ios grupos wrnpmentcs wmo subgrupos del p p o producto. Despub dc a t a d b n , por lo m m h , omitircmos las palabras externo e inrerno y d i 8610 p r k t o directo. El aigniticado wrrecto qucdad claro de acuerdo w n el eontexto. Para quients lo d e n , en la secci6n 8.2 (wn asterisco) sc tratarh con midado el producto dim30 interno. Se necesita- rh una ddnici6n basics de teoh & mnjuntos y un teorcma tambib M8ico de la teoria de grupos. Se presentan aqui, pues & adelante les d a m 0 8 otro uso. =nidh Sca {S, 1 i s I ] una coleccibn & wnjuntos Aqui I puede scr cualquier conjunto dc ind im La interse& n,,, S, de lor coajrrlos S, a el wnjunto de todos los el-tm quc a t&n en todos 108 wnjuntos S, s t o es, Q S, = {x I X E S l para toda i ~ l ) . I Si I es rmito, I = {1,2, . . .. n) podemos dcnotar n,., S, por - T- 8.4 La inrerseccibr & subgrupos Hl & un grupo G para i s I es un Subgwpo & G. Demostracibn Mostrcmos k d u r a . Sea a E nl., HI y b E nl., Hi de modo que a E Hl para todas Las i E I y b E H, para todas las i~ I. Entonas ab E HI para todas las is I ya quc H, es un g a p . As;, a b ~ n,., H,. 8.2 PRODUCTOS DIRECTOS INTERNOS 83 Como H, es un aubgrupo para todas las i c I, tenemos que e s HI para todas las i ~ I y d c a q u i e € ~ ~ , ~ H , . Para conciuir, si a s nlSI HI, se ticnc quc a s HI para todas las is], luego a-I E HI para todas las i e I, lo cual implica que a-' s n,,, H,. rn Dcfitlicibn Sea un grupo G w n subgrupos HI para i = I, . . ., n. G es cl p&o diredo k t s o & los subgrupor HI si la translormacibn 9:n;-, H, - G dada por (h,, ha, . . ., h.M = hlh, ... h" es un isomorlismo. Nbtesc que bajo cste isomorfismo &, el subgrupo R, de n;,, HI va a dar & manera natural sobre HI. En vista del immoftismo quc a p e cn csta M l n i a b s todo lo que obEmemos para WI producto direct0 extc io o para un producto directo interno time una interpretaci6n inmcdiata para cl otro. Tawemu 8.5 Si G es el producto direcio interno & Ios su5grupos H,. Hz, . . .. H, enioaecd cado g E G pue& escribirs~ & m r a rinica como g = h,ha ... h, &nde h, E H,. Demostracibn Usando d isomodwmo & la M1ci6n, basta mostrar que cl cnuncindo comspondientc cs & t o para el producto d i t o externo HI., HI w n rcdpccco a sus subgrupos R,, los d e s son naturalmentc isomorfos a HI. Dcbcmos mostrar quc todo c l m t o (h,, ha, . . ., h,) de fly,, HI sc puede escri- bir dc manera h i i como product0 don& a, E H,. Esto cs obvio. Dcbcmos teaer a, = h,. rn La definicibn y el team anteriorts sugiercn quc d internante cxaminar product05 de elementor dt varios subgrupos & un gmpo. En el resto de esta sccibn trabajamos con &lo das subgrupos de un grupo; aunquc las Mtnicio- xm y tearemas pucdcn gmedbmc a m h dc dos subpupos. Sean H y K subpupos de un grupo G. Nos intcresa examinar (hk I h s H, k s Kf, qut dcnotarnws por HK. Por desgracia, este conjunto HK no es neceaarlmnrnle un subbrupo & G, pucs h,k,haka no por fucna cs & La fonna hk. Clam quc si G es abeliaao, o aun si cada clcmcnto h & H emmnt. w n cada elemento k dc K, csto es, hk = kh, entonas B4 PRODUCTOS DIRECTOS donde A, = 4,47 y ky = k,k, son elementos de H y K respectivamente, Es [ácil corroborar que en este caso tenemos un subgrupo, para ee =e y (kk)! = Sk IA = HL, Tratemos de obtener algún subgrupo en el caso no conmutativo. Nótese que siempre hay al menos un subgrupo de G que contiene HK, a saber, G mismo. Definición Sean H y K subgrupos de un grupo G. El ensamble H y K de H y K es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen HK= (hk|he H, ke K). Es claro que esta intersocción es el subgrupo más pequeño posible de G que contiene HK, y si los elementos en H y en K conmutan, en particular, si G es abeliano, tenemos H v K = HK. Nótese que camo A = he y k = ek, H <= HK y Kk < HK, por tanto, H< H y Ky K<H y K Pero es claro que H y K estará contenido en cualquier subgrupo que contenga tanto a H como a K. Vemos así que H v K es el menor subgrupo de G que contiene a H y a K. Concluiremos con un teorema que se se utilizará en secciones posteriores mar- cadas con asterisco. Teorema 8.6 Un grupo G es el producto directo interno de subgrupos H y K si y sólo si iG=.HvwK . 2 dl 0 pao toda das 008 y toda o 3 Hon A= de Demostración Sea G el producto intesno directo de H y K. Afirmamos que las condiciones 1, 2 y 3 son obvias al se considera G como isomorfo al producto directo externo de H y K bajo la transformación «p, definida por (h, k)d = Ak. Bajo esta transformación, B=((h he H) corresponde a H y K= ile k)lkeK) - corresponde a X. Entonces, las.condiciones 1, 2 y 3 siguen inmediatamente de las afirmaciones correspondientes acerca de. y Ken H x K, los cuales son obvias, En forma recíproca, supóngase que se.cumplen las condiciones 1, 2 y 3, Debemos mostrar que la transformación $ del producto directo externo H x. K| en € dada por (A, 6 = Rk es un isomorfismo, Ya se definió la translormación $. Supángase que É (hdp = (7 k)6.