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¡Descarga algebra calculo resumen y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! RESUMEN ALGEBRA-CALCULO Subespacios vectoriales (Caracterización de subespacio) Dado un subconjunto W de V, se tiene que W es un subespacio de V si y sólo si para cada par de vectores u, v EW y cada par de escalares A, y EA, se tiene que Mu + pu EW. SiW <V. Entonces Oy EW. Combinaciones lineales. Subespacio generado. Supongamos que tenemos un sistema de vectores 07, 03, ..., 0, de un espacio vectorial Y. Dado otro vector v del espacic vectorial, diremos que v es combinación lineal (abreviadamente CL) del sistema (o de los vectores) v; , v= Au 4 A209 d+ Ann para algunos Ay, Az, Diremos que (v.03,..., v, | es un sistema generador (abreviadamente SG) de V si V << 01,03, .... Up >. Esto ocurre si y sólo si todo vector de Y es CL de los vectores 01,03, ..., Un. Dependencia e independencia lineal Un sistema de vectores v, , 19, .... Y, Se dice que es libre, o que los vectores que lo forman son linealmente indepen- dientes (LI), cuando la única CL de ellos que da como resultado el vector 0 es la CL en la que todos los escalares son mulos (diremos indistintamente que el sistema o los vectores son LI). Podemos expresarlo así: M01 + A209 he Apt 20541 = 42 =.....= A, =0. En caso contrario se dice que el sistema de vectores es ligado, o que los vectores que lo forman son linealmente dependientes (LD) (diremos indistintamente que el sistema o los vectores son LD). Esto ocurre cuando podamos encontrar alguna CL de los vectores que da cero, siendo algún escalar no nulo. Cambio de base Concretamente, si tomamos La matriz cambio de base nos relaciona las coordenadas de un vector en ambas bas un vector u € Y se tiene que upr= Mp pu. La matriz Mg pr es invertible y su inversa es My p. Si C es la base canónica entonces las columnas de Mp_¿ son los vectores de la base B, Mp,—Bs = Mpa—Ba + Mb Ba Ecuaciones de los subespacios Dado W < K" si llamamos A a la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones implícitas de W debe cumplirse que dim W+r(A) =0n. Suma e intersección de subespacios Las ecuaciones implícitas de UY junto con las de W constituyen unas ecuaciones implícitas de Up W al conjunto de vectores Lu + w tales que u € U y w € W) al que denotaremos por U + VW. dim(U 4 1) + dim(U NW) =dimU + dim W. Supongamos que tenemos dos subespacios vectoriales U,, U'a de un espacio vectorial V. Se dice que la suma de ambos subespacios (es decir, Uy + U>) es una suma directa cuando Uy NM Us = 0, es decir, cuando sólo tienen en somún el vector nulo. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt w ul. Wy Uy Y Op 001 E... e Op 1001 ortonormal La, al, y a +01 base ortogonal wa =Ua + 09101 0 —— . ww Wt wi [01 ,09, ..., Un] i wo; Subespacio ortogonal w- fu EVilv-w=0 Vw € W) Además se tiene que V =W 4 WY y que esta suma es directa Proyección ortogonal VWESwWw- UV] = QU] + 33d... OU au: lo llamaremos proyección ortogonal de y sobre W vo wa TA Wi + 0 Hd ww Wa Wa Wi 0 UR Aplicaciones lineales 2 Dada una aplicación f : Y — W entre dos espacios vectoriales Y y W se tiene que f es lineal si y sé fíou + Pu) =af(w) + Bf (o), para todo par de vectores u,v € Y y todo par de escalares a, 9 E XK. Si f: V => W es una aplicación lineal, entonces f(0,.) = Oy. Núcleo e imagen kerf =(vEVif(v) =0) Inf = (we W|3v € Y cumpliendo que f(v) =w) =(flvJv e VJ kerf <V | Imf<W dimker £ + dim Im f = dim V. f es un inyectiva si y sólo si ker f = 0. f es un suprayectiva si y sólo si dim Im f = dim W. f es un biyectiva si y sólo si dim Im f = dim W y ker f =0 Diremos que una tunción f es continua en un punto 7 cuando el punto está en el dominio, la tunción tiene límite finito) en el punto y el valor de la función y de su límite en el punto coinciden. Es decir: 1) zp € Domf (3 fl20)). 2) Existe el límite de f en xy (y es finito). 3) lim fa) = foo). 1=>10 Derivadas direccionales, derivadas parciales Plano tangente a una superficie Diferenciabilidad an) € Domf | v= (1... ) un vector no nulo de R” una función f: RU —E | un punto xq = (81, Do ft) lim Fx0 + tv) — f(20) lim Far +t01, 0... Op +40) — F(01 ; «o. A) Oo t a] t 2) la base canónica de IR” Sea f:R” —R | Lo = (a 41) € Domf | y C=fe,,.e2 (20 + te¡) (20) : : lim ¿(ro + tes) — fro) derivada parcial de f con respecto a +; en el punto xq 0 t tomamos la superficie determinada por la ecuación 2 = f(%,y) es posible obtener el plano tangente a la superficie en un punto (a. b) . of O 2 (a,b) + —(a,b)-(1 —a)+ ab)-(y —b) Fla,b) b) )+(a,d) (y) dx Oy Supongamos que tenemos un función f:iRS y to = (a,,49,...,a,) un punto del interior de Domf. Diremos que f es diferenciable en «y cuando existe una aplicación lineal Fl(a7....,4n) + (01, 22) — F(02, ..., dp) = T(21, .... 1) 0 Of (20) =dflanle) lim - Ox; 217: E n)>(0,...,0) T= dfíxo) la diferencial sería una aplicación lineal f= (fi. fm) ¿RU >R%- dflap) = (dfilz0), ... df (20) Propiedad: Si una función gr, gr f: 3s diferenciable en un punto + entonces existe la derivada direccional D,f(w() , 1 ) v = (61,82, ..., Un) de R” Divo Sab) = df (a,b) (v1.2) Aia + Le, b) -va 2) En Oy Si todas las derivadas parciales de f en + existen con valor finito entonces sabemos que de ser diferen- ciable f en el punto xy ocurriría que para cualquier vector (17, ..., 2) € se tendría que la diferencial de f en xp sería la función T': R” — ER definida por Matriz jacobiana Of y A. y. pr pam A) I=lhiofo): RR 2 Hato) Mom (df (20) Mery Ple o (ro) (m0) Esta matriz se llamará matriz jacobiana de f en xp, y la denotaremos por Jf(xo) Además cuando la función f es real (f : R* > R) la matriz jacobiana suele ponerse en forma de vector (fila o columna) Ds y — (20 Da o) y se le denomina también vector gradiente de f en 0 (denotándolo también por Y (x0)). / 2 : Rp, y por tanto se puede realizar la composición gor: RS p? Mago fUQ) = IO) TO) Cambios de coordenadas Imaginemos que tenemos una función g: O CR" >R” n) y que realizamos un cambio a las coordenadas (tz, ,) = Blu Un) Jus To Ta que depende de las variables o coordenadas (01, Supongamos que el cambio está dado por la función (+1 q Din Du Taylor en varias variables Der d 0 fla,b) a cto + ty Ux Uy Derivadas de funciones definidas de forma implícita si una función F (7, atisface 1. Fíxo.yo. 2. FeC! en un entorno del punto (+0, Yo, 20) (xo, yo, 20) 4 0. Existe en este caso una función 2 = f(x. y) de clase C! en un entorno del punto (xo. Yo). cuyas derivadas parciales vienen dadas por las expresiones Extremos relativos Sea fÍ y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que: e La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(=,y) > f(a,b). e La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a,b) si en un entorno del punto: f(x, y) € f(a,b). Puntos críticos Sea f(x, y) una función definida sobre el conjunto R del que (a,b) es un punto interior. Se dice que (a, b) es un punto crítico de f si en dicho punto se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Criterio de las primeras derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Una función definida sobre un abierto sólo puede alcanzar extremos relativos en los puntos críticos, es decir, donde se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Matriz hessiana Dada una función f diferenciable dos veces en el punto (a,b), se llama matriz hessiana de f en (a,b) a la matriz: fesla.b) fyy(a,b) ( fuela.b) fla.) ) Criterio de las segundas derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto (a, b) Hy(a.b) que es crítico (f, (a. b) (a.b) =0). Entonces: + Si |Hj(a,D)| >0 y firla,b) >0, f tiene un mínimo relativo en (a,b). e Si|Hf(a.b)| >0 y fezla.b) <0, f tiene un máximo relativo en (a,b). e Si |Aj(a,b)| <0, f tiene un punto de silla en (a,b). e Si |Hy(a.b)| =0, este criterio no lleva a ninguna conclusión. Extremos absolutos Sea Fl ,) una función definida sobre el conjunto R. Se dice que: e La función f alcanza un mínimo absoluto en el punto (a,b) si: f( Y) 2 f(a,b), para todo (uy) € + La función f alcanza un máximo absoluto en el punto (a,b) si: f(w, y) < f(a.b), para todo (».y) € Para la existencia de extremos absolutos se considera el teorema de Weierstrass: toda función continua definida sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Para determinar los extremos absolutos hay que tener en cuenta que se pueden alcanzar tanto en los extremos relativos como en la frontera del dominio de definición. El método de los multiplicadores de Lagrange Tres variables y una o dos ligaduras. Para hallar el extremo absoluto de f(x,y) sometido a las estricciones q, (1, y, 2 =0 y ga(a.y,2) = 0. se procede asf: =$ Se considera la función Flzx.y, 292) + Ag [2.9,2) + Agulo, y, 2) y se resuelve el sistema: Se evalúa f en cada solución del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el máximo y el mínimo de f, respectivamente, condicionados a las ligaduras.