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¡Descarga Algebra de Boole y más Monografías, Ensayos en PDF de Álgebra solo en Docsity! Algebra de Boole Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales 2008 Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole Los sistemas digitales emplean generalmente señales que pueden adoptar dos estados bien diferenciados donde (en teoría) pueden ser referenciados a dos niveles de alguna condición física tal como corriente ó tensión (circuitos integrados), campo eléctrico (memorias EEPROM, FLASH), campo magnético (diskettes, cintas magnéticas), condición óptica (CD, DVD), etc.. Consecuentemente es posible representar datos binarios e interrelacionarlos a través de algún grupo de reglas. El ALGEBRA DE BOOLE es un formalismo que conlleva a la creación de FUNCIONES LÓGICAS donde las mismas relacionan una variable binaria de salida con una o mas de entrada. Dichas funciones se basan en una serie de postulados y teoremas que imponen las reglas de juego entre dichas variables. Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole CONECTIVIDADES DE UNA SOLA VARIABLE Son 4: F=0 (ó Falso), F=1 (ó Verdadero), F=A, F=Ā ó NOT A (negación de A: Si A=0
F=1 y viceversa). CONECTIVIDADES DE DOS VARIABLES Son 16, de las cuales las mas relevantes son: A B F = A F = F = B F = F = 0 F = 1 F = A • B ó A AND B F = A + B ó A OR B F = A • B ó A NAND B F = A + B ó A NOR B F = A ⊕ B ó A OR-Exclusiva B F = A ⊕ B ó A NOR-Exclusiva B Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Bolee Métodos de representación de funciones lógicas •Ecuaciones Lógicas ó booleanas. •Tabla de verdad. •Operadores lógicos gráficos (compuertas). •Diagramas de Karnaugh (método gráfico). •Diagramas de Venn (método gráfico). •Representación temporal. Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: 1 0 AF 11 01 1 0 B 0 0 AF 001 101 011 111 1 0 1 0 C 10 10 0 0 B 0 0 AF Si una función tiene “n” variables de entrada existirán 2n combinaciones diferentes entre las mismas. n=1
2 n=2
4 n=3
8 n=4
16 etc…… Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole Tablas de verdad de funciones de 1, 2 y 3 variables: EJEMPLOS: AND OR OR-EXCL. 0010 1010 0110 1111 1 0 1 0 C 100 100 0 0 B 00 00 AF 0011 1011 0111 1111 1 0 1 0 C 101 101 0 0 B 01 00 AF 0011 1010 0110 1111 1 0 1 0 C 100 101 0 0 B 01 00 AF Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole Operadores lógicos gráficos (compuertas) NOT OR NOR AND NAND OR-EXCL. NOR-EXCL. Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole ECUACIONES LÓGICAS PROPIEDADES: A + 1 = 1; A ● 1 = A; A + 0 = A; A ● 0 = 0; A ● A = A; A + A = A; A • /A = 0; A + /A = 1 [Negar un nº par de veces a A] = A [Negar un nº impar de veces a A] = /A A + A • B = A; A • (A + B) = A; DISTRIBUTIVA
A ● (B + C) = A ● B + A ● C A + B ● C = (A + B) ● (A + C) CONMUTATIVA
A ● B = B ● A; C + H = H + C Teorema de De Morgan A + B = A ● B A ● B = A + B Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole A + B
A • B ó A + B A + B
A • B ó A + B A • B
A • B ó A + B A • B
A • B ó A + B A
A • 1 ó A + 0 Implementación de funciones lógicas: Todo NAND Todo NOR Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole A B C A B C A B C A B C t t t t t t REPRESENTACIÓN TEMPORAL COMPUERTA OR COMPUERTA AND COMPUERTA IDEAL COMPUERTA IDEAL Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole A B C A B C A B C A B C t t t t t t REPRESENTACIÓN TEMPORAL COMPUERTA NOR COMPUERTA NAND COMPUERTA IDEAL COMPUERTA IDEAL Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole E A B A B= ⋅ + ⋅ E m m= = ∑∑( , ) ( , )1 2 12 J P Q R P Q R P Q R= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ J m m m= = ∑∑( , , ) ( , , )1 2 7 12 7 FUNCIÓN CANÓNICA DE 3 VARIABLES FUNCIÓN CANÓNICA DE 2 VARIABLES FUNCIÓN CANÓNICA DE PRIMERA FORMA EJEMPLOS: DIAGRAMAS DE KARNAUGH Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole FUNCIÓN CANÓNICA DE 3 VARIABLES FUNCIÓN CANÓNICA DE 2 VARIABLES FUNCIÓN CANÓNICA DE SEGUNDA FORMA EJEMPLOS: T E F E F E F= + ⋅ + ⋅ +( ) ( ) ( ) ∏ ∏== )3,2,0()3,2,0( MMMT A B C D= + +( ) ∏ ∏== )2()2(MA DIAGRAMAS DE KARNAUGH Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole CONVERSIÓN A FUNCIÓN CANÓNICA DE PRIMERA FORMA F A B C= + ⋅ F = A ( /B/C + /BC + B/C + BC) + BC ( /A + A) F = A/B/C + A/BC + AB/C + ABC + ABC + /ABC F = /ABC + A/B/C + A/BC + AB/C + ABC Convertir la siguiente función: DIAGRAMAS DE KARNAUGH Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole DIAGRAMAS DE KARNAUGH A B A B 1 A B1 A B0 0A B B B A A PRIMERA FORMA: 2 VARIABLES 0 1 2 3 CADA MINTÉRMINO TIENE UN LUGAR ASIGNADO DENTRO DEL DIAGRAMA DE KARNAUGH Este número indica la posición del mintérmino Este número indica si la variable en la columna está negada o nó. Este número indica si la variable en la fila está negada o nó. Aquí indica que la variable B está en toda la columna sin negar Aquí indica que la variable A está en toda la fila sin negar Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole DIAGRAMAS DE KARNAUGH ABC ABC 10 ABC ABC 11 ABC ABC 01 ABC1 ABC0 00A BC BC BC BC BC A A PRIMERA FORMA: 3 VARIABLES 0 1 23 4 5 67 Para armar cualquier Diagrama de Karnaugh los casilleros contiguos verticales u horizontales deben contener mintérminos adyacentes, es decir, donde sólo cambie una variable entre uno y otro. Son adyacentes ya que sólo cambia la variable A . NO son adyacentes cambian las variables A y C . Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole ABCDABCDABCDABCD10 ABCDABCDABCDABCD11 ABCD ABCD 01 ABCD ABCD 11 ABCD ABCD 10 ABCD01 ABCD00 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES 0 1 23 4 5 67 8 9 1011 12 13 1415 DIAGRAMAS DE KARNAUGH Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 000010 000011 1 1 01 1 1 11 1 1 10 101 100 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH Representación de funciones en general La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F = /A Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 11 1 1 10 111 111 0 0 01 0 0 11 0 0 10 0 01 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH Representación de funciones en general La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F = A Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 00 0 0 10 111 111 1 0 01 1 0 11 1 0 10 1 01 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH Representación de funciones en general La unión de todos estos mintérminos no dan la función: F = B Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 00 0 0 10 000 011 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 01 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH Representación de funciones en general Esta operación de “intersección” toman los términos comunes de las variables /A y C. Esto dá: F = A ● C Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 111110 111111 0 0 01 1 0 11 1 0 10 001 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EN GENERAL Ejemplo: A + B C B C A Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 010110 101011 0 1 01 1 0 11 0 1 10 101 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB DIAGRAMAS DE KARNAUGH F = /A /B /C D + /A /B C /D + /A B /C /D + /A B C D A B /C D + A B C /D + A /B /C /D + A /B C /D = /A /B (/C D + C /D) + A B (/C D + C /D) + /A B (/C /D + C D) + A /B (/C /D + C D) = /A /B (C ⊕ D) + A B (C ⊕ D) + /A B (C Θ D) + A /B (C Θ D) = (C ⊕ D) [/A /B + A B] + (C Θ D) [/A B + A /B] = (C ⊕ D) [A Θ B] + (C Θ D) [A ⊕ B] = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D ESTRUCTURAS PARTICULARES Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole DIAGRAMAS DE KARNAUGH A B A B 1 A B1 A B0 0A B B B A A SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 0 1 2 3 SI SE TOMAN DOS MINTÉRMINOS ADYACENTES EN EL DIAGRAMA SE ELIMINA UNA VARIABLE EJEMPLO 3: /A B + A B = B EJEMPLO 2: /A /B + A /B = /B A B A B 1 A B1 A B0 0A B B B A A 0 1 2 3 Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole DIAGRAMAS DE KARNAUGH A B A B 1 A B1 A B0 0A B B B A A SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 0 1 2 3 SI SE TOMAN DOS MINTÉRMINOS ADYACENTES EN EL DIAGRAMA SE ELIMINA UNA VARIABLE EJEMPLO 1: /A /B + /A B = /A EJEMPLO 2: A /B + A B = A A B A B 1 A B1 A B0 0A B B B A A 0 1 2 3 Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole DIAGRAMAS DE KARNAUGH ABC ABC 10 ABC ABC 11 ABC ABC 01 ABC1 ABC0 00A BC BC BC BC BC A A PRIMERA FORMA: 3 VARIABLES 0 1 23 4 5 67 SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES SI SE TOMAN DOS MINTÉRMINOS ADYACENTES EN EL DIAGRAMA SE ELIMINA UNA VARIABLE. EJEMPLO 1: /A /B /C + A /B /C = /B /C. SI SE TOMAN CUATRO, SE ELIMINAN DOS VARIABLES EJEMPLO 2: /A /B /C + A /B /C + /A /B C + A /B C = /B Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole ABCDABCDABCDABCD10 ABCDABCDABCDABCD11 ABCD ABCD 01 ABCD ABCD 11 ABCD ABCD 10 ABCD01 ABCD00 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES 0 1 23 4 5 67 8 9 1011 12 13 1415 DIAGRAMAS DE KARNAUGH SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Tomando estos 8 se tiene “/A” Tomando estos 8 se tiene “A” Tomando estos 8 se tiene “D” Cómo se obtiene “/D” ? Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole 111110 111111 0 0 01 1 0 11 1 0 10 001 000 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB PRIMERA FORMA: 4 VARIABLES DIAGRAMAS DE KARNAUGH Ejemplo: Simplificar la función A /C + A /B + /A B C + A C B C A SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES RESULTADO: A + B C Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole XX0X10 X10X 11 0 0 01 0 X 11 0 0 10 101 X00 00AB CD CD CD CD CD AB AB AB AB DIAGRAMAS DE KARNAUGH ESTRUCTURAS CON “DON´T CARE” F = /C /D + A C ESTA “X” LA DEJO EN “0”. LAS DEMÁS EN “1” Son funciones que son incompletamente definidas (hay combinaciones de variables que no se utilizan en la función). SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole RIESGOS DE TEMPORIZACIÓN 10 1 1 11 1 01 11 0 00A BC BC BC BC BC A A 0 1 23 4 5 67 En el Karnaugh de la salida se puede apreciar como los términos marcados con “rojo” ( A • /B) y “amarillo” ( B • C) si en algún momento son ambos “0” la salida también lo será. Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole RIESGOS DE TEMPORIZACIÓN 10 1 1 11 1 01 11 0 00A BC BC BC BC BC A A 0 1 23 4 5 67 A B C D E F/B Con esta estructura aunque redundante se evita que ocurra el riesgo de “1” ya que la compuerta adicional evita que el retardo del negador pueda dar una falsa respuesta. Solución: Sergio Noriega – Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2008 Algebra de Boole Riesgo estático de “0”: Una salida que debe tener un estado lógico final “0” puede momentáneamente ponerse a “1” si se dá que hay al menos dos fuentes concurrentes que habilitan un “0” y una de ellas difiere temporalmente en su respuesta respecto de la otra. RIESGOS DE TEMPORIZACIÓN A B C D E