Álgebra I: resúmen completo, Apuntes de Álgebra

¡Descarga Álgebra I: resúmen completo y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity! UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática ÁLGEBRA I Teresa Krick –2017– Índice general Prefacio 1 1 Conjuntos, Relaciones y Funciones. 9 1.1 Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusión. . . 9 1.1.2 Operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Tablas de verdad de la lógica proposicional. . . . . . . 17 1.1.4 Producto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Relaciones en un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Funciones biyectivas y función inversa. . . . . . . . . . 35 1.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Números Naturales e Inducción. 49 2.1 La suma de Gauss y la serie geométrica. . . . . . . . . . . . . 50 2.1.1 La suma de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.2 La serie geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Sumatoria y Productoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Sumatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Productoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 El conjunto inductivo N y el principio de inducción. . . . . . 55 2.3.1 Inducción “corrida”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4 Sucesiones definidas por recurrencia. . . . . . . . . . . . . . . 62 5 8 ÍNDICE GENERAL 7.1.1 Operaciones en K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.1.2 Divisibilidad, Algoritmo de División y MCD en K[X] . 240 7.1.3 El Teorema Fundamental de la Aritmética para Poli- nomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.2 Evaluación y Ráıces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.2.1 Multiplicidad de las ráıces. . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.2.2 Cantidad de ráıces en K . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.2.3 Cálculo de ráıces en Q de polinomios en Q[X] . . . . . 253 7.3 Factorización en K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.3.1 Polinomios cuadráticos en K[X] . . . . . . . . . . . . . 256 7.3.2 Polinomios en C[X] y el Teorema Fundamental del Álgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3.3 Polinomios en R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.3.4 Polinomios en Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Caṕıtulo 1 Conjuntos, Relaciones y Funciones. 1.1 Conjuntos. 1.1.1 Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusión. Definición 1.1.1. (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no. Ejemplos: • A = {1, 2, 3} , B = {4,} , C = {1, {1}, {2, 3}} . • N = {1, 2, 3, 4, . . . } el conjunto de los números naturales. • Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } el conjunto de los números enteros. • Q = {a b ; a ∈ Z, b ∈ N} el conjunto de los números racionales. • R el conjunto de los números reales, C el conjunto de los números complejos. • ∅ o { } el conjunto vaćıo, o sea el conjunto que no posee ningún elemento. Observación 1.1.2. El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto no se tiene en cuenta repeticiones de elementos. 9 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Se dice que cada elemento a de un conjunto A pertenece al conjunto A , y se nota a ∈ A . Si un objeto b no pertenece al conjunto A , se nota b /∈ A . Ejemplos: • Sea A = {1, 2, 3} : 1 ∈ A , 2 ∈ A , 4 /∈ A , {1, 2} /∈ A , ∅ /∈ A . • Sea B = {2, {1}, {2, 3}} : {1} ∈ B , {2, 3} ∈ B , 1 /∈ B , 3 /∈ B . Para notar los conjuntos se suele reservar letras mayúsculas: A , B , . . . , X , Y , . . . , U , V , . . . Las definiciones comunes de un conjunto son por extensión (listando todos los elementos del conjunto entre las llaves { y } , cuando es posible hacerlo, o sea cuando el conjunto es finito) y por comprensión (a través de una propiedad que describe los elementos del conjunto, pero usualmente para eso se necesita la noción de subconjunto porque hay que dar un conjunto referencial, de donde se eligen los elementos). También presentamos en forma informal los conjuntos infinitos N y Z usando los puntos suspensivos . . . , aunque esto no es muy riguroso: se puede dar una definición formal del conjunto N sin usar . . . , y a partir de ello definir Z y Q . El conjunto R se supone “conocido”, aunque para él también se puede dar una construcción rigurosa (que no se verá en esta materia), y a través de R se puede definir C facilmente. Los conjuntos se suelen representar gráficamente por los llama- dos diagramas de Venn (por el lógico y filósofo británico John Archibald Venn, 1834–1923): simplemente se utiliza una cir- cunferencia para representar el conjunto, y eventualmente en el interior sus elementos. Aqúı, está por ejemplo representado por medio de un diagrama de Venn un conjunto cuyos elementos son poĺıgonos. Definición 1.1.3. (Subconjuntos e Inclusión.) Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto B está contenido en A , y se nota B ⊆ A (o también B ⊂ A ), si todo elemento de B es un elemento 1.1. CONJUNTOS. 13 Representación de Venn del complemento: Unión ∪ : Sean A,B subconjuntos de un conjunto referencial U . La unión de A y B es el conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B . Es decir A ∪B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}. Notemos que este “o” involucrado en la definición de la unión es no exclu- yente, es decir si un elemento está en A y en B , está en la unión por estar en al menos alguno de los dos. Ejemplos: • Si A = {1, 2, 3, 5, 8} y B = {3, 4, 5, 10} ⊆ U = {1, . . . , 10} , entonces A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10} . • Si I = {x ∈ R : x ≤ 2} = (−∞, 2] y J = {x ∈ R : −10 ≤ x < 10} = [−10, 10) ⊆ U = R , entonces I ∪ J = {x ∈ R : x < 10} = (−∞, 10) . • Cualesquiera sean A y B , se tiene A∪B = B ∪A (conmutatividad), A ∪ ∅ = A , A ∪ U = U , A ∪Ac = U . Probemos por ejemplo la afirmación A∪Ac = U : Hay que probar las dos inclusiones A ∪Ac ⊆ U y U ⊆ A ∪Ac . – A ∪Ac ⊆ U : Sea x ∈ A ∪ Ac ; si x ∈ A entonces x ∈ U pues A ⊆ U , y si x ∈ Ac , entonces x ∈ U pues Ac ⊆ U ; por lo tanto A ∪Ac ⊆ U . – U ⊆ A ∪Ac : Sea x ∈ U ; entonces x ∈ A o x /∈ A . Si x ∈ A , entonces x ∈ A ∪ Ac , y si x /∈ A , por definición x ∈ Ac y luego x ∈ A ∪Ac ; por lo tanto U ⊂ A ∪Ac . Representación de Venn de la unión: 14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Intersección ∩ . Sean A,B subconjuntos de un conjunto referencial U . La intersección de A y B es el conjunto A∩B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B . Es decir A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}. Ejemplos: • Sean A = {1, 2, 3, 5, 8}, B = {3, 4, 5, 10} ⊆ U = {1, . . . , 10} . Entonces A ∩B = {3, 5} . • Sean I = {x ∈ R : x ≤ 2} = (−∞, 2], J = {x ∈ R : −10 ≤ x < 10} = [−10, 10) ⊆ U = R . Entonces I ∩ J = {x ∈ R : −10 ≤ x ≤ 2} = [−10, 2] . • Cualesquiera sean A y B , se tiene A∩B = B ∩A (conmutatividad), A ∩ ∅ = ∅ , A ∩ U = A , A ∩Ac = ∅ . Cuando A ∩B = ∅ , se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Representación de Venn de la intersección: Podemos notar que a diferencia del complemento, la unión y la intersección no dependen del conjunto referencial U , siempre que A y B estén inclúıdos en U . Proposición 1.1.6. (Leyes de De Morgan y distributivas.) Sean A,B,C conjuntos dentro de un conjunto referencial U . Entonces • Leyes de De Morgan, por el matemático británico Augustus De Morgan, 1806-1871: (A ∪B)c = Ac ∩Bc y (A ∩B)c = Ac ∪Bc. • Leyes distributivas: A ∩ (B ∪ C) = (A∩B)∪(A∩C) y A ∪ (B ∩ C) = (A∪B)∩(A∪C). 1.1. CONJUNTOS. 15 Demostración. Haremos la demostración de (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc en forma directa, y la demostración de A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) con los diagramas de Venn (donde es necesario explicitar todos los pasos). Las otras demostraciones quedan para el lector. • (A ∪B)c = Ac ∩Bc : Tenemos que probar la doble inclusión. – (A ∪B)c ⊆ Ac ∩ Bc : Sea x ∈ (A ∪ B)c . Entonces x /∈ A ∪ B . Como A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B} , x /∈ A y x /∈ B , es decir x ∈ Ac y x ∈ Bc , y por lo tanto x ∈ Ac ∩Bc . – Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c : Sea x ∈ Ac ∩ Bc . Entonces x ∈ Ac y x ∈ Bc . Es decir x /∈ A y x /∈ B , lo que significa que x no está ni en A ni en B , por lo tanto no está en la unión: x /∈ A ∪ B . O sea x ∈ (A ∪B)c . • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) : (Esta demostración con diagrama de Venn es válida porque solo invo- lucra tres conjuntos y el diagrama expresa todas las posibilidades de pertenencia de elementos en esos tres conjuntos (8 posibilidades: x en A pero no en B ni en C , x en A y en B pero no en C , x en nin- guno de los tres conjuntos, etc.). Si fueran 4 conjuntos, no hay forma en un dibujo de expresar todas las posibilidades para un elemento x , que son en ese caso 16, pero esto se arregla con las tablas de verdad como veremos enseguida.) De las operaciones básicas se derivan las operaciones siguientes: Diferencia − : A−B := A ∩Bc , es decir x ∈ A−B ⇐⇒ x ∈ A y x ∈ Bc ⇐⇒ x ∈ A y x /∈ B. 18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Notemos que la proposición p es verdadera si y sólo el elemento x de U pertenece al subconjunto A , y del mismo modo,la proposición q es verda- dera si y sólo el elemento x de U pertenece al subconjunto B . Dado un elemento x ∈ U cualquiera, puede pertenecer a A o no. Esto describe dos posibilidades para cualquier elemento de U . Ahora bien, si tenemos dos conjuntos A,B ⊆ U , hay 4 posibilidades para un x ∈ U : estar en A y en B , no en A pero śı en B , en A pero no en B , y finalmente ni en A ni en B . Aśı describimos todas las posibilidades para un elemento “genérico” de U . Las tablas de verdad de las operaciones de conjuntos se corresponden con las tablas de verdad de los conectores lógicos de la manera siguiente: Tablas de verdad de las operaciones de conjuntos: • Complemento: El complemento Ac de A en U se corresponde con ¬p . • Unión: La unión A ∪B se corresponde con p ∨ q . • Intersección: La intersección A ∩B se corresponde con p ∧ q . • Diferencia simétrica: La diferencia simétrica P 4 Q se corresponde con p Y q . • Inclusión: La inclusión A ⊆ B se corresponde con p⇒ q . • Igualdad: La igualdad A = B se corresponde con p⇔ q . A Ac V F F V A B A ∪B V V V F V V V F V F F F A B A ∩B V V V F V F V F F F F F A B A4B V V F F V V V F V F F F A B A ⊆ B V V V F V V V F F F F V A B A = B V V V F V F V F F F F V . Ejemplos: (de afirmaciones sobre conjuntos por medio de tablas) • La tabla de la diferencia A − B se obtiene de la definición A − B = A ∩Bc : A B Bc A ∩Bc = A−B V V F F F V F F V F V V F F V F . 1.1. CONJUNTOS. 19 • Retomemos la primer ley de de Morgan, que demostramos más arriba, (A ∪B)c = Ac ∩Bc : A B A ∪B (A ∪B)c Ac Bc Ac ∩Bc V V V F F F F F V V F V F F V F V F F V F F F F V V V V . Se observa que las columas correspondientes a (A∪B)c y a Ac ∩Bc son exactamente las mismas, o sea los elementos pertenecen a (A∪B)c si y solo si pertenecen a Ac∩Bc . Luego los dos conjuntos son iguales. • A ∩B ⊆ (B − C) ∪ (A ∩ C) : A B C A ∩B B − C A ∩ C (B − C) ∪ (A ∩ C) A ∩B ⊆ (B − C) ∪ (A ∩ C) V V V V F V V V F V V F F F F V V F V F F V V V F F V F F F F V V V F V V V V V F V F F V F V V V F F F F V V V F F F F F F F V . Vemos que la columna correspondiente a la inclusión es Verdadera siempre, lo que implica que es verdad que A∩B ⊆ (B−C)∪ (A∩C) . • Ac ∩B = B ⇒ A ∩B = ∅ : A B Ac Ac ∩B A ∩B V V F F F V V V F V F F F F F F V F F . Comparando la 2da y la 4ta columna, se ve que Ac ∩B = B cuando no se está en la 1er fila, o sea cuando no se está en el caso de algún x ∈ A , x ∈ B . Por lo tanto esta fila no cumple con la hipótesis y se la olvida. Para las demás filas, A ∩ B da siempre Falso, es decir, no existe ningún elemento x ∈ A ∩B . Por lo tanto A ∩B = ∅ . 20 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. 1.1.4 Producto cartesiano. El nombre producto cartesiano fue puesto en honor al matemático, f́ısi- co y filósofo francés René Descartes, 1596-1650. El plano euclideo R2 = {(x, y); x, y ∈ R} representado mediante los ejes cartesianos es el plano donde constantemente dibujamos los gráficos de las funciones. Definición 1.1.7. (Producto cartesiano.) Sean A,B conjuntos. El producto cartesiano de A con B , que se nota A×B , es el conjunto de pares ordenados A×B := {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Ejemplos: • Sean A = {1, 2, 3} , B = {a, b} . Entonces A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, B ×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, B ×B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. • Si A = B = R , entonces R× R es el plano real R2 . • A× ∅ = ∅ , ∅ ×B = ∅ . • Si A 6= B son ambos no vaćıos, entonces A×B 6= B ×A . • Sean A ⊆ U , B ⊆ V entonces A × B ⊆ U × V . Analizar si vale (A×B)c = Ac ×Bc . De la misma forma se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos A1, . . . , An como el conjunto de n -uplas ordenadas: A1 × · · · ×An := {(x1, . . . , xn) : x1 ∈ A1, . . . , xn ∈ An}. 1.2. RELACIONES. 23 Sin embargo, cuando el conjunto A es finito (como en este caso), una rela- ción R en A se puede representar también por medio de un grafo dirigido, o sea un conjunto de puntos (llamados vértices, que son los elementos del conjunto A ) y un conjunto de flechas entre los vértices, que se corresponden con los elementos relacionados: se pone una flecha (que parte de x y llega a y ) para cada elemento (x, y) ∈ R , es decir cada vez que xR y . Ejemplos: La teoŕıa de grafos juega un rol esencial en matemática y computación Las relaciones en un conjunto dado son particularmente importantes, y al- gunas de las propiedades que pueden cumplir merecen un nombre. Definición 1.2.3. (Relación reflexiva, simétrica, antisimétrica y tran- sitiva.) Sean A un conjunto y R una relación en A . • Se dice que R es reflexiva si (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A (dicho de otra manera, xRx, ∀x ∈ A ). En términos del grafo de la relación, R es reflexiva si en cada vértice hay una flecha que es un “bucle”, es decir que parte de él y llega a él. • Se dice que R es simétrica si cada vez que un par (x, y) ∈ R , en- tonces el par “simétrico” (y, x) ∈ R también (dicho de otra manera, ∀x, y ∈ A, xR y ⇒ yRx ). En términos del grafo de la relación, R es simétrica si por cada flecha que une dos vértices en un sentido, hay una flecha (entre los mismos vértices) en el sentido opuesto. • Se dice que R es antisimétrica si cada vez que un par (x, y) ∈ R con x 6= y , entonces el par (y, x) /∈ R (dicho de otra manera, ∀x, y ∈ A, xR y e yRx ⇒ x = y ). En términos del grafo de la relación, R es antisimétrica si no hay ningún par de flechas en sentidos opuestos que unen dos vértices distintos. 24 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. • Se dice que R es transitiva si para toda terna de elementos x, y, z ∈ A tales que (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R , se tiene que (x, z) ∈ R también (dicho de otra manera, ∀x, y, z ∈ A, xR y e yR z ⇒ xR z ). En términos del grafo de la relación, R es transitiva si hay un “camino directo” por cada “camino con paradas”. Ejemplos: • La relación R8 de arriba es reflexiva, pero no es simétrica ni anti- simétrica, y tampoco transitiva como se ve en el grafo arriba: están todos los “bucles” (es reflexiva), está por ejemplo la flecha a→ b pero no la vuelta b→ a (no es simétrica), están las flechas a→ d y d→ a (no es antisimétrica) y están las flechas c → d y d → a pero no el camino corto c→ a (no es transitiva). • R6 es reflexiva, pues ∀x ∈ R , se tiene xR6 x pues x2 = x2 . Es simétrica pues ∀x, y ∈ R , se tiene que si xR6 y , es decir x2 = y2 , entonces y2 = x2 , es decir yR6 x . No es antisimétrica pues no es cierto que xR6 y e yR6 x implica x = y : por ejemplo para x = 1 e y = −1 se tiene x2 = y2 e y2 = x2 . Y es transitiva pues ∀x, y, z ∈ R , x2 = y2 e y2 = z2 implica x2 = z2 . ¿Cómo se ve que una relación es reflexiva en la representación gráfica del producto cartesiano? ¿Y simétrica? ¿Puede ser una relación simétrica y antisimétrica a la vez? Si śı, ¿en qué caso? • = en A , con A un conjunto, es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. • ≤ en R es una relación reflexiva pues para todo x ∈ R , se tiene x ≤ x , no es simétrica pues en general x ≤ y no implica y ≤ x : por ejemplo para x = 1 e y = 2 . Pero es antisimétrica pues si x ≤ y e y ≤ x , entonces x = y . Y es transitiva pues x ≤ y e y ≤ z implica x ≤ z . • Mostrar que ⊆ en P(A) es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. • R7 no es reflexiva, pues ∃x ∈ R tal que x 6R7 x , es decir x 6= x2 (por ejemplo x = 2 ). Tampoco es simétrica porque x = y2 no implica en general y = x2 (por ejemplo para x = 4, y = 2 ). ¿Es antisimétrica? Supongamos x, y ∈ R tales que x = y2 e y = x2 , por lo tanto x = x4 , lo que implica x(x3 − 1) = 0 , es decir x = 0 o x = 1 (por estar en R , ¡ojo!), y luego en el caso x = 0 se tiene y = x2 = 02 = 0 = x , y en el caso x = 1 se tiene y = x2 = 12 = 1 = x también, o sea es 1.2. RELACIONES. 25 antisimétrica nomás. Finalmente R7 no es transitiva pues x = y2 e y = z2 implica x = z4 que no es igual a z2 en general, por ejemplo tomando x = 16 , y = 4 , z = 2 . Definición 1.2.4. (Relación de equivalencia y relación de orden.) Sean A un conjunto y R una relación en A . • Se dice que una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia cuando es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. • Se dice que una relación R en un conjunto A es una relación de orden cuando es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplos: • Las relaciones = en un conjunto A y R6 en R son relaciones de equivalencia, las relaciones ≤ en R y ⊆ en P(A) son relaciones de orden. • La relación ∼ descrita con el grafo siguiente es una relación de equi- valencia, pues en cada uno de los subgrafos formados, están todas las flechas posibles (cada subgrafo es “completo”). Las relaciones de equivalencia juegan un rol muy importante en matemáti- ca, porque de algún modo funcionan como una generalización de la igualdad (que es el ejemplo más simple de relación de equivalencia): clasifican, a través de las clases de equivalencia, a los elementos del conjunto en subcon- juntos donde se los considera “iguales” en algún sentido. Veamoslo primero en un ejemplo. Ejemplo: Sea la relación ∼ siguiente en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} : x ∼ y si al dividir x y y por 3 tienen el mismo resto. Por ejemplo 1 ∼ 4 pues al dividirlos por 3 tienen resto 1 , y 6 ∼ 9 porque al dividirlos por 3 ambos tienen resto 0 . El grafo de la relación es: 28 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Ejemplos: • Para la relación = en A , las clases de equivalencia son simplemente x = {x} , y para la relación R6 en R , las clases de equivalencia son x = {x,−x} , ∀x ∈ R , o sea todas las clases tienen dos elementos de la forma ±x , salvo la clase del 0 que tiene solo el elemento 0 . Esta relación clasifica a los números reales según su módulo. En cada clase podemos elegir un representante, es decir un elemento en la clase que “representa” la clase: por ejemplo aqúı podemos elegir en casa clase al x ≥ 0 como representante. • Miremos el conjunto L de las rectas del plano, con relación de equiva- lencia // (ser paralelo). Cada clase consiste de rectas todas paralelas entre śı. Esta relación clasifica a las rectas según su dirección. En cada clase de rectas paralelas podemos elegir como representante la recta que pasa por el 0 . • Si uno quiere describir el conjunto Q de números racionales sin re- petir elementos, la forma correcta de hacerlo es por medio de las clases de equivalencia de la siguiente relación ∼ en Z × N : Dados (k1, n1), (k2, n2) ∈ Z× N , (k1, n1) ∼ (k2, n2) ⇐⇒ k1n2 = k2n1. Verificar que es una relación de equivalencia. Se tiene (k1, n1) ∼ (k2, n2) ⇔ k1n1 = k2 n2 , o sea k1n1 y k2 n2 determinan el mismo número racional: todos los elementos de una clase de equivalencia (k, n) da- da determinan el mismo número racional kn . En cada clase podemos elegir como representante el par (k, n) con k y n coprimos. Proposición 1.2.8. (Relaciones de equivalencia y particiones.) Sea A un conjunto. Hay una manera natural de asociarle a una relación de equivalencia en A una partición de A . Rećıprocamente, a toda partición se le puede asociar una relación de equivalencia, y estas asociaciones son inversas una de la otra. Demostración. Si ∼ es una relación de equivalencia, como vimos anterior- mente podemos considerar las clases de equivalencia de los elementos de A . Cada clase de equivalencia es un subconjunto, y dos de estos subcon- juntos distintos son disjuntos. Como el conjunto es la unión de las clases, obtenemos una partición. Rećıprocamente, dada una partición, definimos la relación ∼ de la siguiente manera: x ∼ y si y sólo si x e y están en el mismo subconjunto. Es fácil ver que esto da una relación de equivalencia. También es fácil ver que estas 1.3. FUNCIONES. 29 asignaciones son una la inversa de la otra, en el sentido de que si empezamos con una relación de equivalencia, miramos la partición asociada, y la relación asociada a esta partición, recuperamos la relación original. Asimismo, si empezamos con una partición, miramos la relación de equivalencia asociada, y la partición que tiene esta relación, recuperamos la partición original. 1.3 Funciones. En esta sección volvemos a considerar relaciones de un conjunto A en un conjunto B y formalizamos la noción de función, que todos sabemos que es una asignación que a cada elemento de un conjunto de partida A le hace corresponder algún elemento de un conjunto de llegada B . Como por ejemplo la famosa función cuadrática: Definición 1.3.1. (Función.) Sean A y B conjuntos, y sea R una relación de A en B . Se dice que R es una función cuando todo elemento x ∈ A está relacionado con algún y ∈ B , y este elemento y es único. Es decir: ∀x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : xR y. Aqúı el śımbolo “∃ ! ” significa “existe un único”, es decir: ∀x ∈ A, ∃ y ∈ B tal que xR y, y si y, z ∈ B son tales que xR y y xR z, entonces y = z. Como a cada x ∈ A le corresponde un y ∈ B y este y es único, se le puede dar un nombre que hace notar que y depende de x : se dice que y es la imagen de x por f , y se suele notar “y = f(x) ”, que es la forma usual en la que conocemos a las funciones; se nota “f : A → B ” a una función del conjunto A en el conjunto B . 30 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Ejemplos: • La relación de A = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {1, 4, 7, 23} descrita por el diagrama siguiente es una función, la función f1 : A→ B que satisface f1(1) = 1 , f1(2) = 1 , f1(3) = 23 , f1(4) = 4 y f1(5) = 4 . • La relación de A = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {1, 4, 7, 23} descrita por el diagrama siguiente no es una función. Falla tanto que el elemento 1 ∈ A no está relacionado con nadie en B como que el elemento 3 ∈ A está relacionado con dos elementos distin- tos de B . (Lo primero se puede solucionar “restrigiendo el dominio”, pero lo segundo no tiene solución clara para hacer de esta relación una función.) • La relación R ⊆ R× R dada por R = {(x, x2) : x ∈ R} es la función f : R→ R, f(x) = x2 graficada arriba. • La relación R ⊆ Z × N0 dada por R = {(k, |k|) : k ∈ Z} es una función, que se escribe f : Z→ N0, f(k) = |k| . • La relación R ⊆ N0 × Z dada por R = {(k2, k) : k ∈ Z} no es una función, ya que por ejemplo tanto (1, 1) como (1,−1) pertenecen a R (el elemento 1 ∈ N0 está relacionado con dos elementos de Z ). • Dado un conjunto A 6= ∅ cualquiera, la relación R ⊆ A×A dada por R = {(x, x) : x ∈ A} siempre es una función, que se llama la función identidad de A y se nota idA (o id cuando está claro el conjunto A ): satisface idA(x) = x, ∀x ∈ A . 1.3. FUNCIONES. 33 que pertenece a N por ser k ≤ −1 (se tiene k ≤ −1 ⇒ −2k ≥ 2 ), y es además par, como se queŕıa probar. Luego Im(f6) = Z . Propiedades importantes que pueden satisfacer las funciones son las siguien- tes: Definición 1.3.4. (Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.) Sea f : A→ B una función. Se dice que • f es inyectiva si para todo elemento y ∈ B existe a lo sumo un ele- mento x ∈ A para el cual f(x) = y . Dicho de otra manera, f es inyectiva si para todo x, x′ ∈ A tales que f(x) = f(x′) se tiene que x = x′ . • f es sobreyectiva si para todo elemento y ∈ B existe al menos un elemento x ∈ A para el cual f(x) = y . Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si Im(f) = B . • f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir para todo elemento y ∈ B existe exactamente un elemento x ∈ A para el cual f(x) = y . Ser inyectiva, sobreyectiva y biyectiva son propiedades que se chequean a nivel del codominio: en las representaciones gráficas, ser inyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega a lo sumo una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, se corta el grafo de la función a lo sumo corta en un punto. Ser sobreyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega por lo menos una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la función en al menos un punto. Biyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega exactamente una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la función en exactamente un punto. 34 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Ejemplos: • La función f1 arriba no es ni inyectiva pues por ejemplo f1(1) = f1(2) = 1 ni sobreyectiva pues 7 /∈ Im(f1) . • La función f2 : N → N es inyectiva pues f2(n) = f2(m) significa n + 1 = m + 1 de lo cual se deduce n = m , pero no es sobreyectiva pues 1 /∈ Im(f2) . Pasa a ser sobreyectiva si se restringe el codomino a la imagen N≥2 y se la considera como f2 : N→ N≥2 . • La función f3 : Z → Z es inyectiva, igual que f2 , y también es sobreyectiva pues ∀ k ∈ Z, ∃n ∈ Z t.q. f3(n) = k : simplemente tomando n = k − 1 se satisface que f3(n) = k . Luego es biyectiva. • La función f4 : R → R no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Pero se puede forzar a que sea sobreyectiva restringiendo el codominio R a la imagen R≥0 , o sea definiendo en realidad f4 : R→ R≥0 . • La función f5 tampoco es inyectiva ni sobreyectiva. • idA es claramente biyectiva, cualquiera sea el conjunto A 6= ∅ . • La función f6 es sobreyectiva ya que probamos que Im(f6) = Z . Probemos que es también inyectiva: Sean n,m ∈ N tales que f6(n) = f6(m) = k . Está claro que para tener la misma imagen k , o bien n y m son ambos impares, o bien son ambos pares (pues si son uno impar y el otro par, por la definición de la función, uno tiene imagen ≥ 0 y el otro < 0 ). Si son ambos impares, entonces k = n− 1 2 = m− 1 2 implica n = m . Si por otro lado son ambos impares, entonces k = − n 2 = − m 2 también implica n = m . Luego la función f6 es inyectiva. Por lo tanto f6 es biyectiva (esta función biyectiva entre N y Z mues- tra que N y Z tienen el mismo cardinal, el “mismo infinito”...). Las funciones se pueden componer, cuando el codominio de una coincide con el dominio de la siguiente: Definición 1.3.5. (Composición de funciones.) Sean A,B,C conjuntos, y f : A → B , g : B → C funciones. Entonces la composición de f con g , que se nota g ◦ f , definida por g ◦ f(x) = g ( f(x) ) , ∀x ∈ A resulta ser una función de A en C . Esto se visualiza mejor en el diagrama: 1.3. FUNCIONES. 35 Ejemplos: • • Sean f : N→ R, f(n) = √ n y g : R→ R≥0, g(x) = x2 + 1 , entonces g ◦ f : N→ R≥0 es la función dada por: g ◦ f(n) = g ( f(n) ) = g( √ n) = ( √ n)2 + 1 = n+ 1, ∀n ∈ N. • Sean f : R→ R, f(x) = x2 + 3x+ 2 y g : R→ R, g(x) = x2 − 1 . En este caso se pueden calcular g ◦ f y f ◦ g que son ambas funciones de R en R : g ◦ f(x) = g ( f(x) ) = g(x2 + 3x+ 2) = (x2 + 3x+ 2)2 − 1 = x4 + 6x3 + 11x2 + 12x+ 3, f ◦ g(x) = f ( g(x) ) = f(x2 − 1) = (x2 − 1)2 + 3(x2 − 1) + 2 = x4 + x2, ∀x ∈ R • Sea f : A→ B una función, entonces idB ◦ f = f y f ◦ idA = f . 1.3.1 Funciones biyectivas y función inversa. Cuando f : A → B es una función biyectiva, recordemos que se tiene que para todo elemento y ∈ B existe exactamente un elemento x ∈ A tal que f(x) = y . Por lo tanto el conjunto R′ = {(y, x) : f(x) = y} ⊆ B×A es una relación de B en A que también satisface las propiedades de función! Pues todos los y ∈ B están relacionados con algún x ∈ A , y ese x es único. Esta función R′ se nota f−1 y se llama la función inversa de f . Está definida 38 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. 1.4 Ejercicios. Conjuntos 1. Dado el conjunto A = {1, 2, 3} , determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (a) 1 ∈ A (b) {1} ⊆ A (c) {2, 1} ⊆ A (d) {1, 3} ∈ A (e) {2} ∈ A 2. Dado el conjunto A = {1, 2, {3}, {1, 2}} , determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: (a) 3 ∈ A (b) {3} ⊆ A (c) {3} ∈ A (d) {{3}} ⊆ A (e) {1, 2} ∈ A (f) {1, 2} ⊆ A (g) {{1, 2}} ⊆ A (h) {{1, 2}, 3} ⊆ A (i) ∅ ∈ A (j) ∅ ⊆ A (k) A ∈ A (l) A ⊆ A 3. Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos (a) A = {1, 2, 3}, B = {5, 4, 3, 2, 1} (b) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, {3},−3} (c) A = {x ∈ R / 2 < |x| < 3}, B = {x ∈ R / x2 < 3} (d) A = {∅}, B = ∅ 4. (a) Describir a los siguientes subconjuntos de R por comprensión mediante una sola ecuación: {−3, 1, 5} , (−∞, 2] ∪ [7,+∞) (b) Describir a los siguientes subconjuntos de R2 por comprensión mediante una sola ecuación: 1.4. EJERCICIOS. 39 5. Dados los subconjuntos A = {1,−2, 7, 3}, B = {1, {3}, 10} y C = {−2, {1, 2, 3}, 3} del conjunto referencial V = {1, {3},−2, 7, 10, {1, 2, 3}, 3} , hallar (a) A ∩ (B 4 C) (b) (A ∩B) 4 (A ∩ C) (c) Ac ∩Bc ∩ Cc 6. Dados subconjuntos A,B,C de un conjunto referencial V , describir los conjuntos (A ∪ B ∪ C)c en términos de intersecciones y comple- mentos, y (A ∩B ∩ C)c en términos de uniones y complementos. 7. Sean A , B y C conjuntos. Representar en un diagrama de Venn (a) (A ∪Bc) ∩ C (b) A 4 (B ∪ C) (c) A ∪ (B 4 C) 8. Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn, utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos. i) ii) iii) 9. Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos (a) A = {1} (b) A = {a, b} (c) A = {1, {1, 2}, 3} 10. Sean A y B conjuntos. Probar que P(A) ⊆ P(B) ⇔ A ⊆ B . 11. Sean p, q proposiciones Verdaderas o Falsas. Comparar las tablas de verdad de p ⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q, ∼ (p∧ ∼ q) (Cuando para probar p ⇒ q se prueba en su lugar ∼ q ⇒∼ p se dice que es una demostración por contrarrećıproco, mientras que cuando se prueba en su lugar que p∧ ∼ q es falso (lleva a una contradicción), se dice que es una demostración por el absurdo). 40 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. 12. Decidir si son verdaderas o falsas (a) i. ∀n ∈ N, n ≥ 5 ii. ∃n ∈ N, n ≥ 5 iii. ∀n ∈ N, n ≥ 5 ∨ n ≤ 8 iv. ∃n ∈ N, n ≥ 5 ∧ n ≤ 8 v. ∀n ∈ N, ∃m ∈ N, m > n vi. ∃n ∈ N, ∀m ∈ N, m > n (b) Negar las proposiciones anteriores, y en cada caso verificar que la proposición negada tiene el valor de verdad opuesto al de la original. (c) En cada uno de los casos siguientes, decidir si las dos proposi- ciones tienen el mismo valor de verdad. Dar un contraejemplo cuando no es el caso. i. ∃x, ∀ y, p(x, y) y ∀ y, ∃x, p(x, y) ii. ∀x, p(x) y @x, ∼ p(x) 13. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cua- lesquiera sean los subconjuntos A , B y C de un conjunto referencial V y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo. (a) (A4B)− C = (A− C)4(B − C) (b) A4B ⊆ (A4C) ∪ (B4C) (c) C ⊆ A ⇒ B ∩ C ⊆ (A4B)c (d) A4B = ∅ ⇔ A = B 14. Sean A , B y C subconjuntos de un conjunto referencial V . Probar que (a) A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C) (b) A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C) (c) A− (A4B) = A ∩B (d) (A ∩ C)−B = (A−B) ∩ C (e) A ⊆ B ⇒ A4B = B ∩Ac (f) A ⊆ B ⇔ Bc ⊆ Ac (g) C ⊆ A ⇒ (A ∪B) ∩ Cc = (B − C) ∪ (A4C) (h) A ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ (B4C) = A ∩B 15. Un emisor e env́ıa señales de diferentes frecuencias a un receptor r a través de un cable conductor. Se dipone de filtros que dejan pasar a unas señales śı y a otras no, dependiendo de sus frecuencias. 1.4. EJERCICIOS. 43 i) ii) iii) iv) 21. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Graficar la relación R = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (6, 4), (4, 6), (4, 4), (6, 6)} como está hecho en el ejercicio anterior. 22. Sea A = {a, b, c, d, e, f} y sea R la relación en A representada por el gráfico Hallar la mı́nima cantidad de pares que se deben agregar a R de manera que la nueva relación obtenida sea (a) reflexiva, (b) simétrica, (c) transitiva, (d) reflexiva y simétrica, (e) simétrica y transitiva, (f) de equivalencia. 23. En cada uno de los siguientes casos determinar si la relación R en A es reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, de equivalencia o de orden. (a) A = {1, 2, 3, 4, 5} , R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} (b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} 44 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. (c) A = {1, 2, 3, 4, 5} , R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (2, 5), (1, 5)} (d) A = N , R = {(a, b) ∈ N× N / a+ b es par} (e) A = Z , R = {(a, b) ∈ Z× Z / |a| ≤ |b|} (f) A = N , R definida por aR b ⇔ b es múltiplo de a (g) A = P(R) , R definida por XRY ⇐⇒ X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Y ∩ {1, 2, 3} 24. Sea A un conjunto. Describir todas las relaciones en A que son a la vez (a) simétricas y antisimétricas (b) de equivalencia y de orden ¿Puede una relación en A no ser ni simétrica ni antisimétrica? 25. Sea A = {a, b, c, d, e, f} . Dada la relación de equivalencia en A : R ={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(a, b),(b, a),(a, f), (f, a),(b, f),(f, b),(c, e),(e, c)} hallar la clase a de a , la clase b de b , la clase c de c , la clase d de d , y la partición asociada a R . 26. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Hallar y graficar la relación de equivalencia en A asociada a la partición{ {1, 3}, {2, 6, 7}, {4, 8, 9, 10}, {5} } . ¿Cuántas clases de equivalencia distintas tiene? Hallar un represen- tante para cada clase. 27. En el conjunto Z de números enteros, sea la relación de equivalencia dada por la paridad: dos números están relacionados si y solo si tienen la misma paridad (son ambos pares o ambos impares). ¿Cuántas clases de equivalencia distintas tiene? Hallar el representante más simple posible para cada clase. 28. En el conjunto Z de números enteros, sea la siguente relación: dos números están relacionados si terminan en el mismo d́ıgito. Verificar que es una relación de equivalencia. ¿Cuántas clases de equivalencia distintas tiene? Hallar el representante más simple posible para cada clase. 1.4. EJERCICIOS. 45 29. En el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N , sea la relación de equivalencia dada por el cardinal (es decir, la cantidad de elemen- tos): dos subconjuntos están relacionados si y solo si tienen la misma cantidad de elementos. ¿Cuántas clases de equivalencia distintas tie- ne? Hallar el representante más simple posible para cada clase. Funciones 30. Determinar qué relaciones del ejercicio 18 son funciones de A en B , y qué relaciones del ejercicio 23 son funciones de A en A . 31. Determinar si R es una función de A en B en los casos (a) A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {a, b, c, d} , R = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, b), (5, c), (3, d)} (b) A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {a, b, c, d} , R = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, b)} (c) A = R , B = N , R = {(a, b) ∈ R× N / a = 2b− 3} (d) A = Z , B = Z , R = {(a, b) ∈ Z× Z / a+ b es divisible por 5} 32. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Para las que sean biyectivas hallar la inversa y para las que no sean sobreyectivas hallar la imagen. (a) f : R −→ R , f(x) = 12x2 − 5 (b) f : R2 −→ R , f(x, y) = x+ y (c) f : R −→ R3 , f(x) = (2x, x2, x− 7) (d) f : N −→ N , f(n) = {n 2 si n es par n+ 1 si n es impar (e) f : Z× Z −→ Z , f(a, b) = 3a− 2b (f) f : Z −→ N , f(a) = { 2a si a > 0 1− 2a si a ≤ 0 33. (a) Dadas las funciones f : N→ N, f(n) =  n 2 2 si n es divisible por 6 3n+ 1 en los otros casos g : N× N→ N, g(n,m) = n(m+ 1), calcular (f ◦ g)(3, 4) , (f ◦ g)(2, 5) , (f ◦ g)(3, 2) . 48 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES. Caṕıtulo 2 Números Naturales e Inducción. Como ya sabemos, los números naturales son informalmente el conjunto infinito N = {1, 2, 3, 4, . . . , 1001, 1002, . . . , 2356789, . . . } de números que empiezan en 1 y se obtienen los demás sumando siempre 1 . Al final de este caṕıtulo, se describe una construcción formal de los números naturales a través de los axiomas de Peano. En el conjunto N se puede sumar y multiplicar: si m,n ∈ N , entonces m+ n ∈ N y m · n ∈ N . Además la suma y el producto se “portan bien”: • Conmutatividad: m+ n = n+m y m · n = n ·m , ∀m,n ∈ N . • Asociatividad: (m+ n) + k = m+ (n+ k) y (m · n) · k = m · (n · k) , ∀m,n, k ∈ N . • Distributividad del producto sobre la suma: m · (n+k) = m ·n+m ·k , ∀m,n, k ∈ N . El objetivo de este caṕıtulo es adquirir herramientas que permiten demostrar (en algunos casos) que una proposición p enunciada sobre el conjunto de los números naturales es Verdadera, o sea si la proposición p está dada para cada n ∈ N por una afirmación p(n) , probar que p(n) es Verdadera para todo n ∈ N . Ejemplos de tales proposiciones p, q pueden ser p : ∀n ∈ N : n2 ≥ 1 o q : ∀n ∈ N : n ≥ 3. 49 50 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. Una tal proposición p es Verdadera si la afirmación asociada p(n) : n2 ≥ 1 es Verdadera para todo n ∈ N , o Falsa si la afirmación p(n) : n2 ≥ 1 es Falsa para al menos algún n ∈ N , o sea en este caso si existe n ∈ N : n2 < 1 . En estos ejemplos es claro que p es Verdadera, y que q es Falsa, pues ∃n ∈ N : n < 3 , por ejemplo n = 1 . Demostrar que una proposición p enunciada sobre todos los números natu- rales es Verdadera no se puede hacer “verificando” porque nunca vamos a lograr agotar todos los números naturales, sino que hacen falta ciertos me- canismos que garanticen que la demostración está probando la afirmación para todos los números naturales. Para ejemplificar por qué una simple verificación puede engañar, conside- remos el conjunto A := { √ 1141n2 + 1, n ∈ N} ∩ N . Por ejemplo pa- ra n = 1 , √ 1141n2 + 1 = 33, 79 . . . , luego 1 /∈ A , y para n = 2 ,√ 1141n2 + 1 = 67, 56 . . . , luego 2 /∈ A . Por tiempo se creyó que A = ∅ pero resulta que no lo es! Lo que ocurre es que el primero número natural n ∈ A tiene 26 d́ıgitos... Otro ejemplo es la Conjetura de Goldbach, por el matemático prusiano Christian Goldbach, 1690-1764, que afirma que todo número natural par ≥ 4 es la suma de dos números primos (por ejemplo 4 = 2 + 2 , 8 = 3 + 5 , 12 = 5 + 7 , 100 = 3 + 97 ). Se sabe que esta conjetura es cierta para todos los números pares ≤ 4 · 1018 pero sin embargo aún no está probada, a pesar de la cantidad de esfuerzos invertidos en ella. En 2013, el matemático peruano Harald Helfgott demostró lo que se conoćıa como la Conjetura débil de Goldbach que afirma que todo número natural impar ≥ 7 es la suma de tres números primos (por ejemplo 7 = 3+2+2 , 9 = 3+3+4 , 17 = 3+7+7 ). Esta conjetura se llamaba débil porque si la anterior es cierta, entonces también es cierta ésta: restándole 3 al número impar ≥ 7 se obtiene un número par ≥ 4 que seŕıa suma de dos primos... Empecemos con un par de ejemplos muy clásicos e importantes. 2.1 La suma de Gauss y la serie geométrica. 2.1.1 La suma de Gauss. Supongamos que queremos sumar los 100 primeros números naturales, o sea 1 + 2 + 3 + · · ·+ 98 + 99 + 100. 2.2. SUMATORIA Y PRODUCTORIA. 53 Esta definición de sumatoria se extiende tal cual a n∑ i=n0 ai = an0 + · · ·+ an, para n0 ≤ n , y de hecho se extiende a n0 = 0 (o sea tiene sentido ∑n i=0 ai = a0 + · · · + an si el término a0 está definido) e incluso a ı́ndices negativos n0 ∈ Z (si los términos ai correspondientes están definidos). Por ejemplo: n∑ i=0 qi = 1 + q + · · ·+ qn = { qn+1−1 q−1 si q 6= 1 n+ 1 si q = 1. , ∀n ∈ N. La sumatoria satisface las dos propiedades siguientes para todo n ∈ N , para todo par de sucesiones (ai)i∈N , (bi)i∈N en A y para todo c ∈ A : • ( n∑ i=1 ai ) + ( n∑ i=1 bi ) = n∑ i=1 (ai + bi) . • c · n∑ i=1 ai = n∑ i=1 c · ai . Aśı por ejemplo, n2∑ k=1 (k + n) = ( n2∑ k=1 k ) + ( n2∑ k=1 n ) = n2(n2 + 1) 2 + n3 . Un programa recursivo para la sumatoria en Haskell: Esta definición recursiva está muy en sintońıa con la programación funcional. La función sumatoria de una serie que toma valores enteros en el lenguaje de programación funcional Haskell, desarrollado a par- tir de mediados de los 80, y nombrado aśı por el matemático y lógico americano Haskell Brooks Curry, 1900-1982, usando la cu- rrificación que vieron en el taller, se puede definir de la manera siguiente: sumatoria :: (Integer → Integer) → Integer → Integer sumatoria a 0 = 0 sumatoria a n = a n+ sumatoria a (n− 1) Un programa iterativo para la sumatoria en Python: Existen otros lenguajes de programación no funcionales, por ejemplo impe- rativos. 54 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. Si escribimos un programa iterativo para la sumatoria en el ex- tensamente usado lenguaje de programación imperativo Python, creado a fines de los años 80 por el computador y matemático holandés Guido van Rossum, resulta más parecido a la definición de sumatoria que dimos como la suma de todos los términos de la sucesión (ai)i∈N hasta el n -ésimo. Asumimos que la sucesión (ai)i∈N está definida por una función a : N→ A , o sea tal que a(i) = ai . Entonces el programa es def sumatoria (n) : s = 0 for i in range (1, n+ 1) : s = s+ a(i) return s (La ĺınea s = 0 pone en la variable s el valor 0 . Luego la instrucción “for i in range (1, n+ 1) ” ejecuta la ĺınea que sigue (es decir poner en la variable s el valor que teńıa s sumado el valor de ai ) para todos los valores de i ≥ 1 y < n+ 1 , es decir entre 1 y n .) 2.2.2 Productoria. Sea n ∈ N . La notación n∏ i=1 ai , que se lee la productoria para i de 1 a n de ai , representa el producto de los n primeros términos de la sucesión (ai)i∈N : n∏ i=1 ai = a1 · · · an, que se define formalmente por recurrencia, para evitar los puntos suspensi- vos: 1∏ i=1 ai = a1 y n+1∏ i=1 ai = ( n∏ i=1 ai ) · an+1 , ∀n ∈ N. Ejemplos: • n∏ i=1 i = 1 · 2 · · · (n− 1) · n se nota n! , ∀n ∈ N , y se llama n factorial o el factorial de n . Tiene un śımbolo y un nombre para él solito por la importancia que tiene lo que representa, que estudiaremos con más detalle en el caṕıtulo que viene. 2.3. EL CONJUNTO INDUCTIVO N Y EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN.55 • n∏ i=1 c = cn , ∀ c ∈ A , ∀n ∈ N . La productoria satisface la propiedad siguiente para todo n ∈ N y sucesiones (ai)i∈N , (bi)i∈N en A : • ( n∏ i=1 ai ) · ( n∏ i=1 bi ) = n∏ i=1 (ai · bi) . Un programa recursivo para la productoria en Haskell: productoria :: (Integer → Integer) → Integer → Integer productoria a 0 = 1 productoria a n = a n ∗ productoria a (n− 1) Un programa iterativo para la productoria en Python: Supongamos que la sucesión (ai)i∈N en A está definida por una función a : N→ A , o sea tal que f(i) = ai . Entonces el programa es def prod (n) : p = 1 for i in range (1, n+ 1) : p = p ∗ f(i) return p 2.3 El conjunto inductivo N y el principio de in- ducción. Como no a todos se nos ocurren los trucos “à la Gauss” para probar que ciertas afirmaciones son válidas para todos los números naturales, o a veces no hay truco, hay un mecanismo muy útil y que se usa much́ısimo para demostrar eso, que se llama el principio de inducción. Este principio fue usado a lo largo del tiempo de distintas maneras desde mucho antes de Cristo, en distintas civilizacio- nes, aunque la primer formulación expĺıcita de este principio fue introducida en 1665 por el matemático, f́ısico, escritor, inventor y filósofo francés Blaise Pascal, 1623-1662. 58 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. luego h+1∑ i=1 i = ( h∑ i=1 i ) + (h+ 1) = HI h(h+ 1) 2 + (h+ 1) = h(h+ 1) + 2(h+ 1) 2 = (h+ 1)(h+ 2) 2 , que es lo que se queŕıa probar. Es decir hemos probado tanto el caso base como el paso inductivo. Se concluye que p(n) es Verdadero, ∀n ∈ N . 2. (2n)! n!2 ≤ (n+ 1)! , ∀n ∈ N : p(n) : (2n)! n!2 ≤ (n+ 1)!. • Caso base: ¿p(1) V? Śı, pues (2 · 1)! 1!2 = 2 ≤ (1 + 1)! . • Paso inductivo: Dado h ∈ N , ¿p(h) V ⇒ p(h+ 1) V? – HI: (2h)! h!2 ≤ (h+ 1)! . – Qpq (Quiero probar que) ( 2(h+ 1) ) ! (h+ 1)!2 ≤ ( (h + 1) + 1 ) ! , es decir (2h+ 2)! (h+ 1)!2 ≤ (h+ 2)! . Pero (2h+ 2)! (h+ 1)!2 = (2h+ 2)(2h+ 1)(2h)!( (h+ 1)h ) !2 = 2(h+ 1)(2h+ 1)(2h)! (h+ 1)2h!2 = 2(2h+ 1) h+ 1 (2h)! h!2 ≤ HI 2(2h+ 1) h+ 1 (h+ 1)! ya que 2(2h+ 1) h+ 1 > 0 . Por lo tanto para probar que (2h+ 2)! (h+ 1)!2 ≤ (h + 2)! , alcanza con probar que 2(2h+ 1) h+ 1 ≤ h+ 2 porque aśı se tendrá la cadena de desigualdades: (2h+ 2)! (h+ 1)!2 ≤ HI 2(2h+ 1) h+ 1 (h+ 1)! ≤ (h+ 2)(h+ 1)! = (h+ 2)! 2.3. EL CONJUNTO INDUCTIVO N Y EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN.59 Mostremos entonces que 2(2h+ 1) h+ 1 ≤ h+ 2 . Se tiene 2(2h+ 1) h+ 1 ≤ h+ 2 ⇐⇒ h+1>0 2(2h+ 1) ≤ (h+ 1)(h+ 2) ⇐⇒ 4h+ 2 ≤ h2 + 3h+ 2 ⇐⇒ h ≤ h2 ⇐⇒ h>0 1 ≤ h (donde siempre verificamos que no cambia el sentido de la de- sigualdad pues se multiplica/divide por cantidades > 0 ). La última desigualdad es cierta pues h ∈ N , por lo tanto hemos logrado probar que 2(2h+ 1) h+ 1 ≤ h+ 2 , como queŕıamos. Concluimos que p(h) V ⇒ p(h+ 1) V. Es decir hemos probado tanto el caso base como el paso inductivo. Se concluye que p(n) es Verdadera, ∀n ∈ N . 3. n∑ k=1 1√ k ≥ √ n , ∀n ∈ N . (En particular esto prueba que la serie ∞∑ k=1 1√ k diverge...): p(n) : n∑ k=1 1√ k ≥ √ n. • Caso base: ¿p(1) V? Śı, pues 1∑ k=1 1√ k = 1 ≥ √ 1 . • Paso inductivo: Dado h ∈ N , ¿p(h) V ⇒ p(h+ 1) V? – HI: h∑ k=1 1√ k ≥ √ h . – Qpq h+1∑ k=1 1√ k ≥ √ h+ 1 . Pero h+1∑ k=1 1√ k = h∑ k=1 1√ k + 1√ h+ 1 ≥ HI √ h+ 1√ h+ 1 . Por lo tanto para probar que h+1∑ k=1 1√ k ≥ √ h+ 1 , alcanza con probar que 60 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. √ h + 1√ h+ 1 ≥ √ h+ 1 porque aśı se tendrá la cadena de de- sigualdades: h+1∑ k=1 1√ k ≥ √ h+ 1√ h+ 1 ≥ √ h+ 1. Mostremos entonces que √ h+ 1√ h+ 1 ≥ √ h+ 1 . Se tiene √ h+ 1√ h+ 1 ≥ √ h+ 1 ⇐⇒ √ h · √ h+ 1 + 1√ h+ 1 ≥ √ h+ 1 ⇐⇒ √ h · √ h+ 1 + 1 ≥ ( √ h+ 1)2 = h+ 1 ⇐⇒ √ h · √ h+ 1 ≥ h ⇐⇒ √ h(h+ 1) ≥ h ⇐⇒ h(h+1)≥0 h(h+ 1) ≥ h2 ⇐⇒ h2 + h ≥ h2 ⇐⇒ h ≥ 0 La última desigualdad es cierta pues h ∈ N , por lo tanto hemos logrado probar que h+1∑ k=1 1√ k ≥ √ h+ 1 , como queŕıamos. Concluimos que p(h) V ⇒ p(h+ 1) V. Es decir hemos probado tanto el caso base como el paso inductivo. Se concluye que p(n) es Verdadera, ∀n ∈ N . 2.3.1 Inducción “corrida”. Supongamos que queremos probar que para todo n ≥ 5 , se tiene 2n > n2 . Este ejemplo plantea el problema de probar una afirmación que no es cierta para todos los números naturales, pero a partir de cierto número. No pode- mos aplicar directamente el principio de inducción ya que si bien se satisface el caso base p(1) Verdadera (pues 2 = 21 > 12 = 1 ), no se satisface p(2) Verdadera, pues 22 = 4 y por lo tanto no es cierto que para n = 2 se tiene 2n > n2 . Por lo tanto no vamos a poder deducir de p(1) Verdadera que p(2) es Verdadera! Notemos que tampoco es cierta la afirmación para n = 3 (pues 23 = 8 < 9 = 32 ) ni para n = 4 (pues 24 = 16 = 42 ). También podŕıamos querer probar que una afirmación es cierta a partir de cierto número entero negativo n0 , por ejemplo n0 = −11 . ¿Será cierto que podemos usar el mismo principio de inducción, pero “corriéndolo”? es decir ¿verificando el caso base n0 = 5 en el ejemplo (o n0 = −11 ) y luego probar p(h) V ⇒ p(h+ 1) V, ∀h ≥ n0 ? 2.4. SUCESIONES DEFINIDAS POR RECURRENCIA. 63 Las torres de Hanoi. El problema de las torres de Hanoi fue inventado por el ma- temático francés Edouard Lucas en 1883. Tenemos 3 estacas, y un cierto número n de discos de distinto diámetro ensartados en la primer estaca, ordenados por tamaño, de mayor a menor estando el menor encima, como en la foto arriba. El objetivo del juego es lograr mover toda la pila de discos a otra estaca, con las condiciones siguientes: • no se puede mover más de un disco a la vez • sólo se puede sacar el disco de la parte superior de cada pila de discos • en todo momento los discos de cada estaca deben estar ordenados por tamaño, de mayor a menor con el menor encima. ¿Cuántos movimientos alcanzan para realizar esta operación? Por ejemplo para 2 discos podemos realizar los movimientos siguientes: O sea alcanza con 3 movimientos. Y para 3 discos podemos hacer lo si- guiente: Y por lo tanto nos alcanza con 7 movimientos. También nos podemos dar cuenta a este nivel que saber cómo mover 3 discos ayuda a mover 4 discos, ya que para mover los 4 discos, podemos primero pasar los 3 discos de arriba a otra estaca, realizando 7 movimientos (ya que aqúı al quedar el disco más grande abajo en la primer estaca, podemos usar tranquilamente esa estaca 64 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. sin contradecir las reglas del juego), luego mover el disco más grande que quedó solo a la estaca libre ( 1 movimiento), y luego volver a mover la pila de los 3 discos arriba del más grande realizando nuevamente 7 movimientos. Aśı para mover 4 discos nos alcanzan 2 · 7 + 1 = 15 movimientos. Este razonamiento se generaliza para n + 1 discos: Llamemos a an una cantidad de movimientos suficientes para mover n discos. Por ejemplo a1 = 1, a2 = 3, a3 = 7 . Para mover los n + 1 discos podemos empezar moviendo los n de arriba a otra estaca, con an movimientos, luego pasar el disco grande a la estaca libre, con 1 movimiento, y luego mover la pila de los n discos arriba del disco grande, con nuevamente an movimiento. Aśı obtenemos an+1 = 2an + 1 . Notemos que si queremos deducir de esta definición cuánto vale a7 vamos a necesitar conocer cuánto vale a6 , luego a5 , etc. hasta necesitar conocer a1 . Una sucesión definida de esta manera, como aqúı: a1 = 1, an+1 = 2an + 1, ∀n ∈ N es una sucesión definida por recurrencia, ya que para calcular un término necesitamos conocer el anterior. Además de necesitar conocer el caso base n = 1 obviamente, sino no sabŕıamos por donde empezar. Observación 2.4.1. Esta definición por recurrencia permite obtener el va- lor de an para cualquier n ∈ N : si queremos ser formales, podemos observar que el conjunto H = {n ∈ N : an está definida } es un subconjunto inductivo de N (pues 1 ∈ H ya que a1 = 1 , y si h ∈ H , entonces h + 1 ∈ H pues ah+1 = 2ah + 1 ), y por lo tanto coincide con N . (Aśı definimos en forma recursiva la sumatoria n∑ i=1 an y la productoria n∏ i=1 an .) Ahora nos interesa deshacernos de la recurrencia: habrá una fórmula que me diga quién es el término general an de la sucesión, sin tener que calcular el término anterior y el anterior y el anterior? Veamos: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 7, a4 = 15, a5 = 31, a6 = 63. Pareciera ser que puede valer an = 2 n − 1 , ∀n ∈ N . Conjeturemos luego que la sucesión definida por recurrencia como a1 = 1, an+1 = 2an + 1, ∀n ∈ N 2.4. SUCESIONES DEFINIDAS POR RECURRENCIA. 65 satisface an = 2 n − 1, ∀n ∈ N. Lo podemos probar por inducción: p(n) : an = 2 n − 1, ∀n ∈ N. • Caso base: ¿p(1) V? Śı, pues 21 − 1 = 1 = a1 . • Paso inductivo: Dado h ∈ N , ¿p(h) V ⇒ p(h+ 1) V? – HI: ah = 2 h − 1 – Qpq ah+1 = 2h+1 − 1 . Pero por definición de la sucesión, sabemos que ah+1 = 2ah+1 . Luego ah+1 = 2ah + 1 = HI 2(2h − 1) + 1 = 2h+1 − 2 + 1 = 2h+1 − 1 como se queŕıa probar. Es decir hemos probado tanto el caso base como el paso inductivo. Se concluye que p(n) es Verdadero, ∀n ∈ N . Pregunta 1: Acabamos de probar que con 2n − 1 movimientos se puede resolver el problema de las torres de Hanoi con n discos. ¿Será éste el mı́nimo número posible? Pregunta 2: Con cuál de las dos formulaciones: a1 = 1, an+1 = 2an + 1, ∀n ∈ N , o an = 2n−1, ∀n ∈ N se logra hacer menos cuentas si se quiere calcular por ejemplo a256 ? La respuesta se encuentra en el caṕıtulo sobre enteros, cuando se introducen los sistemas de numeración, en particular el sistema binario. Un ejemplo más. Sea la sucesión definida por recurrencia como a1 = 1, an+1 = (√ an − (n+ 1) )2 , ∀n ∈ N. O sea a1 = 1, a2 = ( √ 1− 2)2 = 1, a3 = ( √ 1− 3)2 = 4, a4 = ( √ 4− 4)2 = 4, a5 = ( √ 4− 5)2 = 9, a6 = ( √ 9− 6)2 = 9, . . . . Pareciera que va dando los cuadrados, repetidos dos veces cada uno, o sea a2n−1 = a2n = n 2 , ∀n ∈ N . Escrito en términos de an , para todo n ∈ N se tiene an =  ( n+1 2 )2 si n es impar( n 2 )2 si n es par. 68 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. • (Paso inductivo) ∀h ∈ N , p(h) y p(h+ 1) Verdaderas ⇒ p(h+ 2) Verdadera, entonces p(n) es Verdadero, ∀n ∈ N . Ejemplo: Probar que el término general de la sucesión (an)n∈N definida por a1 = 5, a2 = 13 an+2 = 5an+1 − 6an, ∀n ∈ N, es an = 2 n + 3n , ∀n ∈ N . Por inducción, aplicando el Teorema 2.5.2. p(n) : an = 2 n + 3n. • Casos base: ¿p(1) y p(2) V? Śı, pues 21 + 31 = 5 = a1 y 22 + 32 = 13 = a2 . • Paso inductivo: Dado h ∈ N , ¿p(h) V y p(h+ 1) V ⇒ p(h+ 2) V? – HI: ah = 2 h + 3h y ah+1 = 2 h+1 + 3h+1 . – Qpq ah+2 = 2 h+2 + 3h+2 . Pero por definición de la sucesión, sabemos que para h ≥ 1 , ah+2 = 5ah+1 − 6ah . Luego ah+2 = 5ah + 1− 6ah = HI 5 (2h+1 + 3h+1)− 6 (2h + 3h) = 10 · 2h + 15 · 3h − 6 · 2h − 6 · 3h = 4 · 2h + 9 · 3h = 2h+2 + 3h+2 como se queŕıa probar. Es decir hemos probado tanto los casos base como el paso inductivo. Se concluye que p(n) es Verdadero, ∀n ∈ N . Observación 2.5.3. Notar que por como está definida la sucesión (por medio de los dos términos anteriores) es indispensable verificar que la afir- mación p(n) es Verdadera para los dos casos base p(1) y p(2) , pues si no la verificáramos para 2 no podŕıamos deducir que p(3) es Verdadera. Y podŕıamos –al hacer ese error– deducir algo completamente falso: que la su- cesión definida por a1 = 5, a2 = 0, an+2 = 5an+1 − 6an, ∀n ∈ N , también tiene como término general an = 2 n + 3n . Este principio de inducción admite la misma versión “corrida” que el que vimos en la sección anterior: 2.5. INDUCCIÓN COMPLETA. 69 Teorema 2.5.4. (Principio de inducción - II “corrido”) Sea n0 ∈ Z y sea p(n), n ≥ n0 , una afirmación sobre Z≥n0 . Si p satisface • (Casos base) p(n0) y p(n0 + 1) son Verdaderas, • (Paso inductivo) ∀h ≥ n0 , p(h) y p(h+ 1) Verdaderas ⇒ p(h+ 2) Verdadera, entonces p(n) es Verdadero, ∀n ≥ n0 . 2.5.2 La sucesión de Fibonacci. La famosa sucesión de Fibonacci debe su nombre a Leonardo Pisano Bigollo, más conocido como Fibonacci, ∼ 1170-1240, fa- moso también por haber difundido en Europa el sistema de nu- meración indo-arábigo que utilizamos, que emplea una notación posicional y el cero para marcar una posición nula. Fibonacci publicó Liber Abaci en el año 1202, donde entre otras cosas pro- puso el siguiente problema: si colocamos una pareja de conejos bebés en un área cerrada, ¿cuántos conejos habrá luego de n meses si • los conejos nunca mueren, • cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos cada mes • y comienza a tener parejitas luego de dos meses de nacida? En el mes 0, no hay conejos (porque todav́ıa no los colocamos). En el mes 1, tenemos una pareja de conejos bebés (que colocamos). En el mes 2, tenemos la misma única pareja de conejos, pero ya son adultos y van a empezar a tener parejitas. En el mes 3, tenemos la pareja original (adulta) más una pareja bebé (hijos de la pareja original), o sea tenemos dos parejas. En el mes 4, la pareja original tiene otra pareja de bebés, y además la pareja bebé del mes 3 se convierte en adulta (tenemos 3 parejas). En el mes 5, las dos parejas adultas que hay tienen parejas bebés y la pareja bebé que hab́ıa se convierte en adulta: tenemos 5 parejas. Si calculamos algunos números más, vemos que los siguientes meses tenemos: 8, 13, 21, 34 . . . Para encontrar una fórmula para esta sucesión, llamenos An al número de parejas adultas en el mes n y Bn al número de parejas bebés en el mes n . Llamamos también Fn al total de parejas en el mes n , o sea Fn = An+Bn . Obtenemos la tabla siguiente: 70 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. Mes An Bn Fn 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 2 ... ... ... ... n An Bn An +Bn n+ 1 An +Bn An 2An +Bn n+ 2 2An +Bn An +Bn 3An + 2Bn Notemos que el número total de parejas de conejos en el mes n + 2 es el número que hab́ıa en el mes n + 1 más el número de parejas adultas del mes n + 1 , que coincide con el número de parejas del mes n . Luego la sucesión Fn satisface la recurrencia Fn+2 = Fn+1 + Fn , para todo n ≥ 0 . Además, los primeros dos valores de la sucesión son F0 = 0 y F1 = 1 . Estas condiciones definen una única sucesión, que se llama la sucesión de Fibonacci (Fn)n∈N0 : F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, ∀n ∈ N0, cuyos primeros términos son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Esta sucesión está fuertemente relacionada con el Número de Oro, o Número de la proporción divina, o de la proporción áurea, que aparece mucho en la naturaleza, en el arte, en la arquitectura, en medicina. Este número surge de preguntarse, si tenemos un segmento dividido en dos partes de longitudes Φ y 1 , con Φ ≥ 1 , ¿cómo tiene que ser Φ para que la proporción entre esas dos partes Φ y 1 sea la misma que la proporción entre todo el segmento Φ + 1 y Φ . Se tiene Φ 1 = Φ + 1 Φ , i.e. Φ2 = Φ + 1, i.e. Φ2 − Φ− 1 = 0. Las dos ráıces de la ecuación X2 −X − 1 = 0 son Φ = 1 + √ 5 2 ∼ 1, 61803 ≥ 1 y Φ = 1− √ 5 2 < 0 (aqúı Φ es solo una notación, no significa que es el conjugado en el sentido de número complejo). Notemos que vale que Φ2 = Φ + 1 y Φ 2 = Φ + 1 , pues ambas cantidades satisfacen la ecuación X2 −X − 1 = 0 . Además se satisfacen las relaciones Φ0−Φ0 = 1−1 = 0 y Φ1−Φ1 = 1 + √ 5 2 − 1− √ 5 2 = 2 √ 5 2 = √ 5. (2.2) 2.5. INDUCCIÓN COMPLETA. 73 ya que es fácil ver que Fi ≥ i , y esto implica 1 Fi−1Fi ≤ 1 (i− 1)i . Por lo tanto, para los que saben un poco de Análisis, la sucesión ( Fn+1 Fn )n∈N es de Cauchy, y luego converge. Sea entonces F := limn→∞ Fn+1 Fn . Se observa que F ≥ 1 dado que Fn+1 ≥ Fn . Entonces F = lim n→∞ Fn+1 Fn = lim n→∞ Fn + Fn−1 Fn = lim n→∞ ( 1 + Fn−1 Fn ) = 1 + lim n→∞ Fn−1 Fn = 1 + 1 F . Por lo tanto el ĺımite F satisface la ecuación F = 1+ 1F , o equivalentemente la ecuación F 2 = F + 1 . Se concluye que F = Φ , ya que es la ráız ≥ 1 del polinomio X2 −X − 1 . ¿No es esto fantástico? ¡La proporción entre dos números de Fibonacci consecutivos tiende a la proporción divina Φ = 1 + √ 5 2 ∼ 1, 61803 ! Por ejemplo F12 F11 = 144 89 ∼ 1, 61798 y F13 F12 = 233 144 ∼ 1, 61806 . 2.5.3 Sucesiones de Lucas. Veamos ahora un método muy clásico que permite determinar el término general de todas las sucesiones de Lucas, que son sucesiones “de tipo Fibo- nacci” definidas recursivamente mediante los dos términos inmediato ante- riores. Una sucesión de Lucas es una sucesión (an)n∈N0 definida recursivamente por a0 = a, a1 = b, an+2 = c an+1 + d an, ∀n ∈ N0, donde a, b, c, d ∈ C son números dados. En lo que sigue desarrollamos un método que permite determinar el término general an de la sucesión de Lucas definida arriba. Consideremos la ecuación X2− cX − d = 0 asociada a la sucesión de Lucas (que se obtiene de la expresión a2 − c a1 − d a0 = 0 y luego reemplazando a2 por X 2 , a1 por X y a0 por 1 ). Observemos que en el caso de la sucesión de Fibonacci, la ecuación asociada es X2−X−1 = 0 , justamente la ecuación que tiene como ráıces a Φ y Φ . Supongamos que estamos en el caso en que X2 − cX − d tiene dos ráıces distintas r y r . Observemos que estas dos ráıces r y r satisfacen las relaciones r2 = c r + d y r2 = c r + d. (2.3) 74 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. Afirmación 1: Las sucesiones (rn)n∈N0 , (r n)n∈N0 , y más aún cualquier combinación lineal de ellas (γn)n∈N0 = (α r n + β rn)n∈N0 satisfacen la misma recurrencia γn+2 = c γn+1 + d γn, ∀n ∈ N que la sucesión de Lucas (an)n∈N0 original, de la cuál queremos determinar el término general. Esto es cierto pues γn+2 = def α rn+2 + β rn+2 = α r2 rn + β r2 rn = α(cr + d)rn + β(cr + d)rn = c(αrn+1 + βrn+1) + d (αrn + βrn) = cγn+1 + dγn. (Aqúı se aplicaron las relaciones (2.3).) Afirmación 2: Existe una única sucesión (γn)n∈N0 = (α r n + β rn)n∈N0 que satisface las condiciones iniciales γ0 = a , γ1 = b . Esto es cierto pues para ello hay que resolver el sistema lineal{ α + β = a α r + β r = b que tiene solución y es única pues r 6= r por hipótesis: se obtiene α = b− a r r − r y β = a r − b r − r . Se concluye que esta sucesión (γn)n∈N0 = (α r n + β rn)n∈N0 coincide con la sucesión de Lucas original (an)n∈N0 , ya que satisface las mismas condicio- nes iniciales y la misma recurrencia. Por lo tanto el término general de la sucesión (an)n∈N0 es an = α r n + β rn, ∀n ∈ N0. En el caso de la sucesión de Fibonacci, se tiene r = Φ , r = Φ , y al resolver el sistema { α + β = 0 αΦ + β Φ = 1 , se obtiene α = 1 Φ− Φ = 1√ 5 y β = −1 Φ− Φ = − 1√ 5 , 2.5. INDUCCIÓN COMPLETA. 75 o sea Fn = 1√ 5 (Φn − Φn), ∀n ∈ N0, que coincide obviamente con el resultado que probamos en la Proposición 2.5.5. Pregunta: ¿Qué podemos hacer en el caso en que la ecuación asociada X2− cX − d = 0 tiene una única ráız r , o sea X2 − cX − d = (X − r)2 ? En este caso se puede probar, usando que 2r = c (¿por qué?), que el término general an de la sucesión, cuando r 6= 0 , es an = a r n + ( b r − a ) n rn, ∀n ∈ N0. Cuando r = 0 , la sucesión está dada simplemente por a0 = a, a1 = b, an+2 = 0,∀n ∈ N0 . 2.5.4 Inducción completa – Formulación general. El principio de inducción admite una formulación equivalente a las de los Teoremas 2.3.2 y 2.5.2 que es la que resulta útil cuando al querer probar el paso inductivo, no sabemos para cuál k ≤ h , o para cuáles, vamos a tener que suponer que la hipótesis inductiva se cumple, o cuando necesitamos que la hipótesis inductiva se cumpla para todo k ≤ h . Consideremos el ejemplo siguiente: sea (an)n∈N la sucesión definida por a1 = 1, an+1 = 1 + n∑ k=1 ak, ∀n ∈ N. O sea a1 = 1, a2 = 1 + a1 = 2, a3 = 1 + a1 + a2 = 4, a4 = 1 + a1 + a2 + a3 = 8. Pareciera que esta sucesión admite como término general an = 2 n−1, ∀n ∈ N . Pero si queremos probar esta afirmación por inducción, resulta que no nos alcanza suponer la hipótesis inductiva ah = 2 h−1 para lograr probar que ah+1 = 2 h . Teorema 2.5.7. (Principio de inducción completa.) Sea p(n), n ∈ N , una afirmación sobre los números naturales. Si p satisface • (Caso base) p(1) es Verdadera, • (Paso inductivo) ∀h ∈ N , p(1), . . . , p(h) Verdaderas ⇒ p(h + 1) Verdadera, 78 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. El conjunto de números naturales es un conjunto que satisface los axiomas siguientes: 1. 1 es un número natural. 2. Existe una función “sucesor” S definida sobre los números naturales que satisface: • Para todo número natural n , S(n) es un número natural (es decir S es una función de los números naturales en los números naturales). • Para todo número natural n , S(n) = 1 es Falso (es decir, 1 no es el sucesor de ningún número natural). • Para todo par de números naturales n,m , si S(n) = S(m) , entonces n=m (es decir la función S es inyectiva). 3. Si K es un conjunto cualquiera que satisface las dos propiedades si- guientes • 1 ∈ K , • para todo número natural n , n ∈ K ⇒ S(n) ∈ K , entonces K contiene a todos los números naturales. Los Axiomas 1 y 2 implican que el conjunto de los números naturales contie- ne a los elementos 1, S(1), S ( S(1) ) , . . . , que son todos distintos entre śı, y es por lo tanto infinito. Pero hay que garantizar que no es más “grande” que el conjunto {1, S(1), S ( S(1) ) , . . . } : este es papel que juega el Axioma 3, que es de hecho el axioma de Inducción. Por ejemplo el conjunto N∪ {12 , 3 2 , 5 2 , . . . } satisface los tres primeros axiomas pero no el 3ro, ya que tomando K = N tendŕıamos que deducir que N ∪ {12 , 3 2 , 5 2 , . . . } ⊆ N . 2.6.2 El Principio de Buena Ordenación y los Principios de Inducción. El Principio de Buena Ordenación dice que todo subconjunto no vaćıo del conjunto de los números naturales N contiene un primer elemento, es decir un elemento que es menor o igual que todos los demás. De hecho, sabiendo que N = {1, 2, . . . } , este resultado es bastante natural ya que si el subconjunto A ⊆ N es finito y no vaćıo, podemos comparar sus elementos y quedarnos con el más chico, y si el conjunto A ⊆ N es infinito y no vaćıo, podemos considerar un elemento n0 ∈ A y quedarnos con A ∩N≤n0 , que es finito y no vaćıo: el menor elemento de este conjunto es el menor elemento de A . 2.7. EJERCICIOS. 79 Pero se puede probar un resultado más potente: se puede probar que de hecho el Principio de Inducción (P.I., Teorema 2.3.2), el Principio de Induc- ción completa (P.I.C., Teorema 2.5.7) y el Principio de Buena Ordenación (P.B.O.) y son todos equivalentes entre śı, es decir si vale cualquier de ellos valen los otros. Para demostrar ese tipo de afirmaciones donde hay más de dos proposiciones que son equivalentes, se acostumbra mostrar implicaciones en forma de ciclo: por ejemplo aqúı lo se puede probar la sucesión de implicaciones P.I. =⇒ P.I.C. =⇒ P.B.O. =⇒ P.I. Aśı por ejemplo para ver que P.B.O ⇒ P.I.C. se utiliza el hecho que P.B.O. ⇒ P.I. ⇒ P.I.C. Estas demostraciones son bastante sutiles. El lector inquieto las puede en- contrar sin dificultad en internet, o en distintos libros, o en las notas de Pacetti-Graña que aparecen en la bibliograf́ıa del curso. 2.7 Ejercicios. Sumatoria 1. Reescribir cada una de las siguientes sumas usando el śımbolo de su- matoria (a) 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 100 (b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·+ 1024 (c) 1 + (−4) + 9 + (−16) + 25 + · · ·+ (−144) (d) 1 + 9 + 25 + 49 + · · ·+ 441 (e) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n+ 1) (f) n+ 2n+ 3n+ · · ·+ n2 2. Reescribir cada una de los siguientes productos usando el śımbolo de productoria y/o de factorial (a) 5 · 6 · · · 99 · 100 (b) 1 · 2 · 4 · 8 · 16 · · · 1024 (c) n · 2n · 3n · · ·n2 80 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. 3. Escribir los dos primeros y los dos últimos términos de las expresiones siguientes (a) n∑ i=6 2(i− 5) (b) 2n∑ i=n 1 i(i+ 1) (c) n∑ i=1 n+ i 2i (d) n2∑ i=1 n i (e) n∏ i=1 n+ i 2i− 3 4. (a) Probar que, ∀n ∈ N , n∑ i=1 i = n(n+ 1) 2 contando de dos maneras la cantidad de cuadraditos sombreados del diagrama (b) Deducir que, ∀n ∈ N , 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n(n+ 1) . 5. Calcular (a) n∑ i=1 (4i+ 1) (b) n∑ i=6 2(i− 5) 6. Calcular (a) n∑ i=0 2i (b) n∑ i=1 qi , q ∈ R (c) n∑ i=0 q2i , q ∈ R (d) 2n∑ i=n qi , q ∈ R Inducción 6. Probar que, ∀n ∈ N , n∑ i=1 (2i− 1) = n2 : (a) contando de dos maneras la cantidad total de cuadraditos del diagrama 2.7. EJERCICIOS. 83 Recurrencia 16. (a) Sea (an)n∈N la sucesión de números reales definida recursivamen- te por a1 = 5 y an+1 = 3an − 2n, ∀n ∈ N Probar que an = 2 n + 3n . (b) Sea (an)n∈N la sucesión de números reales definida recursivamen- te por a1 = 2 y an+1 = 2nan + 2 n+1n!, ∀n ∈ N Probar que an = 2 n n! . (c) Sea (an)n∈N la sucesión de números reales definida recursivamen- te por a1 = 0 y an+1 = an + n(3n+ 1), ∀n ∈ N Probar que an = n 2(n− 1) . 17. Hallar una fórmula para el término general de las sucesiones (an)n∈N definidas a continuación y probar su validez. (a) a1 = 1 y an+1 = (1 + √ an) 2, ∀n ∈ N (b) a1 = 3 y an+1 = 2an + 3 n, ∀n ∈ N (c) a1 = 1 y an+1 = nan, ∀n ∈ N (d) a1 = 2 y an+1 = 2− 1 an , ∀n ∈ N 18. Hallar una fórmula para el término general de las sucesiones (an)n∈N definidas a continuación y probar su validez. (a) a1 = 1 y an+1 = an + n 3, ∀n ∈ N (b) a1 = 1 y an+1 = an + (−1)n+1n2, ∀n ∈ N (c) a1 = 3 y an+1 = an + (2n+ 1)3 n−1, ∀n ∈ N (Sugerencia: usar los Ejercicios 10(10a, 7 y 8.) 19. (a) Sea (an)n∈N la sucesión definida por a1 = 1 y an+1 = an + n · n!, ∀n ∈ N Probar que an = n! , y, aplicando el Ej. 10(10a, calcular n∑ i=1 i · i! . 84 CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES E INDUCCIÓN. (b) Sea (an)n∈N la sucesión definida por a1 = 1 y an+1 = an + 3n 2 + 3n+ 1, ∀n ∈ N Probar que an = n 3 . 20. Hallar una fórmula para el término general de las sucesiones (an)n∈N definidas a continuación y probar su validez. (a) a1 = 1, a2 = 2 y an+2 = nan+1 + 2(n+ 1)an, ∀n ∈ N (b) a1 = 1, a2 = 4 y an+2 = 4 √ an+1 + an, ∀n ∈ N (c) a1 = 1, a2 = 3 y 2an+2 = an+1 + an + 3n+ 5, ∀n ∈ N (d) a1 = −3, a2 = 6 y an+2 = { −an+1 − 3 si n es impar an+1 + 2an + 9 si n es par 21. Hallar una fórmula para el término general de las sucesiones (an)n∈N definidas a continuación y probar su validez. (a) a0 = 2, a1 = 4 y an+2 = 4 an+1 − 3 an, ∀n ∈ N0 (b) a0 = 1, a1 = 4 y an+2 = 4 an+1 − 3 an, ∀n ∈ N0 (c) a0 = 1, a1 = 4 y an+2 = 4 an+1 − 4 an, ∀n ∈ N0 22. (a) Sea (an)n∈N la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3 y an+2 = an+1 + 5an, ∀n ∈ N Probar que an < 1 + 3 n−1 para todo n ∈ N . (b) Sea (an)n∈N la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3 2 y an+2 = an+1 + 2n+ 1 n+ 2 an, ∀n ∈ N Probar que an > n+ 1 3 para todo n ∈ N , n ≥ 4 . 23. Hallar una fórmula para el término general de las sucesiones (an)n∈N definidas a continuación y probar su validez. (a) a1 = 1 y an+1 = 1 + n∑ i=1 i ai, ∀n ∈ N (b) a1 = 1 2 y an+1 = 1 2 ( 1− n∑ i=1 ai ) , ∀n ∈ N (c) a1 = 1 y an+1 = n∑ i=1 ai + (n+ 1), ∀n ∈ N 24. Probar que todo número natural n se escribe como suma de distintas potencias de 2 , incluyendo 20 = 1 (sugerencia: considerar la mayor potencia de 2 menor o igual a n ). Caṕıtulo 3 Combinatoria de conjuntos, relaciones y funciones. 3.1 Cardinal de conjuntos y cantidad de relacio- nes. La combinatoria es el arte de contar (en el sentido de enumerar, no de contar un cuento). Definición 3.1.1. (Cardinal de un conjunto.) Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a la cantidad de elementos distintos que tiene A , y se nota #A . Cuando el conjunto no tiene un número finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A =∞ . Ejemplos: # ∅ = 0 , #{a, b, c} = 3 = #{1, 2, 3} , #N =∞ . Notar que si A es un conjunto finito, #A ∈ N ∪ {0} =: N0 . Observación 3.1.2. (Cardinal de un subconjunto.) Sea A es un conjunto finito y sea B ⊆ A . Entonces #B ≤ #A . (Esto vale también para conjuntos infinitos, como verán más adelante los matemáticos.) Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} , #(A ∪B) = #{1, . . . , 9} = 9 = 3 + 6 = #A+#B , pero si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} , #(A∪B) = #{1, . . . , 9} = 9 = 5 + 6− 2 = #A+ #B −#(A ∩B) pues los elementos 4 y 5 de la intersección están contados dos veces. Esto vale en general: Observación 3.1.3. (Cardinal de la unión y del complemento.) Sean A,B conjuntos finitos dentro de un conjunto referencial U . • Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces #(A ∪B) = #A+ #B . 85 88 CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 3.1.2 Cantidad de relaciones y de funciones. ¿Cuántas relaciones de A = {a, b, c} en B = {1, 2} hay? Sabemos que hay una relación por cada subconjunto de A × B , o sea por cada elemento de P(A × B) . Es decir, hay tantas relaciones como elementos en P(A × B) . Luego la cantidad de relaciones es igual a # ( P(A × B) ) . Como, por la Proposición 3.1.4, el conjunto P(A × B) tiene en este caso 26 elementos, hay 26 relaciones de A en B . Este mismo razonamiento vale para conjuntos finitos cualesquiera: Proposición 3.1.5. (Cantidad de relaciones.) Sean Am y Bn conjuntos finitos, con m y n elementos respectivamente. Entonces la cantidad de relaciones que hay de Am en Bn es igual a 2 m·n . Hemos visto que si A = {a, b, c} y B = {1, 2} , hay 26 = 64 relaciones de A en B . Nos podemos preguntar cuántas de estas relaciones son funciones f : A → B . Esto se puede pensar en términos de producto cartesiano (o de árboles): para definir una función f : A → B tenemos que determinar f(a) ∈ {1, 2} , f(b) ∈ {1, 2} y f(c) ∈ {1, 2} . Por cada elección de f(a) , f(b) y f(c) en el conjunto {1, 2} , tendremos una función distinta. Como tenemos 2 elecciones posibles para f(a) , 2 para f(b) y 2 para f(c) tenemos en total 2 ·2 ·2 = 23 = 8 funciones (bastante menos que las 64 relaciones que hay de A en B ). Dicho de otra manera la cantidad de funciones es igual al cardinal del producto cartesiano {1, 2}×{1, 2}×{1, 2} . Este razonamiento vale en general para funciones entre conjuntos finitos: Proposición 3.1.6. (Cantidad de funciones.) Sean Am y Bn conjuntos finitos, con m y n elementos respectivamente. Entonces la cantidad de funciones f que hay de Am en Bn es igual a n m . De las definiciones de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva se despren- den las propiedades siguientes sobre cardinales. Proposición 3.1.7. (Cardinal de conjuntos y funciones.) Sean A y B conjuntos finitos. • Sea f : A→ B una función inyectiva. Entonces #A ≤ #B . • Sea f : A→ B una función sobreyectiva. Entonces #A ≥ #B . • Sea f : A→ B una función biyectiva. Entonces #A = #B . 3.2. EL FACTORIAL. 89 3.2 El factorial. Cuando A,B son conjuntos finitos con n elementos, se puede contar la cantidad de funciones biyectivas f : A→ B distintas que hay. Por ejemplo si A2 = {x1, x2} y B2 = {y1, y2} tienen ambos 2 elementos, hay 2 funciones funciones biyectivas de A2 en B2 : la función f1 defini- da como f1(x1) = y1, f1(x2) = y2 , y la función f2 dada por f2(x1) = y2, f2(x2) = y1 . Esto se puede pensar nuevamente con un árbol: primero se fija dónde va a parar el elemento x1 que tiene 2 posibilidades (y1 o y2 ), y en este caso haber fijado dónde va a parar x1 determina automáticamente dónde va a parar x2 (al elemento de B2 que quedó libre). Estas 2 funciones biyectivas se pueden pensar como las 2 permutaciones de y1, y2 , que son y1, y2 e y2, y1 . Y si A3 = {x1, x2, x3} y B3 = {y1, y2, y3} tienen 3 elementos, hay 6 = 3 ·2 funciones biyectivas de A3 en B3 : primero se fija dónde va a parar el elemento x1 que tiene 3 posibilidades (y1 , y2 o y3 ), luego se fija dónde va a parar x2 , a quién le quedan 2 posibilidades en B3 (según dónde fue a parar x1 ) y luego queda automáticamente determinado dónde va a parar x3 (al elemento de B3 que quedó libre). Estas 6 funciones biyectivas se pueden pensar como las 6 permutaciones de y1, y2, y3) que son: y1, y2, y3 ; y1, y3, y2 ; y2, y1, y3 ; y2, y3, y1 ; y3, y1, y2 e y3, y2, y1. En general si An = {x1, . . . , xn} y Bn = {y1, . . . , yn} son conjuntos con n elementos, se puede probar formalmente (por inducción) que hay n · (n− 1) · · · 2 · 1 funciones biyectivas de An en Bn . Esta cantidad de funciones biyectivas que hay entre conjuntos con n elementos (o de permutaciones de los elementos de un conjunto de n elementos) resulta ser tan importante en matemática que se le da un nombre y una notación particulares. Definición 3.2.1. (El factorial, o la cantidad de funciones biyecti- vas.) Sea n ∈ N . El factorial de n , que se nota n! , es el número natural definido como n! = n · (n− 1) · · · 2 · 1 = n∏ i=1 i, que coincide con la cantidad de funciones biyectivas que hay entre dos con- juntos con n elementos, o con la cantidad de permutaciones de elementos en un conjunto de n elementos. Esta definición se extiende a N0 definiendo 0! = 1 . 90 CAPÍTULO 3. COMBINATORIA Aśı, 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40320, 9! = 362880, 10! = 3628800, 11! = 39916800, 12! = 479001600, . . . y este número crece muy rápido! La definición matemática formal, por recurrencia, del factorial es 0! = 1 y n! = n · (n− 1)! , ∀n ∈ N. Un programa recursivo para el factorial en Haskell: factorial :: Integer → Integer factorial 0 = 1 factorial n = n ∗ factorial(n− 1) Un programa iterativo para el factorial en Python: def factorial(n) f = 1 for i in range (1, n+ 1) : f = f ∗ i return f (La ĺınea f = 1 pone en la variable f el valor 1 . Luego la instrucción “for i in range (1, n+ 1) ” ejecuta la ĺınea que sigue (es decir poner en la variable f el valor que teńıa f multiplicado por el valor de i ) para todos los valores de i ≥ 1 y < n+ 1 , es decir entre 1 y n .) 3.2.1 Cantidad de funciones inyectivas. Ahora que sabemos contar funciones biyectivas entre conjuntos finitos, tam- bién podemos contar, con el mismo razonamiento de árbol, la cantidad de funciones inyectivas que hay de un conjunto Am = {x1, . . . , xm} con m ele- mentos en un conjunto Bn = {y1, . . . , yn} con n elementos, donde m ≤ n para que pueda haber funciones inyectivas. Por ejemplo supongamos A2 = {x1, x2, x3} y B5 = {y1, y2, y3, y4, y5} . ¿Cuántas funciones inyectivas f : A3 → B5 hay? Nuevamente, primero se fija dónde va a parar el elemento x1 que tiene 5 posibilidades (y1 , y2 , y3 , y4 o y5 ), luego se fija dónde va a parar x2 , a 3.3. EL NÚMERO COMBINATORIO. 93 3.3.1 El triángulo de Pascal: una fórmula recursiva para( n k ) . Queremos encontrar una forma de calcular ( n k ) sin listar todos los sub- conjuntos con k elementos de An , con un razonamiento del tipo del que aplicamos para resolver el problema de las torres de Hanoi. Sea A5 = {a1, a2, a3, a4, a5} un conjunto con 5 elementos. Supongamos que queremos calcular ( 5 3 ) sin listar todos los subconjuntos con 3 elementos de A5 . Podemos razonar de la manera siguiente: Sea B3 un subconjunto con 3 elementos de A5 . Entonces • O bien a5 ∈ B3 , con lo cual para determinar B3 hay que elegir los 2 elementos que faltan en el conjunto A4 = {a1, a2, a3, a4} . Y ya sabemos que hay ( 4 2 ) = 6 formas de elegir 2 elementos en A4 . • O bien a5 /∈ B3 , con lo cual para determinar B3 hay que elegir los 3 elementos en el conjunto A4 = {a1, a2, a3, a4} . Y ya sabemos que hay( 4 3 ) = 4 formas de elegir 3 elementos en A4 . Como estos dos casos son disjuntos (o bien a5 ∈ B3 o bien a5 /∈ B3 ), la cantidad total de subconjuntos B3 con 3 elementos de A5 es igual a la suma 6 + 4 = 10 , es decir ( 5 3 ) = ( 4 2 ) + ( 4 3 ) . Y este razonamiento se generaliza sin dificultad a un conjunto An+1 = {a1, . . . , an+1} con n + 1 elementos. Ya sabemos que ( n+1 0 ) = ( n+1 n+1 ) = 1 . Queremos ahora calcular ( n+1 k ) para un k cualquiera, 1 ≤ k ≤ n . Sea Bk un subconjunto con k elementos de An+1 . Entonces • O bien an+1 ∈ Bk , con lo cual para determinar Bk hay que elegir los k − 1 elementos que faltan en el conjunto An = {a1, . . . , an} . Y ya sabemos que hay ( n k−1 ) formas de elegir k − 1 elementos en An . (Aqúı interviene la condición k ≥ 1 pues tiene que ser k− 1 ≥ 0 para que esto tenga sentido.) • O bien an+1 /∈ Bk , con lo cual para determinar Bk hay que elegir los k elementos en el conjunto An = {a1, . . . , an} . Y ya sabemos que hay( n k ) formas de elegir k elementos en An . (Aqúı interviene la condición k ≤ n para que esto tenga sentido.) 94 CAPÍTULO 3. COMBINATORIA Como estos dos casos son disjuntos (o bien an+1 ∈ Bk o bien an+1 /∈ Bk ), la cantidad total de subconjuntos Bk con k elementos de An+1 es igual a la suma ( n+1 n−1 ) + ( n+1 k ) , es decir se satisface( n+ 1 k ) = ( n k − 1 ) + ( n k ) , para 1 ≤ k ≤ n. Aśı obtuvimos el resultado siguiente: Proposición 3.3.3. (Una fórmula recursiva para el número combi- natorio.) Se tiene ( 0 0 ) = 1, ( n+ 1 0 ) = ( n+ 1 n+ 1 ) = 1 y( n+ 1 k ) = ( n k − 1 ) + ( n k ) para 1 ≤ k ≤ n,∀n ∈ N. Esto da el siguiente triángulo, conocido como el triángulo de Pascal (y vuelve a aparecer Pascal!), que empieza con:( 0 0 )( 1 0 ) ( 1 1 )( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 )( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 )( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 )( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 )( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) ( 6 6 )( 7 0 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 7 7 ) Y como ya sabemos que los dos bordes de ese triángulo siempre valen 1 , y que cada término de una fila, o sea ( n+1 k ) , se obtiene como la suma de los 2 términos de la fila anterior que están “encima”, o sea ( n k−1 ) y ( n k ) , esto permite ir deduciendo fila a fila los valores: 1 1 1 1 ( 2 1 ) 1 1 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 1 1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 1 1 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 1 1 ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 1 1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 1 1 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 1 1 ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 3.3. EL NÚMERO COMBINATORIO. 95 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 1 1 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 1 1 ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 1 1 ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Vale mencionar que el triángulo de Pascal, que lleva ese nom- bre en Occidente en honor a las investigaciones que hizo Blaise Pascal sobre él, era conocido mucho antes, por ejemplo por el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia, 1500-1557. ¡O incluso mucho antes por el matemático chino Yang Hui, 1238–1298 ! 3.3.2 La expresión del número combinatorio. Busquemos ahora cuál es el término general (no recursivo) del número com- binatorio ( n k ) conjeturando una fórmula y probándola por inducción. 98 CAPÍTULO 3. COMBINATORIA Por ejemplo, si calculamos los desarrollos para los primeros valores de n , (x+ y)0 = 1, (x+ y)1 = x+ y, (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2, (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3, (x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, (x+ y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5. Pareciera que van apareciendo como coeficientes de los monomios xiyj los números combinatorios que aparecen en el tŕıángulo de Pascal! O sea pare- ciera que se tiene Teorema 3.3.5. (El binomio de Newton). (x+ y)n = xn + ( n 1 ) xn−1y + ( n 2 ) xn−2y2 + · · ·+ ( n n− 1 ) xyn−1 + yn = n∑ k=0 ( n k ) xn−kyk, ∀n ∈ N0, o lo que es lo mismo, ya que los números combinatorios son simétricos ( ( n k ) = ( n n−k ) ): (x+ y)n = n∑ k=0 ( n k ) xkyn−k, ∀n ∈ N0. Demostración. Haremos una demostración combinatoria, o sea “contando”. Pensemos que (x+ y)n = (x+ y) · (x+ y) · · · (x+ y) · (x+ y)︸ ︷︷ ︸ n factores . Cuando aplicamos la distributividad, en cada paréntesis podemos elegir un x o un y (pero no los dos a la vez). Como en total hay n paréntesis terminaremos eligiendo k veces x y n − k veces y , para algún valor de k , 0 ≤ k ≤ n . Por ejemplo si no elegimos ninguna vez x y n veces y , obtenemos –al realizar el producto– el monomio yn , y si elegimos 1 vez x y n− 1 veces y , obtenemos el monomio xyn−1 . ¿Pero cuántas veces aparece cada uno de estos monomios? • ¿Cuántas veces se obtiene el monomio yn ? Para ello tenemos que elegir solo el y de cada uno de los paréntesis: hay una única forma de hacer eso, y por lo tanto se obtiene una vez el monomio yn . 3.3. EL NÚMERO COMBINATORIO. 99 • ¿Cuántas veces se obtiene el monomio xyn−1 ? Para ello tenemos que elegir en alguno de los paréntesis el x y en todos los demás paréntesis el y : como hay n paréntesis, hay n formas de elegir el x (o bien del 1er paréntesis, o bien del 2do, o bien del 3ro, etc.) y de los demás paréntesis saco el y . Por lo tanto se obtiene n = ( n 1 ) veces el monomio xyn−1 . • En general, dado k , 0 ≤ k ≤ n , ¿cuántas veces se obtiene el monomio xkyn−k ? Para ello tenemos que elegir en k paréntesis el x y en todos los n− k paréntesis restantes el y : como hay n paréntesis y tenemos que elegir de cuáles k paréntesis extraemos un x , hay ( n k ) formas de elegir de qué paréntesis saco x (y de los demás paréntesis saco el y ). Por lo tanto se obtiene ( n k ) veces el monomio xkyn−k . En definitiva, tenemos la suma de n + 1 términos de la forma ( n k ) xkyn−k , lo que prueba el teorema. Observación 3.3.6. • Con la fórmula del Binomio de Newton, se recu- pera facilmente la expresión 2n = (1 + 1)n = n∑ k=0 ( n k ) 1k · 1n−k = n∑ k=0 ( n k ) , que hab́ıamos notado al definir el número combinatorio. • ¿ Cuánto da n∑ k=0 (−1)k ( n k ) ? • Más arriba probamos que ( 2n n ) ≤ (n + 1)! , ∀n ∈ N . En la práctica hay un ejercicio que pide probar que ( 2n n ) < 4n , ∀n ∈ N , como consecuencia de que 2n∑ k=0 ( 2n k ) = 4n (¿por qué?). Notemos que 4n < (n+ 1)! para n ≥ 6 . • Como una aplicación del binomio y un poco de trabajo, se puede probar por inducción que se tiene nn 3n ≤ n! ≤ n n 2n , ∀n ≥ 6, una forma bastante precisa de ubicar el factorial entre dos potencias. 100 CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 3.4 Ejercicios. Cardinal de conjuntos y cantidad de relaciones y funciones 1. Dado el conjunto referencial V = {n ∈ N / n es múltiplo de 15} , de- terminar el cardinal del complemento del subconjunto A de V defi- nido por A = {n ∈ V /n ≥ 132} . 2. ¿Cuántos números naturales hay menores o iguales que 1000 que no son ni múltiplos de 3 ni múltiplos de 5 ? 3. Dados subconjuntos finitos A,B,C de un conjunto referencial V , cal- cular #(A ∪B ∪C) en términos de los cardinales de A , B , C y sus intersecciones. 4. (a) Una compañ́ıa tiene 420 empleados de los cuales 60 obtuvieron un aumento y un ascenso, 240 obtuvieron solo un aumento y 115 obtuvieron solo un ascenso. ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento ni ascenso? (b) En el listado de inscripciones de un grupo de 150 estudiantes, figuran 83 inscripciones en Análisis y 67 en Álgebra. Además se sabe que 45 de los estudiantes se anotaron en ambas materias. ¿Cuántos de los estudiantes no están inscriptos en ningún curso? (c) En un instituto de idiomas donde hay 110 alumnos, las clases de inglés tienen 63 inscriptos, las de alemán 30 y las de francés 50. Se sabe que 7 alumnos estudian los tres idiomas, 30 solo estu- dian inglés, 13 solo estudian alemán y 25 solo estudian francés. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas? ¿Cuántos inglés y alemán pero no francés? ¿Cuántos no estudian ninguno de esos idiomas? 5. Si hay 3 rutas distintas para ir de Buenos Aires a Rosario, 4 rutas distintas para ir de Rosario a Santa Fe, y 2 para ir de Santa Fe a Reconquista ¿cuántos formas distintas hay para ir de Buenos Aires a Reconquista pasando por las dos ciudades intermedias? 6. Si A es un conjunto con n elementos ¿Cuántas relaciones en A hay? ¿Cuántas de ellas son reflexivas? ¿Cuántas de ellas son simétricas? ¿Cuántas de ellas son reflexivas y simétricas? 7. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} . Sea F el conjunto de todas las funciones f : A→ B . (a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto F ? (b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto {f ∈ F : 10 /∈ Im(f)} ?