Examen Extraordinario de Álgebra Lineal para Grado en Matemáticas (Curso 2012-13) - Prof. , Exámenes de Álgebra Lineal

¡Descarga Examen Extraordinario de Álgebra Lineal para Grado en Matemáticas (Curso 2012-13) - Prof. y más Exámenes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! ´ ALGEBRA LINEAL (Examen Extraordinario) Grado en Matemáticas Curso 2012–13 Examen 10-6-2013 Apellidos, Nombre: Grupo 1 Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 FINAL 3 puntos 2 puntos 3 puntos 2 puntos 10 ⇧ ⇧ ⇧ ⇧ ⇧⇧ Razonar debidamente las respuestas ⇧ ⇧ ⇧ ⇧ ⇧⇧ Problema 1. Decide de manera razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (i) El conjunto M = {p(x) 2 R[x] | p(0) = 1} es un subespacio vectorial de R[x]. (ii) Sea D = {(x, y, z) 2 R3 |x = y = z} el subespacio diagonal de R3 y e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) la base estándar. Escribimos [v] para la clase de v en R3/D. Entonces las clases [e1], [e2] forman una base de R3/D y la clase de (1, 2, 3) se escribe con respecto a esta base como [(1, 2, 3)] = 2[e1] [e2]. (iii) Sean u1 = (1, 0, 2), u2 = (1, 0, 3), u3 = (0, 1, 5) 2 R3, de modo que B = {u1, u2, u3} es base de R3. Entonces la base dual B⇤ de B esta definida por las siguientes formas lineales u ⇤ 1(x, y, z) = 3x+ 5y z, u⇤2(x, y, z) = 2x 5y + z, y u⇤3(x, y, z) = y. Problema 2. Denotemos por R3[x] el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que tres junto con el polinomio 0 y sea f : M2(R) ! R3[x] la aplicación lineal definida por f a b c d ! = ax 3 + (b+ c+ d)x 2 + (2b+ c)x+ (a+ b+ c+ d). (i) Calcula la matriz de f con respecto a la base canónica de M2(R) y la base {1, x, x2, x3} de R3[x]. (ii) Calcula una base de Ker(f) y una base de Im(f). Comprueba que se cumple el Teorema de la dimensión. (iii) Sea W = {p(x) 2 R3[x] | p(0) = p0(0) = 0}. Calcula una base de W \ Im(f). (iv) Demuestra que W + Im(f) es R3[x].